Módulo 25 Primeira Lei de Newton Introdução

View
1.698
Download
13
Category

Documents

Preview:

Citation preview

Mdulo 26. Segunda Lei de Newton 3. Unidades de Medida

1 / 2Mdulo 26. Segunda Lei de Newton

A unidade de massa no Sistema Internacional (SI) o quilograma (kg), padro definid o por um cilindro de platina conservado no museu de Svres, em Paris. Podemos definir a unidade de fora newton (N) pela segunda lei de Newton, relacion ando-a com as unidades internacionais de massa e acelerao. Observe: unidade de massa u(m) = kg unidade de acelerao u(F) = u(m) . u Ou seja:

Resumo Segunda lei de Newton

e : mesma direo e sentido Massa Medida da inrcia. Exerccios Resolvidos 01. O diagrama a seguir mostra a variao do mdulo da acelerao de duas partculas A e B m funo da intensidade da fora resultante (FR) sobre elas. Calcule a massa de cada partcula. Resoluo

02. O esquema abaixo mostra uma partcula de massa 2,0 kg sujeita ao exclusiva de du as foras perpendiculares entre si, cujos mdulos so: F1 = 6,0 N e F2 = 8,0 N. a) Qual o mdulo da acelerao da partcula? b) Orientando-se convenientemente tais foras, qual o mdulo da maior acelerao que a r esultante dessas foras poderia produzir na partcula?

Resoluo

b) Com tais foras, a maior acelerao que a partcula pode adquirir ocorre quando as fo ras se orientam na mesma direo e sentido, ou seja, quando a resultante das foras for mxima: FR = F1 + F2. Logo: FR = 6,0 N + 8,0 N = 14 N (mxima)

1 2

Mdulo 26. Segunda Lei de Newton nte Introduo

2 / 2Mdulo 27. Componentes da Fora Result

Sabemos que a acelerao () de um mvel pode ser definida pela composio vetorial da acel erao tangencial () com a acelerao centrpeta (), isto : Substituindo-se essa relao na expresso da segunda lei de Newton, temos: Ao produto denominamos componente tangencial () da fora resultante, e ao produto , a componente centrpeta () dessa fora. Isso significa que podemos aplicar o Princpio Fundamental em duas direes, separadam ente: na direo tangente trajetria e na direo normal trajetria . Ou seja:

1. Resultante Tangencial Nos movimentos retilneos acelerados ou retardados, a fora resultante tangencial (m esma direo da velocidade), j que esses movimentos possuem apenas acelerao tangencial . Ou seja:

onde (mdulo da acelerao escalar). No MRUV : Quando o movimento acelerado, a acelerao e a resultante tangenciais se orientam no mesmo sentido da velocidade do mvel; quando retardado, orientam-se em sentido op osto ao da velocidade do mvel.

2. Resultante Centrpeta Nos movimentos curvilneos uniformes, a fora resultante centrpeta (perpendicular vel ocidade), pois nesses movimentos h apenas acelerao centrpeta . Ou seja:

onde aC = v2/R (R: raio instantneo da curva).

No MCU, os vetores fora resultante e acelerao centrpeta mantm-se perpendiculares vel cidade do mvel, ambos com sentido voltado para o centro da curva.

1 2

Mdulo 27. Componentes da Fora Resultante Resultante Resumo Resultante Tangencial

1 / 2Mdulo 27. Componentes da For

: mesmo sentido de , quando acelerado; sentido oposto ao de , quando retardado. Resultante Centrpeta

: perpendiculares a e orientados para o centro da curva.

Exerccios Resolvidos 01. Um veculo de massa 1 200 kg freia bruscamente quando se movia a 90 km/h (ou s eja, 25 m/s) numa pista horizontal. Devido ao travamento de suas rodas, nota-se que o carro desliza retilineamente por 62,5 m at parar. Admitindo-se que sua desa celerao seja constante, calcule a intensidade da fora de atrito responsvel pela sua frenagem. Resoluo Usando-se a equao de Torricelli, vem:

Como o movimento retilneo retardado, a resultante das foras (atrito) tangencial. L ogo, pela segunda lei de Newton, temos:

02. A figura a seguir mostra uma mesa horizontal lisa (vista de cima) sobre a qu al uma pequena esfera de massa 0,50 kg, presa a um barbante horizontal, executa movimento uniforme numa t rajetria circular de raio igual a 1,0 m.

a) Faa um esquema, desenhando numa posio qualquer da trajetria circular os vetores v elocidade () , acelerao () e fora resultante () pertinentes esfera. b) Determine a intensidade da fora de trao que o barbante exerce na esfera, conside rando que ela se mova a 2,0 m/s. Resoluo a) : tangente trajetria : acelerao centrpeta : resultante centrpeta

b) A fora resultante centrpeta desse MCU a fora de trao do barbante. Logo, atravs d egunda lei de Newton, temos:

1 2

Mdulo 27. Componentes da Fora Resultante ia do Ar 1. Fora Peso

2 / 2Mdulo 28. Fora Peso e Resist

Denomina-se fora peso () a fora de campo gravitacional que a Terra exerce sobre qu alquer objeto colocado prximo sua superfcie. Ela tem direo vertical e sentido para b aixo. Quando a fora peso a nica fora presente em um corpo (numa queda livre, por exemplo) , este adquire uma acelerao vertical (para baixo) denominada acelerao da gravidade ( g). Logo, pela relao causa-efeito contida na segunda lei de Newton, podemos obter a intensidade P da fora peso sobre um corpo de massa m , assim:

Por facilidade de clculo, usual adotarmos o valor 10 m/s2 para a intensidade da a celerao gravitacional (g) prximo da superfcie da Terra. Assim, um corpo de massa m k g teria peso P = m.10 N. Por exemplo, um corpo de massa 2,0 kg pesa 20 N. 2. Massa e Peso

importante no confundirmos os conceitos de massa e peso. A massa uma grandeza esc alar que representa a medida da inrcia de um corpo, sendo quilograma (kg) a sua u nidade no SI. O peso uma grandeza vetorial que representa a fora gravitacional qu e a Terra exerce sobre um corpo, sendo newton (N) a sua unidade no SI. No cotidiano, comum observarmos uma pessoa conjugando o verbo pesar quando se refe re ao ato de medir sua massa (em kg) atravs de uma balana. Esse erro conceitual, d ifundido h muito tempo, pode ser explicado por dois motivos: a) as balanas comuns avaliam a massa de uma pessoa atravs do peso aparente da pess oa (m = P/g), ou seja, normalmente so dinammetros (medidores de fora) adaptados com o balana; b) uma antiga unidade de fora (hoje em desuso) denominada quilograma-fora (kgf), a ssociava o valor numrico do peso de um corpo na Terra ao valor numrico de sua mass a, ou seja, um corpo de massa 1 kg pesava na Terra 1 kgf. Dessa forma, uma pesso a de massa 60 kg teria peso de 60 kgf, fato que permitia, facilmente, a confuso v erbal entre massa e peso. Lembrando que a acelerao da gravidade uma caracterstica do astro, devemos salientar que o peso de um corpo depende do local, embora sua massa no. Isto , ao transferi rmos um objeto da Terra para a superfcie de um outro astro (planeta ou Lua), o pe so do objeto l depender tanto de sua massa (constante) quanto da gravidade local ( varivel), ou seja: P = m . glocal . 3. Resistncia do Ar Quando um corpo extenso se movimenta no ar (por exemplo, um paraquedista despenc ando, ou um carro numa estrada), este sofre a ao de uma fora de oposio ao movimento d enominada resistncia do ar.

Essa fora, com sentido oposto ao da velocidade do corpo, tem intensidade proporci onal ao quadrado da velocidade do mesmo. Ou seja:

1 2 3

Mdulo 28. Fora Peso e Resistncia do Ar ia do Ar

1 / 3Mdulo 28. Fora Peso e Resist

onde k a constante de proporo, tambm conhecida como coeficiente aerodinmico do corpo , sendo dependente do formato do corpo e da rea de sua maior seo transversal (seo per pendicular ao movimento). 4. Velocidade Limite de Queda Vertical no Ar

Para um corpo extenso de massa m, solto em queda livre no vcuo (ausncia de ar), su a velocidade aumenta continuamente, pois a nica fora que atua no corpo o seu peso, que lhe provoca uma acelerao tangencial aT = g, suposta constante. Mas, levando-s e em conta a resistncia do ar, sua acelerao tangencial torna-se decrescente, no dec orrer da descida, at se anular, ou seja, a intensidade da velocidade do corpo cre sce at um valor limite. Podemos demonstrar isso atravs da segunda lei de Newton, Observe: FR = m a T P RAR = m a T m g k V2 = m

(se v aumenta, aT diminui)

Assim, a velocidade atinge um limite (valor mximo) quando aT se anula, ou seja:

Em outras palavras, enquanto o peso do corpo for maior que a resistncia do ar, te remos uma acelerao no mesmo sentido da velocidade, o que acarreta o seu aumento. M as, aumentando-se a velocidade, aumenta a resistncia do ar, e haver um instante na queda em que teremos a resistncia do ar com a mesma intensidade do peso. A parti r desse instante, o corpo fica em equilbrio dinmico (MRU), ou seja, sem acelerao (aT = 0).

Observe o grfico comparativo abaixo: Observaes a) Estamos, na anlise acima, desprezando a fora de empuxo do ar.

1 2 3

Mdulo 28. Fora Peso e Resistncia do Ar ia do Ar

b) Para corpos diminutos e com baixa velocidade de trfego num fluido (lquido ou gs) , a fora de resistncia do fluido proporcional velocidade, ou seja: R = k .v.

a T

2 / 3Mdulo 28. Fora Peso e Resist

Resumo Fora Peso

Resistncia do ar

k : depende do corpo extenso Exerccios Resolvidos 01. Uma pedra lunar de massa 2,0 kg, encontrada por astronautas americanos do pr ojeto Apolo, foi transportada para a Terra. Admitindo-se a acelerao da gravidade t errestre com intensidade gT = 10 m/s2, e a lunar, com intensidade gL = 1,6 m/s2, explique o que ocorreu com a massa e o peso da pedra, devido a essa mudana de lu gar Resoluo a) A massa da pedra no depende do local. Assim, ao chegar na Terra, a sua massa c ontinua a mesma (2,0 kg). b) O peso da pedra, aqui na Terra, maior (a acelerao da gravidade terrestre mais i ntensa). Isto :

Nota-se que o peso da pedra aqui na Terra mais de seis vezes o valor de seu peso l na Lua. Ou seja, o peso da pedra aumentou. 02. Um carro acelera numa estrada retilnea e horizontal, aumentando sua velocidad e de 60 km/h para 90 km/h. Nesse evento, qual o aumento percentual (%) ocorrido na intensidade da fora de resistncia que o ar exerce sobre o carro? Resoluo A fora de resistncia do ar diretamente proporcional ao quadrado da velocidade do c arro, ou seja: Rar = k v2 Logo, a razo entre as intensidades da fora de resistncia posterior (R2) e anterior (R1) dada por: Portanto, houve um aumento de 125 % na intensidade da fora de resistncia do ar sob re o carro. 03. Uma bola de massa 0,50 kg solta de uma grande altura e cai, verticalmente, s ob a ao exclusiva da fora peso e da fora de resistncia do ar. Admitindo-se g = 10 m/s 2 sabendo-se que a resistncia do ar sobre a bola tem intensidade (em newtons) R = 0,20.v2, onde v a velocidade (em m/s) de queda da bola, calcule: a) a intensidade do peso da bola; b) a velocidade limite de queda da bola.

