MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNSpmbortolon.wdfiles.com/local--files/home/Aula 1_Distribuicoes Discretas.pdf · MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS

COMUNS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Definições

Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória representa um valor

numérico possível de um evento incerto.

• Variáveis aleatórias discretas produzem resultados

que advém de um processo de contagem (ex.: no.

de disciplinas que você cursa).

• Variáveis aleatórias contínuas produzem resultados

que advém de um processo de medição (ex.: seu

salário anual ou seu peso).

Variáveis Aleatórias Discretas

Exemplos

Variáveis aleatórias discretas só podem assumir um

número contável de valores

– Exemplos:

• Jogar um dado duas vezes

– Seja X o no. de vezes em que o 4 aparece (então X pode ser 0, 1, ou 2

vezes)

• Lançar uma moeda 5 vezes.

– Seja X o no. de caras (então X = 0, 1, 2, 3, 4, ou 5)

Definições

Variáveis Aleatórias

Variáveis

Aleatórias

Discreta

V. A.

Contínua

V. A.

Definições

Distribuição de Probabilidades

• Uma distribuição de probabilidades para uma variável aleatória discreta é uma lista mutuamente excludente de todos os resultados numéricos possíveis para aquela variável, de modo a que uma determinada probabilidade de ocorrência esteja associada a cada resultado.

No. de disciplinas Probabilidade

2 0.2

3 0.4

4 0.24

5 0.16

Definições


Experimento: Duas jogadas de uma moeda.

Seja X = # caras.


Valor X

Probabilidade

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25 0 1 2 X

.50

.25 P

rob

ab

ilit

y


Valor Esperado

• Valor Esperado (ou média) de uma distribuição discreta (Média Ponderada)

• Exemplo: 2 jogadas moeda, X = # de caras,

Calcule o valor esperado de X:

E(X) = (0)(.25) + (1)(.50) + (2)(.25)

= 1.0

N

i

ii XPX1

)( E(X)

Valor Probabilidade

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25


Valor Esperado

• Calcule o valor esperado

da distribuição:

No. de

disciplinas

Probabilidade

2 0.2

3 0.4

4 0.24

5 0.16

E(X) = 2(.2) + 3(.4) + 4(.24) + 5(.16) = 3.36

Então, o no. médio de disciplinas por aluno é

de 3.36.


Dispersão

• Variância de uma variável aleatória discreta

• Desvio Padrão de uma variável aleatória discreta

onde:

E(X) = Valor esperado da variável aleatória discreta X

Xi = o io. resultado de X

P(Xi) = Probabilidade do io. resultado de X ocorrer

N

1i

i

2

i

2 )P(XE(X)][Xσ

N

1i

i

2

i

2 )P(XE(X)][Xσσ


Dispersão

– Exemplo: Duas jogadas de uma moeda, X = #

caras, calcule o desvio padrão (lembrar que E(X)

= 1)

N

1i

i

2

i

2 )P(XE(X)][Xσσ

.707.50(.25)1)(2(.50)1)(1(.25)1)(0σ 222

Nos. possíveis de caras = 0, 1, or 2

Dist. de Probabilidades - Regras

• Duas regras se aplicam a qualquer distribuição de

probabilidades:

• ... estas regras permitem determinar se uma função (dada por

uma equação ou uma tabela) pode ou não servir como

distribuição de probabilidades de alguma variável aleatória.

Regra 1:

Os valores de uma distribuição de probabilidades devem

ser números do intervalo de 0 a 1.

Regra 2:

A soma de todos os valores de uma distribuição de pro-

babilidades deve ser igual a 1.

Distribuições de Probabilidade

• Vimos como descrever uma distribuição de

probabilidade e que características devem ser

obedecidas para que uma função possa ser

característica de uma distribuição de probabilidades.

• Conhecer a distribuição de probabilidade de um

experimento ou fenômeno nos dá uma forma

simples de avaliar as probabilidades dos resultados

possíveis dos mesmos.

• Os tipos de distribuição podem ser considerados

modelos para descrever situações que envolvem

resultados aleatórios.


• Cada modelo de distribuição de probabilidades na

estatística, terá seu conjunto de hipóteses que

definem as condições sob as quais aquele modelo

pode ser utilizado validamente.

• O objetivo de estudar distribuições de probabilidade

podem ser resumidos nas duas seguintes questões:

– Que hipóteses ou restrições básicas são exigidas por cada tipo

de distribuição de probabilidades? O conhecimento deste

aspecto é vital para confrontar uma variável aleatória com a

situação real.

