1 2 ANLISECOMBINATRIAuma partedamatemticaqueestudaos agrupamentosdeelementossem precisar de enumer-los. Aorigemdesseassuntoestligadaao estudodosjogosdeazar,taiscomo: lanamentodedados,jogosdecartas, etc.3 Atualmente,aestimativadeacertos emjogospopularescomo:loteria esportiva,loto,loteriafederal,etc., almdeutilizaesmaisespecficas, comoconfecesdehorrios,de planosdeproduo,denmerosde placas de automveis etc. 4 Ex.: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 64! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Conveno 0! = 1 1! = 1Fatorial uma operao ! 5 Observao: n! = n (n 1)! Ex.: 8! = 8 . 7! 10! = 10 . 9! Exemplo:Simplificar a expresso: 9900! 98! 98 99 100! 98! 100= =x x6 O Tringulo de Pascal assim como o conhecemos, naverdadenofoidescobertoporPascal,oupor Tartaglia, como conhecido na Itlia; na verdade o clculodecombinaesearranjos,data200a.c. com Pingala, na ndia. NaChina,1700antesdePascal,masem1.654 umfamosojogadordenominadoOCavaleirode Mrescreveuumacartaaofamosomatemtico BlaisePascal,propondo-lheresolveralguns problemasmatemticoscomojogosdedadose probabilidades.7 Propriedades do Tringulo de Pascal 8 Observamos que todas as linhas comem e terminam em 1; Na construo no necessrio calcular os coeficientes binomiais um a um. A partir da 3 linha, cada elemento( com exceo do primeiro e do ltimo) a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Esta propriedade conhecida como relao de Stifel. 9 Tringulo Aritmtico de Pascal 1 1 1 121 13 31 14 64 1 1510 10 5 1 1615 20 15 61 1721 35 35 21 7 1 1828 56 70 562881 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 p= 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 10 Simetria O tringulo de Pascal apresenta simetria em relao altura, se escrito da seguinte forma: ||.|

\|=||.|

\|p nnpn11 O s simtricos so iguais. 1 1 1 121 13 31 14 64 1 1510 10 5 1 1615 20 15 61 1721 35 35 21 7 1 1828 56 70 562881 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 p= 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 12 Asomadoselementosdecadalinhauma potncia de 2, cujo expoente corresponde ordem da linha:c 13 Aplicao NoconjuntoA={1,2,3}onmerode subconjuntosser23=8subconjuntos ( soma das linhas) ,ou seja, P(A)={C,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} 14 1 1 1 121 13 31 14 64 1 1510 10 5 1 1615 20 15 61 1721 35 35 21 7 1 1828 56 70 562881 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 p= 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 15 Osnmerosnaturaisaparecemem sequncia na segunda diagonal. 16 Os nmeros triangulares aparecem na 3 diagonal, representam a soma dos naturais: 1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6, etc. Generalizando, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =2) 1 ( + n n17 18 Os nmeros tetradricos so o nmero de pontos com que se pode definir um tetraedro, *com , ) 2 )( 1 (61N n n n n Tne + + =19 20 Seqncia de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,... OsnmerosdeFibonacciaparecemcom frequnciananatureza,essesnmeros comeam pelo 1 e cada um dos seguintes a soma dos dois anteriores. NoTringulodePascalosnmerosde Fibonacciaparecemcomosomados nmeros das diagonais secundrias: 21 22 Curiosidade Retngulo ureo e o Nautilus Anexandodoisquadradoscomlado=1, teremos um retngulo 2x1, sendo o lado maiorigualsomadosladosdos quadradosanteriores.Anexamosagora outroquadradocomlado=2(omaior ladodoretngulo2x1)eteremosum retngulo 3x2.23 Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retngulos obtidos no passo anterior. A sequncia dos lados dos prximos quadrados : 3,5,8,13,... que a sequncia de Fibonacci. 