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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Tecnologia e Recursos Naturais
Unidade Acadêmica de Ciências Atmosféricas
Graduação e Pós-Graduação em Meteorologia
Disciplina:
Métodos de Modelagem Numérica
Enilson Palmeira Cavalcanti
enilson.cavalcanti@ufcg.edu.br
Tipos de modelos
Modelo de ponto de grade
Modelo espectral
Modelo de elementos finitos
Modelos de ponto de grade e espectral e elementos finitos são baseados
nas mesmas equações primitivas. Entretanto, cada tipo formula e resolve
as equações de forma diferente.
Diferentes fontes de erro são associados a cada tipo de modelo.
Modelo de ponto de grade
Representa os dados de forma discreta em pontos fixos de uma
grade ou malha.
Modelo de ponto de grade
Estrutura de GRADES ou Malhas segundo ARAKAWA e LAMB (1977)
– u e v são as componentes do vento e h uma variável termodinâmica
qualquer.
Modelo de ponto de grade
Características
1) Os dados são representados em pontos de grade.
2) Resolução é função do espaçamento da grade.
3) Todos os cálculos são efetuados para os pontos de grade por
diferenças finitas.
4) Diferenças finitas induz erros de truncamento.
5) O erro de truncamento é função do espaçamento da grade e
do time-step.
Modelo de ponto de grade
Diferenças finitas
( , , )i j nf f x y tConsidere a variável: ,
t
x yf
, ,
t t
x x x y x yf f f (Para frente)
,
t
x x yf ,
t
x yf
, ,
t t
x x y x x yf f f ,
t
x x yf ,
t
x yf
(Para trás)
1 1, ,2 2
t t
x x x y x x yf f f
1 ,2
t
x x yf
1 ,
2
t
x x yf
(Centrada)
, ,
t t
x x x y x x yf f f
,
t
x yf
,
t
x x yf ,
t
x x yf
(Centrada)
,
t
x yf
x
x
x
2 x
Modelo de ponto de grade
Diferenças finitas
xf2 ( )x xf f 3 2( ) [ ( )]x x xf f f
1 1 2( ) [ ( )]k k k k
x x xf f f
...
...
...
Avaliação de derivadas em x
, ,
t t
x x y x yxf fff
x x x
, ,
t t
x y x x yxf fff
x x x
, ,
2
t t
x x y x x yxf fff
x x x
1 1, ,2 2
t t
x x y x x yx
f fff
x x x
Modelo de ponto de grade
Diferenças finitas em y
, ,
t t
y x y y x yf f ff
y y y
, ,
t t
y x y x y yf f ff
y y y
, ,
2
t t
y x y y x y yf f ff
y y y
1 1, ,2 2
t t
x y y x y yyf fff
y y y
, ,
t t t
x y x ytf fff
t t t
, ,
t t t
x y x ytf fff
t t t
, ,
2
t t t t
x y x ytf fff
t t t
1 12 2
, ,
t t t t
x y x ytf fff
t t t
Diferenças finitas em t
Modelo de ponto de grade
Análise do erro
2 32 3
, , 2 3
1 1 1( ) ( ) ... ( )
2! 3! !
nt t n
x x y x y n
f f f ff f x x x x
x x x n x
, ,
t t
x x y x yf ff
x x
22
2
1( )
2!
fErro x
x
2 32 3
, , 2 3
1 1 1( ) ( ) ... ( )
2! 3! !
nt t n
x x y x y n
f f f ff f x x x x
x x x n x
22
2
1( )
2!
fErro x
x
, ,
t t
x y x x yf ff
x x
Utilizando diferença finita para frete ou para trás observa-se o mesmo erro.
Modelo de ponto de grade
Análise do erro (centrada)
2 32 3
, , 2 3
1 1 1( ) ( ) ... ( )
2! 3! !
nt t n
x x y x y n
f f f ff f x x x x
x x x n x
2 32 3
, , 2 3
1 1 1( ) ( ) ... ( )
2! 3! !
nt t n
x x y x y n
f f f ff f x x x x
x x x n x
33
3
2( )
3!
fErro x
x
, ,
2
t t
x x y x x yf ff
x x
Subtraindo a segunda da primeira equação, tem-se:
3 ( 1)3 ( 1)
, , 3
2 12 ( ) ... ( )
3! ( 1)!
nt t n
x x y x x y n
f f ff f x x x
x x n x
Modelo de ponto de grade
Ex. Cálculo da advecção de temperatura
. T
T TA V T u v
x y
r
, , , ,
, ,2 2
t t t t
x x y x x y x y y x y yt t
T x y x y
T T T TA u v
x y
Portanto, utilizando diferença finita centrada, tem-se
1, 1, , 1 , 1
, ,2 2
n n n n
i j i j i j i jn n
T i j i j
T T T TA u v
x y
Modelo espectral
Usa funções contínuas em forma de ondas, os dados são representados
através de harmônicos de Fourier. No modelo espectral a variação espacial da variável meteorológica é
representada por um número finito de harmônicos com diferentes
comprimentos de onda.
