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Prof Gabriela Rezende FernandesDisciplina: Anlise Estrutural 2
N0 TOTAL DE INCGNITAS = g =grau de hiperestaticidade da
INCGNITAS = ESFOROS HIPERESTTICOS (reaes de apoio e/ou esforos em excesso que a estrutura possui)
N0 TOTAL DE INCGNITAS = g =grau de hiperestaticidade da estrutura
Conhecidos os esforos hiperestticos obtm-se as reaes de apoio e os diagramas dos esforos solicitantes da estrutura
g = ge + gi
ge = grau hiperesttico externo
gi = grau hiperesttico interno
ge = grau hiperesttico externo = n0 de equaes adicionais necessrias ao clculo das reaes de apoio
g = ge + gi
ge = n0 de reaes incgnitas - n0 de eq. de equilbriogi = grau hiperesttico interno
Conhecidas as reaes de apoio, gi o nmero de esforos solicitantes necessrio conhecer para poder traar os diagramas de esforos da estrutura.
Isosttica externamente (com as equaes Y X
S Isosttica externamente (com as equaes de equilbrio consegue-se calcular as reaes de apoio)Hiperesttica internamente (no se pode traar os diagramas de esforos no trecho fechado)
Frmula prtica para o clculo de gg = 3l + 2p + s - 3n
l : n de engastes + n engastes elsticosengaste elstico: ocorre no n no articuladon engastes elsticos em um n = n de barras que chegam no n -1
l =1+(1+1+2)=5 chegam no n -1
p: n de apoios fixos + (para cada articulao: n de barras que chegam na articulao -1)s: n de apoios mveisn: n de barras
Exemplo:
l =1+(1+1+2)=5
p=2+2=4
gi = 0 ge = 8 (3+1) = 4
N de equaes de equilbrio
(3 + M (rtula) = 0)g = 0 +4 =4
l = 2 + (1+2) = 5 p= 1 + (1) = 2S = 0n = 5 g = 15+4+0-15=4
gi = 0 ge = 8 (3+1) = 4N de reaes incgnitas
g = 0 +4 =4
MA
n0 de reaes incgnitas = 5 (RVA, RHA , MA, RVB, RHB)n0 de eq. de equilbrio = 4 (Fx=0, Fy=0, M=0 e Mrtula=0)x
y
z ge= 5 4 = 1gi = 0 g = 1
g = 3l + 2p + s - 3n
MARHA
RVA
RHBRVB
n0 de reaes incgnitas = 6n0 de eq. de equilbrio = 4 (Fx=0, Fy=0, M=0 e Mrtula=0)
l = 1 + (1) = 2 p= 1 + (1) = 2S = 0n = 3 g = 6+4+0-9=1
ge= 6 4 = 2gi = 3 g = 5
l = 0 + (5) = 5 p= 3 + (1) = 4S = 0n = 6 g = 15+8+0-18=5
EXEMPLOS PRTICOS DE ESTRUTURAS HIPERESTTICAS
PrticosA)EXEMPLOS DE PRTICOS EM PONTES- Pontes em Prtico (no h aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um nico slido)
Esquema esttico: considera as vigas junto com os pilares formando um prtico:
PRTICO
Considera esses apoios como apoio fixo ou engaste dependendo da rigidez do solo onde o prtico est apoiado
PRTICO
A) EXEMPLOS DE PRTICOS EM PONTES- Pontes em Prtico (no h aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um nico slido)
ou
Esquema esttico:
2 apoios fixos : hiperesttico1 apoio fixo e 1 mvel : isosttico
2 engastes: hiperesttico
B) EXEMPLOS DE PRTICOS EM ESTRUTURAS DE EDIFCIOS: O CLCULO ESTRUTURAL PODE SER FEITO, CONSIDERANDO-SE PRTICOS PLANOS.