24 Usandoumcompasso,traceumquarto decrculonoquadradodeladoL=13 ( figura abaixo), repita o processo para os outros quadrados, 25 Comasconcordnciasdessascurvas, obtemosumaespiralcomoadoNautilus marinho.26 Binmio de Newton Uma das aplicaes que Pascal fazia era a determinao dos coeficientes binomiais, quando fazemos a expanso do binmio de Newton: O desenvolvimento acima tem como coeficientes os nmeros da linha 2 do tringulo. 2 2 22 ) ( b ab a b a + + = +27 J se desejarmos a expanso dePegaremosalinha3,eassimpor diante. 3) ( b a +28 Herana Quantitativa ou Polignica Naheranaquantitativadoisoumais paresdealelosdeterminamo fentipo.Poristotambmchamadade herana polignica. Onmerodefentiposquepodemser encontradosdependedonmerode paresdealelosenvolvidos,que chamamos de n: O nmero de fentipos = 2n +1 29 Quandoestoenvolvidos2paresde genes haver 5 fentipos possveis. Se forem 3 pares sero 7 fentipos; Seforem4paressero9fentipose assim por diante. Sabemosqueafrequnciadefentipos sedistribuiemumacurvanormal, assuntoqueserabordado posteriormente. 30 Expressividade do carter a = mnima, b = mdia, c = mxima31 Cor da pele humana No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fentipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma funo, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina pele, se efetivos (N ou B) ou no acrescentar nada, se no efetivos (n ou b). 32 Seacontecerumcruzamentoentre dihbridos,quaisseroaspropores fenotpicasdadescendncia? UsandoaGentica:(quaissoos gametaseostipospossveisdefilhos gerados?) 33 GametasNBNbnBnb NBNNBBNNBbNnBBNnBb NbNNBbNNbbNnBbNnbb nBNnBBNnBbnnBBnnBb nbNnBbNnbbnnBbnnbb NnBb x NnBbGametas produzidos por ambos:NB, Nb, nB e nb 34 FentiposNmero de genes Negro(NNBB )4 genes efetivos e 0 no efetivos mulatos escuros(NNBb ou nNBB ) 3 genes efetivos e 1 no efetivomulatos mdios(NNbb, nnBB ou NnBb ) 2 genes efetivos e 2 no efetivos mulatos claros(Nnbb ou nnBb ) 1 gene efetivo e 3 no efetivos Branco (nnbb )0 genes efetivos e 4 no efetivos 35 Usando o Tringulo de Pascal:Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes no efetivos = 2 (n ou b)Procura-se no tringulo a linha em que o nmero de genes igual a 4. no. genes coeficientes01 111 212 1 313 3 1 414 6 4 1 36 1negro 4 efetivos e 0 no efetivo4mulatos escuros 3 efetivos e 1 no efetivo6mulatos mdios 2 efetivos e 2 no efetivos4mulatos claros 1 efetivo e 3 no efetivos1branco 0 efetivo e 4 no efetivosPortanto,nadescendnciachega-seseguinte proporofenotpica:1negro:4mulatos escuros:6mulatosmdios:4mulatosclaros:1 branco.37 Princpio Fundamental de Contagem 01. Uma moa possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poder se vestir? A escolha de uma camisa poder ser feita decincomaneirasdiferentes.Escolhidaa primeira camisa poder escolher uma das quatro saias. Portanto, o nmero total de escolhas ser:4 x 5 = 20 38 02.Umamoedalanadatrsvezes. Qualonmerodeseqncias possveis de cara e coroa? IndicaremosporCoresultadocarae K o resultado coroa. Queremosonmerodetriplas ordenadas(a,b,c)ondeae{C,K},be {C,K}ece{C,K},logo,oresultado procurado 2.2.2 = 8 39 K C K C C K C K C K C K C K C C C C C K C K C C K K K C C K C K K K C K K - K Pelo o Diagrama da rvore 40 03.Quantosnmerosde3 algarismospodemosformarcom osalgarismossignificativos(1a 9)?

++ + 9 x9x9=729 nmeros

41 E se fossem com algarismos distintos? 9 x8 x 7 =504 nmeros 42 04. Quantos nmeros de quatro algarismos distintospodemosformarnosistemade numerao decimal? Resoluo:Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9x 9 x 8 x 7 O nmero no comear por 0 (zero), logo:9 . 9 . 8. 7 = 4.536 Resposta: 4.536 nmeros43 05.Emumacorridade6carros, quantas so as possibilidades do 1, 2 e 3 lugares?

