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AULA 6 – MODELOS

PROBABILÍSTICOS

Docente: Cira Souza Pitombo

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ESCOLA POLITÉCNICA

MEAU- MESTRADO EM ENGENHARIA AMBIENTAL URBANA

ENG C 18 Métodos de Pesquisa Quantitativos e Qualitativos

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O QUE VIMOS ATÉ AQUI? • EXPLORANDO OS DADOS

– VARIÁVEIS QUALITATIVAS

– VARIÁVEIS QUANTITATIVAS

• MEDIDAS DESCRITIVAS – MÉDIA

– DESVIO PADRÃO

– VARIÂNCIA

– EXTREMOS, QUARTIS

– BOX-PLOT

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O QUE VIMOS ATÉ AQUI?

DADOS OBSERVADOS

Análise exploratória dos

dados (distribuições de

freqüências, medidas

descritivas)

HIPÓTESES, CONJECTURAS, ETC

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O QUE VEREMOS?

RESULTADOS OU DADOS

OBSERVADOS

Modelos

Probabilísticos

HIPÓTESES, CONJECTURAS, ETC

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Modelos probabilísticos são construídos a partir de

certas hipóteses ou conjecturas sobre o problema

em questão e constituem-se de duas partes:

(1) Possíveis resultados; (2) Uma certa lei que nos

diz quão provável é cada resultado

Experimento: Lançar uma moeda e observar a face

voltada pra cima. Possíveis resultados?

Se admitirmos que a moeda é perfeitamente equilibrada

e o lançamento for imparcial, podemos também dizer

que a probabilidade de ocorrer cara é a mesma de

ocorrer coroa.

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Espaço amostral é o conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento

Lançar um dado com os lados numerados de um a

seis e observar o número de pontos marcados no

lado voltado para cima

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Numa urna com bolas azuis e vermelhas, extrair

uma bola e observar sua cor

= { azul, vermelha}

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Espaço amostral é o conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento

Num certo bairro, selecionar uma amostra de 10

famílias e verificar quantas delas se utilizaram de

algum programa de alimentação popular nos

últimos dois meses

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Numa certa escola, selecionar uma criança e medir

a sua altura.

= { X, tal que x € R e 0<x<2,00m }

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Evento qualquer conjunto de

resultados possíveis

Lançar um dado com os lados numerados de um a



A= ocorrer um número par, A={2, 4, 6}

B= ocorrer um número menor que 3, B={1,2}

C= ocorrer um número 6, C={6}

D= ocorrer um número maior que 6, D={ }

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Probabilidades: são valores entre 0 (zero) e 1 (um).

E a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis do experimento deve ser igual a 1 (um).

No lançamento de uma moeda, podemos alocar

probabilidade 0,5 tanto para cara como para

coroa

Resultado Probabilidade

Cara 0,5

Coroa 0,5

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DEFINIÇÕES BÁSICAS Lançar um dado com os lados numerados de um a



Resultado 1 2 3 4 5 6

Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Princípio da eqüiprobabilidade quando as características

de um experimento sugerem N resultados possíveis, todos com igual probabilidade de ocorrência, a probabilidade de um certo evento A, contendo N resultados, pode ser definida por:

doslderesultanumerotota

AsultadosdenumerodereAP

N

nAP

)(

)(

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DEFINIÇÕES BÁSICAS Lançar um dado com os lados numerados de um a seis e

observar o número de pontos marcados no lado

voltado para cima

A= ocorrer um número par, A={2, 4, 6}

B= ocorrer um número menor que 3, B={1,2}

C= ocorrer um número 6, C={6}

D= ocorrer um número maior que 6, D={ }

Eventos Probabilidades

A P(A)=3/6=1/2=0,5

B P(B)=2/6=1/3

C P(C)=1/6

D P(D)=0/6=0

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Ensaios de Bernoulli ocorrem em situações onde

observamos apenas um elemento e verificamos se este tem (ou não) um certo atributo considerado

Seja uma urna com bolas vermelhas e brancas. Extrair

aleatoriamente uma bola da urna e observar se é de

cor branca.

Observar , ao acaso, um morador da cidade e verificar

se ele é favorável a um certo projeto municipal.

Admita que todos os moradores têm opinião formada.

Lançar um dados e observar se ocorreu o ponto 6

Selecionar, aleatoriamente, um eleitor numa cidade e

verificar se ele pretende votar em determinado

candidato. Admita que todos os eleitores já tenham o

seu voto definido.