– Como se podem usar as distribuições de probabilidades para

obter soluções de problemas?


• Se a situação real que você analisa se aproxima

fortemente de uma distribuição de probabilidades já

conhecida, sua análise fica muito mais simples,

como veremos adiante.

A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de

uma distribuição de probabilidades com as especificações

de determinado problema.


• Nesta aula veremos as principais distribuições de

probabilidade que podem ser aplicadas às variáveis

discretas.

Distribuição Binomial

Distribuição de Poisson

Distribuição Binomial:

Propriedades

• A amostra consiste em um número fixo de observações, n

– ex. 15 jogadas de uma moeda; dez lâmpadas retiradas de um estoque

• Cada observação é classificada como uma de duas

categorias mutuamente excludentes e coletivamente

exaustivas, geralmente chamadas de sucesso e insucesso

– ex. Cara ou coroa em cada jogada da moeda; defeituosa ou não defeituosa no caso das lâmpadas; ter um menino ou uma menina

– Geralmente chamados “sucesso” e “fracasso”

– Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de fracasso é igual a 1 – p

• A probabilidade é a mesma para cada observação

– ex. A probabilidade de dar cara é a mesma a cada vez que a

moeda é lançada

Distribuição Binomial:

Propriedades

• As observações são independentes – O resultado de uma observação não afeta o resultado da

observação seguinte

• Para assegurar essa independência as

observações podem ser selecionadas

aleatoriamente, seja a partir de uma

– População infinita sem reposição

– População finita com reposição

Aplicações da Distribuição Binomial

• Uma fábrica que classifica itens como

defeituoso ou não defeituoso

• Uma firma que coloca uma proposta para um

contrato ter sucesso ou não na conclusão do

negócio

• Uma pesquisa de mercado para uma empresa

receber respostas “sim, eu comprarei” ou “não

eu não comprarei” o produto da empresa

• Candidatos a um emprego aceitarem ou não a

oferta da empresa

• Seu time ganhar ou não um jogo de futebol


Técnicas de Contagem

• Suponha que sucesso seja definido como obter

CARA (C) em pelo menos dois de três lançamentos

de uma moeda equilibrada. De quantas formas esse

“sucesso” pode ocorrer?

• Possibilidades: CCK, CKC, KCC, CCC, logo, há

quatro diferentes maneiras.

• Essa situação é bastante simples. Nós precisamos

de uma forma de contar os sucessos em situações

mais complicadas.


Combinações

• Combinações são usadas para contar de quantas

maneiras podemos selecionar X objetos em um

conjunto de n objetos:

X)!(nX!

n!

X

n),(C

Xn

onde:

n! =n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)

X! = X(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1)

0! = 1 (por definição)


Combinações

• De quantas formas diferentes podemos escolher 3

sabores de sorvete se você tem 31 opções de

sabores para escolher?

• O total de opções é n = 31, e você escolherá X = 3.

44952953128!123

28!293031

3!28!

31!

3)!(313!

31!

3

31)3,31(C


Fórmula

XnX )(1X)!(nX!

n!P(X)

pp

P(X) = probabilidade de X sucessos em n tentativas, com probabilidade de sucesso p em cada tentativa

X = no. de ‘sucessos’ na amostra,

(X = 0, 1, 2, ..., n)

n = tamanho da amostra (numero de

tentativas ou observações)

p = probabilidade de “sucesso”

Exemplo: lançar uma

moeda 4 vezes, seja x = #

caras:

n = 4

p = 0.5

1 - p = (1 - .5) = .5

X = 0, 1, 2, 3, 4


Exemplo

32805,0

0,90)(5)(0,10)(

0,10)(1(0,10)1)!(51!

5!

)(1X)!(nX!

n!1)P(X

4

151

XnX

pp

Qual a probabilidade de um sucesso em 5 observações

se a probabilidade de sucesso é 0,10?

X = 1, n = 5, and p = 0,10


Exemplo

Suponha que a probabilidade de comprar um

computador defeituoso seja de 0,02. Qual a

probabilidade de comprar 2 computadores defeituosos

em um lote de 10 computadores?

X = 2, n = 10, and p = 0,02

0,01531

4)(0,8508)(45)(0,000

0,02)(1(0,02)2)!(102!

10!