Anlise tridimensional: Considera um prtico tridimensional, o clculo feito com softwares comerciais baseados no mtodo dos elementos baseados no mtodo dos elementos finitos
Anlise plana: desmembra o vigas
pilares
Anlise plana: desmembra o prtico tridimensional em vrios prticos planos
Ponte em viga contnua
H um aparelho de apoio entre a viga e o pilar. As vigas contnuas so calculadas primeiro (cada apoio da viga representa contnuas so calculadas primeiro (cada apoio da viga representa o apoio sobre um pilar ). As reaes calculadas nas vigas sero cargas atuantes nos pilares.
Vigas contnuas em edifcios
Ao invs de modelar o edifcio como prtico, pode calcular as vigas contnuas separadas dos pilares. -As lajes so analisadas primeiro.-Transfere para as vigas as reaes das lajes, que somadas s outras cargas definiro o carregamento nas vigas. Calculam-se as vigas contnuas (cada apoio da viga vigas contnuas (cada apoio da viga representa o apoio sobre um pilar ou sobre outra viga). --As reaes calculadas nas vigas sero cargas atuantes nos pilares, que so calculados por ltimo.
V1
V2V3 V4 V1
A B
Rpilar Rpilar
RV3 RV4
Se V3 e V4 se apiam em V1, V2 ,V5 e V6V5
V6
V2
A B
RV RV
RV3 RV4 V3
RV1 RV6RV2 RV5
V4
Vigas contnuas
RV1 RV6RV2 RV5
Vigas contnuas
V1
V2V3 V4
Os esforos em V1, V7, V8 e V6 podem ser calculados considerando prticos planos.V5
V6
V7
V8
RV3 RV4
No caso do edifcio ter 2 andares, se V3 e V4 se apiam em V1, V2 ,V5 e V6
Prtico plano formado com a V1 e os 2 pilares da extremidade:
RV2 RV5
Prtico plano formado com a V7 e os 2 pilares da extremidade:
RV3 RV4 RV2 RV5
Exemplo de grelhas em pavimentos de edifcios:
Se o pavimento estiver sujeito apenas a cargas transversais ao seu plano, os esforos nas vigas podem ser calculados considerando-se a grelha:
Y
X
z
RV RV
RV
Exemplo: seja a estrutura (a) hiperesttica: g = ge= 6 3 = 3
a Tipos de solicitao que a estrutura pode estar sujeita:
Carregamento externo, variao de temperatura, recalque de apoio.
Y
X
a
ROTEIRO DE SOLUO:1. OBTENO DO SISTEMA PRINCIPAL:Transforma a estrutura hiperesttica (a) em estrutura isosttica rompendo g vnculos quaisquer e aplicando os esforos correspondentes obtm estrutura (b)
b Y
X
SISTEMA PRINCIPAL (SP) ESTRUTURA ISOSTTICA
Incgnitas: esforos hiperestticos: X , X e X
b Y
X
X1 X2
X3 A B
Incgnitas: esforos hiperestticos: X1, X2 e X3
As estruturas a e b so iguais estaticamente.Para ter compatibilidade de deformaes entre a e b, os deslocamentos nas direes dos vnculos rompidos (A, B e HB)devem ser nulos no SP (pois estes eram nulos na estrutura original a)Para uma mesma estrutura hiperesttica, pode-se ter vrios sistemas principais. Chega-se a mesma soluo, independente do sistema principal adotado. Para facilitar os clculos, deve-se escolher um SP, que gere diagramas de esforos mais simples. Para prticos recomenda-se colocar rtulas nos ns da estrutura.