Na integração numérica os componentes lineares são obtidos pelo método
espectral. No entanto, tem-se processos físicos, advecção vertical e alguns
termos dinâmicos obtidos em ponto de grade por diferenças finitas. Neste
sentido, o modelo espectral é na verdade uma combinação de técnicas
espectrais e de ponto de grade.
Modelo espectral
Na integração numérica os componentes lineares são obtidos pelo método
espectral. No entanto, tem-se processos físicos, advecção vertical e alguns
termos dinâmicos que são obtidos em ponto de grade por diferenças
finitas. Neste sentido, o modelo espectral é na verdade uma combinação
de técnicas espectrais e de ponto de grade.
Modelo espectral
Características
1) Os dados são representados por funções tipo onda (harmônicos).
2) A resolução é função do número de onda (harmônico) usado no
modelo.
3) A resolução do modelo é limitada pelo máximo número de ondas.
4) Os termos lineares das equações podem ser calculadas sem
introduzir erro computacional.
5) É usado grade para calcular termos não lineares e outros
processos físicos.
6) Ocorrem transformações entre espectral e ponto de grade.
7) As equações podem ser integradas com grande “time step” e por
longo período.
8) Originalmente projetado para domínio global.
Modelo espectral
Formulação dos harmônicos de Fourier
fangularfase
fangularfrequênciaw
frequênciaf
amplitudeA
períodop
média
fase
2
2
p
1
,...,T,,) p/ t(wtAμX(t)
θ)πf(tAμX(t)
321cos
2cos
Modelo espectral
βsenwtwtα)senwt senwt A()(wtA coscoscoscos
,...,T,,/ tβsenwt pwtαμX(t) 321cos
cos ,
cos
cos 222222
senarctag
sentag
A)sen(Aβα
Asen
Aα
cos
Generalizando para N=T/2
Nj
j
jjjj
N
j
jjj
tsenwtwtX
,...,T,, p/ t)t(wAμX(t)
1
1
T1,2,3,...,p/ t )cos()(
321cos
Modelo espectral
Os coeficientes são obtidos por:
j
T
t
j NjtwtXT 1
1,...,3,2,1p/ cos)(2
T
t
j NjtwtXT 1
p/ cos)(1
j
T
t
j NjtsenwtXT 1
1,...,3,2,1p/ )(2
T
t
j NjtsenwtXT 1
,0p/ 0 )(1
Modelo espectral
NjT
jw j ,...,3,2,1p/
2
2
,1 1T
wj
2
,T
NwNj N
Onda mais lenta
Onda mais rápida
(frequência Nyquist)
Coordenada Vertical
Tipos de Coordenadas
Cartesiana ( , , , )f f x y z t
Isobárica ( , , , )f f x y p t
Isentrópica ( , , , )f f x y t
Sigma ( , , , )f f x y t
Coordenada Vertical
Tipos de Coordenadas
(a) (b)
(c) (d)
Esquema ilustrando as coordenadas: a) cartesiana, b) isobárica, c)
isentrópica e d) sigma, como vistas em um sistema de coordenas
cartesianas.
Coordenada Vertical
Coordenadas sigma - exemplo
s
p
p
( )
( )
s
T s
p p
p p
( )
( )
T s
T s
z z z
z z
( )
( )
T
s T
Sup.
Topo
Sup.
Topo
1
0 1
0
1
0
0
zT
Coordenada Vertical
Coordenadas ETA
A coordenada ETA foi criada em 1980 para reduzir o erro no cálculo da força
do gradiente de pressão em modelos que usam coordenadas sigma.
[ ( ) ]/[ ( 0) ]r s T r Tp z p p z p Em que, pT é a pressão no topo do modelo; pr(z=0) é a pressão ao nível
médio do mar 1013 hPa e pr(zs) é a pressão atmosférica para o nível zs.
Coordenada Vertical
Híbrido – (sigma x isentrópico)
isentrópico
sigma
híbrido
Coordenada Vertical
Equações em coordenadas sigma?
Resolução horizontal
Ponto de grade Espectral
A resolução horizontal do
modelo é definida em termos
do espaçamento da grade
(Ex.: 100 km, 10 km).
A resolução horizontal do
modelo é definida em termos
do número de ondas (Ex.: T80,
T60, T120).
O que é alta ou baixa resolução?
Resolução horizontal
0 60 120 180 240 300 360
Maior Onda Menor Onda
0 1,5 3 4,5 6 7,5
TN Resolução
N360 ondaMenor
N onda de Número
360 ondaMaior
o
o
oo 4,580360 ondaMenor
T80 Modelo
:Exemplo
Resolução horizontal
Equivalência com ponto de grade
x
x 3
3
1x
3N
360Δ
o
x
kmx oo
10095,0126 x 3
360
T126 Modelo :Exemplo
Resolução Vertical
Em modelos a atmosfera é
dividida em várias camadas.
