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MOVIMENTOS:
COMO DESCREVÊ-LOS?
Marta Feijó BarrosoIF-UFRJ, 2006
trajetória
posição
deslocamento
velocidade
aceleração
exemplos: movimento retilíneo movimento circular
conceitos:
O QUE SE MOVE
o modelo para o que é observado
QUEM OBSERVA
o observador, o ponto de referência, ...
preliminares (escondido):
objeto de nosso estudo
sistema
o observador
sistema de referência
.
O
ponto de referência
O
O
O
O
trajetória
objeto de nosso estudo
sistema
modelo:
“partícula”
O
O
r (t)
O
r (t)
O
t
vetor posição da partícula
no instante t
em relação ao observador em O.
)(tr
O
r
)( ttr
tt
)(tr
t
O
r
)( ttr
tt
)(tr
tvetor deslocamento da partícula
entre os instantes t e t+t
)t(r)tt(rr
vetor deslocamento da partícula entre os instantes t e
t+t
O
r
)( ttr
tt
)(tr
t
inicialfinal rr
)t(r)tt(rr
A
C
B
0
ACAC
BCBC
ABAB
rrr
rrr
rrr
ABr
BCr
velocidade
tempo
todeslocamenvelocidade
t
rv
velocidade médiano intervalo t , t+t
O t = 0,5 s
)(tr
)( ttr
O t = 0,5 s
)(tr
)( ttr r
v
Ot = 0,5
s
)(tr
)( ttr r
v
secante à
trajetória
O
)(tr
)( ttr r
v
secante à
trajetória
velocidade ?
O
tt+t
)(tr
)( ttr
r
v
O
tt+t
)(tr
)( ttr
r
v
O
t
t decrescente
v
)(tr r
O
t
v
t decrescente
r decrescente
r
)(tr
O
v
r (t)
tt
decrescente
r decrescente
t
rlimvt
0
O
t
t decrescente
v
)(tr r
O
t
t
rlimvt
0
tangente à trajetóriano instante considerado
)(tr
v
vlimt
rlimv
tt
00
tangente à trajetóriano instante considerado
O tangente à trajetória
v
)(tv
)(1tv
)(2tv
)(3tv
)(trt
retilíneo?...
a velocidade tem sempre a mesma direção
o movimento é retilíneo
movimento uniforme
=
deslocamentos iguais
em tempos iguais
=
movimento com velocidade constante
0constante vt
r
0v
00
vvlimvt
0constante vt
r
0v
movimento retilíneo uniforme próxi
mo
tvrvconstantet
r00
0v
movimento retilíneo uniforme:
deslocamentos iguais em tempos iguais
próximo
tvrvconstantet
r00
0v
movimento retilíneo uniforme:
deslocamentos iguais em tempos iguais
próximo
O movimento e sua descrição – pausa para respiração
deslocamento = velocidade x tempo
Se a trajetória “encurva”, a velocidade mudou…
se a velocidade mudou... é porque tem aceleração...
t
va
t
0lim
MOVIMENTO ACELERADO
td
vd
t
va
notação
t
0limdefinições
td
rd
t
rv
notação
t
0lim
MOVIMENTO ACELERADO
)t(v
)tt(v
t
t
v
td
vda
MOVIMENTO ACELERADO
)t(v
)tt(v )t(v
)tt(v
v
t
s.t 50t
v
td
vda
vv
t
va
25,0
MOVIMENTO ACELERADO
)t(v
)tt(v )t(v
)tt(v
v
t
)t(a
s.t 50t
v
td
vda
MOVIMENTO ACELERADO
tav
)t(v
)tt(v
t
)t(a
)tt(v
ta
)t(v
P
s.t 50
t
v
td
vda
MOVIMENTO ACELERADO
tav
v
ta
//v
vv
vvv
//
MOVIMENTO ACELERADO
//v
v
tav
ta
v
MOVIMENTO ACELERADO
//v
v'v
P
tav
ta
v
MOVIMENTO ACELERADO
//v
'v
apenas o módulo da velocidade é alterado!
tav
ta
v
paralelossãoe va
MOVIMENTO ACELERADO
//v
o módulo da velocidade é alterado(também seu sentido poderia ser
mudado!)
tav
paralelosantisãoe va
ta
v
'v
MOVIMENTO ACELERADO
num movimento retilíneo...
P
tav
MOVIMENTO ACELERADO
Para mudar a direção da velocidade, é necessária uma componente da
aceleração na direção perpendicular a ela…
e aí podemos ter trajetórias curvas.
tav
MOVIMENTO ACELERADO
tav tvr
v
muda o módulo da velocidade
muda a direção da velocidade
//v
v
MOVIMENTO ACELERADO
… MOVIMENTO CIRCULAR...
?
)t(r
t
)t(r
t
)t(r
t )t(v
)t(r
t )t(v
)tt(r
)t(r
t )t(v
)tt(r
módulo de r é constante
direção de r varia
)t(r
t )t(v
)tt(r
módulo de r é constante
direção de r varia
rv
alarperpendicu
)t(r
t )t(v
)t(r
t )t(v
)t(r
t )t(v
)t(r
t )t(v
módulo de r é constante
direção de r varia
)t(r
t )t(v
)tt(r
s
r
r
rv
rsr
sr
r
rv
rsr
0
r
t
rt
v
rv
vvv
v
E A ACELERAÇÃO
NO MOVIMENTO CIRCULAR
?
)t(v
)tt(v
)t(v
)tt(v
v
caso particular: movimento circular uniformet )t(v
caso particular: movimento circular uniforme
)t(v
rv
caso particular: movimento circular uniforme
)t(v
rv
rv
rsr
sr
r
v
v
r
r
rv
rsr
sr
r
v
v
r
r
ra
rvsv
2
)(
r
v
ta
r
r
ra 2
aceleração perpendicular a v
que é perpendicular a r
aceleração na direção radial
para dentro
aceleração centrípeta!
movimento circular não uniforme
)t(v
rv
)t(r
t )t(v
movimento circular não uniforme
)t(v
movimento circular não uniforme
)tt(v
movimento circular não uniforme
)t(v
)tt(v
)t(v
)tt(v
movimento circular não uniforme
)t(v
)tt(v v
PAPES IV - LADIF
MOVIMENTO ACELERADO
tav
v
ta
//v
vv
vvv //
//v
vv
t̂ar̂aa tr
na direção da velocidade
que é a direção tangencial
na direção perpendicular à velocidade
que é a direção radial
movimento circular não uniforme
r
v
a
movimento circular não uniforme
r
v
ra ata
ra ata
movimento circular não uniforme
ra ata
2raraceleração centrípeta -
direção radial, para dentro
movimento circular não uniforme
ra a
ta
rdt
drat
aceleração tangencial:
na direção da velocidade,
tangente ao círculo,
é responsável pelo aumento de seu módulo v = r
r̂
t̂
movimento circular não uniforme
ra a
ta
r̂
t̂
t̂rr̂r
t̂ar̂aa tr
2
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