View
229
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
1
ESTATÍSTICA BÁSICA
1. Conceito
Existem muitas definições propostas por autores, objetivando estabelecer
com clareza o que é estatística, como por exemplo:
Þ A Estatística é um conjunto de métodos destinados à coleta,
organização, resumo, apresentação e análise de dados de observação, bem como
da tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises.
Þ A Estatística é um conjunto de processos ou técnicas empregadas na
investigação e análise de fenômenos coletivos ou de massa.
Þ A Estatística é a matemática aplicada aos dados de observação.
2. População (N)
Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenômeno
que possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o conjunto
Universo, podendo ser finita ou infinita.
Þ Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível
de contagem.
Þ Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é
impossível de contar e geralmente esta associada a processos.
Exemplo: O governo encomenda ao instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE) uma pesquisa para conhecer o salário médio do brasileiro. O universo
estatístico ou população estatística é, neste caso, o conjunto de todos os
assalariados brasileiros.
3. Amostra (n)
É um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a amostra
deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo
que ela represente todas as características da população como se fosse uma
fotografia desta.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
2
Em termos de critérios de coleta a amostra pode ser classificada, em
termos mais amplos como:
Þ Amostra probabilística ou aleatória: cada elemento da população tem a
mesma probabilidade de ser incluído na amostra.
Þ Amostra não-probabilística: cada elemento da amostra é escolhido
intencionalmente.
Exemplo: Um partido político quer conhecer a tendência dos eleitorados quanto a
preferência entre dois candidatos a presidência do Brasil, numa determinada cidade.
Para isso, encomenda uma pesquisa a uma empresa especializada. A população
estatística, nesse caso, é o conjunto de todos os eleitores brasileiros, mas como
quero em uma cidade específica então temos uma amostra.
4. Censo
É a coleta exaustiva de informações das "N" unidades populacionais.
5. Experimento
Conjunto de procedimentos reprodutíveis que visam a obtenção de
informação sobre uma dada realidade, que podem ser determinístico ou aleatório.
5.1 Experimento determinístico
É aquele que garantidas as mesmas condições iniciais o resultado será o
mesmo.
Exemplos: Observar a temperatura de ebulição da água em condições normais de
temperatura e pressão, ou soltar sempre um objeto de certa altura e calcular a
velocidade com que chega ao solo.
5.2 Experimento aleatório
É aquele que mesmo garantindo as condições iniciais é impossível prever
com certeza o resultado do mesmo.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
3
Exemplos: O lançamento de uma moeda ou um dado, ou ainda o comportamento de
um índice financeiro como o Ibovespa (Bolsa de Valores de São Paulo).
6. Variável
É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão,
geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de
amostragem. Os símbolos utilizados para representar as variáveis são as letras
maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y, Z, ... que pode assumir qualquer valor de um
conjunto de dados. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas (ou
atributos) e quantitativas.
6.1 Variável Qualitativa
É o tipo de variável que não pode ser medida numericamente. Podem ser
classificadas em:
A Þ Ordinal ou por Postos: os elementos têm relação de ordem, de conceito ou
de colocação entre eles.
Exemplos: De conceito: ótimo, bom, regular
De colocação: primeiro, segundo, terceiro
B Þ Nominal: os elementos são identificados por um nome.
Exemplo: Cor dos olhos: castanho, preto, azul e verde
6.2 Variável Quantitativa
Pode ser medida numericamente. Classificam-se em:
A Þ Discreta: o valor numérico muda em saltos ou passos, não admitindo valores
intermediários entre eles.
Exemplos: Número de carros, número de filhos.
B Þ Contínua: admite infinitos valores entre elas (dentro de um intervalo).
Exemplo: altura.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
4
Observações:
Þ Todas as vaiáveis associadas a contagem são discretas.
ÞTodas as vaiáveis associadas à medidas que dependem da precisão de um
instrumento são contínuas.
Þ A variável idade, apesar de geralmente ser representada por valores inteiros, é
uma variável contínua pois está relacionada com o tempo, que é variável contínua.
Þ Quantia em dinheiro também é considerada uma variável contínua.
7 Normas para apresentação tabular de dados
As Normas para apresentação Tabular da Estatística Brasileira é dada
pela Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, onde será apresentado os pontos
principais.