Resoluo a)

1 2 3

Mdulo 28. Fora Peso e Resistncia do Ar wton 1. Ao e Reao

3 / 3Mdulo 29. Terceira Lei de Ne

Sabemos que fora fruto da interao, ou seja, uma fora atuante em um corpo representa a ao que este corpo recebe de um outro corpo. Isaac Newton percebeu que toda ao estava associada a uma reao, de forma que, numa in terao, enquanto o primeiro corpo exerce fora sobre o outro, tambm o segundo exerce f ora sobre o primeiro. Assim, em toda interao teramos o nascimento de um par de foras: o par ao-reao. 2. Lei da Ao e Reao O Princpio da Ao e Reao constitui a Terceira Lei de Newton e pode ser enunciado assim : Se um corpo A aplicar uma fora sobre um corpo B, receber deste uma fora de mesma in tensidade, mesma direo e sentido oposto fora que aplicou em B. Podemos observar essa troca de foras entre dois corpos, por exemplo, na coliso aba ixo.

A fora que A exerce em B () e a correspondente fora que B exerce em A () constitue m o par ao-reao dessa interao de contato (coliso). Essas foras possuem mesma intens , mesma direo e sentidos opostos. Ou seja:

Ao aplicarmos a terceira lei de Newton, no podemos esquecer que as foras de ao e reao

a) esto associadas a uma nica interao, ou seja, correspondem s foras trocadas entre a enas dois corpos;

b) tm sempre a mesma natureza (ambas de contato ou ambas de campo), logo, possuem o mesmo nome (o nome da interao); c) atuam sempre em corpos diferentes, logo, no se equilibram. 3. Exemplos de Interaes Observe a seguir os pares ao-reao de algumas bsicas interaes de campo e de contato. A . Interaes de campo

B . Interaes de contato

Resumo Terceira Lei de Newton Para cada ao h sempre uma reao oposta e de igual intensidade. Exerccios Resolvidos 01. Uma bola de peso igual a 1 N encontra-se em repouso, suspensa atravs de um fi o ao teto de uma sala. Considere que ela esteja sujeita a ao exclusiva de seu peso () e da fora de trao do fio (), como ilustra o esquema ao lado.

1 2 3

Mdulo 29. Terceira Lei de Newton wton a) Qual o mdulo da fora de trao? b) As foras e constituem um par ao-reao? Resoluo

1 / 3Mdulo 29. Terceira Lei de Ne

a) Pelo fato da bola estar em equilbrio esttico (repouso), temos:

b) Embora e , atuantes na bola, tenham a mesma intensidade (1 N), a mesma direo (v ertical) e sentido opostos, as foras peso e trao no contituem um par ao-reao, pelo nte motivo fundamental: as foras de ao e reao nunca atuam no mesmo corpo. Outro motiv o: ao e reao devem ser ambas de campo ou ambas de contato, o que no ocorre com as for s peso (de campo) e trao (de contato). Observao Na situao apresentada, a bola sofre duas interaes: uma de campo gravitacional com a Terra e uma de contato com o fio. O esquema ao lado ilustra, simplificadamente, os pares ao-reao dessas duas interaes.

02. A figura a seguir mostra uma caixa de massa 50 kg sendo erguida verticalment e, com acelerao ascendente de 1,0 m/s2, por um elevador de um prdio. Adote g = 10 m /s2.

a) Quais as intensidades das foras atu- antes na caixa durante sua elevao ? b) Qual a intensidade da fora exercida pela caixa sobre o piso do elevador? Resoluo a) As foras que atuam na caixa so: o peso e a fora normal, devido ao contato com o piso do elevador. Primeiramente, calculemos a intensidade do peso da caixa:

Aplicando-se a Segunda Lei de Newton na caixa, vem:

b) Pela Terceira Lei de Newton, a caixa interage com o piso do elevador trocando foras normais entre si. Ou seja, a fora que a caixa exerce no piso do elevador co nstitui a reao fora normal recebida por ela. Logo:

: ao do piso sobre a caixa. : reao da caixa sobre o piso.

1 2 3

Mdulo 29. Terceira Lei de Newton 1. Dinammetro de trao

2 / 3Mdulo 30. Dinammetro

Denominamos dinammetro de trao o instrumento utilizado para medir intensidade de fo ras de trao (puxo). Essencialmente, o dinammetro constitudo por um corpo elstico ( mente molas) que deformado pela ao da fora de trao que se pretende medir. Quando um corpo suspenso atravs de um dinammetro, este procura indicar a intensida de da fora de trao trocada entre ele e o corpo suspenso, de acordo com a lei da Ao e Reao.

Dependendo do estado cinemtico do corpo suspenso, o dinammetro pode indicar uma in tensidade de trao maior, menor ou igual ao peso (P) do corpo. Podemos observar tais possveis indicaes ao colocarmos esse conjunto no interior de um elevador vertical, como indica a figura a seguir. Se o elevador estiver em repouso ou em movimento uniforme (subindo ou descendo), o corpo suspenso, acompanhando esses estados do elevador, estar em equilbrio. Nes ses casos, a leitura no dinammetro (valor da trao) ser igual ao valor do peso do cor po suspenso.

Se o elevador possuir acelerao vertical () , a indicao do dinammetro poder ser maior ue o valor do peso do corpo (no caso da acelerao ser ascendente) ou menor que o va lor do peso do corpo (quando a acelerao for descendente), de acordo com a segunda lei de Newton. Isso ocorre independentemente do sentido de movimento do elevador .

2. Dinammetro de Compresso Denominamos dinammetro de compresso o instrumento utilizado para medir intensidade de fora normal (compresso). Nesse caso, o elemento elstico (mola) do aparelho ser c omprimido pela fora normal que se pretende medir.

1 2 3 4

Mdulo 30. Dinammetro 1 / 4Mdulo 30. Dinammetro

Quando um corpo apoiado sobre tal dinammetro, este procura indicar a intensidade da fora normal trocada entre ele e o corpo apoiado (ao e reao).

Analogamente ao que ocorreu no estudo anterior, a leitura deste dinammetro (valor da normal) pode ser maior, menor ou igual ao valor do peso do corpo apoiado. Is to depender do estado cinemtico do corpo. Observaes

A leitura dos dinammetros (valor da fora de trao ou da fora normal) , eventualmente enominada peso aparente do corpo que se encontra suspenso ou apoiado neles. Vulgarmente, tais dinammetros so conhecidos como balanas de mola, j que podem ter su as escalas mudadas para informar a massa de corpos (em equilbrio). Resumo Dinammetro Medidor de intensidade de fora normal ou trao. Exerccios Resolvidos 01. Num local onde g = 10 m/s2, um pacote de massa 2,0 kg encontra-se apoiado sobre um dinammetro (graduado em newtons), no interior de um elevador, como mostra a figura.

Determine a indicao do dinammetro nos seguintes casos: a) o elevador est em equilbrio; b) o elevador despenca em queda livre; c) o elevador sobe acelerado, com acelerao de 2,0 m/s2. Resoluo A indicao do dinammetro corresponde intensidade da fora normal trocada entre ele e o pacote. a) Com o sistema em equilbrio (repouso ou MRU), a fora normal tem a mesma intensid ade do peso do pacote. Ou seja:

1 2 3 4

Mdulo 30. Dinammetro 2 / 4Mdulo 30. Dinammetro

b) Com o sistema em queda livre , a nica fora atuante no pacote o seu peso. Logo, a indicao do dinammetro ser nula (pois no existe fora normal). Observa-se isso, quand aplicamos a Segunda Lei de Newton no pacote:

c) Aplicando-se o Princpio Fundamental da Dinmica no pacote, temos:

02. Um dinammetro est preso ao teto de um elevador, num local onde a acelerao da gra vidade vale 10 m/s2. Suspenso ao dinammetro, encontra-se um bloco de peso 10 N, e mbora o aparelho indique um peso aparente de 13 N.

a) Qual a acelerao do elevador? b) O elevador est subindo ou descendo? Resoluo

a) A indicao do dinammetro corresponde ao valor da fora de trao trocada entre ele e o bloco. Logo, aplicando-se o Princpio Fundamental da Dinmica no pacote, vem:

b) Como a acelerao do elevador orientada para cima, o elevador pode estar subindo em movimento acelerado ou descendo em movimento retardado.

1 2 3

Mdulo 30. Dinammetro 3 / 4Mdulo 31. Leis de Newton aplicadas em Sistem as (I) 1. Introduo Neste mdulo analisaremos, atravs das leis de Newton, o movimento retilneo de sistem as de blocos sobre superfcies horizontais isentas de atrito. O mtodo de anlise desses sistemas consiste, basicamente, nas seguintes regras: a) procuramos indicar em cada bloco todas as foras atuantes, salientando que as f oras trocadas internamente, entre dois blocos do sistema, constitui um par ao-reao, o u seja, possuem mesmas intensidades; b) no caso de deslizamentos em planos horizontais, as foras verticais se neutrali zam (equilbrio). Logo, se houver resultante de foras em cada bloco do sistema, est a ser uma fora horizontal (o que explica a existncia de uma acelerao horizontal); c) apliquemos a segunda lei de Newton em cada bloco, lembrando que cada um, devi do ao movimento em conjunto, possui a mesma acelerao. Em seguida, resolvemos o sis tema de equaes obtidas. 2. Exemplos de Sistemas A . Blocos comprimidos Consideremos um sistema formado por trs blocos (A, B e C), de massas mA = 3,0 kg , mB = 2,0 kg e mC = 1,0 kg , encostados entre si e apoiados sobre uma superfcie horizontal perfeitamente lisa. Empurrando-se o conjunto atravs de uma fora horizon tal F = 12 N, o sistema adquire uma acelerao horizontal , como ilustra a figura a seguir.

Determinemos, atravs do mtodo de anlise anteriormente exposto, as intensidades da a celerao do sistema e das foras internas de compresso trocadas pelos blocos. a) Indicao das foras atuantes:

b) Observando o equilbrio das foras verticais, identifiquemos a intensidade da res ultante horizontal em cada bloco:

c) Apliquemos a Segunda Lei de Newton em cada bloco e, a seguir, somemos o siste ma de equaes.

d) Retornemos s equaes originais, para que possamos obter as intensidades das foras de compresso trocadas entre os blocos.

1 2

Mdulo 31. Leis de Newton aplicadas em Sistemas (I) is de Newton aplicadas em Sistemas (I) B . Blocos tracionados

1 / 2Mdulo 31. Le

A figura a seguir mostra dois blocos A e B de massas iguais a 3,0 kg e 2,0 kg, r espectivamente, apoiados numa superfcie horizontal isenta de atritos. O fio que l iga A a B ideal, isto , de massa desprezvel e inextensvel. A fora horizontal , que p uxa o sistema, tem intensidade igual a 20 N.

