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Rosa – 2019
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeProbabilidade CondicionalIndependência de EventosTeorema da Probabilidade TotalLei de BayesVariáveis AleatóriasPMF, CDF
Rosa – 2019
Probabilidade CondicionalRelacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos
Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu?Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A?
Espaço amostral passa a ser o evento B
SEvento BEvento A
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Probabilidade Condicional
Definição:
P [A∣B ]=P [A∩B]
P[B]Probabilidadede A dado B
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Eventos IndependentesSejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S
A e B são independentes se
P [A∩B ]=P [A ]P [B ]
Note que se A e B são independentes, então
P [A∣B ]=P [A∩B ]
P [B ]=
P [A ]P [B ]
P [B ]=P [A ]
2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro
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Regra do produto (1)Teorema : Considere um conjunto finito de eventos tais que os eventos condicionais
tenham probabilidades positivas.
Temos que:
A i /A1∩A2∩...∩A i−1
A1, A2, ... , An
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Regra do produto (2)Para demonstrar basta escrever:
E reescrever o lado direito da equação usando a definição de probabilidade condicional:
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Exemplo: Dado e moeda
Evento A: resultado do dado é ímpar
Evento B: resultado da moeda é cara
Eventos A e B são independentes ? S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),
(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)}
P [A∩B]=P [A]P[B]=1/4
P [A∩B ]
A∩B
P[A] = 1/2, P[B] = 1/2
= {(1,Ca), (3,Ca), (5,Ca) }
= 3/12 = 1/4
A e B sãoindependentes!
P [A/B]=P[ A∩B] /P [B]=1/2
6 resultados em 12
3 resultados em 6
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Exemplo: Dois dadosEvento A : os dois dados são pares
Evento B : soma dos dados é menor que 7A e B são independentes?A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4),
(6,6)}B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
P [A∩B ]≠P [A ]P [B ]
P [A∩B ]
A∩BP[A] = 9/36=1/4, P[B]=15/36=5/12
= {(2,2), (2,4), (4,2) }
= 3/36 = 1/12
A e B não sãoindependentes!
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Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes
Experimento Aleatório: Jogar um dado e uma moedaS={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),
(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)}
Evento A: resultado da moeda é cara P(A) = 1/2
Evento B: resultado da moeda é coroa P(B) = 1/2
Eventos A e B são independentes ou mutuamente exclusivos?
A∩B=∅ A e B são mutuamenteexclusivos!
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Eventos: Mutuamente Exclusivos x IndependentesEvento A: resultado do dado é maior do que 2
Evento B: resultado da moeda é caraS={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),
(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)}
A∩B = { (3,Ca), (4,Ca), (5,Ca), (6,Ca)}
P [A∩B] = 4/12 = 1/3
P [A∩B]=1/3=P [A]P [B]=2 /6
P[A] = 8/12 = 2/3, P[B] = 1/2
A e B sãoindependentes!
P [A/B]=P[ A∩B] /P [B]=2 /3
8 resultados em 12
2 resultados em 3
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CondicionamentoRelacionar eventos para calcular probabilidade
Sejam A e B dois eventos, temos que
P [A∩B]P [A∩B] mutuamenteexclusivos
Definição de probabilidadecondicional
P [A]=P [ A∩B∪A∩B ]
=
=
definição deconjuntos
P [A∩B]P [A∩B]
P [A∣B ]P [B]P[A∣B]P [B ]
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Teorema da Probabilidade TotalGeneralização do conceito
Seja Bi (i=1,...,n) uma partição do espaço amostral
com Bi eventos mutuamente exclusivos, cuja união é igual ao
espaço amostral
B1
B2
B3
Bn-1
Bn
. . .A
Considere o evento Aprobabilidade de A ocorrer (em função de B
i)?