2. EQUAES DE COMPATIBILIDADE ELSTICA: (equaes adicionais que se deve ter para resolver a estrutura)
Para estruturas com comportamento elstico linear e pequenas deformaes vale o princpio da superposio de efeitos. Portanto:
X1 X2
X3 A B
SP
deslocamento na direo e posio do hiperesttico XSejam:
]1[cos
1=+
=
i
ihiperesttdeN
ii XaapenassujeitoSPX
Soluo do Sistema Principal (SP) com a solicitao externa e todos os hiperestticos aplicados
= [ SP com solicitao externa] +
ij deslocamento na direo e posio do hiperesttico Xi devido apenas ao carregamento Xj =1
i0 deslocamento na direo e posio do hiperesttico Xi devido apenas solicitao externa (carga, recalque ou temperatura)
Soluo do Sistema Principal com a solicitao externa e todos os hiperestticos aplicados = a + b + c +d
X3
X2X1
a) b)+ X +
20
Y
X
X1 X2
X3 A B
Sistema Principal com a solicitao externa
c) d)
Sistema Principal com X1 =1 aplicado
X1=111 21
31
+ X1 +10
30
c) d)
Sistema Principal com X2 = 1 aplicado Sistema Principal com X3 =1
aplicado
12 22
32
+ X2+ X3 X3=1
X2=1 13 23
33
A = 10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 B = 20 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 HB = 30 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3
Portanto, considerando-se o princpio da superposio de efeitos:
Para ter compatibilidade de deformaes entre a estrutura original e o
10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 020 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 030 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0
Para ter compatibilidade de deformaes entre a estrutura original e o sistema principal A = B = HB = 0. Portanto, obtm-se o seguinte sistema de equaes:
Incgnitas do sistema: esforos hiperestticos: X1, X2 e X3Deslocamentos ij e i0 : so valores conhecidos e so
calculados atravs do PTV
3.1 Clculo do deslocamento ij na direo i devido ao esforo Xj = 1:
Estado de carregamento: estrutura sujeita carga virtual na direo i . Resolve a estrutura obtm
3. CLCULO DOS DESLOCAMENTOS ij e i0 : atravs do PTV
FMD1=iP
Estado de deformao: estrutura sujeita ao carregamento real Xj = 1 Resolve a estrutura obtm
3.2 Clculo do deslocamento i0 na direo i devido
DMF
FMD
Combina os diagramas e , atravs das tabelas obtm ijDMF FMD
3.2 Clculo do deslocamento i0 na direo i devido solicitao externa
Estado de carregamento: igual ao item 3.1
Estado de deformao: depende do tipo de solicitao externa
3.2 Clculo do deslocamento i0 na direo i devido solicitao externa
Estado de deformao: estrutura sujeita ao carregamento externoResolve a estrutura obtm
3.2.a)Solicitao externa = Carregamento externo
DMF
Combina os diagramas e , atravs das tabelas obtm i0DMF FMDCombina os diagramas e , atravs das tabelas obtm i0
3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T i0 = itEstado de deformao: estrutura sujeita a T
Em estruturas isostticas os deslocamentos devido a T ocorrem sem que se desenvolvam esforos, h apenas deformaes Em estruturas hiperestticas os deslocamentos devido a T provocam deformaes e esforos
Sistema principal estrutura isosttica no h esforos devido a T, apenas deformaes
3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T (continuao)
T = ti te h
te t
Seja a estrutura, cujas fibras externas sofrem uma variao de temperatura diferente daquela que ocorre nas fibras internas:
te: variao de temperatura na fibras externasti: variao de temperatura nas fibras internas
te
ti
h
h ti
T linear ao longo de hti
h: altura da seo transversal:h
d: :variao de comprimento (deslocamento axial relativo, na direo de x)
2 sees distantes de ds ( ) se deformam da seguinte forma:
de d
sxrr
=
3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T (continuao)
No CG ocorrem duas deformaes:
tg: variao de temperatura no CG
de = te ds
di= ti dsFibras externas:
Fibras internas:
axial relativo, na direo de x): Coeficiente de dilatao do material
ds
h
di
d
dCGCG
hx ds
d
No CG ocorrem duas deformaes:dCG = tg ds
( ) ( ) ( ) dsh
tdsh
tt
hdddtgd eiei ====
Rotao relativa
No CG
dCG = tg ds
dsh
td =sxrr
=
dCG = tg dx
dxh
td =
3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T (continuao)
( ) ( ) ( ) MNggCGit Ah tAtdxMh tdxNtdMdN +=+=+= O PTV em termos das deformaes reais:
OBS: Se escrevesse o PTV em termos dos esforos reais, as integrais se anulariam. Ento, nesse caso, deve-se escrever o PTV em termos das deformaes reais.