)(1X)!(nX!

n!2)P(X

2102

XnX

pp


Forma

n = 5 p = 0,10

0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

n = 5 p = 0,50

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

0

• A forma da distribuição binomial depende dos valores de p e de n

• Aqui, n = 5 e p = 0,10

• Aqui, n = 5 e p = 0,50


Características

• Média

• Variância e Desvio Padrão

pnE(x)μ

)-(1nσ2 pp )-(1nσ pp

Onde n = tamanho da amostra

p = probabilidade de sucesso

(1 – p) = probabilidade de fracasso


Características

n = 5 p = 0,10

0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

n = 5 p = 0,50

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

0

0,5(5)(0,10)nμ p

0,6708

0,10)1(5)(0,10)()-(1nσ

pp

2,5(5)(0,50)nμ p

1,118

0,50)1(5)(0,50)()-(1nσ

pp

Exemplos


Exemplo

• A probabilidade de que uma pessoa fazendo compras num certo supermercado aproveita uma promoção especial de sorvete é de 0,30. Determine a probabilidade de que dentre seis pessoas fazendo compras nesse supermercado haja até três aproveitando a promoção.

– Solução: admitindo que a escolha seja aleatória, substituímos n=6, p=0,30 e, respectivamente, x=0, 1, 2, 3 na fórmula da distribuição binomial, otendo:

93,0185,0324,0303,0118,0)3(

185,0)70,0()30,0(3

6)3(

324,0)70,0()30,0(2

6)2(

303,0)70,0()30,0(1

6)1(

118,0)70,0()30,0(0

6)0(

33

42

51

60

XP

P

P

P

P


Definições

• Muitos estudos são baseados na contagem das vezes em que um evento específico ocorre em uma determinada área de oportunidade

• Uma área de oportunidade é uma unidade contínua ou um intervalo de tempo, volume ou uma área tal que nela possa acontecer mais de uma ocorrência de um evento

• Exemplos – Defeitos na pintura de uma geladeira nova

– Número de falhas na rede em um determinado dia

– Número de pulgas no pêlo de um cachorro

• Nestas situações você usa a distribuição de Poisson se…


Propriedades

A distribuição de Poisson é aplicada quando:

– Você estiver interessado em contar o número de vezes em que um

evento específico ocorre em uma determinada área de

oportunidades. A área de oportunidades é definida pelo tempo,

extensão, área de superfície e assim sucessivamente.

– A probabilidade de que um evento específico ocorra em uma

determinada área de oportunidades é a mesma para todas as áreas

de oportunidades.

– O número de eventos que ocorrem em uma determinada área de

oportunidades é independente do número de eventos que ocorrem

em qualquer outra área de oportunidades.

– A probabilidade de que dois ou mais eventos venham a ocorrer em

uma determinada área de oportunidades se arpoxima de zero à

medida que a área de oportunidades se torna menor.


Fórmula

X!

λeP(X)

xλ

onde:

X = probabilidade de X eventos ocorram numa área de

oportunidade

= número esperado de eventos

e = constante matemática aproximada por 2,71828…


Parâmetro λ

• O parâmetro λ (a letra grega minúscula lambda), representa a

média, ou o número de sucessos por unidade.

• A variância de uma distribuição de Poisson é igual a λ, e o

desvio padrão é igual a


Exemplo

• Suponha que, em média, 5 carros entrem em um

estacionamento por minuto. Qual é a probabilidade de que

em um dado minuto, 7 carros entrem?

• Então, X = 7 e λ = 5

0,1047!

5e

X!

λeP(7)

75xλ

Portanto, há uma probabilidade de 10,4% de que 7

carros entrem no estacionamento em um dado

minuto.


Forma

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x

)

P(X = 2) = 0,0758

X P(X)

0

1

2

3

4

5

6

7

0.6065

0.3033

0.0758

0.0126

0.0016

0.0002

0.0000

0.0000

= 0,50


Forma

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

P(x

)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x

)

= 0,50 = 3,00

• O formato da distribuição de Poisson depende

do parâmetro :


Exemplo

• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por

mês, em uma unidade de produção segue uma

distribuição de Poisson, com uma média aritmética

de 2,5 acidentes de trabalho por mês.

– (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês

nenhum acidente de trabalho venha a ocorrer?

– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a

ocorrer?


Exemplo

• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de

produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5

acidentes de trabalho por mês. – (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho

venha a ocorrer?

– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a ocorrer?

• Solução: com λ = 2,5

– (a)

A probabildade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho ocorra é 0,0821,

ou 8,21%.

– (b)

– A probabilidade de que em um determinado mês haverá pelo menos um acidente de trabalho é

0,9179, ou 91,79%.

0821,0)1()71828,2(

1

!0

)5,2()0(

5,2

05,2

e

XP

9179,00821,01)0(1)1( XPXP

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