1 lugar 2 lugar3 lugar + + + 6x5x4=120 possibilidades 44 06. Quantos so os divisores de 72?Os divisores de 72 so do tipo 2x . 3y (pois 72=23.32) onde: x e {0, 1, 2, 3} e y e {0, 1, 2}. Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y.Total: 4 x 3 = 12 45 07.Quantosresultadospodemosobterna loteria esportiva? Comoso14jogos,eparacadaumdosjogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2. Pelo P.F.C., teremos: Jogo 1 Jogo 2Jogo 14

C1 CmC2C1 CmC2 C1 CmC2 3x 3 x...x 3 = 314 46 EM RESUMO: 1) Quantas escolhas devem ser feitas. 2) Quantas opes cada escolha tem. 3) Multiplicar tudo! Seoproblemanodependerdaordem(porexemplo:comisses,escolhas,jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mo, casais,grupos,etc.)dividimosoresultado pelo fatorial das escolhas. 47 08.Existem3linhasdenibusligandoa cidadeAcidadeB,e4outrasligandoB cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passandoporB.Dequantosmodos diferentesapessoapoderfazeressa viagem? Resoluo: de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo,peloprincpiofundamentaldecontagem, temos: 3 . 4 = 12 Resposta: 12 modos48 09.Aplacadeumautomvel formada por duas letras seguidas por umnmerodequatroalgarismos. ComasletrasAeReosalgarismos mpares,quantasplacasdiferentes podem ser constitudas, de modo que onmeronotenhaalgarismo repetido? 49 Peloprincpiofundamentalda contagem, temos: 2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480Resposta: 480 placasResoluo:Placa: 2 . 2. 5. 4. 3. 2 50 10.Quantosnmerosdetrs algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7? 5 x4 x 3 5 x 4 x 3 = 60

Respostas: 60 nmeros51 11.Comosalgarismosde1a9, quantosnmerosdetelefonepodem formar-secom6algarismos,de maneiraquecadanmerotenha prefixo51eosrestantessejam nmerostodosdiferentes,incluindo-seosnmerosqueformamo prefixo?52 Resoluo: Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Prefixo 7x 6x5x 4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840Resposta: 840 nmeros53 12.Umtabuleiroespecialdexadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e4colunas.Umjogadordeseja colocar4peasnotabuleiro,detal formaque,emcadalinhaecada coluna,sejacolocadaapenasuma pea.Dequantasmaneirasas4 peas podero ser colocadas?54 Resoluo: Para se colocar 01 pea temos 16 maneiras.Paraa3e4peastemos,respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta:576 maneiras55 13. Um torneiro esportivo entre duas escolas ser decidido numa partida de duplas mistas detnis.AEscolaEinscreveunesta modalidade6rapazese4moas.Aequipe de tenistas da Escola Fconta com 5 rapazes e3moas.Calculedequantasmaneiras poderemosescolherosquatrojogadores quefaroapartidadecisiva,sabendoque umadasjogadorasdaequipeEnoadmite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F. 56 Resoluo: Clculodaquantidadedemaneiras de formao das equipes: Escola E 6. 4 = 24 maneiras Escola F 5 . 3 = 15 maneiras57 Assim,osquatrojogadorespodemser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras. Excluindooscasosnosquaisos namoradosjogamentresi,quesoem nmeros de:(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 18 = 342Resposta: 342 maneiras 58 14.Dequantosmodospode-se pintarasfaceslateraisdeuma pirmidepentagonalregular, utilizando-seoitocoresdiferentes, sendo cada face de uma nica cor? 59 Resoluo: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirmide esteja fixa, o nmero de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, ser dado por: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720 Resposta:6.720 modos60 15)(Cesgranrio/2005)Asenhadecerto cadeadocompostapor4algarismos mpares,repetidosouno.Somando-seos doisprimeirosalgarismosdessasenha,o resultado 8; somando-se os dois ltimos, o resultado 10. Uma pessoa que siga tais informaesabriressecadeadoemno mximontentativas,semrepetirnenhuma. O valor de n igual a: a) 9b) 15c) 20 d) 24e) 30 61 Resoluo: Algarismos mpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opes; Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opes. Total de tentativas : 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas. 62 16. Observe o diagrama O nmero de ligaes distintas entre X e Z : a) 39 b) 41 c) 35 d) 45 63 