xxxhh
NA rea total do diagrama de
MA rea total do diagrama de M
N
3.2.c)Solicitao externa = Recalques de apoio i0 = ir
Em estruturas isostticas os recalques provocam apenas deslocamentos de corpo rgido (no h deformao e esforos, pois todos os apoios tm os mesmos
V
V
Estado de deformao: estrutura sujeita a recalques
todos os apoios tm os mesmos deslocamentos ou recalques)
Em estruturas hiperestticas os recalques provocam deformaes e esforos, pois como a estrutura mais rgida, os vnculos impedem que todos os pontos da estrutura tenham os mesmos deslocamentos. Portanto, cada apoio vai ter um recalque diferente do outro, o que faz com que a estrutura se deforme.
h h
Na estrutura isosttica, o recalque provoca um movimento de corpo rgido esforos e deformaes so nulos trabalho virtual das foras internas nulo, ou seja,
diferente do outro, o que faz com que a estrutura se deforme.
Wi = 0Sistema principal estrutura isosttica
( )( ) +++=+
l
tii
ii
ii dMdvVdMdNRP
PTV:
3.2.c)Solicitao externa = Recalques de apoio (continuao)
=
=
recalquesN
iiiir R
1'
1=iP0
1''
=+ =
recalquesN
iiiiri RP
1=P
PTV
Wi = 0 ( ) 0=+++= l
ti dMdvVdMdNW
Reao de apoio no estado de carregamento (devido a ), na 'iR
1=iPReao de apoio no estado de carregamento (devido a ), na direo do recalque real i
4 SOLUO DO SISTEMA DE EQUAES
101131211 X { } [ ] { }1 =X
10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 020 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 030 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0
ou
=
30
20
3
2
333231
232221
XX
{ } [ ] { }0=X
p/ variao de temperatura:
{ } { }
==
t
t
t
t
3
2
1
0
p/ recalque de apoio
ou
{ } { }
==
r
r
r
r
3
2
1
0
[] a matriz de flexibilidade (ij= ji de acordo com o teorema de Maxwell){X} o vetor soluo contm os esforos hiperestticos {0} o vetor dos termos da solicitao externa (devido carga, t ou
recalque)
t3 r3
5. OBTENO DOS ESFOROS E REAES DE APOIO FINAIS: E
Pelo Princpio da superposio de efeitos:
=
+=g
iii XEEE
10
O valor final do esforo ou reao de apoio em um ponto qualquer da estrutura dado por:
=i 1
a) para carregamento externo: E0 = valor do esforo (no SP) obtido no ponto, considerando somente a carga externa
Valor deE0 num ponto qualquer da estrutura:
b) para variao de temperatura (esforos so nulos): E0 = 0 c) para recalque (esforos so nulos): E0 = 0 Valor de Ei num ponto qualquer da estrutura: o valor do esforo obtido no ponto, considerando somente Xi = 1
Obs: pode-se ter diversos SP. Deve-se adotar um SP para o qual os diagramas a combinar sejam simples. Para prticos recomenda-se colocar rtulas nos ns da estrutura
ROTEIRO DE CLCULO:1. Clculo do grau de hiperestaticidade (g = ge + gi)2. Obteno do Sistema Principal3. Resoluo do SP sujeito, separadamente, ao carregamento externo 3. Resoluo do SP sujeito, separadamente, ao carregamento externo
e cada um dos esforos hiperestticos4. Clculo de ij e i0 (ou ir ou it) 5. Soluo do sistema de equaes de compatibilidade elstica
6. Obteno dos esforos e reaes de apoio finais
{ } [ ] { }01 =X6. Obteno dos esforos e reaes de apoio finais
=
+=g
iii XEEE
10
Se a estrutura plana, elstica e geometricamente simtrica
