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Probabilidade e Modelos Probabilísticos
1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson
2
Probabilidade
Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos.
Base teórica para a análise inferencial.
3
Exemplo de um experimento aleatório
Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher.
Resultados possíveis:
homem, mulher
Espaço amostral = {homem, mulher}
4
Probabilidade de um resultado
Qual a probabilidade de homem e de mulher?
P(homem) = 0,5
P(mulher) = 0,5
A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.
50% homens
50% mulheres
5
Evento
Evento = conjunto de resultados possíveis
Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
Eventos: A = número par,
B = núm. menor que 3
A = {2, 4, 6} B = {1, 2}
P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3
6
Operações com eventos
A
A
)(1)( APAP
não A
7
Operações com eventos
A
B
A B
)()()()( BAPBPAPBAP
Eventos Mutuamente Exclusivos: SEM intersecção
AB = P() = 0
8
Probabilidade condicional
Tipo do leite
Condição do peso B (B) C (C) UHT (U) Total
dentro das especificações (D) 500 4500 1500 6500
fora das especificações (F) 30 270 50 350
Total 530 4770 1550 6850
051,06850
350)( FP 032,0
1550
50)|( UFP
)(
)(
68501550
685050
1550
50)|(
UP
UFPUFP
9
Probabilidade condicional
5
3
8/5
8/3
)(
)()|(
CalabresaP
CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa
nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com calabresa supondo
que houvesse champignon
nele?
4
3
8/4
8/3
)(
)()|(
ChampignonP
CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP
10
Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa nele?
4
2
8/4
8/2
)(
)()|(
CalabresaP
CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço com
calabresa supondo que
houvesse champignon nele?
4
2
8/4
8/2
)(
)()|(
ChampignonP
CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP
11
Probabilidades de eventos
) ( 1 ) ( A P A P
1) Evento complementar:
) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P
2) Propriedade da soma:
) ( ) ( ) ( B P A P B A P
3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:
) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P ×
4) Propriedade do produto:
) ( ) ( ) ( B P A P B A P ×
5) Propriedade do produto para eventos independentes
12
Variável aleatória
“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Associa números aos eventos do espaço amostral.
X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
X:
0 1 2x
13
Exemplos de variáveis aleatórias
Vida útil (em horas) de um televisor.
Número de peças com defeito em um lote produzido.
Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101.
Na internet, o tempo (em segundos) para que uma determinada mensagem chega ao seu destino.
Se uma mensagem chega (X = 1), ou não (X = 0), ao seu destino
14
Variáveis aleatórias
variável aleatória
discreta
os possíveis resultados
estão contidos em um
conjunto finito ou
enumerável
contínua
os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo
de números reais
0 1 2 3 4 ... 0 número de defeitos em ... tempo de resposta de ...
15
Construção de distribuições de probabilidades
Sortear 2 bolas
com reposição
X = número de bolas pretas na amostra
16
3/5
2/5
3/5
2/5
3/5 2/5
Sortear 2 bolas
com reposição
X = número de bolas
pretas na amostra
x p(x)
0 9/25 (0,36)
1 12/25 (0,48)
2 4/25 (0,16)
(10) (20)
17
3/5
2/5
2/4
2/4
3/4 1/4
Sortear 2 bolas
sem reposição
X = número de bolas
pretas na amostra
x p(x)
0 6/20 (0,30)
1 12/20 (0,60)
2 2/20 (0,10)
(10) (20)
18
Sortear 2 bolas
X = número de bolas
pretas na amostra
x p(x)
0 0,30
1 0,60
2 0,10
Distrib. de X
sem reposição
Distrib. de X
com reposição
x p(x)
0 0,36
1 0,48
2 0,16 independência
19
Exemplo 1
Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha.
Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência.)
20
Exemplo 1
x
0
1
1
1
2
2
2
3
Possibilidades
BBB
BBR
BRB
RBB
BRR
RBR
RRB
RRR
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
21
Exemplo 1
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
Total 1 0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
número de dias com falhas na rede
Distribuição de probabilidade de X:
22
Valor esperado e variância
x p(x)
x1 p1
x2 p2
... ...
xn pn
Total 1
ii pxXE
ii
pxXV22
23
Propriedades do valor esperado e variância
a)E(c) = c
b)E(X + c) = E(X) + c
c) E(cX) = cE(X)
d)E(X + Y) = E(X) + E(Y)
e) E(X – Y) = E(X) – E(Y)
a)V(c) = 0
b)V(X + c) = V(X)
c) V(cX) = c2V(X)
d)DP(cX) = |c|DP(X)
24
X = número de dias com falhas na rede.
ii pxXE
E(X) = 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8
Exemplo 1
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
25
X = número de dias com falha na rede.
