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Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1
Aula 07
Modelos Probabilísticos
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Probabilidade
Universo do estudo (população)Hipóteses, conjeturas, ...
Resultados ou dados observados
Distribuições de
Frequências
Modelos
Probabilísticos
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Modelos de probabilidade
Os modelos probabilísticos são construídos a partir de certas
hipóteses ou suposições sobre o problema em questão e
constituem-se de duas partes:
1) dos possíveis resultados – o espaço amostral
2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada resultado (ou
grupos de resultados) – as probabilidades.
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Espaço Amostral (Ω)
O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é
chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω.
Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou
infinito enumerável (podemos listar os possíveis resultados);
É dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de
números reais.
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Exemplo de um experimento aleatório
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
• Resultados possíveis: cara, coroa
• Espaço amostral = cara, coroa
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Exemplo de um experimento aleatório
Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher.
• Resultados possíveis: homem, mulher
• Espaço amostral = homem, mulher
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Exemplos:E
1) Num certo bairro, indagar a uma família se ela costuma utilizar-se
de algum programa de alimentação popular. Ω = sim, não
2) Num certo bairro, selecionar uma amostra de 3 famílias e verificar
quantas utilizaram algum programa de alimentação popular nos últimos
dois meses. Ω = 0, 1, 2, 3
3) Numa escola de ensino fundamental, selecionar uma criança e medir
a sua altura. Ω = x, tal que .x∈ℝ e 0x2,00 m
Exemplos:E
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Probabilidade de um resultado
Qual a probabilidade de cara e de coroa?
• P(cara) = 0,5• P(coroa) = 0,5• A probabilidade é um número
entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.
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Probabilidade de um resultado
Qual a probabilidade de homem e de mulher?
• P(homem) = 0,4• P(mulher) = 0,6• A probabilidade é um número
entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.40% homens
60% mulheres
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Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o
lançamento imparcial.
• Espaço amostral = 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
Resultado 1 2 3 4 5 6
Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Modelo de probabilidades
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Modelo de probabilidades
20%
30%
50%
bom/ótimoregularruim/péssimo
POPULAÇÃO
Opinião a respeitodo governo
AMOSTRA:uma pessoa observadaao acaso
Resultado Probab.
bom/ótimo 0,20regular 0,30ruim/péssimo 0,50
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Vantagem dos Modelos Probabilísticos
Ser possível, com algumas suposições adequadas (hipóteses ou
conjecturas) e sem a necessidade de se observar diretamente
o fenômeno, estabelecer distribuições de probabilidades que
representam muito bem as distribuições de freqüências, que
só podem ser construídas após observar o fenômeno.
Utilizar as probabilidades para exprimir a chance de
ocorrência de determinado fenômeno aleatório.
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Evento• Evento = um conjunto de resultados (um subconjunto do
espaço amostral)
Ex.
• Espaço amostral = 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
Eventos: A = número par, B = número menor que 3• A = 2, 4, 6 B = 1, 2
• P(A) = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3
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Operações entre Eventos
(b) intersecção: A ∩ B
(a) União: A ∪ B
(c) complementar: Ac
AB
Ω Ω ΩA A
B
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Eventos Mutuamente Exclusivos (Disjuntos)
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não
puderem ocorrer simultaneamente.
A e B são mutuamente exclusivos ⇔ A ∩ B = ∅
AB
Ω
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)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
AΩ
BA ∩ B
Se A e B mutuamente exclusivos,então:
)()()( BPAPBAP +=∪
Regra da soma das probabilidades
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Eventos independentes
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência
de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência
dos outros.
Exemplo:
No lançamento imparcial de um dado e de uma moeda, os eventos
A = número par no dado, e
B = cara na moeda
são ditos Independentes,
já que a ocorrência de A nada tem a ver com a ocorrência de B.
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Consequência:
No lançamento imparcial de um dado e de uma moeda, os eventos
A = número par no dado, e
B = cara na moeda
A = número par B = cara na moeda
A = 2, 4, 6 B = cara
P(A) = 1/2 P(B) = 1/2
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
= 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25
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Exercícios:
1) Numa eleição para a prefeitura de uma cidade, 30% dos eleitores
pretendem votar no candidato A, 50% no candidato B e 20% em branco ou
nulo. Sorteia-se um eleitor na cidade e verifica-se o candidato de sua
preferência.
(a) Apresente um modelo probabilístico.
(b) Qual a probabilidade do eleitor votar em um dos dois candidatos?
2) Numa sala com 10 homens e 20 mulheres, sorteia-se um indivíduo,
observando o gênero (masculino ou feminino). Construa um modelo
probabilístico.