Vamos obter, atravs do mtodo de anlise j exposto, as intensidades da acelerao do sist ma e das foras internas de trao trocadas pelos elementos do sistema. a) Indicao das foras atuantes:

b) Observando o equilbrio das foras verticais, identifiquemos a intensidade da res ultante horizontal em cada bloco:

c) Apliquemos a Segunda Lei de Newton em cada elemento:

Como o fio ideal Ou seja: T1 = T2 = T Devido a isso, podemos reescrever as equaes de A e B assim:

Somando-se as expresses acima, vem:

Logo,

d) Retornemos s equaes originais, para que possamos obter a intensidade da fora de t rao que o fio exerce nos blocos.

Observao final Nos dois exemplos de sistemas apresentados, um clculo rpido da acelerao pode ser fei to considerando o conjunto de blocos como sendo um nico corpo. Nessas condies, a fo ra externa passa a ser a fora resultante em tais sistemas, ou seja, podemos descar tar as foras internas de trao ou compresso trocadas entre os elementos.

1 2Mdulo 32. Leis de Newton aplicadas em Sistemas (II) 1 . Mquina de Atwood A figura abaixo representa a montagem realizada pelo fsico ingls Atwood, no sculo X VIII, para estudar corpos em queda.

Supondo que a roldana apresente massa desprezvel em relao s demais do sistema, temos os seguintes esquemas de foras atuantes, aps o sistema ser liberado:

Como o peso do bloco A maior que o do bloco B, o bloco A desce em movimento acel erado e o bloco B sobe em movimento acelerado, tal que = = . Assim, temos:

Somando-se as duas equaes acima, obtemos:

Aps a determinao da acelerao dos blocos, podemos determinar o valor da trao no fio q os une , por meio da relao: conforme utilizemos a equao da fora resultante dos blocos A ou B. Finalmente, pelo estado de equilbrio da roldana (de peso desprezvel), podemos conc luir que o valor da trao no fio que a segura (T1) o dobro da trao T. Aplicao numrica Na figura abaixo, determinar as aceleraes de cada um dos blocos A e B, de massas 6

PA PB = (mA + mB) .g (mA - mB) g = (mA + mB)

Bloco A FR(A) = PA T = mA Bloco B FR(B) = T PB = mB

,0 kg e 4,0 kg, respectivamente, e as traes nos fios 1 e 2. Adote g = 10 m/s2. Resoluo De acordo com a teoria exposta, podemos escrever:

A trao no fio 1 dada por: T1 = mA . (g )

1 2

Mdulo 32. Leis de Newton aplicadas em Sistemas (II) is de Newton aplicadas em Sistemas (II) A trao no fio 2 dada por:

1 / 2Mdulo 32. Le

2 . Sistema de Blocos Horizontal - vertical A figura abaixo apresenta um bloco A apoiado numa superfcie horizontal perfeitame nte lisa e ligado, atravs de um fio, a um bloco B, que se encontra dependurado.

Devido inexistncia de atrito entre o bloco A e o plano horizontal, podemos afirma r que, qualquer que seja a massa do bloco B, os blocos entraro em movimento acele rado, sendo a acelerao de mdulo igual para os dois blocos. As figuras abaixo apresentam os diagramas das foras atuantes nos dois blocos:

e, de acordo com as figuras acima, as equaes para os dois blocos so as seguintes:

Somando as duas equaes correspondentes s foras resultantes, temos:

A trao no fio que une os dois blocos dada por:

Como exemplo numrico, consideremos mA = 8,0 kg , mB = 2,0 kg e g = 10 m/s2. Nesta s condies, temos: a)

Leitura Complementar:

1 2

Mdulo 32. Leis de Newton aplicadas em Sistemas (II) ano Inclinado Introduo

2 / 2Mdulo 33. Pl

Quando soltamos um bloco sobre um plano inclinado liso, notamos que este entra e m movimento, descendo a rampa de forma acelerada. Isso ocorre devido s foras atuan tes no bloco (peso e normal) produzirem uma fora resultante tangencial ao plano, como ilustra a figura abaixo.

Componentes do Peso Para simplificar o estudo de um deslizamento ao longo de um plano inclinado, usu al decompormos a fora peso em duas parcelas: I. Componente tangencial ao plano (), que induz o bloco a descer a rampa; II. Componente normal ao plano (), responsvel por comprimir o bloco contra a ramp a.

Por geometria, nota-se que o ngulo entre a fora peso e sua componente normal (em destaque na figura anterior) igual ao ngulo de inclin ao do plano () com a horizontal. A partir disso, podemos exprimir as intensidades das componentes do peso do bloc

o assim: e Observando, agora, o deslizamento do bloco na rampa lisa, sob a ao das componentes de seu peso e da fora normal, conclumos que a fora normal do plano () tem o papel de neutralizar a ao de , enquanto corresponde fora resultante, respo nsvel pela acelerao do bloco.

Se utilizarmos a 2a lei de Newton, poderemos obter a intensidade da acelerao tange ncial (aT) de deslizamento do bloco sobre a rampa lisa.

Observe que tal acelerao independe da massa do bloco (fenmeno anlogo queda livre ver tical).

1 2

Mdulo 33. Plano Inclinado Resumo Componentes do Peso

Exerccios Resolvidos 01. Um bloco de peso 10 N desliza, a partir do repouso, quando solto sobre um pl ano inclinado de com a horizontal, tal que sen = 0,60 e cos = 0,80 . Despreze qu alquer atrito e adote g = 10 m/s2. a) Qual a intensidade da fora normal que o plano exerce sobre o bloco? b) Qual o mdulo da acelerao de deslizamento do bloco? c) Quanto tempo o bloco leva para deslizar os primeiros 3,0 m de rampa?

sen = m

FR = m

aT aT

1 / 2Mdulo 33. Plano Inclinado

Resoluo

b) Pela 2a lei de Newton, temos:

c) Considerando a acelerao escalar desse MUV com valor a = aT = 6,0 m/s2, vem:

3,0 = 02. Um bloco A de massa 2,0 kg, que desliza sem atrito sobre um plano inclinado de 30 com a horizontal, est ligado atravs de um fio, que passa por uma polia, a um bloco B de mesma massa, que desliza sobre um plano horizontal liso.

Sendo 10 m/s2 o mdulo da acelerao da gravidade local e considerando ideais a polia e o fio, pede-se: a) o mdulo da acelerao do sistema; b) o mdulo da fora de trao no fio. Resoluo a) Apliquemos a 2a lei de Newton nos blocos.

Resolvendo o sistema de equaes, por substituio, temos:

T = 2

2,5

b) T = 2

10 = 4

a a

10 (2

a) = 2

mg sen = m

P sen = m

N = 10

0,80

a) N = P

cos

aT aT

1 2

Mdulo 33. Plano Inclinado 1. Lei de Hooke

2 / 2Mdulo 34. Fora Elstica

Consideremos uma mola vertical presa em sua extremidade superior, conforme mostr a a figura ao lado. Ao aplicarmos uma fora de intensidade F em sua extremidade li vre, essa mola sofrer uma deformao x , que representa a variao ocorrida em seu compri mento (x = l - l0 ).

Essa deformao denominada elstica quando, retirada a fora , a mola retorna ao seu com primento original (l0 ).

Robert Hooke (1635-1703), cientista ingls, verificou experimentalmente que, em re gime de deformaes elsticas, a intensidade da fora aplicada mola diretamente proporc onal deformao produzida.

Isto , se duplicarmos a intensidade da fora aplicada mola, sua deformao dobrar, e as im por diante enquanto a deformao for elstica. Podemos sintetizar a lei de Hooke pela seguinte expresso:

onde k uma constante de proporcionalidade caracterstica da mola, chamada constant e elstica da mola. Sua unidade no SI newton por metro (N/m). Podemos obter a constante elstica (k) de uma mola elstica atravs da declividade (tg ) da reta de seu grfico fora x deformao, como indicado abaixo. Convm lembrar que, no processo de deformao, a mola sempre estar sujeita a ao de duas oras (uma em cada extremidade), sendo de mesma intensidade (k x) quando sua massa f or desprezvel (mola ideal).

2. Fora Elstica Quando um corpo est preso a uma mola deformada, a fora de contato que a mola exerc e nele chama-se fora elstica.

Pelo princpio da ao-reao, as foras trocadas entre o corpo e a mola so de mesma inten ade. Logo, a intensidade da fora elstica ser dada, de acordo com a lei de Hooke, po r:

sendo k a constante elstica da mola e x sua deformao instantnea.

A fora elstica sobre um corpo pode estar orientada no sentido de puxar (mola estic ada) ou de empurrar (mola comprimida).

Resumo Fora Elstica

1 2

Mdulo 34. Fora Elstica Introduo

1 / 2Mdulo 35. Fora de Atrito Dinmico

Quando lanamos um corpo sobre uma mesa comum horizontal, freqente observarmos que o corpo escorrega em movimento retardado, podendo at parar aps percorrer uma certa distncia. Isso significa que houve uma resistncia ao seu movimento. Essa fora de resistncia ao seu deslizamento, exercida pela mesa sobre o corpo, den ominada fora de atrito dinmico (), sendo motivada pelas rugosidades presentes nas superfcies de contato dos slidos (corpo e mesa).

Tal fora de atrito paralela s superfcies em contato e se ope ao escorregamento relat ivo entre elas. Convm lembrar que, nessa interao de contato, as superfcies rugosas (do corpo e da me sa) sempre trocam foras de atrito de mesma intensidade (ao e reao), como ilustra a fi gura a seguir.

: fora de atrito atuante no corpo. : fora de atrito atuante na mesa. Atrito Dinmico Experimentalmente, deduz-se que a intensidade da fora de atrito dinmico (fa) depen de basicamente do grau de rugosidade das superfcies em contato e da intensidade d a fora normal (N) de compresso entre elas, sendo portanto expressa assim:

em que , denominado coeficiente de atrito dinmico (indica o grau de rugosidade), depende da natureza dos slidos em contato e do estado de polimento ou lubrificao de

suas superfcies. O coeficiente no possui unidades, sendo geralmente um nmero menor que 1 ( < 1) para a maioria dos casos de pares de materiais em contato. Nota-se, pela expresso acima, que quanto mais comprimidas estiverem as superfcies em contato (maior fora normal), mais intensa ser a fora de atrito de oposio ao desliz amento entre elas. Para o deslizamento usual de um bloco sobre uma superfcie horizontal, a intensida de da fora normal coincide com o valor do peso do bloco (N = P). Nesse caso, a in tensidade da fora de atrito dinmico vale: fa = P.

Para um deslizamento simples de um bloco sobre um plano inclinado de com a horiz ontal, a fora normal tem

1 2

Mdulo 35. Fora de Atrito Dinmico Introduo

1 / 2Mdulo 36. Fora de Atrito Esttico

Quando tentamos retirar um corpo do repouso, empurrando-o ou puxando-o sobre um piso horizontal, notamos que nossos esforos no necessariamente colocam o corpo em deslizamento. Isso significa que h uma resistncia ao escorregamento atuando sobre o corpo. Essa fora de resistncia que impede seu deslizamento, exercida pelo piso sobre o co rpo, denominada fora de atrito esttico ().

Tal fora de atrito paralela s superfcies em contato e se ope tendncia de escorrega to relativo entre elas. Convm lembrar que, nessa interao de contato, as superfcies rugosas (do corpo e do pi so) sempre trocam foras de atrito de mesma intensidade (ao e reao). Isso nos permite compreender o papel da fora de atrito esttico na produo de certos movimentos. Observ e os exemplos a seguir. Uma pessoa andando, sem que seu p patine no piso, tem seu movimento propiciado pe la fora de atrito esttico que seu p troca com o piso.