P [A]=∑i=1
i=n
P [A∣Bi ]P [Bi ]Teorema da ProbabilidadeTotal
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Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso
Uso do teorema da probabilidade total
P [B i /A]=(P [A/B i]P [B i ])
(∑i=1
i=n
P [A∣B i]P [B i])P [A]
P [Bi∩A]
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Exemplo 1Técnica (imperfeita) para acusar defeitos em processadores
95% verdadeiro positivo
5% falso positivo
1% dos processadores possuem defeitos
Qual a probabilidade de um processador ser defeituoso dado que o teste foi positivo?Eventos
D : processador defeituoso
T : resultado do teste é positivo
teste acusa defeito quando processadorestá defeituosoteste acusa defeito quando processadorestá ok
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Exemplo 1D : processador defeituoso
T : resultado do teste é positivo
Pergunta: P[D|T] ?
P [D ]=0.01
P [D∣T ]=P[D∩T ]
P [T ]=
P[T∣D ]P[D ]
P [T ]
P [T∣D]=0.95 P [T∣D ]=0.05
P [T ]=P [T∣D ]P [D ]P [T∣D ]P [D ]
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Example 2: medical test Event A: Subject has disease Event B: Test is positive
Interpret: Probability patient has disease and positive test (true positive)Probability patient has disease BUT negative test (false negative) Probability patient has no disease BUT positive test (false positive)Probability patient has no disease and negative test(true negative)
P(A∩B)
P(A∩B)
P(A∩B)
P(A∩B)
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Example 2: medical test Event A: Subject has disease Event B: Test is positive
Question: Suppose you have taken this test and, unfortunately, the test result is positive. What is the chance that you are indeed infected by this disease?
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Example 2: medical test
If only data we have is B or not B, what can we say about A being true?
Not as simple as positive = disease, negative = healthyTest is not infallible!
Probability of having a disease depends on A and B:
p ( A|B )=p ( A∩B )
p ( B )
p ( A|B )=p ( A∩B )
p ( B )=
p ( A∩B )
1−p ( B )
Event A: Subject has disease Event B: Test is positive
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Example 2: medical test Bayes’ theorem allows inference on A, given the test result, using knowledge of the test’s accuracy and population qualities
P(B|A) is test’s accuracy P(B|A) is test’s false positive rateP(A) is occurrence of disease
P(A∣B)=P (A∩B)
P(B)=
P (B∣A)P (A )
P (B)
P(B)=∑∀ i
P (B / A i)P(Ai)=P (B / A )P(A )+P (B / A)P (A )
Event A: Subject has disease Event B: Test is positive
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Example 2: medical test Bayes’ theorem allows inference on A, given the test result, using knowledge of the test’s accuracy and population qualities
P(B|A) is test’s accuracy = 0.99 P(B|A) is test’s false positive rate = 0.01P(A) is occurrence of disease = 0.01
P(A /B)=P (A∩B)
P (B)=
P (B /A )P (A )
P (B)=0.5
P(B)=∑∀ i
P (B / A i)P(Ai)=P (B / A )P(A )+P (B / A)P (A )
Event A: Subject has disease Event B: Test is positive
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Example 2: medical test Bayes’ theorem allows inference on A, given the test result, using knowledge of the test’s accuracy and population qualities
P(B|A) is test’s accuracy = 0.99 P(B|A) is test’s false positive rate = 0.01P(A) is occurrence of disease = 0.001 (rare disease)
P(A /B)=P (A∩B)
P (B)=
P (B /A )P (A )
P (B)=0.09
P(B)=∑∀ i
P (B / A i)P(Ai)=P (B / A )P(A )+P (B / A)P (A )
Event A: Subject has disease Event B: Test is positive
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Exemplo 3Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a resposta ou arrisca uma das alternativas. Seja p a probabilidade do estudante saber a resposta e1p a probabilidade do estudante arriscar adivinhála. Assuma que um estudante que arrisca a resposta, acerta a resposta correta com probabilidade 1/m, onde m é o número de alternativas de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a resposta da questão, dado que ele respondeu corretamente ?
