1

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos

Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

2

Distribuição de Probabilidades

A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:

quais são os resultados possíveis;

qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

Variável discreta: pares valores – probabilidade.

Variável contínua: função densidade de probabilidades

Modelo de Bernoulli

Modelo teórico discreto

Apenas dois resultados possíveis: “sucesso”, “fracasso”.

3

x p(x)

0

1

1 – p

p

Total 1

E(X) = p

V(X) = p × (1 – p)

1 se

1 0 se

0 se

1

1

0

)(

x

x

x

p-xF

Modelo Binomial

Modelo teórico discreto

X terá distribuição binomial se:

X = X1 + X2 + ... + Xn

X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias discretas INDEPENDENTES com distribuição de Bernoulli, com parâmetro p CONSTANTE.

X: número de “sucessos” em n realizações de um experimento de Bernoulli

Com probabilidade de “sucesso” p constante (0 < p < 1)

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Exemplo 1

Lançamento de moeda honesta 4 vezes, identificação face voltada para cima: registro do número de caras (C).

“Sucesso” = Cara; p = 0,5; 1 – p = 0,5

Independência

P(X=0) = P(K1 K2 K3 K4) = P(K1)×P(K2)×P(K3)×P(K4)

P(X=0) = (1 – p)4 = 0,0625

P(X=1) = P[(C1 K2 K3 K4) (K1 C2 K3 K4) [(K1 K2 C3 K4) [(K1 K2 K3 C4) ]

Cada sub-evento é M.E. com os outros.

P(X=1) = 4×p×(1-p)3 = 0,25

5

Modelo binomial

6

xnxpp

x

n xXP

1)( (x = 0, 1, ..., n)

!!

!,

xxn

n =

x

nC xn

E(X) = n×p V(X) = n×p×(1 – p)

Exemplo 1 – pelo modelo binomial

n = 4; p = 0,5; 1 – p = 0,5

7

0625,00625,0115,05,00

4)0(

040

XP

25,0125,05,045,05,01

4)1(

141

XP

Exemplo 1 – pelo modelo binomial

8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4

Pro

bab

ilid

ade

s

X = Número de caras em 4 lançamentos da moeda

Distribuição binomial (n = 4; p = 0,5)

E(X) = n×p = 4 × 0,5 = 2 V(X) = n×p×(1 – p) = 4 × 0,5 × 0,5 = 1

Modelo de Poisson

Modelo teórico discreto.

Experimento aleatório com espaço amostral infinito enumerável.

Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço): distribuição de Poisson. Exemplos:

chamadas telefônicas por minuto,

mensagens que chegam a um servidor por segundo

acidentes por dia,

defeitos por m2, etc..

9

10

Modelo de Poisson

X = núm. de ocorrências em [t, t+1]

t t+1 n intervalos de amplitude 1/n, com n

p = probab. de ocorrência em cada intervalo

xnx ppx

nxXP

)1()(

n

p 0

n × p > 0

!)(

x

etxXP

tx

(x =0, 1, 2, ...)

Modelo de Poisson

11

!

)(x

texXP

xt

(x = 0, 1, 2, ...)

tXE )( tXV )(

Exemplo 2

Estudos de tráfego mostram que cerca de 3 mensagens chegam a um servidor a cada milissegundo.

Calcule a probabilidade de que pelo menos 4 mensagens cheguem em 1 milissegundo.

12

...)5()4()4( XPXPXP

)4(1)4( XPXP

)3()2()1()0()4( XPXPXPXPXP

Exemplo 2

13

x P(X=x) Resultado

0 0,0498

1 0,1494

2 0,224

3 0,224

!0

13)0(

013

eXP

!1

13)1(

113

eXP

!2

13)2(

213

eXP

!3

13)3(

313

eXP

3528,00,64721)4( XP

Modelo Uniforme Modelo teórico contínuo.

14

f(x)

x

f(x) = 1

1

15

Modelo Uniforme

P(a < X < b) = b - a

f(x)

x a b

12

)(

2)(

2

XVar

XE

Modelo Exponencial

Relação com a Poisson.

X: variável aleatória discreta com distribuição de Poisson – número de ocorrências em um intervalo finito com uma taxa λ.

T: variável aleatória contínua – tempo entre as ocorrências seguirá uma distribuição exponencial com valor esperado 1/λ

16

17

t0

P(T > t0) = e - t0

Modelo Exponencial

f(t) = e - t, λ e t > 0

f(t)

t

2

1)(

1)(

TVar

TE

18

Exemplo 3

O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano?

19

Exemplo 3

= 0,75

P(T > t) = e - t

P(T > 1) = e -()1 = 0,4724 ou 47,24%

Modelo Normal

20

Muitas variáveis aleatórias tem distribuições como:

Alturas (m)

Fre

qu

ên

cia

s

2,01,91,81,71,61,51,4

200

150

100

50

0

Alturas de homens adultos

21

Modelo Normal

f(x)

x

f x e

x

( )( )

1

2

1

2

2

: média

: desvio padrão

22

Características

x

Área = 1

A variável aleatória pode assumir valores de - ∞ a + ∞ .

Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade) .

23

Características

Simetria em relação à média.

x

50%

24 + -

área = 68,3%

Exemplo

25

+2 -2

Exemplo

área = 95,4%

26

Exemplo

+3 -3

área = 99,7%

27

Normal Padronizada

z = x -

z - variável normal padronizada

x - variável normal

- média

- desvio padrão

28

Normal Padronizada

x

- + -2 +2

0 z

-1 1 -2 2

29

Aproximação da Binomial pela Normal

Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média n×p e variância n×p×(1- p).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30

Exemplo 4

Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas.

31

Exemplo 4

0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,0440,044

0,205

0,117

0,205

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(X)

número de respostas corretas (X)

Distribuição binomial:

n=10 p=0,5

32

Exemplo 4

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas?

P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172

0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,044 0,044

0,205

0,117

0,205

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(X>6) = 0,172

33

Exemplo 4 (de novo)

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X>6,5)

34

Exemplo 4 (de novo)

x 5 6,5

P(X>6,5)

35

Exemplo 4 (de novo)

z = x -

6,5 - 5

1,581139 = = 0,95

= 5 = 1,581139 x = 6,5

z 0 0,95

0,1711 Lembrando:

a probabilidade.

Exata (pela

binomial)

era de 0,1720