Módulo III: Difusão Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar

Módulo III: Difusão Módulo III: Difusão

Paulo R. Guimarães JrPaulo R. Guimarães Jr

Marcus A. M. de AguiarMarcus A. M. de Aguiar

Instituto de Física “Gleb Wataghin” Instituto de Física “Gleb Wataghin”

UNICAMPUNICAMP

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Ao final desta aula, você deve ser capaz de:

1. Entender como difusão pode se tornar uma força criativa2. Compreender os passos para a análise da instabilidade

espacial

Módulo I

F016: Física aplicada à Ecologia

ConteúdoConteúdo

1.1. Difusão como força criativa?Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

1 21 2

212

121

NNDdt

dN

NNDdt

dN

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

1 21 2

212

121

NNDdt

dN

NNDdt

dN

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

1 21 2

21

21

NCN

NNC

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

1 21 2

22

212

2NCDdt

dN

NNDdt

dN

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

1 21 2 Dte

CtN 2

2 12

DteC

tN 22 2

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

1 21 2

Difusão por si só é um processo destrutivo

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

Como?Como?

1. Difusão 2. Certas interações não-lineares3. Alan Turing

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2.2. Modelos de duas espécies com difusãoModelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

1222

2

1

2111

1

1

1

K

NNNr

dt

dN

K

NNNr

dt

dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2122

2111

,

,

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dN

NNfdt

dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

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dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

Fluxo

Um tubo com N elementos

Fluxo: número de elementos que passam por um certo ponto do tubo

4038

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

4038

Lei de Fick

x

NJ

-D

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Módulo III

40404040404040

0

0

21

t

N

Jx

N

NN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

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dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

40383634323028

cte

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N

xN

x

x

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

40383634323028

0

2

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2

2

t

N

x

DJ

xxxx

x

N

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

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dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

0t

N

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

cte

0

x

Nt

N

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Módulo III

78655445383330

2

2

13

136578

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x

N

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

78655445383330

2

2

3

33033

xDJ

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x

N

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

78655445383330

2

2

x

ND

x

ND

x

x

ND

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N

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

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x

NDNNf

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dN

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

InteresseInteresse

Quando modelos de campo médio estáveis se tornam instáveis apenas como conseqüência do espaço

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3.3. Instabilidades de TuringInstabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

InteresseInteresse

Quando modelos de campo médio estáveis se tornam instáveis

apenas como conseqüênciaapenas como conseqüência do espaçodo espaço

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaçoAnalisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

SoluçãoSolução

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

0,

0,

*,

*,

212

211

22

11

NNf

NNf

NtxN

NtxN

EstabilidadeEstabilidade

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

*

*

*

222

111

ii Nc

cNN

cNN

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Módulo III

22212122

2

11

22

21211122

1

11

11

cLcLcc

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c

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Módulo III

22212122

2

11

22

21211122

1

11

11

cLcLcc

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Módulo III

t

t

eAc

eAc

22

11

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

2221212

2121111

cLcLt

c

cLcLt

c

quadroquadro

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Módulo III

02221

1211

LL

LL

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Ldet42

1

2

1

0

22112211

2112221122112

LLLL

LLLLLL

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio Identificar os pontos de equilíbrio

estáveisestáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

Ldet42

1

2

122112211 LLLL

0

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

Ldet42

1

2

122112211 LLLL

0

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

0det

e 0

0

2211

L

LL

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaçoIncorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

Incorporar uma perturbaçãoIncorporar uma perturbação

• Uma perturbação genérica é muito difícil de analisar

• Opção: qualquer função de x pode ser decomposta em funções simples (série de Fourier)

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

tektAc cos11

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Módulo III

tekxAc cos11

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Módulo III

tekxAc cos11

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Módulo III

tekxAc cos11

k

2

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Módulo III

tekxAc cos11

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

tektA

A

c

c cos2

1

2

1

0k

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Módulo III

tekxAc cos11

kP

2

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Módulo III

tektA

A

c

c cos2

1

2

1

quadroquadro

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica Identificar quando o sistema fica

instávelinstável

Módulo III

F016: Física aplicada à Ecologia

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

0det

e 0

0

2211

L

LL

ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4.4. ResumoResumo

Módulo III

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Difusão por si só é um processo destrutivo

Módulo III

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Como?Como?

1. Difusão 2. Certas interações não-lineares3. Alan Turing

Módulo III

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