SIMPLIFICAES NO CLCULODE ESTRUTURAS SIMTRICAS
Se a estrutura plana, elstica e geometricamente simtrica
1 SIMPLIFICAO: corta a estrutura na seo S de simetria eresolve apenas metade da estrutura (possvel apenas para estruturasabertas)
Dependendo do carregamento e da posio da seo de simetria S,Dependendo do carregamento e da posio da seo de simetria S,pode-se concluir que 1 ou mais esforos em S so nulos 2SIMPLIFICAO: h diminuio do g (n de esforos hiperestticos)
VANTAGENS DE CONSIDERAR A SIMETRIA:
1. H reduo do n de graus de hiperestaticidade (g)2. Estrutura a ser resolvida apenas a metade da original2. Estrutura a ser resolvida apenas a metade da original
1. Para solicitao simtrica: Os diagramas solicitantes da outra metade da estrutura so simtricos (mesmos valores e mesmos sinais) para momento e esforo normal e anti-simtrico (mesmos valores, mas sinais
OBTENO DOS DIAGRAMAS SOLICITANTES DA OUTRA METADE:
esforo normal e anti-simtrico (mesmos valores, mas sinais contrrios) para esforo cortante 2. Para solicitao anti-simtrica: Os diagramas solicitantes da outra metade da estrutura so anti-simtricos para momento e esforo normal e simtrico para esforo cortante
1. Se o eixo de simetria intercepta ortogonalmente a barra na seo S de simetria:
Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes simtricas:
Em S, o deslocamento horizontal e rotao so nulos (H e provocados pelo lado da esquerda so anulados pelos H e
Portanto, na seo S de simetria h apenas deslocamentos verticais:0=
0V
0NS 0H = 0M S
provocados pelo lado da esquerda so anulados pelos H e provocados pelo lado da direita):
0QS = Exemplos:
Em SExemplos:
S Como :0QS = Sist. Principal = SX1
X2aa
a)
b) Estrutura simtrica com Diminuio uniforme de TemperaturaS
S X1X2
Outros exemplos de estruturas simtricas com solicitaes simtricas
Como :0QS =Sist. Principal =
c) Estrutura fechada: S
X1X2
X1X2
(Corta em S)
a ab b
a a
Como :0QS = Sist. Principal =
a a
0=0H =
Para estrutura simtrica com solicitao simtrica, se o eixo de simetria intercepta ortogonalmente a barra na seo S de simetria:
Outro modo de soluo para estruturas abertas:
SPP
TT SP
T
Rompe a estrutura na seo de simetria S, coloca um vnculo que impea H e e permita v; ento adota o sistema principal que preferir.
Exemplo:
a
S P P B C
a
S TT
a
bc c
b
g = ge = 6 - 3 = 3
STEstrutura a ser resolvida Reaes: M
e RHg = ge = 5-3 = 2(o g diminuiu de 3 pra 2)
a
b c c b
T T A
B C
D
2.Se o eixo de simetria atravessa toda a barra na seo S de simetria:
Na seo de simetria S h apenas deslocamentos verticais. Portanto:
0=0 0=
Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes simtricas:
0=0V 0H =
Mas se v estiver impedido por um apoio na extremidade da barra rompe a estrutura em S e coloca um engaste, pois em S ter: v = H = = 0.
0V =
P P Exemplo:
P
a
b c c b
S P P
T T D
S P
T Estrutura a ser
resolvida
g = 9 3 = 6g = 6 3 = 3
(g diminuiu de 6 para 3)
a
b c c b
S P P
T T D
Exemplo:
S P
T Estrutura a ser
resolvida
g = 9 3 = 6g = 6 3 = 3
g = 9 3 = 6
v impedido pelo engaste em D Portanto, em S: v = H = = 0
Na barra SD h apenas esforo normal constante igual a: N = 2Rvs, onde Rvs a reao vertical calculada no engaste em S.