Resoluo: Possveis caminhos XRZ = 3.1 = 3 XRYZ = 3.3.2 = 18 XYZ = 1.2 = 2 XSYZ = 3.2.2 = 12 XSZ = 3.2 = 6 TOTAL = 41 64 17. A quantidade de nmeros de trs algarismos, maiores que 500, quepodem ser formados com osalgarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetio, igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 52 e) 100 65 Resoluo:umproblemaemqueo portugusquemmanda,amaioria daspessoascometeriamoerrode fazer o clculo:4 x 5 x 5 = 100(errado!) Porm,quandooproblemafalacom repetio,osalgarismosdevemser repetidos,assim: 66 N com algarismos repetido mais n com algarismos distintos igual ao total de n que podem ser formados Usando o P.F.C. teremos: N com algarismos repetidos = x N com algarismos distintos = 4x4x3 = 48 Total de n formados =4x5x5 = 100 Portanto, x + 48 = 100x = 52 Resposta : Letra D. 67 18.Duasdascinqentacadeirasdeuma salaseroocupadaspordoisalunos.O nmerodemaneirasdistintaspossveis queessesalunosteroparaescolher duas das cinqenta cadeiras, para ocup-las, : a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! Resoluo: 50x 49 = 2450 68 19. Com relao a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: a) No total ? Resoluo: 6! = 720 b) Comeados por BR ? Resoluo: 4! = 24 |BR| 4.3.2.1 c) Comeando por vogal e terminando em consoante ? Resoluo: 2 . 4.3.2.1. 4 = 192 69 d) Com as letras BR juntas nesta ordem? Resoluo:BRjuntassignificaque formaro uma nica letra, logo o anagramasercompostode5letras, portanto a resposta 5! = 120 e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem ? Resoluo: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240 70 f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA? g) E com a palavra ITATIAIA ? h) E com a palavra APROVADO ? 102 . 6120! 2 ! 3! 5= =! 2 ! 3 ! 3! 8! 2 ! 2! 871 20. Uma urna contm 3 bolas vermelhas e2amarelas.Elassoextradasumaa umasemreposio.Quantas seqncias de cores podemos observar? Resoluo:comosefosseuma seqnciadebolasemfileira,dotipo: VVVAA,emqualquerordemfaremos comosefosseumanagramacom repetio, ou seja, 10! 2 !. 3! 5=72 21.Umacidadeformadapor12 quarteiressegundoafiguraabaixo. UmapessoasaidopontoPedirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, istomovendosedaesquerdapara direita,oudebaixoparacima.Nessas condies,quantoscaminhosdiferentes elepoderfazer,seexistem2ruas horizontais e 3 verticais? 73 .Q P. Idemsoluoanterior,umaanagrama com repetio do tipo: DDDDCCC, ou seja: 35! 3 !. 4! 7=74 22.Onmerodeanagramasque podemserformadoscomasletras dapalavraAPOSTAequeno apresentam as letras A juntas : a) 120 b) 240 c) 360 d) 480 e) 600 75 Resoluo: TOTAL A juntas = A separadas 240 120 3601202720! 5! 2! 6= = = 76 23.O jogo da Sena consiste em acertar 6dezenassorteadasentre60.O nmero de possveis resultados est entre: a) 15.000.000 e 25.000.000 b) 25.000.000 e 35.000.000 c) 35.000.000 e 45.000.000 d) 45.000.000 e 55.000.000 Resoluo: 50.063.860155256357458559660~ 77 24.Um indivduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O nmero de modos distintos de se escolherem os discos : a) 12b) 42c) 160 d) 1.120 e) 1.200 78 Resoluo:Beatles x Rolling Stonesx U2 112012233417281425= x x79 25.Seexistem11pessoasemuma salaecadapessoacumprimenta todasasoutrasumanicavez,o nmerodeapertosdemodados ser igual a: a) 55 b) 65 c) 110 d) 121 Resoluo: Precisamos de mos : 55110211= 80 26.Umfisioterapeutarecomendouaumpaciente quefizesse,todososdias,trstiposdiferentes de exerccios e lhe forneceu uma lista contendo setetipos diferentes de exerccios adequados a essetratamento.Aocomearotratamento,o pacienteresolveque,acadadia,suaescolha dostrsexercciosserdistintadasescolhas feitasanteriormente.Onmeromximodedias queopacientepodermanteresse procedimento : a) 35 b) 38 c) 40 d) 42 81 35152637= Resoluo: 82 27.Dequantasmaneirasdistintas podemosdistribuir10alunosem2 salasdeaula,com7e3lugares, respectivamente? a) 120 b) 240 c) 14.400 d) 86.400 e) 3.608.800 83 Resoluo:Basta escolhermos 3 e os outros iro para a outra sala;1201829310= 84 28.Onmerodemltiplosde10, compreendidosentre100e9999e comtodososalgarismosdistintos : a) 250 b) 321 c) 504 d) 576 85 Resoluo: Para ser mltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto: 