As rodas motrizes de um carro trocam foras de atrito esttico com o asfalto, quando no patinam, permitindo assim a arrancada do veculo.

intensidade igual da componente normal do peso do bloco (N = P = P cos

cos ). Assim: fa

Um carrinho posto em movimento quando se puxa um bloco depositado sobre ele. No h avendo escorregamento do bloco sobre o carrinho, a troca de foras de atrito esttic o entre eles permite que se movimentem em conjunto sobre o solo.

Podemos concluir, a partir de tais exemplos, que a fora de atrito esttico no necess ariamente uma fora contrria ao movimento, mas sempre de oposio ao escorregamento rela ivo entre os slidos em contato. 2. Atrito Esttico Mximo Experimentalmente, nota-se que a intensidade da fora de atrito esttico sobre um co rpo pode variar, dependendo de sua maior ou menor tendncia de escorregamento sobr e a superfcie em que se apia. Por exemplo, um bloco depositado sobre um plano horizontal no sofre desta ao de atr ito esttico, pois no h tendncia do bloco deslizar sobre o plano. Ou seja: fa = 0.

1 2 3

Mdulo 36. Fora de Atrito Esttico

1 / 3Introduo

Neste mdulo, abordaremos as foras envolvidas nos movimentos circulares, especialme nte no MCU.

J sabemos que nos movimentos circulares uniformes a fora resultante centrpeta , poi s esta deve produzir a acelerao centrpeta necessria para alterar a direo da velocidad . Recordando a 2a lei de Newton, temos:

onde (R: raio do trajeto circular). Convm lembrar que, no movimento circular uniforme, os vetores fora resultante () e acelerao centrpeta () possuem mdulos constantes e orientam-se perpendiculares veloc idade do mvel, ambos com sentido voltado para o centro da curva.

2. Aplicaes Usuais Vamos agora analisar alguns movimentos uniformes sendo realizados numa trajetria circular horizontal. A . Corpo Girado por um Fio

Considere um corpo de massa m, amarrado a um fio ideal, efetuando dois tipos de MCU com velocidade escalar v e raio R: um que se realiza sobre um plano horizont al liso e outro denominado pndulo cnico, ambos sem a considerao da resistncia do ar. Observe-os atravs das figuras a seguir.

Na figura (1), a resultante centrpeta (horizontal) corresponde fora de trao do fio s obre o corpo (as foras verticais, normal e peso, esto em equilbrio). Nesse caso:

Na figura (2), a resultante centrpeta do pndulo cnico horizontal e corresponde ao v etor soma das foras atuantes (trao e peso). Pelo tringulo retngulo de foras, temos:

1 2

Mdulo 37. Dinmica do Movimento Circular (I) Movimento Circular (I) Logo:

1 / 2Mdulo 37. Dinmica do

Como ac = v2/R, podemos obter o mdulo da velocidade desse movimento pendular assi m:

B . Carro Executando uma Curva Considere um carro de massa m descrevendo uma curva horizontal de raio R, com ve locidade escalar constante v, em dois tipos diferentes de pista: horizontal e so brelevada (inclinada), como indicam as figuras (1) e (2). Em ambas situaes, despre ze o efeito do ar.

Na figura (1), a resultante centrpeta (horizontal) corresponde fora de atrito estti co, que impede o seu escorregamento lateral. As foras verticais, normal e peso, e sto em equilbrio. Nesse caso:

Conhecendo-se o coeficiente de atrito esttico () entre pneus e pista, podemos pre ver a maior velocidade que o carro poderia executar tal curva, sem risco de derr apagem lateral, assim:

Na figura (2), possvel o carro executar a curva mesmo no existindo atrito lateral sobre si, pois as foras normal e peso, de modo anlogo s foras peso e trao no pndulo o, conseguem produzir uma resultante centrpeta no carro.

Ou seja:

A partir disso, podemos obter a velocidade que permite que o carro efetue a curv a, sem tendncia de derrapar.

C . Avio Efetuando uma Curva Pelas mesmas razes apresentadas nos estudos do pndulo cnico e do carro numa curva c om sobrelevao, podemos entender o motivo de um avio ter suas asas inclinadas no mom ento que efetua uma curva horizontal de raio R. A fora de sustentao aerodinmica ( ), normal s asas, e o peso ( ) do avio geram, por composio, a sua resultante centrpeta horizontal.

1 2

Mdulo 37. Dinmica do Movimento Circular (I) Movimento Circular (I)

2 / 2Mdulo 37. Dinmica do

Introduo Neste mdulo, abordaremos as foras envolvidas nos movimentos circulares, especialme nte no MCU.

2. Aplicaes Usuais Vamos agora analisar alguns movimentos uniformes sendo realizados numa trajetria circular horizontal. A . Corpo Girado por um Fio Considere um corpo de massa m, amarrado a um fio ideal, efetuando dois tipos de MCU com velocidade escalar v e raio R: um que se realiza sobre um plano horizont al liso e outro denominado pndulo cnico, ambos sem a considerao da resistncia do ar. Observe-os atravs das figuras a seguir.

Na figura (1), a resultante centrpeta (horizontal) corresponde fora de trao do fio s obre o corpo (as foras verticais, normal e peso, esto em equilbrio). Nesse caso:

Na figura (2), a resultante centrpeta do pndulo cnico horizontal e corresponde ao v etor soma das foras atuantes (trao e peso). Pelo tringulo retngulo de foras, temos:

1 2

Mdulo 37. Dinmica do Movimento Circular (I) Movimento Circular (I) Logo:

1 / 2Mdulo 37. Dinmica do

Como ac = v2/R, podemos obter o mdulo da velocidade desse movimento pendular assi m:

Na figura (1), a resultante centrpeta (horizontal) corresponde fora de atrito estti co, que impede o seu escorregamento lateral. As foras verticais, normal e peso, e sto em equilbrio. Nesse caso:

Conhecendo-se o coeficiente de atrito esttico () entre pneus e pista, podemos pre ver a maior velocidade que o carro poderia executar tal curva, sem risco de derr apagem lateral, assim:

Ou seja:

A partir disso, podemos obter a velocidade que permite que o carro efetue a curv a, sem tendncia de derrapar.

C . Avio Efetuando uma Curva

Pelas mesmas razes apresentadas nos estudos do pndulo cnico e do carro numa curva c om sobrelevao, podemos entender o motivo de um avio ter suas asas inclinadas no mom ento que efetua uma curva horizontal de raio R. A fora de sustentao aerodinmica ( ), normal s asas, e o peso ( ) do avio geram, por composio, a sua resultante centrpeta horizontal.

1 2

Mdulo 37. Dinmica do Movimento Circular (I) Movimento Circular (II) Introduo

2 / 2Mdulo 38. Dinmica do

Neste mdulo, analisaremos as foras envolvidas nos movimentos circulares que ocorre m num plano vertical, principalmente nos pontos mais altos e mais baixos desses movimentos. 2. Movimentos em Curvas Verticais A . Pndulo Simples Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio ideal, oscilando no plano ver tical sob a ao da gravidade e livre dos efeitos do ar.

Ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetria circular de raio R, animado com velocidade horizontal , o corpo pendular deve possuir uma fora resultante centrpeta orientada para cima. Logo, nesse ponto, a fora de trao do fio sobre o corpo deve ser mais intensa que o valor de seu peso para gerar essa resultante. O valor dessa trao pode ser deduzid o assim:

B . Carro Executando Curvas Verticais

T mg = m

FR = T P = m

Suponha um carro de massa m , com velocidade escalar constante v, percorrendo uma estrada cujo perfil mostrado, em corte vertical, pe la figura a seguir. Despreze os efeitos do ar e considere g para o valor da grav idade local.

Ao passar pelo ponto A, onde a pista plana e horizontal, a fora normal exercida p ela estrada sobre o carro tem a mesma intensidade do peso do carro (equilbrio ver tical). Ou seja: NA = P = mg. No entanto, quando o carro passa por B, ponto mais baixo da depresso circular de raio R, a intensidade da fora normal sobre o carro deve superar o valor de seu pe so, de modo que se produza uma resultante centrpeta ascendente. Ou seja:

Em seqncia, quando o carro atinge o ponto C, pice da lombada circular de raio R, a fora normal sobre o carro tem valor inferior ao de seu peso, para que o carro ten ha uma resultante centrpeta descendente. Ou seja:

1 2

Mdulo 38. Dinmica do Movimento Circular (II) 1 / 2Mdulo 38. Dinmica do Movimento Circular (II) C . Globo da Morte Uma atrao muito popular nos circos o Globo da Morte, que consiste numa gaiola de for ma esfrica no interior da qual se movimenta uma pessoa pilotando uma motocicleta. O momento crucial desse nmero circence ocorre quando o piloto passa pelo topo do globo. Considere o conjunto (moto + piloto) com massa total m e admita g para o valor da gravidade local.

FR = P NC = m

FR = NB P = m

Quando a motocicleta atinge o ponto mais alto do globo, com velocidade escalar v , a intensidade da fora normal com que a superfcie interna do globo empurra a moto pode ser obtida assim:

A partir disso, podemos prever o mdulo da velocidade mnima que a motocicleta deve ter nesse ponto para no perder o contato com o interior do globo.

Vmn Nmn = 0 (iminncia de perda de contato)

Observe que essa velocidade crtica no depende da massa do conjunto. D . Gravidade Simulada em Naves Para ns aqui na Terra, a sensao de ter peso est associada presena da fora normal que recebemos no contato com pisos horizontais. Q uando em equilbrio: N = P = mg.

J no espao sideral, podemos evitar a flutuao de astronautas no interior de uma nave espacial criando uma gravidade aparente. Esta gravidade simulada pela rotao da nav e espacial, que obriga os astronautas a trocarem foras normais com ela. Suponha uma nave espacial, em forma de cilindro oco de raio R, mostrada abaixo, girando com velocidade angular constante () em torno de um eixo E.

Um astronauta de massa m, solidrio essa nave girante, deve receber do piso da nav e uma fora normal que funcione como sua resultante centrpeta. Ou seja:

N = m

mg = m

N + mg = m

FR = N + P = m

Para que o astronauta tivesse nessa nave a mesma sensao de peso que possui aqui na T erra, tal fora normal deveria ter a mesma intensidade de seu peso terrestre, isto : N = P = mg. A partir disso, podemos obter a velocidade angular da nave para qu e esta produza essa sensao.

1 2

Mdulo 38. Dinmica do Movimento Circular (II) 2 / 2Mdulo 39. Trabalho ( I) Introduo Em nosso cotidiano, normalmente associamos a palavra trabalho a um esforo, em rel ao a qualquer atividade fsica ou mental. Mas, em Fsica, o termo trabalho utilizado e m sentido muito particular: a realizao de trabalho est associada a uma transferncia de energia. A realizao de um trabalho exige a presena de uma fora, ou seja, o trabalho realizado por uma fora. Mas, para que uma fora realize trabalho, necessrio que ela aja sobre um corpo que se movimenta e apresente uma componente na direo do deslocamento do corpo. 1. Trabalho de uma Fora Constante Suponha que um mvel, ao longo de um deslocamento de mdulo d, sofra a ao de uma fora c onstante de intensidade F, inclinada de com o deslocamento.