Vantagens: h reduo de 3 graus hiperestticos, alm da estrutura a ser resolvida ser bem menor !
1. Se o eixo de simetria atravessa ortogonalmente a barra na seo S de simetria:
Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes anti-simtricas:
=Em S o deslocamento vertical nulo (v provocado pelo lado da
0V =Em S o deslocamento vertical nulo (v provocado pelo lado da esquerda anulado pelos v provocado pelo lado da direita):
Exemplos:
0V = 0QS
Portanto, na seo S de simetria h deslocamento horizontal e rotao: 0 0NS =0H 0M S =
Exemplos:
S Se Sist. principal S
X1
a a0M S =
0NS =
a)
Estrutura simtrica sujeita a recalque de apoio anti-simtrico
S SSe
Sist. principal
X1
a a
0M S =0NS =
b)
Estrutura fechada:
S Se Sist. principalX1
X1
(Corta em S)
Sist. principala ab b
a a
0M S =0N S =
c)
Para estruturas simtricas com solicitaes anti-simtricas, se o eixo de simetria atravessa ortogonalmente a barra na seo S de simetria : 0V =
Outro modo de soluo para estruturas abertas:
Rompe a estrutura na seo de simetria S, coloca um vnculo Rompe a estrutura na seo de simetria S, coloca um vnculo que impea v e permita H e ; ento adota o sistema principal que preferir.
SPP
TTbb
SP
TEstrutura a ser
Exemplo:
a S P P
T T
a a
bc c
b
g = ge = 6 - 3 = 3
Estrutura a ser resolvida
g = ge = 4 - 3 = 1
b c c b
T T
2. O eixo de simetria atravessa toda a barra na seo S de simetria:
Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes anti-simtricas:
Na seo de simetria S h deslocamento horizontal e rotao:00V = 0H
a S
P P
T T I
As cargas dos lados esquerdo e direito da barra contribuem igualmente para sua deformao total metade da barra solicitada pelo carregamento da esquerda e a outra metade pelo carregamento da direita parte a barra ao meio e resolve metade da estrutura
S P
T I/2 Estrutura a ser
resolvida
Exemplo:
b c c b
T T
D
I
b c
T I/2 D
resolvida
g = 9 3 = 6
g = 6 3 = 3Para a outra metade: DMF e DEN so anti-simtricos e DEQ simtrico Para a barra SD o DMF o dobro daquele obtido com essa metade
I: momento de inrcia
Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitao qualquer, para facilitar o clculo pode-se resolv-la da seguinte maneira:
1. Decompe o carregamento em parcelas simtrica e anti-simtrica2. Resolve metade da estrutura com o carregamento simtrico (Para 2. Resolve metade da estrutura com o carregamento simtrico (Para a outra metade: DMF e DEN so simtricos e DEQ anti-simtrico)3. Resolve metade da estrutura com o carregamento anti-simtrico (Para a outra metade: DMF e DEN so anti-simtricos e DEQ simtrico)4. Os diagramas solicitantes finais so obtidos somando os 4. Os diagramas solicitantes finais so obtidos somando os diagramas dos itens 2 e 3.
VANTAGEM: apesar de ter que resolver a estrutura para 2 carregamentos diferentes, a estrutura a ser resolvida a metade da original, alm de haver reduo do g.
a
P
T
a
P/2 P/2
Exemplos:
= +
a
P/2 P/2
Carregamento simtrico
Carregamento anti-simtrico
b c d
T
d q1
q2
b c
a
b c
T/2 T/2
b c
= + a
b c
T/2 T/2
b c
= +
q1/2 q2/2 q2/2
q1/2 q1 q1/2 q2/2 q2/2
q1/2
a a b c
c c c c
d d q1
q2
d d q1/2
q2/2
q1/2
d d q1/2
q2/2
q1/2
q2/2 = +
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