576 total504 07 8 972 0 8 9== = 86 29.Umasalatem6lmpadascom interruptoresindependentes.O nmerodemodosdeiluminaressa sala,acendendopelomenosuma lmpada : a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201 87 Resoluo: Sabemos que a condio para iluminar a sala que pelo menos uma lmpada esteja acesa.As opes de cada lmpada so: acesa e apagada, logo: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 1 (todas apagadas) = 63 88 30.OcdigoMorseusapalavras contendode1a4letras.As letrassorepresentadaspelo ponto(.)oupelotrao(-).Deste modo,aquantidadedepalavras possveisatravsdocdigoMorse : a) 16 b) 64 c) 30 d) 8 e) 36 89 Resoluo: Pode-se formar palavras de uma, duas , trsouquatroletraseasopespor letra so duas( ponto ou trao), logo: 30 total) letras 4 ( 16 2 . 2 . 2 . 2) letras 3 ( 8 2 . 2 . 2) letras 2 ( 4 2 . 2) letra 1 ( 2====90 31.Onmerodemaneirasdese distribuir 10 objetos diferentes em duascaixasdiferentes,demodo que nenhuma caixa fique vazia, : a) 45 b) 90 c) 1022 d) 101 91 Resoluo: So 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 2 = 1022 (opes de apenas a caixa A ou apenas a caixa B) 92 32.(BB/2007)ConsiderequeoBBtenha escolhidoalgunsnomesdepessoaspara seremusadosemumapropagandana televiso,emexpressesdotipoBancodo Bruno,BancodaRosaetc.Suponha, tambm,queaquantidadetotaldenomes escolhidosparaaparecernapropaganda seja12eque,emcadainseroda propagandanaTV,sempreapaream somentedoisnomesdistintos.Nessecaso, aquantidadedeinserescompares diferentesdenomesdistintosquepode ocorrer inferior a 70. 93 Resoluo: uma questo de anlise combinatria onde usaremos o princpio fundamental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponveis, ou seja: pares diferentes , ou , portanto o item est correto. 66111212= x66! 2 !. 10! 122 , 12= = C94 33.(BB/2007)Considerequeum decoradordevausar7faixascoloridas dedimensesiguais,pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzirdiversasformas.Nessa situao,se3faixassoverdese indistinguveis,3faixassoamarelase indistinguveise1faixabranca,esse decoradorconseguirproduzir,no mximo,140formasdiferentescom essas faixas95 Resoluo:umproblemadepermutaorepetida ondeascoressocomoletraseototal defaixas(7)comoumapalavrade07 letras, ou seja: formas, portanto o item est correto. 1403 3773 3= =! !.!P,96 34.Hexatamente495maneiras diferentesdesedistriburem12 funcionrios de um banco em 3 agncias, demodoquecadaagnciareceba4 funcionrios. Resoluo:1 agncia x 2 agncia x 3 agncia 34650 1 70 495112233441526374819210311412= = 97 35.Se6candidatossoaprovadosem umconcursopblicoeh4setores distintosondeelespodemserlotados, ento h, no mximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotaes. Resoluo: 4.4.4.4.4.4 = 46, maneiras, portanto o item est errado 98 36.(UFMG2006)Apartirdeumgrupodeoito pessoas,quer-seformarumacomisso constitudadequatrointegrantes.Nesse grupo,incluem-seGustavoeDanilo,que, sabe-se, no se relacionam um com o outro. Portanto,paraevitarproblemas,decidiu-se queessesdois,juntos,nodeveriam participardacomissoaserformada. Nessascondies,dequantasmaneiras distintas se pode formar essa comisso? a) 70b) 35c) 45d) 55 99 RESOLUO: Total de comisses comisses (Gustavo e Danilo juntos) 55 15 7015.2615.26.37.48= = 100 Solues inteiras no negativas de uma equao linear Ex.: Considere a equao linearx+y=5,quantassoluesinteiras no negativas podemos obter: (0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0), portantoteremos6soluesinteiras no negativas. 101 Considere agora a equaox + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalhosermuitogrande,ecorremos o risco de esquecer alguma soluo. Temosquedividir7unidadesem3 partes ordenadas, de modo que fique em cadaparteumnmeromaiorouiguala zero. 102 Indicaremoscadaunidadeporuma bolinha e usaremos a barra para fazer a separao,quecorrespondeaossinais de adio: 103 Logo teremos uma permutao com elementos repetidos( como em ARARA), assim: 36! 2 ! 7! 9=104 Portanto existem 36 solues inteiras positivas para a equao. 105 Arranjo Simples An p . = n!(n -p)!106 Permutao simples Pn = n! Permutao com repetio ! ! !!u | onP =107 Combinao simples Cn p . = n!(n -p)! .p!108 Permutao Circular P = ( n 1)!