Uma tabela estatística compõe-se de elementos essenciais e elementos
complementares.
Os elementos essenciais de uma tabela estatística são: título, corpo,
cabeçalho e coluna indicadora.
Titulo é a indicação que precede a tabela e que contém a designação do
fato observado, o local e a época em que foi registrado.
Corpo é o conjunto de colunas e linhas que contém respectivamente, em
ordem horizontal e vertical, as informações sobre o fato observado.
Casa é o cruzamento de uma coluna com uma linha. As casas não
deverão ficar em branco, apresentando sempre um número ou um sinal
convencional.
Cabeçalho é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das
colunas.
Coluna indicadora é a parte da tabela que especifica o conteúdo das
linhas. Uma tabela pode ter mais de uma coluna indicadora.
Os elementos complementares de uma tabela estatística são: fonte, notas
e chamadas, e se situam de preferência no rodapé da tabela.
Fonte é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados
ou pela sua elaboração.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
5
Notas são informações de natureza geral, destinadas a conceituar ou
esclarecer o conteúdo das tabelas, ou a indicar a metodologia adotada na
elaboração dos dados.
Chamadas são informações de natureza especifica sobre determinadas
partes da tabela, destinadas a conceituar ou esclarecer dados. As chamadas são
indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à esquerda
nas casas e à direita na coluna indicadora. A numeração das chamadas da tabela
será sucessiva, de cima para baixo e da esquerda para a direita. A distribuição das
chamadas no rodapé na tabela obedecerá à ordem de sua sucessão na tabela,
separando-se uma das outras por ponto (.). As chamadas de uma tabela que ocupe
mais de uma página devem figurar no rodapé da tabela da ultima página, de acordo
com a sucessão da mesma.
7.1 Sinais convencionais
– (traço), quando o dado for nulo;
... (três pontos), quando não se dispuser do dado;
X (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das
informações;
0 (zero), quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade
utilizada;
? (ponto de interrogação). quando temos dúvida quanto à exatidão de
determinado valor;
7.2 Apresentação das tabelas
As tabelas, excluídos os títulos, serão delimitadas, no alto e em baixo, por
traços horizontais grossos, preferencialmente.
Recomenda-se não delimitar as tabelas, à direita e à esquerda, por
trações verticais.
Será facultativo o emprego de traços verticais para separar as colunas no
corpo da tabela.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
6
Quando uma tabela, por expressa altura, tiver de ocupar mais de uma
página, não será delimitada na parte inferior, repetindo-se o cabeçalho na página
seguinte. Neste caso, deve-se usar, no alto do cabeçalho ou dentro da coluna
indicadora, a designação contínua ou conclusão, conforme o caso.
Exemplo: Pessoal docente lotado na IFF X por categoria funcional e formação acadêmica 1999
Formação Acadêmica
Categoria Funcional Total
Substitutos Efetivos Estagiários Bolsistas
Graduação 100 300 250 90 740
Especialização - ... 10 310 320
Aperfeiçoamento 50 50 30 10 140
Mestrado 10 - 20 40 70
Doutorado (1) (2) 50 (3) 30 20 - 100
Total 210 380 330 450 1370
Fonte: Pró-Reitoria de Recursos Humanos
(1) Com e sem curso de mestrado
(2) Protegido pela Lei nº 5.540
(3) Livres docentes
Após a coleta dos dados e sua apuração necessita-se de métodos de
apresentação dos dados. Para tanto um dos instrumentos é a tabela.
A filosofia da tabulação obedece ao seguinte critério:
Máximo de esclarecimento (informação) num mínimo de espaço.
Uma tabela pode ser decomposta em três partes:
A Þ Título: é uma apresentação do que a tabela está tentando representar. Deve
conter informações suficientes para responder às seguintes questões:
i) O que? (referente ao fato);
ii) Onde? (referente ao lugar);
iii) Quando? (referente ao tempo).
Exemplos:
Acidentes com morte na RS 509 em 2004
O que? Acidentes com morte;
Onde? RS 509;
Quando? 2004.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
7
Peso médio dos alunos do Ensino Médio do IFF no ano de 2008
O que? Peso médio dos alunos do Ensino Médio;
Onde? IFF;
Quando? 2008
B Þ Corpo: é composto de um conjunto de colunas e subcolunas onde são postos
os dados coletados.