O trabalho realizado por essa fora, nesse percurso, uma grandeza escalar definida por:

Pela definio acima, nota-se que o trabalho realizado por uma fora constante corresp onde ao trabalho de sua componente tangencial ao deslocamento (FT = F cos ). Isto : = (F cos ) d = FT d. No Sistema Internacional (SI), o trabalho medido em joule (J), sendo definido pe lo produto das unidades de fora (newton) e deslocamento (metro). Ou seja: J = N . m. Quando o trabalho de uma fora sobre um corpo for positivo (trabalho motor), este representa uma doao de energia ao corpo. Quando negativo (trabalho resistente), es te indica uma retirada de energia do corpo. 2. Clculos Usuais

N = m

g = m

Existem trs casos bsicos de clculo de trabalho de uma fora constante. I. Quando a fora atua no mesmo sentido do deslocamento do corpo:

II. Quando a fora atua em sentido oposto ao deslocamento do corpo:

III. Quando a fora for perpendicular ao deslocamento do corpo:

1 2

Mdulo 39. Trabalho (I) Introduo

1 / 2Mdulo 40. Trabalho (II)

Neste mdulo, vamos analisar o clculo de trabalho quando realizado por fora varivel, ou seja, fora que pode variar em direo, como tambm em intensidade. J sabemos que o trabalho de uma fora realizado por sua componente tangencial ao mo vimento. Por exemplo, um carro, em movimento acelerado numa curva, possui uma fo ra resultante () varivel. Essa fora possui duas componentes: a componente tangencia l () e a componente centrpeta (), como indica a figura abaixo.

Ao longo de um deslocamento linear d, nessa curva, mantm-se perpendicular ao movi mento. Logo, o trabalho realizado pela fora centrpeta nulo. Dessa forma, o trabalho da fora resultante realizado apenas por sua componente ta ngencial. Se o mdulo de for constante, temos:

1. Trabalho de uma Fora Tangencial Suponha que um mvel, ao longo de um deslocamento linear d, sofra a ao de uma fora ta ngencial , orientada a favor ou contra o seu movimento, como indicam as figuras a seguir. Se o mdulo de for constante em cada caso, teremos:

Quando tal fora tangencial apresentar intensidade varivel, ao longo do percurso li near d, podemos obter seu trabalho atravs da rea sob o grfico FT x s, que indica a sua variao com a posio (espao s) do mvel em sua trajetria. Ou seja:

Observao Se a fora tangencial operar em sentido oposto ao movimento, esta ser indicada no g rfico com valor algbrico negativo. Dessa forma, teremos a rea sob o grfico apresenta ndo um valor algbrico compatvel com o seu trabalho, ou seja, negativo.

1 2

Mdulo 40. Trabalho (II) Resumo Trabalho de uma fora tangencial

1 / 2Mdulo 40. Trabalho (II)

De mdulo varivel: (FT) = rea

Exerccios Resolvidos 01. Numa curva horizontal, um carro de massa 800 kg percorre um arco de 30 m de extenso, em movimento acelerado, com acelerao escalar constante a = 2,0 m/s2. Nesse percurso, qual o trabalho realizado pela resultante das foras atuantes no carro? Resoluo A fora resultante tem seu trabalho realizado por sua componente tangencial ao mov imento. A intensidade constante dessa fora tangencial obtida pela 2a lei de Newton, assim ,

Como o movimento acelerado, o sentido de o mesmo do movimento. Logo,

(FR) = 48 000J 02. Um carrinho, preso a uma mola ideal, oscila sobre um plano horizontal entre

(FR) = (FT) = FT

FT = 800

2,0

FT = m

aT = m

lal

d = 1600

De mdulo constante: (FT) = FT

as posies s = 0 e s = 0,50 m. A fora elstica sobre ele tem seu valor algbrico variand o com a posio do carrinho, de acordo com o grfico a seguir.

Determine o trabalho realizado pela fora elstica sobre o carrinho nos seguintes de slocamentos: a) de s = 0 at s = 0,25 m; b) de s = 0,25 m at s = 0,50 m. Resoluo Os trabalhos dessa fora varivel podem ser obtidos pelas reas (A1 e A2) sob o grfico dado.

1 2

Mdulo 40. Trabalho (II) 1. Introduo

2 / 2Mdulo 41. Teorema da Energia Cintica

A funo da grandeza trabalho medir a quantidade de energia transferida ou transform ada por uma fora. Dessa forma, quando colocamos um corpo em movimento a partir do repouso, estamos transferindo a ele, via trabalho executado, uma certa quantidade de energia. Es sa energia associada velocidade adquirida pelo corpo denominada energia cintica. 2. Energia Cintica Suponha que um corpo de massa m, inicialmente em repouso, seja posto em moviment o atravs de uma fora resultante , suposta constante. Aps um deslocamento d, o corpo atinge uma velocidade escalar v, como indica a figura a seguir.

Para medirmos a quantidade de energia cintica (Ec) cedida ao corpo, vamos calcula r o trabalho total realizado por , em funo da velocidade adquirida pelo corpo. Pela equao de Torricelli (MUV), vem:

V2 = 2

Como a = (2a lei de Newton),

Portanto:

No Sistema Internacional (SI), a unidade de medida das grandezas energia e traba lho o joule (J). 3. Teorema da Energia Cintica Considere um corpo de massa m submetido a uma fora resultante , suposta constante , ao longo de um deslocamento d, onde suas velocidades escalares, inicial e fina l, so v0 e v.

Pelas expresses de Torricelli (MUV) e 2a lei de Newton, associadas a esse movimen to, temos:

Observaes Embora a demonstrao acima tenha sido feita para uma fora resultante constante, o te orema da energia cintica vlido em situaes em que a fora resultante varivel.

1 2

Mdulo 41. Teorema da Energia Cintica 1 / 2Mdulo 41. Teorema da Energia Cintica Convm lembrar que o trabalho da fora resultante corresponde ao trabalho total, ou seja, soma dos trabalhos de todas as foras atuantes. Resumo Energia Cintica

Teorema da Energia Cintica

Exerccios Resolvidos 01. Numa pista de provas, um carro de massa 1,20 t parte do repouso e acelera at atingir a velocidade de 108 km/h. Qual a energia cintica adquirida pelo carro? Resoluo Usando as unidades do Sistema Internacional, temos: m = 1,20 t = 1 200 kg = 108 km/h = 30 m/s Logo:

02. Um livro de massa 0,50 kg lanado sobre uma mesa horizontal com velocidade ini cial de 2,0 m/s. Devido exclusivamente ao atrito com a mesa, o livro desliza 1,0 m at parar. Determine: a) o trabalho total realizado pela fora de atrito sobre o livro; b) a intensidade dessa fora de atrito. Resoluo a) A fora de atrito corresponde resultante das foras atuantes no livro. Logo, usan do o teorema da energia cintica nesse deslizamento, temos:

b) Lembrando que o trabalho do atrito dinmico negativo, pelo fato dessa fora ser o posta ao deslocamento, vem:

Ec = 540

103 J

Note que o trabalho negativo da fora de atrito nesse deslizamento representa a qu antidade de energia cintica que o atrito retirou do livro. Essa energia dissipada pelo atrito (1,0 J) , nesse processo, transformada em energia trmica (calor).

03. Um pequeno bloco de massa 2,0 kg encontra-se em repouso num ponto O. A fora r esultante que passa a agir no bloco, o faz mover-se ao longo de um eixo Ox. A in tensidade da fora resultante varia com a posio (x) do bloco, conforme o grfico. Qual o mdulo da velocidade atingida pelo bloco quando ele passa pela posio x = 2,0 m? Resoluo 1) A rea do tringulo, sob o grfico dado, representa o trabalho realizado pela fora r esultante nos 2,0 m iniciais de percurso do bloco. Ou seja:

2) Pelo teorema da energia cintica, temos:

1 2

Mdulo 41. Teorema da Energia Cintica 2 / 2Mdulo 42. Trabalho da Fora Pe so Introduo Presente em quase todas as situaes que envolvem corpos em movimento, a fora peso po de ou no realizar trabalho, dependendo da direo do deslocamento. Por exemplo, quando um corpo descreve um movimento horizontal, o peso no realiza trabalho por ser vertical e, portanto, perpendicular ao movimento.

O mesmo ocorre com um satlite numa rbita circular: a fora peso, por ser centrpeta, m antm-se perpendicular ao movimento, sem realizar trabalho.

1. Trabalho do Peso Nota-se o peso de um corpo usualmente trabalhando em deslocamentos verticais prxi mos da superfcie da Terra, ou seja, quando o corpo desce ou sobe uma certa altura H. Na descida, a fora peso possui o mesmo sentido do movimento. Logo, ela realiza um trabalho motor (positivo) que dado por:

J na subida, a fora peso se ope ao movimento, realizando assim um trabalho resisten te (negativo) e expresso por:

Observemos agora a descida de um corpo ao longo de uma rampa, desde seu topo (A) at sua base (B).

Nessa descida, o trabalho da fora peso realizado por sua componente tangencial ( Pt = P sen ) que atua no mesmo sentido do deslocamento (AB). Logo:

Concluso: o trabalho realizado nesse caso equivale ao ocorrido num deslocamento v ertical. Isso mostra que o trabalho do peso no depende da trajetria executada, mas sim do d esnvel (H) existente entre as posies inicial e final. A partir disso, podemos generalizar o trabalho da fora peso ao longo de uma traje tria qualquer, prxima superfcie da Terra, assim:

De A para B: De B para A:

(P) = P

Como geometricamente H = AB

(P) = Pt

AB = (P

sen )

sen ,

Mdulo 42. Trabalho da Fora Peso Resumo Trabalho da Fora Peso

1 / 2Mdulo 42. Trabalho da Fora Peso

(+) na descida (-) na subida

Exerccios Resolvidos 01. Dois corpos, R e S, possuem o mesmo peso e so abandonados de uma mesma altura H, como indica a figura.

