Módulo I - Sistemas de Primeira Ordem

Mdulo I Anlise da Resposta Transitria e Erro

Estacionrio

Prof. Sara Jorge e Silva

Joo Monlevade, Fevereiro de 2015

Modelagem e Anlise de Sistemas

Lineares

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO UFOP

INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E APLICADAS - ICEA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA - DEELT

MODELAGEM E ANLISE DE SISTEMAS LINEARES

Polos e Zeros

Joo Monlevade, Maro de 2015

A resposta do sistema pode ser representada pela soma da resposta

natural com a resposta forada;

O uso de polos e zeros e sua relao com o domnio do tempo de um

sistema, representam uma tcnica rpida para analisar o desempenho

dos sistemas;

O conceito envolvendo polos e zeros fundamental para anlise e

projeto de sistema de controle e simplifica os clculos de uma

resposta no tempo de um sistema.





Polos


Os polos de um FT so:

1. Os valores da varivel s da transformada de laplace, que levam o

valor da funo de transferncia tender infinito

2. Quaisquer razes do denominador da funo de transferncia que

so comuns s razes do numerador

Exemplos:





Zeros


Os zeros de uma FT so

1. Os valores da varivel s da transformada de laplace que levam o

valor da funo de transferncia zero;

2. Quaisquer razes do numerador da funo de transferncia que so

comuns s razes do denominador

Exemplos





Anlise por Inspeo


Exemplo 01) Dada , determine os polos e zeros e esboce

graficamente. Determine a resposta no tempo para uma entrada degrau

unitrio.

Exemplo 02) Dado os sistemas abaixo, escreva a sada c(t), em termos

gerais para uma entrada degrau unitrio. Identifique os termos natural e

forado de:

a)

b)





Sistemas de Primeira Ordem


Seja um sistema de primeira ordem definido como

Para uma entrada degrau unitrio

Expandindo em fraes parciais







Para t = T

Constante de Tempo: a = 1/T chamada constante de tempo e definida

quando a resposta c(t) alcana 63,2% de sua resposta total.







Constante de tempo

Quanto menor T, mais rpida a resposta do sistema.







Constante de Tempo

O polo est localizado no inverso de T, quanto mais longe o polo estiver do eixo

imaginrio, mais rpida a velocidade de resposta do sistema.







Tempo de subida

O tempo necessrio para a forma de onda, partindo de 10% do seu valor final,

atinja 90% desse valor.

Tempo de assentamento

O tempo para a resposta alcanar uma faixa de valores de 2% em torno do seu

valor final.






Entrada degrau unitrio



Exerccio 01) Para a FT abaixo, determine T, Tr e Ts:

Exerccio 02) Qual a FT do sistema abaixo? Considere uma entrada

degrau unitrio e







Entrada Rampa

Para uma rampa de inclinao unitria

O sinal de erro dado por

Para t tendendo a infinito, a exponencial tende zero e:







Entrada Rampa







Entrada Impulso

Para um impulso unitrio





Simulao de Sistemas de Primeira

Ordem Considerando um sistema de primeira ordem

Tm-se:

R(s) = Sinal de entrada;

G(s) = Funo de transferncia;

C(s) = Sinal de sada.

A funo de transferncia tem as seguintes caractersticas

Onde k o ganho no estado estacionrio e dado por:

Simulao de Sistemas de Primeira Ordem

A funo da sada, considerando condies iniciais nulas, dada por


Anlise de polos

p < 0 exponencial decrescente p > 0 exponecial crescente


Como

A primeira simulao tem a seguinte FT

Ento:

Plo:

Ganho:



Fraes parciais

Ou


1

-1

Grfico da resposta do tempo


Constante de Tempo

T=1/p =1/1=1 s

Tempo de Subida

Tr = 2,2T = 2,2 s

Tempo de Acomodao

Ts = 4T = 4 s

Em t=1, a sada

alcanou 63,2 % da sua

resposta transitria.

A resposta demorou 2,2 s

para variar de 1 a 90 %

A resposta demorou 4 s

para alcanar uma faixa de

valores de 2% em torno do

valor final e a permenea.

A segunda simulao tem a seguinte FT

Ento:

Plo:

Ganho:



Fraes parciais

Ou


10

-1

Analisando a variao de ganho



A terceira simulao tem a seguinte FT

Ento:

Plo:

Ganho:

Simulao de Sistemas de Primeira Ordem Para uma entrada degrau unitrio

Fraes parciais

Ou 1

-10

Analisando a variao dos plos:

Funo da Frequncia


Lembrando que qunto mais longe o polo

estiver do eixo imaginrio, mais rpida a

velocidade de resposta do sistema.

Funo do Tempo



A quinta simulao tem a seguinte FT

Ento:

Plo:

Ganho:


Por fraes parciais

Ou



A sexta simulao tem a seguinte FT

Ento:

Plo:

Ganho:


Por fraes parciais

Ou


Analisando a variao dos plos:

Funo da Frequncia


Para plos positivos, ou seja, > 0, o sistema nunca chegar no estado estacionrio.

Funo do Tempo


Simulao de Sistemas de Primeira

Ordem


Entrada Rampa

Documents

Módulo I - Sistemas de Primeira Ordem