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Aula 08

Modelos Probabilísticos – Variável Discreta

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Modelos de probabilidade

Os modelos probabilísticos são construídos a partir de

certas hipóteses ou conjeturas sobre o problema em questão e

constituem-se de duas partes:

1) dos possíveis resultados – o espaço amostral e

2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada

resultado (ou grupos de resultados) – as probabilidades.

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Variável aleatória

Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa

elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.

X = número de cordeiros que pesam mais de 30 Kg, numa amostra de 2 animais.

0 1 2x

Ω = (não, não), (sim, não), não,sim), (sim, sim)

X:

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Modelo de Bernoulli

Exemplo: Num lote de cordeiros, selecionar um animal e

verificar se ele pesa mais de 30 Kg.

Ω = não, sim

X:x

0 1

P(X=x)= 1 – p p

60% pesam mais 30kg 40% 60%

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Modelo de Probabilidades de Bernoulli

x 1 0p(x) = Pr(X=x) p 1-p

px=Pr X=x=px 1−p1−x

Sendo a função de probabilidades dada por:

p x0 e ∑ px=1 satisfazendo

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Média (valor esperado), Variância e Desvio padrão

2= Var X = p 1−p

= DP X = p 1−p

= EX = p

x 1 0p(x) = Pr(X=x) p 1-p

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Propriedades do valor esperado e variância

• V(c) = 0• V(X + c) = V(X)• V(cX) = c2V(X)• DP(cX) = |c|DP(X)

• E(c) = c• E(X + c) = E(X) + c• E(cX) = cE(X)• E(X + Y) = E(X) + E(Y)• E(X – Y) = E(X) – E(Y)

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Modelo Binomial

Exemplo: Numa amostra de 3 cordeiros, verificar quantos pesam mais

que 30 Kg.

Ω = (nnn), (nns), (nsn), (snn), (nss), (sns), (ssn), (sss)

X:x

0 1 2 3

60% pesam mais 30Kg

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Uma experiência binomial é um processo que apresenta as seguintes

características:

Possui n ensaios de Bernoulli.

Em cada ensaio há dois tipos de resultados possíveis.

P(S) = p e P(F) = 1 – p = q.

Todos os ensaios são independentes (p cte nos ensaios).

Define-se a variável aleatória discreta X: número de “sucessos”

obtidos em n ensaios de Bernoulli.

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A função de probabilidades de X é dada por:

xx )1(x

)xXPr()x(p −−

=== nppn

x = 0, 1, 2, ..., n!x!)x(x −

=

nnn !

= DP X = np 1−p

2 = Var X = np1−p = E X = np

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Exemplo:

Em uma fazenda, onde 70% dos animais são da raça Gir, retira-se

uma amostra aleatória de 10 animais. Qual é a probabilidade de 6

animais da amostra serem da raça Gir?

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Modelo de Poisson

Podemos considerar uma variável aleatória X igual ao número de

“sucessos” que ocorrem num intervalo contínuo.

Por exemplo:

a) o número de bactérias por volume unitário de um fluído;

b) o número de insetos vivos por m2 de uma grande área de rocio;

c) o número de acidentes que ocorrem num certo cruzamento no

período de 1 hora.

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p x X xe

x

x( ) Pr ( )

.!

= = =− λ λ

x = 0, 1, 2, ...

µ = E(X) = λ = σ 2 = Var(X)

= DP X =

A função de probabilidades de X é dada por:

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Exemplo:

Se uma gota de água for depositada em uma lâmina e examinada ao

microscópio, o número de X de um tipo particular de bactéria presente

em uma gota d’água apresenta distribuição de Poisson. Suponha que o

número máximo dessa bactéria por gota de água seja 5. Se a média

desse conteúdo, em uma certa experiência, for de 2 bactérias em uma

única gota testada, pode-se esperar que o número máximo admitido

seja ultrapassado?

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Poisson como limite da Binomial

lim( )

np

x n xnp xn

xp q

e npx→ ∞

→

−−

=0

Aproximação é boa para n ≥ 500 e np < 10.