Enquanto R desce em queda livre, o corpo S desliza sem atrito por um tobog. Compare os trabalhos realizados pelos pesos de cada corpo na descida at o solo. Resoluo J que o trabalho da fora peso no depende da trajetria, os trabalhos realizados pelos pesos (iguais) dos corpos, aps descerem o mesmo desnvel (H), so iguais. Isto : (P)R = (P)S = P H . 02. Uma bolinha de massa 0,20 kg solta, sem velocidade, de uma altura H = 80 m a cima do solo. Adote g = 10 m/s2. Devido resistncia do ar, a bolinha chega ao solo com velocidade de mdulo 20 m/s. Determine nessa descida at o solo o trabalho real izado sobre a bolinha: a) pela fora peso; b) pela fora de resistncia do ar. Resoluo

b) Usando o teorema da energia cintica, temos: (FR) = Ec

03. A figura a seguir mostra a descida pendular de uma pequena esfera de peso 10 N presa a um fio de 0,80 m de comprimento, aps ser solta (sem velocidade) do pon to A. Considere a esfera sob a ao exclusiva das foras peso e trao do fio.

a) (P) = P

H = mg

H = 0,20

Calcule: a) o trabalho da resultante das foras atuantes na esfera no trecho AB ; b) a energia cintica da esfera em B. Resoluo

(T) = 0 ( perpendicular ao movimento) (FR) = (P) + (T) = 8,0 J + 0

b) Pelo teorema da energia cintica, temos: (FR) = Ec 8,0 = Ec 0

1 2

Mdulo 42. Trabalho da Fora Peso ional 1. Trabalho para Levantar um Corpo

Quando elevamos um corpo de peso at uma certa altura H, como sugere a figura acim a, o trabalho realizado pela fora levantadora pode ser obtido atravs do teorema da energia cintica. Observe:

Como so nulas as velocidades inicial e final do corpo, o trabalho total ser nulo. Logo:

Note que o trabalho realizado pela fora levantadora no depende da trajetria descrit a e seria o mesmo se o corpo fosse erguido em movimento uniforme (Ec = 0). 2. Energia Potencial Gravitacional

+ (P

H) = 0

a) (P) = P

H = 10

0,80 (P) = 8,0 J

2 / 2Mdulo 43. Energia Potencial Gravitac

No levantamento de um corpo, sem que ocorra variao de sua energia cintica, o trabal ho realizado pelo operador representa a energia que est sendo doada ao corpo. Ess a energia, associada posio (altura) do corpo no campo gravitacional uniforme, deno mina-se energia potencial gravitacional (Epg). Sua medida dada pelo produto do p eso do corpo pela altura em que se posiciona. Isto :

Repare que tal energia potencial relativa a um nvel de referncia (nvel onde se adot a H = 0 e, portanto, Epg = 0). Assim, quanto mais alto o corpo estiver, mais energia potencial o corpo ter em re lao ao nvel de referncia adotado. Se o corpo estiver abaixo do nvel adotado, a sua en ergia potencial ser negativa (indicando que o corpo carece de energia para chegar ao nvel de referncia).

Quando se tratar de um corpo extenso (um poste, por exemplo) num campo de gravid ade uniforme, sua energia potencial gravitacional estar definida pela altura de s eu centro de massa.

Todo corpo homogneo e com massa uniformemente distribuda tem seu centro de massa ( CM) coincidente com seu centro geomtrico (baricentro).

1 2

Mdulo 43. Energia Potencial Gravitacional tencial Gravitacional Resumo Trabalho num levantamento

1 / 2Mdulo 43. Energia Po

Energia potencial gravitacional

Exerccios Resolvidos

01. Uma bibliotecria apanha um livro do cho e o deposita numa prateleira a 2,0 m d e altura do solo. Sabendo que o peso do livro vale 5,0 N e desconsiderando o seu tamanho, qual o mnimo trabalho, em joules, realizado pela bibliotecria nessa oper ao? Resoluo Supondo que no final do levantamento o livro no possua velocidade (Ec = 0), temos :

02. Uma bolinha de massa 0,10 kg, assimilvel a um ponto material, encontra-se sob re uma mesa horizontal de altura 0,80 m, como indica a figura.

Calcule, admitindo g = 10 m/s2, a energia potencial gravitacional da bolinha: a) em relao ao plano da mesa; b) em relao ao solo. Resoluo a) h = 0 Epg = 0

03. Um pilar de concreto de massa 1,0 t, deitado sobre o solo horizontal, posto verticalmente de p (como mostra a figura) usando-se um guindaste. Considere o cen tro de massa do pilar coincidente com o seu centro geomtrico (C).

Nessa operao, adotando g = 10 m/s2, quanto de energia potencial gravitacional foi adicionada ao pilar? Resoluo O acrscimo ocorrido na energia potencial do pilar de 1000 kg foi promovido pela v ariao de altura (elevao) do centro de massa do pilar. Isto , o seu centro (C) eleva-s e de h1 = 0,20 m (quando deitado) para h2 = 1,40 m (quando de p). Dessa forma, temos:

Epg = 12

103J =

Epg = m

H = 1000

(1,40 0,20)

b) Epg = m

= P

H = 5,0

2,0

H = 0,10

0,80

Mdulo 43. Energia Potencial Gravitacional tencial Elstica 1. Trabalho da Fora Elstica

2 / 2Mdulo 44. Energia Po

Considere um carrinho encostado em uma mola de constante elstica k e comprimida d e x, como mostra a figura a seguir. Ao ser liberado, a mola o impulsiona com uma fora elstica de intensidade inicial F = k x.

medida que o corpo se desloca, a deformao da mola diminui, o que acarreta uma dimi nuio da intensidade da fora elstica. Aps a mola ficar indeformada, o carrinho perder ontato com ela e, portanto, no sofrer mais a ao da mola (F = 0).

O grfico a seguir relata essa decadncia da intensidade da fora elstica, em funo da di tncia (d) percorrida pelo carrinho.

Nesse impulso, o trabalho total realizado pela fora elstica pode ser obtido pela re a do tringulo sob o grfico.

A expresso anterior define o trabalho motor da fora elstica sobre um corpo, at que a mola fique relaxada, esteja ela inicialmente comprimida ou tracionada.

Entretanto, se a mola estiver inicialmente relaxada e for comprimida ou traciona da por um corpo, a fora elstica atuar em oposio sua deformao (x), realizando um tr o resistente dado, analogamente, por:

2. Energia Potencial Elstica Quando uma mola deformada (comprimida ou tracionada) executa trabalho positivo s obre um corpo, isso representa a quantidade de energia que ela transfere ao corp o. Logo, toda mola deformada armazena uma energia, transfervel via trabalho da fo ra elstica, a qual denominamos energia potencial elstica (Epe). Sua medida prevista pelo trabalho total que a fora elstica pode realizar at a mola relaxar, ou pelo tr abalho que se executa quando se deforma uma mola inicialmente relaxada. Isto :

Repare que tal energia potencial nunca ser negativa, pois k > 0 e x2 0.

Mdulo 44. Energia Potencial Elstica Elstica No Sistema Internacional de unidades: constante elstica (k) N/m deformao (x) m energia (Epe) J Resumo Trabalho da fora elstica Energia potencial elstica

1 / 2Mdulo 44. Energia Potencial

Exerccios Resolvidos 01. Um bloco encontra-se em repouso sobre uma plataforma horizontal e preso, com o mostra a figura, a uma mola de massa desprezvel e indeformada, cuja constante e lstica vale 50 N/m. Quando a plataforma puxada rapidamente para baixo, o bloco ca i e estica a mola. Sabendo-se que o bloco desce 1,0 m at parar, qual o trabalho r ealizado pela fora elstica sobre ele na descida? Resoluo

A altura que o bloco ir descer corresponde deformao mxima que ser imposta mola, ou ja: x = H = 1,0 m. Como a fora elstica traciona o bloco contra a sua descida, seu trab alho resistente e dado por:

Observao Este trabalho negativo representa o quanto de energia que a mola extraiu do bloc o na queda para armazenar em si. 02. O carrinho de massa 2,0 kg disparado, a partir do repouso, por uma mola comp rimida de constante elstica 800 N/m, adquirindo a velocidade de 10 m/s ao abandonla. Despreze qualquer atrito.

a) Qual o trabalho realizado pela fora elstica nesse disparo? b) Qual a deformao que tinha a mola no incio do disparo? Resoluo

a) Pelo teorema da energia cintica, sabemos que a fora elstica (por ser a fora resul tante) tem seu trabalho dado pela energia cintica adquirida pelo carrinho. Ou sej a:

03. Qual a energia potencial armazenada em uma mola elstica quando distendida de 10 cm por uma fora de trao de 50 N? Resoluo

1 2

Mdulo 44. Energia Potencial Elstica temas Conservativos 1. Energia Mecnica

A energia mecnica (Em) de um corpo ou de um sistema de corpos corresponde soma da s energias cintica e potencial.

Como j vimos, qualquer que seja a forma de energia mecnica (cintica, potencial grav itacional ou potencial elstica), a sua unidade, no Sistema Internacional (SI), o joule (J). 2. Foras Conservativas Dizemos que as foras atuantes num corpo ou num sistema so conservativas quando seu s trabalhos no alteram a sua energia mecnica.

F = k 50 = k

x 0,10 k = 500 N/m

2 / 2Mdulo 45. Energia Mecnica Sis

lo: fora centrpeta, fora normal num deslizamento sobre uma pista fixa, etc. 3. Conservao da Energia Mecnica A energia mecnica de um sistema se mantm constante quando nele s operam foras do tip o conservativas: fora peso, fora elstica e foras cujo trabalho total nulo.

Como exemplo, analisemos o que ocorre com a energia mecnica de um corpo de massa m em queda livre (sem resistncia do ar), aps ser abandonado de uma altura H acima do solo, como indica a figura abaixo.

Observe que a energia mecnica inicial do corpo apenas a sua energia potencial ini cial (pois, sem velocidade, sua energia cintica inicial nula).

No final da queda, o corpo no possui mais energia potencial em relao ao solo. Logo, a sua energia mecnica corresponde energia cintica que ele adquiriu atravs do traba lho da fora peso. Pelo teorema da energia cintica, vem:

Concluso:

1 2

Mdulo 45. Energia Mecnica Sistemas Conservativos cnica Sistemas Conservativos

1 / 2Mdulo 45. Energia Me

Graficamente podemos mostrar que, medida que o corpo desce, a sua energia potenc ial diminui, pois vai se transformando em energia cintica, de forma que a soma de ssas energias (energia mecnica) permanece constante.

Observao

Um bom sinal de que vai ocorrer conservao de energia mecnica a ausncia de foras diss pativas (atrito dinmico e resistncia do ar) que normalmente transformam a energia mecnica (perdida) em energia trmica (calor). Resumo

Energia mecnica Em = Ec + Epg + Epe Sistemas conservativos

Exerccios Resolvidos 01. Um bloco de peso igual a 10 N, preso a uma mola de constante elstica 50 N/m e inicialmente indeformada, solto (sem velocidade) e cai verticalmente pela ao da g ravidade. Desprezando a resistncia do ar, responda: a) Esse conjunto massa-mola um sistema conservativo? b) Qual a altura que o corpo ir descer at parar? Resoluo a) Sim, pois as foras peso e elstica, nicas atuantes durante o movimento, so conserv ativas.

b) A altura que o bloco ir descer, at parar, corresponde deformao mxima que ser imp a mola, ou seja: x = h . Usando a conservao de energia em relao ao ponto mais baixo do movimento, vem:

02. O carrinho da montanha-russa da figura parte do repouso em A e atinge os pon tos B e C , sem perder contato com os trilhos.

Desprezando os possveis atritos e adotando g = 10 m/s2, obtenha o mdulo da velocidade do carrinho: a) no ponto B; b) no ponto C. Resoluo A fora peso e a fora normal, atuantes no carrinho, so conservativas. Logo: EmA = Em B = EmC. a)

1 2

Mdulo 45. Energia Mecnica Sistemas Conservativos cnica Sistemas Conservativos 1. Energia Mecnica

2 / 2Mdulo 46. Energia Me

A energia mecnica (Em) de um corpo ou de um sistema de corpos corresponde soma da s energias cintica e potencial.

Logo, so conservativas todas as foras cujo trabalho estiver associado com alguma e nergia potencial. Como exemplo disso, temos: a fora peso e a fora elstica (sempre c onservativas). Todas as foras que no realizarem trabalho ( = 0) tambm sero conservativas. Por exemp lo: fora centrpeta, fora normal num deslizamento sobre uma pista fixa, etc. 3. Conservao da Energia Mecnica A energia mecnica de um sistema se mantm constante quando nele s operam foras do tip o conservativas: fora peso, fora elstica e foras cujo trabalho total nulo.