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Lançar um dado e observar se ocorreu o ponto 6

Se admitirmos que 70% dos moradores são favoráveis ao

projeto, temos o seguinte modelo probabilístico

Resultado Sim (favorável) Não (discorda)

Probabilidade 0,7 0,3

Resultado Sim (ponto 6) Não (outro ponto)

Probabilidade 1/6 5/6

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Muitas vezes, não conhecemos informações suficientes

para especificar completamente o modelo

probabilístico

Podemos, por exemplo, não conhecer a percentagem de

favoráveis na população

Resultado Sim (favorável) Não (discorda)

Probabilidade ¶ 1-¶




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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Variável aleatória característica numérica associada aos

resultados de um experimento.

X= números de caras em três lançamentos de uma

moeda

X= Percentagem de pessoas favoráveis a um projeto

municipal, numa amostra de 500 moradores da cidade

Podemos caracterizar um ensaio de Bernoulli por uma

variável aleatória X, definida da seguinte forma:

X=0, se não e X=1, se sim

X 1 0

P(x) ¶ 1-¶

Um modelo probabilístico, quando apresentado em

termos de uma variável aleatória, também é

chamado de distribuição de probabilidades

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DEFINIÇÕES BÁSICAS • Exercício 1: Numa urna com 10 bolas numeradas de 1 a

10, extrair, aleatoriamente, uma bola e observar o seu número

• Construa um modelo probabilístico

• Liste os resultados contidos nos eventos: A = número par; B = número ímpar e C= número menor que 3

• Atribua probabilidades aos eventos acima

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O MODELO BINOMIAL • É um tipo de modelo probabilístico que se presta a

diversas situações práticas, especialmente às situações onde observamos a presença ou ausência de algum atributo.

Em geral, temos interesse no número (ou percentagem)

de elementos que têm o atributo em estudo, numa

amostra de n elementos observados.

• EXEMPLOS?

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O MODELO BINOMIAL • Um experimento é dito binomial, quando

• Consiste de n ensaios

• Cada ensaio tem apenas dois resultados: Sim ou Não

• Os ensaios são independentes entre si, com probabilidade ¶ de ocorrer sim, sendo ¶ uma constante entre 0 e 1 (0<¶<1)

• X= número de ocorrências SIM nos n ensaios

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O MODELO BINOMIAL • Exemplos

• O número Y de caras, em três lançamentos imparciais de uma moeda perfeitamente equilibrada

n =

¶ =

• Dentre uma grande população de pessoas em que 70% são

favoráveis a um projeto municipal, o número X de favoráveis, numa amostra aleatória de dez pessoas.

n =

¶ =

• 1000 eleitores de declararam a favor de um certo

candidato, numa amostra de 3000 eleitores, extraída aleatoriamente de uma população de 100.000 eleitores

n =

¶ =

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TABELA DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

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Seja a população de pessoas de um município em que 45% são

favoráveis a um certo projeto municipal. Qual é a probabilidade de que,

numa amostra aleatória simples de 10 pessoas dessa população, a

maioria seja favorável ao projeto.

P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P (10)

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Seja uma população em que 40% são favoráveis e 60% são contrários a

um projeto. Apresente a distribuição de probabilidades de X = número

de favoráveis numa amostra aleatória de n = 5 moradores

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O MODELO BINOMIAL : Formulação Matemática

População

Amostra de n pessoas

X=número de favoráveis

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X=número de

favoráveis

Valores

de X

Probabilida

des

0

NNNN

4)1(

Amostra de n = 4 pessoas

1

NNNS NNSN

NSNN SNNN

3)1(4

2

NNSS NSNS NSSN SNNS

SNSN

SSNN

22 )1(6

3

NSSS SNSS SSNS

SSSN

)1(4 3

4

SSSS

4

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Coeficiente binomial

!)!(

!

xxn

n

x

n

x é um valor possível da variável aleatória X

xnx

x

nxp

)1.(.)(

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!)!(

!

xxn

n

x

n

xnx

x

nxp

)1.(.)(

Seja uma população de pessoas de um município em que 70% são favoráveis

a um certo projeto municipal. Qual é a probabilidade de, numa amostra

aleatória simples de quatro pessoas desta população, encontrarmos

exatamente três pessoas favoráveis ao projeto?

n=4 e ¶ =0,7

4116,0)3,0.()7,0.(3

4)3( 13

p

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Etapa 2 – Parte 1

1. Determine o espaço amostral das variáveis do seu estudo de caso.

2. As equipes que não possuem variáveis binárias no seu estudo de caso, devem

“transformá-las” em binária.

3. Considerando as suas variáveis binárias, e, utilizando-se da distribuição de

frequência de tais variáveis (%) para valores “0” e (%) para valores “1”.

Apresente o modelo probabilístico para as variáveis binárias do seu estudo de

caso.



Determine n e ¶.



Considere também que a sua amostra é a sua população. Qual é a probabilidade

de, numa amostra aleatória simples de quatro pessoas (eventos ou objetos) desta

população, encontrar exatamente três com resposta Sim?

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