Os primeiros modelos tinham
entre 5 e 7 camadas,
atualmente os modelos usam
de 30 a 70 camadas na
vertical.
Todo modelo usa uma
estrutura discreta na vertical.
Dada a importância e escala dos processos na Camada Limite Planetária –
CLP os modelos apresentam maior densidade de camadas nos níveis
baixos. Em altitudes mais elevadas estas camadas tornam-se mais
afastadas umas das outras.
Resolução Vertical
A resolução vertical de um modelo deve ser
suficientemente capaz de:
1) incorporar os efeitos de aquecimento e resfriamento
diurno;
2) Incorporar efeitos locais das característica espaciais
da superfície (solo, vegetação, umidade, etc.);
3) Resolver o escoamento e o cisalhamento na CLP;
4) Capturar regimes ageostróficos, como Corrente de
Jato na alta troposfera;
5) Detectar interações entre a estratosfera e troposfera
incluindo múltiplos jatos em altos níveis.
Resolução X Recursos computacionais
Lembrar Critério C.F.L.
Aumento da resolução
(horizontal e vertical)
Aumento do
processamento
+ pontos de grade
+ física e dinâmica
+ tempo de integração
1
x
tc
Condições de contorno
C.C. Lateral
C.C. Topo
C.C. Superfície
Objetiva minimizar a reflexão de informações indesejáveis para dentro do
domínio do modelo. Entretanto, deve-se permitir a entrada de informações de
larga escala.
Condições de contorno lateral
A condição de contorno lateral, ou de fronteira lateral, tem por princípio permitir que
ondas de gravidade e outros fenômenos advectados tenham passagem livre pela
fronteira e, assim, não consentir reflexão para o interior da área de domínio.
Manter na fronteira um gradiente nulo
( 1) ( ) 0n nx
1) Gradiente
2) Radiativo
Supõe-se que estas ondas se movem como a propagação de uma onda linear,
formulada matematicamente por:
( )u t c u x
Condições de contorno lateral
Alguns métodos utilizados se diferenciam, basicamente, pela forma da obtenção de c.
# Orlanski (1976) propõe o cálculo pela expressão abaixo. É calculada no passo de
tempo anterior e no primeiro ponto interior à fronteira.
# Klemp & Lilly (1978) sugerem que se aplique o valor da média vertical segundo
Orlanski, para toda a coluna do domínio.
# Klemp & Wilhelmson (1978) sugerem o uso de um valor típico para a velocidade de
fase da onda de gravidade (10 - 30 m/s). Na prática, qualquer método aplicado como
condição lateral não evita totalmente a reflexão, mas é altamente relevante que a
reflexão seja mínima.
( ) /( )c u t u x
3) Esponja
0( )t u x r
Em que é o coeficiente de relaxação, é o valor desejado de para
o contorno.
0r 0
Condições de contorno lateral
4) Cíclica
O valor da variável dependente para uma borda do domínio do modelo assume de
forma idêntica o mesmo valor da borda oposta.
0( ) ( )Dx x
Em resumo, pode-se observar:
1) É interessante remover o contorno
lateral dando importância a área de
interesse.
2) Que as informações de larga escala
possam influenciar através das bordas.
3) A condição Radiativa possibilita uma
expansão da área útil do modelo.
Área útil
Condições de contorno no topo
O topo do modelo deve ser suficiente para possibilitar a retirada de um camada
deixando apenas uma altura útil (a exemplo do contorno lateral).
Neste contexto é proposto que o topo do modelo alcance, a depender do interesse,
uma das seguintes condições: 1) a base da Estratosfera; 2) a altura da Tropopausa e
3) a altura de uma camada estável.
Parede Rígida
ou
Esponja
Condições de contorno à superfície
# Único contorno que tem significado físico.
# Diferentes gradientes de variáveis dependentes geram circulações de mesoescala.
# Topografia, solo nu, solo vegetado, corpo d’água, etc. geram circulações.
# Mudanças provocadas pelo homem ou animais podem acarretar substanciais
mudanças.
Devido a importância das Condições de Contorno à Superfície, estas devem ser bem representadas num modelo numérico da atmosfera.
Obs.: É comum tratar Terra e Água separadamente
Corpos d’água ( lagos, mares e oceanos)
# Faz-se necessário permitir interações dinâmicas e termodinâmicas entre o ar e a
água (ondas, correstes oceânicas, gradientes de temperatura e salinidade, variações
diurnas no gradiente vertical de temperatura e salinidade, evaporação potencial,
balanço de energia, etc.)
Condições de contorno à superfície
Desafio – acoplamento de Modelos Oceânicos.
Condições de contorno à superfície
# Tipo, balanço hídrico (evaporação real), balanço
de energia.
Solo vegetado
# Tipo de solo, tipo de vegetação, balanço hídrico
(evapotranspiração real) - balanço de energia.
Solo nu Modelo Solo- Vegetação
Refletividade
Fim do Módulo 2
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