Observe que a energia mecnica inicial do corpo apenas a sua energia potencial ini cial (pois, sem velocidade, sua energia cintica inicial nula).

Concluso:

1 2

Mdulo 46. Energia Mecnica Sistemas Conservativos cnica Sistemas Conservativos

1 / 2Mdulo 46. Energia Me

Observao

Resoluo a) Sim, pois as foras peso e elstica, nicas atuantes durante o movimento, so conserv ativas.

b) A altura que o bloco ir descer, at parar, corresponde deformao mxima que ser imp a mola, ou seja: x = h . Usando a conservao de energia em relao ao ponto mais baixo do movimento, vem:

02. O carrinho da montanha-russa da figura parte do repouso em A e atinge os pon tos B e C , sem perder contato com os trilhos.

1 2

Mdulo 46. Energia Mecnica Sistemas Conservativos cnica Sistemas No-Conservativos 1. Teorema da Energia Mecnica

2 / 2Mdulo 47. Energia Me

Em vrios movimentos do cotidiano podemos observar que a energia mecnica pode varia r. Por exemplo, quando erguemos um produto para deposit-lo sobre uma prateleira, est amos nesse levantamento aumentando a sua energia mecnica, por incrementar sua ene rgia potencial.

Por outro lado, quando um carro freia numa pista horizontal, h uma bvia diminuio de energia mecnica ocasionada pela reduo, por atrito, de energia cintica do carro. A energia mecnica (Em) de um corpo ou de um sistema de corpos pode aumentar ou di minuir, quando parte da foras atuantes no forem conservativas. O trabalho total realizado pelas foras no-conservativas representa a variao que ocor rer na energia mecnica. Ou seja:

2. Sistemas Dissipativos Dizemos que um sistema dissipativo quando atuam foras no-conservativas, como a res istncia de fluidos e o atrito dinmico, motivando uma diminuio de energia mecnica. Ess a energia mecnica perdida (dissipada), via trabalho das foras dissipativas, transf orma-se, principalmente, em energia trmica (calor). Podemos resumir isso assim:

Exerccios Resolvidos 01. Uma bola de 0,40 kg de massa despenca, sem velocidade, do topo de um prdio de altura 20 m, atingindo o solo com velocidade de 10 m/s. Usando g = 10 m/s2, calcule a energia mecnica dissipada nessa descida da bola. Resoluo

02. Lana-se uma caixa de massa 2,0 kg com velocidade inicial de 4,0 m/s, a partir do topo de um escorregador de altura 2,0 m. A caixa desliza at parar na base da rampa. Qual o trabalho total realizado pelo atrito da rampa sobre a caixa? Resoluo

Mdulo 47. Energia Mecnica Sistemas No-Conservativos tncia Mecnica (I) 1. Conceito

1 / 1Mdulo 48. Po

Define-se potncia mecnica como a grandeza escalar que indica a rapidez com que um

dispositivo transfere ou transforma energia mecnica, atravs do trabalho de sua fora . No Sistema Internacional (SI), mede-se potncia em joule por segundo, que recebe o nome de watt (W). Ou seja: W = J/s. Por exemplo, se uma empilhadeira, no ato de levantar uma caixa, operar com potnci a mecnica de 500 W, isso significa que tal dispositivo estar transferindo caixa 50 0 joules de energia mecnica a cada 1 segundo. Existem outras unidades de potncia, como as histricas HP (horse-power) e CV (caval o-vapor), hoje em progressivo desuso. As relaes dessas unidades com o watt so as se guintes: 1 HP = 746 W e 1 CV = 735 W.

2. Potncia Mdia Consideremos um dispositivo que realize, atravs de sua fora aplicada, um trabalho num certo intervalo de tempo t. Esse trabalho representa a quota de energia mecni ca (Em) que tal dispositivo transfere nesse tempo. Logo, a potncia mdia (Potm) des se dispositivo dada por:

Exerccios Resolvidos 01. Numa pista horizontal de provas, um carro de massa 800 kg consegue variar su a velocidade de 0 a 90 km/h, num prazo de 10 segundos. Desprezando dissipaes, qual a potncia mdia do motor desse carro nessa arrancada? Resoluo A energia mecnica que o motor transfere ao carro, via trabalho, a energia cintica adquirida no final da arrancada. Como 90 km/h = 25 m/s, temos:

Logo, a potncia mdia do motor dada por:

02. Uma empilhadeira ergue uma caixa de peso 4,0 kN, a partir do solo, at uma alt ura de 2,0 m em 16 segundos. Qual a sua potncia mdia nesse levantamento? Resoluo

03. Deseja-se construir uma usina hidreltrica aproveitando uma queda-dgua de altura H e vazo mdia Z. Adotando g para o valor da gravidade local e d para a densidade

= Epg = P

H = 4,0 kN

2,0m = 8,0 kJ

da gua, qual a potncia mdia mxima que se pode extrair dessa usina? Resoluo A energia mecnica (mxima), que pode ser transformada em eltrica nessa usina, corres ponde energia potencial gravitacional que as guas podem ceder ao despencarem da a ltura H. Logo:

Como = Z (vazo), vem:

Mdulo 48. Potncia Mecnica (I) 1. Potncia Instantnea

1 / 1Mdulo 49. Potncia Mecnica (II)

Vimos que a grandeza potncia mecnica mdia indica a energia mecnica que um dispositiv o transfere a um corpo, em mdia, a cada unidade de tempo. Como tal energia transferida via trabalho da fora exercida pelo dispositivo sobre o corpo, podemos, no caso de essa fora ser constante, exprimir a potncia mdia assi m:

Como a razo d/t representa a intensidade da velocidade mdia (vm) do corpo, temos:

Logo, para valores instantneos, teramos a potncia instantnea definida por:

Quando a fora orientar-se no mesmo sentido da velocidade, teremos = 0. Sendo cos 0 = 1, vem:

Vale lembrar que a unidade de potncia no SI o watt (W), que significa joule por s egundo. Pela definio acima, podemos tambm escrever: 2. Diagrama Horrio da Potncia

Consideremos uma situao em que a potncia instantnea de uma fora seja constante no dec orrer do tempo:

Num certo intervalo de tempo (t), a rea (A) destacada acima representa fisicament e o trabalho realizado pela fora. Observe:

Mesmo para uma potncia varivel no decurso do tempo, a rea sob a curva do grfico potnc ia x tempo fornecer o trabalho (ou a energia transferida) num certo prazo (t).

3. Rendimento Toda mquina, ao executar trabalho, est transferindo energia mecnica no decorrer do tempo, ou seja, possui uma potncia mecnica denominada til (Ptil).

1 2 3 4

Mdulo 49. Potncia Mecnica (II)

1 / 4Mdulo 49. Potncia Mecnica (II)

Para poder operar, tais mquinas precisam receber energia externa durante seu func ionamento. Isto , devem ter uma potncia de entrada, usualmente chamada de total (P total), sendo que parte desta normalmente dissipada internamente (por atritos, a quecimento etc.).

Chamamos de eficincia ou rendimento de uma mquina a razo entre a potncia til e a potn ia total.

Quando dizemos, por exemplo, que um motor eltrico possui um redimento mecnico de 9 0% ( = 0,90), isso significa que sua potncia mecnica til 90% da potncia eltrica de c nsumo (Ptotal). Resumo Potncia Instantnea

Diagrama Horrio da Potncia Rendimento Exerccios Resolvidos 01. A figura abaixo mostra um motor eltrico (M) erguendo verticalmente uma caixa (C) de massa 80 kg, com velocidade constante de 1,5 m/s. Considerando g = 10 m/s2 e desprezando o efeito do ar, determine:

a) a potncia mecnica til do motor; b) o rendimento do motor, sabendo-se que ele consome uma potncia eltrica total de 1,5 kW nessa operao. Resoluo a) Como a caixa encontra-se em equilbrio dinmico (MRU), a fora que o motor exerce n a caixa tem intensidade igual ao peso dela. Isto :

1 2 3 4

Mdulo 49. Potncia Mecnica (II)

2 / 4Mdulo 49. Potncia Mecnica (II)

02. Um corpo de massa 2,0 kg parte do repouso e percorre uma certa trajetria reti lnea sob a ao de uma fora resultante constante, cuja potncia dada pelo diagrama hor anexo. Qual o mdulo da velocidade do corpo no instante t = 2,0 s ? Resoluo A rea sob o grfico Pot x t representa o trabalho e este, a variao de energia cintica do corpo. Logo:

1 2 3 4

Mdulo 49. Potncia Mecnica (II) vimento Introduo

3 / 4Mdulo 50. Impulso e Quantidade de Mo

Neste mdulo, trataremos de duas grandezas vetoriais, impulso e quantidade de movi mento , que apresentam uma importncia fundamental num segundo princpio de conservao da Dinmica: a conservao da quantidade de movimento. O uso de tal princpio conservati vo essencial no estudo de choques entre corpos, exploses e disparos, bem como na propulso de foguetes. 1. Impulso de Fora Constante Dizemos que uma fora produz um impulso sobre um corpo quando ela age no corpo dur ante um certo intervalo de tempo. Define-se impulso de uma fora constante atravs do produto de tal fora pelo interval o de tempo de sua ao.

Pela expresso acima, observamos que o impulso uma grandeza vetorial e, portanto, necessita de mdulo, direo e sentido para seu perfeito entendimento. Ou seja:

2. Impulso de Fora Varivel Se uma fora tiver direo constante e intensidade variando no decorrer do tempo, seu impulso ser calculado por meio da rea sob o grfico fora tempo.

Nesse caso, podemos definir uma fora mdia como sendo a fora constante capaz de prod uzir o mesmo impulso da fora de intensidade varivel. Isto :

3. Quantidade de Movimento Definimos a grandeza vetorial quantidade do movimento de um corpo, tambm denomina da momento linear, pelo produto da massa (m) do corpo pela sua velocidade .

No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso N egundo). Como N = kg m/s2, temos:

s (newton vezes s

Como a quantidade de movimento uma grandeza vetorial, apresenta mdulo, direo e sent ido, temos:

1 2Mdulo 50. Impulso e Quantidade de Movimento No SI, a quantidade de movimento tem como unidade kg m/s (quilograma vezes metro por segundo). Repare que a unidade de quantidade de movimento coincide com a de impulso, embor a sejam grandezas diferentes. Resumo Impulso (sendo constante)

Quantidade de Movimento

Exerccios Resolvidos 01. Um bloco movimenta-se, a partir do repouso, sob a ao de uma fora de direo constan te e cujo mdulo varia com o tempo, conforme o grfico abaixo.