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 –
1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72
Exemplo 1
ii
pxXV22
26
Experimento binomial
consiste de n ensaios;
cada ensaio tem somente dois resultados:
“sucesso” / “fracasso”;
os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p
(0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios);
====> X = número de sucesso nos n ensaios
27
Exemplos de experimentos binomiais
Número de caras em 10 lançamentos de uma moeda;
Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens (supondo amostragem aleatória e com reposição);
Número de eleitores favoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).
28
Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais
X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p;
P(X = 1) = ?
X = 1 C K K
K C K
K K C
P(CKK) = p (1 - p)2
P(X = 1) = 3 p (1 - p)2
x
n
29
O modelo binomial
xnx ppx
nxXP
1)(
Para um particular
x = 0, 1, ..., n:
)!(!
!,
xnx
n
x
nC xn
pnXE )(
)1()( ppnXV
30
Exemplo 1 (de novo)
Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha.
Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência.)
31
Exemplo 1 (de novo)
X = número de dias com falhas
binomial com
n = 3 p = 0,6 1 – p = 0,4
xx
xxXP
34,06,0
3)(
32
Exemplo 1 (de novo)
n = 3 p = 0,6
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3
x
1
( ) 3
0 P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064
= ( ) 3
0
3!
0! (3-0)! = 1
33
Exemplo 1 (de novo)
n = 3 p = 0,6
( ) 3
1 P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288
= ( ) 3
1
3!
1! (3-1)! = 3
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3
x
34
Exemplo 1 (de novo)
n = 3 p = 0,6
( ) 3
2 P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432
= ( ) 3
2
3!
2! (3-2)! = 3
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3
x
35
Exemplo 1 (de novo)
n = 3 p = 0,6
( ) 3
3 P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216
= ( ) 3
3
3!
3! (3-3)! = 1 1
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3
x
36
Distribuição da variável X
0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
Total 1
8,16,03)( pnXE
72,04,06,03)1()( ppnXV
37
Distribuição de Poisson
Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço): distribuição de Poisson. Exemplos:
chamadas telefônicas por minuto,
mensagens que chegam a um servidor por segundo
acidentes por dia,
defeitos por m2, etc..
38
Distribuição de Poisson Pressupostos
Os números de ocorrências em quaisquer intervalos são independentes.
A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é zero.
O número médio de ocorrências () é constante em todo o intervalo considerado.
39
Distrib. de Poisson: uma justificativa
X = núm. de ocorrências em [t, t+1]
t t+1 n intervalos de amplitude 1/n, com n
p = probab. de ocorrência em cada intervalo
xnx ppx
nxXP
)1()(
n
p 0
n p > 0
!)(
x
etxXP
tx
(x =0, 1, 2, ...)
40
As probabilidades de uma distribuição de Poisson são dadas por:
P(X=x) = e-t . tx
x!
t - número médio de ocorrências no intervalo
(tempo ou espaço) considerado.
Distribuição de Poisson Equação
41
Valor Esperado e Variância
O valor esperado (média) e a variância de uma
distribuição de Poisson são iguais a.
E(X) = t Var(X) = t
42
Exemplo 2
Em um processo produtivo têxtil, o número
médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4,
variando segundo uma distribuição de Poisson.
Qual é a probabilidade de que, em 1 m2 de tecido
fabricado:
a) não haja defeito?
43
Exemplo 2 - item a
= 0,4 t =1 t = 0,4
P(X=0) = e-0,4 . 0
0! = 0,6703 ou 67,03%
P(X=x) = e-0,4 . x
x!
44
Exemplo 2
Em um processo produtivo têxtil, o número
médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4, variando
segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a
probabilidade de que, em 1 m2 de tecido
fabricado:
a) não haja defeito?
b) haja no máximo 1 defeito?
45
Exemplo 2 - item b
P(X=1) = e-0,4 . 1
1! = 0,2681 ou 26,81%
P(X=x) = e-0,4 . x
x!
P(X=0) + P(X=1) = 0,6703 + 0,2681 = 0,9384
ou 93,84%
)( 1XP
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