=> Primeiro passo: definição dos eventos
=> Segundo passo: definição da equação a ser usada
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Exemplo 3Evento C: o estudante responde corretamente
Evento K: o estudante sabe a resposta
Se m=5 e p=1/2, então a probabilidade de um estudante saber a resposta de uma questão que ele respondeu corretamente é 5/6.
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Exemplo 4Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 seja recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine:
– Probabilidade que um 1 seja recebido
– Probabilidade que um 0 seja recebido
– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi
recebido
– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi
recebido
– Probabilidade de um erro
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Exemplo 4Definição de eventos:
– 0 é transmitido
– 0 é recebido
– 1 é transmitido
– 1 é recebidoT 1=T 0
R1=R0
T 0
R0
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Exemplo 4Perguntas:
– Probabilidade que um 1 seja recebido
– Probabilidade que um 0 seja recebido
– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido
– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido
– Probabilidade de um erro
P(R1)
P(R0)
P(T 1/R1)
P(T 0 /R0)
P(R1/T 0)P(T 0)+P(R0 /T 1)P(T 1)
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P (R1/T 0)=1−P (R0 /T 0)=0.06P(R1 /T1)=0.91 ⇒P(R0/T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P (T1)=1−P (T 0)=0.55
Cálculo de P(R1) e P(R
0)
P(R1)=P(R1/T 1)P(T 1)+P (R1/T 0)P (T 0)
0.91∗0.55+0.06∗0.45=0.5545
P(R0)=1−P(R1)=0.4455
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55
Cálculo de P(T1/R
1)
P(T 1/R1)=P(T 1∩R1)
P(R1)=
P(R1/T 1)P(T 1)
P(R1)=
0.91∗0.550.5545
=0.9026
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55
Cálculo de P(T0/R
0)
P(T 0 /R0)=P(T 0∩R0)
P(R0)=
P(R0/T 0)P(T 0)
P(R0)=
0.94∗0.450.4455
=0.9494
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55
Cálculo de P(“Erro”)
P(Erro)=P(R1/T 0)P (T 0)+P(R0 /T 1)P(T 1)
0.06∗0.45+0.09∗0.55=0.0765
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Exemplo 5Vamos supor que vamos selecionar 3 cartas em um baralho comum (com 52 cartas) ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos 3 reis?
Pela regra do produto, temos:
Evento Ai={iésima carta retirada é rei}, onde i=1,2,3
Queremos calcular P(A1∩A2∩A3)
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Variáveis Aleatórias
Necessidade de expressar eventos de forma precisa
Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado
Idéia: Mapear eventos em números reais!
A B C D E
reais
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Exemplo: 1 dado
Considere um dadoGanha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou 3
1 2 3 4 5 6
0 10-5
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Definição de V.A.
Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S
v.a. é uma função
imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo)
função não precisa ser bijetora (umparaum)
X :S ℜ
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Exemplo: 2 dados
Considere dois dados (vermelho e preto)
Espaço amostral:S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }
Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados
Inversa de X
eventos que levam a um certo valor de X
X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
X i , j =i j
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Função probabilidade de massa (pmf)
Associar probabilidade a valores de uma v.a.
Seja X uma v.a. (discreta)
Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x
notação de pmf (probability mass function)
{s∣X s=x }
pX x =P [X =x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x
P [ s]
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Propriedades da função probabilidade de massa
onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir
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Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados
Defina a pmf de X
Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)?
= 1/36
= 2/36
= 3/36
X=2 : {(1,1)}
X=3 : {(1,2), (2,1)}
X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}
. . .
pX x =P [X =x ]
pX 2=P [X =2]
pX 3=P [X =3]
px 4=P [X =4]
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Exemplo: 2 dadospmf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
P [X
= x
]
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Função distribuição cumulativa (cdf)
Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)
Dada v.a. X, temos
notação da cdf (cumulative distribution function)
FX(x) é não decrescente
Limite quando x tende a infinito é 1
F X x =P [X x ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx
P [ s ]
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Propriedades da função distribuição cumulativa