No intervalo de 0 a 15 s, determine: a) o mdulo do impulso de ; b) o valor da fora constante (fora mdia) capaz de produzir o mesmo impulso. Resoluo a) No intervalo de tempo de 0 a 15 s, o mdulo do impulso dado pela rea do trapzio s ob grfico. Ou seja:

b) Para uma fora constante, temos:

02. Um corpo de massa 1 kg executa movimento circular uniforme com velocidade de 4 m/s. Para um intervalo de tempo igual a meio perodo (meia volta dada), pede-se

: a) a variao de sua energia cintica; b) o mdulo da variao da quantidade de movimento do corpo. Resoluo a) A energia cintica do corpo uma grandeza escalar constante nesse movimento (uni forme). Isto :

Logo, no h variao de energia: b) A quantidade de movimento do corpo uma grandeza vetorial e, no movimento circ ular uniforme, mantm-se em mdulo, mas varia em direo (como o vetor velocidade). Logo :

, em que

Para meia volta dada, temos:

1 2

Mdulo 50. Impulso e Quantidade de Movimento Impulso Demonstrao

2 / 2Mdulo 51. Teorema do

Considere uma partcula de massa (m) constante, em movimento retilneo uniformemente variado (MRUV). De acordo com a 2a lei de Newton, a fora resultante relaciona-se com a mudana de v elocidade da partcula, num certo intervalo de tempo, assim:

Ou seja:

Embora tenhamos demonstrado o Teorema do Impulso a partir de uma situao simples de MRUV, sua aplicao geral, estendendo-se a qualquer tipo de movimento, sob a ao de fo

ras constantes ou variveis. Exerccios Resolvidos 01. Suponha que uma bola com 0,20 kg de massa, movimentando-se com velocidade de 5,0 m/s, colida contra uma parede, retornando na mesma direo original e com a mes ma velocidade, em mdulo.

Qual o impulso (mdulo, direo e sentido) aplicado pela parede na bola? Resoluo As quantidades de movimento da bola antes e depois do choque possuem o mesmo mdul o. Isto :

Como o impulso resultante igual variao da quantidade de movimento da bola, ento:

02. Um bola de futebol com 500 g de massa movimenta-se horizontalmente com veloc idade de 6,0 m/s. Num determinado instante, recebe um chute (impulso) de um joga dor e passa a movimentar-se com velocidade de 8,0 m/s numa direo perpendicular ant erior. Determinar o mdulo do impulso aplicado pelo jogador na bola. Resoluo A quantidade de movimento inicial da bola vale:

1 2

Mdulo 51. Teorema do Impulso

A quantidade de movimento final da bola vale: Q = m . v = 0,500 . 0,8 = 4,0 kg . m/s, vertical e para cima. Utilizando o Teorema do Impulso, teremos:

Q0 = m v0 = 0,500 6,0 = 3,0 kg scolhido arbitrariamente).

m/s, horizontal e para a direita (o sentido foi e

Portanto: IR = 2,0 kg

m/s ( ou 2,0 N s), direo horizontal e sentido para a esquerda.

Q = Q0 = m

v = 0,20

5,0 = 1,0Kg

m/s

1 / 2Mdulo 51. Teorema do Impulso

Usando o teorema de Pitgoras, vem:

03. O diagrama horrio abaixo mostra a variao do mdulo da fora resultante , aplicada a um corpo de massa 2,0 kg com velocidade inicial de 1,0 m/s. A fora atua sempre n a mesma direo e sentido da velocidade do corpo.

Determine: a) o mdulo do impulso da fora no intervalo de tempo de 0 a 5,0 s; b) o mdulo da velocidade do corpo no instante t = 5,0 s; c) o trabalho realizado pela fora entre os instantes 0 e 5,0 s. Resoluo a) O mdulo do impulso da fora dado pela rea do trapzio mostrado na figura abaixo.

b) De acordo com o Teorema do Impulso, temos:

Como a fora aplicada sempre na mesma direo e sentido de , podemos escrever escalarm ente:

b) Pelo Teorema da Energia Cintica, vem:

1 2

Mdulo 51. Teorema do Impulso 2 / 2Mdulo 52. Sistemas Isolados 1. Quantidade de Movimento de um Sistema A quantidade de movimento (ou momento linear) de um conjunto de partculas corresp

onde soma vetorial das quantidades de movimento de cada partcula de tal sistema. Considere, por exemplo, o conjunto formado por trs partculas (A, B e C), abaixo in dicadas, em que se destaca o vetor quantidade de movimento ( = m ) que cada uma apresenta em um certo instante.

Obtemos o vetor quantidade de movimento do sistema (sist), nesse instante, pela seguinte adio vetorial:

Se as velocidades das partculas tivessem a mesma direo, poderamos obter o valor da q uantidade de movimento do sistema atravs das velocidades escalares das partculas a ssim:

2. Sistema Isolado

Em um sistema podem agir foras internas e externas. So chamadas de foras internas a quelas que so trocadas entre as partculas do sistema. Por constiturem pares ao-reao, impulso total devido s foras internas sempre ser nulo. Uma fora classificada como externa quando exercida no sistema pelo meio externo a ele. Essa fora pode ser de ao a distncia (fora de campo) ou de contato. Dizemos que um sistema de partculas mecanicamente isolado quando for nulo o impul so total das foras externas sobre as partculas do sistema. Ou seja, o sistema ser c onsiderado isolado quando: a) nenhuma fora externa atuar, ou a resultante das foras externas for nula; b) as foras externas forem desprezveis, se comparadas com as foras internas; c) a interao com o meio externo tiver uma durao muito pequena ( 0). Todos os fatores acima nos permitem, portanto, eleger como sistemas isolados usu ais os conjuntos de partculas associados aos fenmenos de coliso e exploso. Por exemplo, observe abaixo a separao de massas (exploso) que uma mola inicialmente comprimida consegue produzir, quando interposta entre dois carrinhos (A e B) di spostos num plano horizontal liso.

Note que no conjunto (A + B + mola) as foras elsticas internas (e ) so as que produ zem a separao de A e B, enquanto as foras externas (pesos e normais) tm resultante n ula. Logo, temos um sistema isolado.

1 2 3 4

Mdulo 52. Sistemas Isolados 1 / 4Mdulo 52. Sistemas Isolados 3. Conservao da Quantidade de Movimento Em qualquer sistema isolado de aes externas, o impulso total sobre o sistema ser se mpre nulo, ou seja, no sistema no haver variao da quantidade de movimento total. Isso nos permite concluir que:

Assim, quando um sistema isolado encontra-se em processo interno de exploso ou de coliso, a troca de foras internas entre os corpos do sistema pode variar a quanti dade de movimento desses corpos, mas no consegue alterar a quantidade de moviment o global do sistema. Em suma:

Resumo Quantidade de Movimento de um Sistema

Sistemas Isolados

Exerccios Resolvidos 01. Um carrinho de massa 1,0 kg move-se sobre um piso horizontal, com velocidade de 4,0 m/s, em direo a outro carrinho de massa 3,0 kg, inicialmente em repouso. A ps o choque, eles permanecem unidos.

Admitindo que o sistema seja isolado, determine: a) a intensidade da quantidade de movimento do conjunto de carrinhos aps o choque ; b) o mdulo da velocidade do conjunto aps a coliso.

Resoluo a) Como o sistema isolado, temos:

02. Um canho de massa 500 kg, estacionado no solo, dispara horizontalmente uma ba la de massa 1 kg com velocidade escalar de 200 m/s. Determine a velocidade escal ar de recuo do canho no momento do disparo.

1 2 3 4

Mdulo 52. Sistemas Isolados Resoluo

2 / 4Mdulo 52. Sistemas Isolados

O sistema formado pelo canho e pela bala isolado de foras externas. Portanto, a qu antidade de movimento do sistema depois do disparo igual quantidade de movimento do sistema antes do disparo.

A velocidade escalar negativa do canho, aps o disparo, evidencia o seu recuo, ou s eja, o canho possui velocidade no sentido contrrio ao da bala. 03. Um automvel A e uma caminhonete C, trafegando em vias perpendiculares, colide m no ponto P de uma esquina e, a seguir, prosseguem grudados na direo PQ. Sabe-se qu e a caminhonete tem o dobro da massa do automvel e que sua velocidade antes da co liso era vC = 40 km/h.

Ao relatar a coliso polcia tcnica, o motorista do automvel declarou que, antes do ch oque, seu carro trafegava com velocidade de valor abaixo da mxima permitida no lo cal (60 km/h). a) Verifique se a afirmao do motorista verdadeira ou falsa. b) Determine a intensidade da velocidade do conjunto (A + C) imediatamente aps a coliso. Resoluo

Por ser a coliso um evento de curtssima durao, podemos considerar o conjunto de vecul os (A + C) como um sistema isolado. Logo, a quantidade de movimento do sistema i mediatamente antes do choque igual quantidade de movimento do sistema imediatame nte depois do choque. Como os movimentos possuem direes diferentes, a conservao de quantidade de movimento ocorrer vetorialmente assim:

a) Pelo tringulo retngulo issceles acima, podemos afirmar que as quantidades de mov imento de A e C tm mdulos iguais. A partir disso, temos:

Concluso: a afirmao do motorista do automvel falsa, pois vA > 60 km/h. b) Usando novamente o tringulo retngulo acima, vem:

1 2 3 4

Mdulo 52. Sistemas Isolados 3 / 4Mdulo 53. Sistemas Isolados 1. Quantidade de Movimento de um Sistema A quantidade de movimento (ou momento linear) de um conjunto de partculas corresp onde soma vetorial das quantidades de movimento de cada partcula de tal sistema. Considere, por exemplo, o conjunto formado por trs partculas (A, B e C), abaixo in dicadas, em que se destaca o vetor quantidade de movimento ( = m ) que cada uma apresenta em um certo instante.

Obtemos o vetor quantidade de movimento do sistema (sist), nesse instante, pela seguinte adio vetorial:

Se as velocidades das partculas tivessem a mesma direo, poderamos obter o valor da q uantidade de movimento do sistema atravs das velocidades escalares das partculas a ssim:

2. Sistema Isolado

Em um sistema podem agir foras internas e externas. So chamadas de foras internas a quelas que so trocadas entre as partculas do sistema. Por constiturem pares ao-reao, impulso total devido s foras internas sempre ser nulo. Uma fora classificada como externa quando exercida no sistema pelo meio externo a ele. Essa fora pode ser de ao a distncia (fora de campo) ou de contato. Dizemos que um sistema de partculas mecanicamente isolado quando for nulo o impul so total das foras externas sobre as partculas do sistema. Ou seja, o sistema ser c onsiderado isolado quando: a) nenhuma fora externa atuar, ou a resultante das foras externas for nula; b) as foras externas forem desprezveis, se comparadas com as foras internas; Todos os fatores acima nos permitem, portanto, eleger como sistemas isolados usu ais os conjuntos de partculas associados aos fenmenos de coliso e exploso. Por exemplo, observe abaixo a separao de massas (exploso) que uma mola inicialmente comprimida consegue produzir, quando interposta entre dois carrinhos (A e B) di spostos num plano horizontal liso.

1 2 3 4

Mdulo 53. Sistemas Isolados 1 / 4Mdulo 53. Sistemas Isolados 3. Conservao da Quantidade de Movimento Em qualquer sistema isolado de aes externas, o impulso total sobre o sistema ser se mpre nulo, ou seja, no sistema no haver variao da quantidade de movimento total. Isso nos permite concluir que:

Em suma:

Resumo Quantidade de Movimento de um Sistema

Sistemas Isolados

Exerccios Resolvidos 01. Um carrinho de massa 1,0 kg move-se sobre um piso horizontal, com velocidade de 4,0 m/s, em direo a outro carrinho de massa 3,0 kg, inicialmente em repou

Recommended