Exemplo: Estimativa de crescimento populacional para a cidade de Porto Alegre 1990 – 2050
Anos População (em 1000 hab.)
1990 10035
2000 12047
2010 13959
2020 15468
2030 17089
2040 18999
2050 20093 Fonte: Secretaria de habitação e transporte de POA
C Þ Rodapé: colocam-se todas as legendas que visam esclarecer a interpretação
da tabela. Geralmente também é no rodapé que se coloca a fonte dos dados.
Exemplo: Número de alunos da rede pública de Alegrete em 2005
Masculino Feminino Total
Menores de 15 anos 1568 1379 2947
Maiores de 15 anos 1378 1534 2912
Total 2946 2913 5859 Fonte: Coordenadoria Regional de Ensino
8. Distribuição de freqüências
É o tipo de série estatística na qual permanece constante o fato, o local e
a época. Os dados são colocados em classes preestabelecidas, registrando a
freqüência de ocorrência. Uma distribuição de freqüência pode ser classificada em
discreta e intervalar.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
8
8.1 Distribuição de freqüência discreta ou pontual
É uma série de dados agrupados na qual o número de observações está
relacionado com um ponto real. Notas de Alunos na Disciplina de Matemática no 1º semestre de 2008
Notas Quantidade
5.4 5
6.3 3
6.5 4
7.0 3
7.2 5
7.8 2
Total 22 Fonte: Secretaria escolar do IFF.
8.2 Distribuição de freqüências intervalar
Na distribuição de freqüência, os intervalos parciais deverão ser
apresentados de maneira a evitar dúvidas quanto à classe a que permanece
determinado elemento.
O tipo de intervalo mais usado é do tipo fechado a esquerda e aberto a
direita, representado pelo símbolo: .
Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Geografia da UFSM - 2003
Altura (cm) Média Quantidade
150 158 154 18
158 166 162 25
166 174 170 20
174 182 178 52
182 190 186 30
190 198 194 15
Total X 160
Fonte: Curso de Geografia
8.3 Elementos de uma distribuição de freqüências
8.3.1 Dados brutos
São os valores originais conforme eles foram coletados, não estando
ainda prontos para a análise, pois não estão numericamente organizados ou
tabelados.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
9
8.3.2 Rol
É uma lista, onde as observações são dispostas em uma determinada
ordem, seja ele crescente ou decrescente. O objetivo da ordenação é tornar possível
a visualização das variáveis ocorridas, uma vez que os valores extremos são
percebidos de imediato, e também facilitar a construção da distribuição de
freqüências.
8.3.3 Classe ou classe de freqüência (k)
É cada subintervalo (linha) na qual dividimos o fenômeno. Para determinar
o número de classes a partir dos dados não tabelados, podemos usar a Fórmula de
Sturges, mas deve-se saber que existem outros métodos de determinação do
número de classes em uma tabela de freqüência. O que se deseja fazer é apenas
comprimir um conjunto de dados em uma tabela, para facilitar a visualização e
interpretação dos mesmos.
nkn log3.31)( += ,
onde “n” é o número de informações.
Além da Regra de Sturges, existem outras fórmulas empíricas para
resolver o problema para determinação do número de classes [n(k)], há quem prefira
nkn @)( .
8.3.4 Limite de Classe ( li ou Li )
Uma classe é um subconjunto do Rol limitada inferiormente por um
número chamado limite da classe (representado por li ) e superiormente por um outro
número chamado limite superior da classe (representado por Li ).
8.3.5 Amplitude total (H)
É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da
primeira classe, ou a diferença entre o último e o primeiro elemento de um conjunto
de dados postos em ordem crescente.
1lLH n -=
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
10
8.3.6 Amplitude do intervalo de classe (h)
É a diferença entre dois limites inferiores ou superiores consecutivos, caso
já exista a distribuição de freqüência.
1--= nn llh ou 1--= nn LLh
Para a determinação da amplitude das classes de uma determinada
distribuição de freqüências a ser construída podemos utilizar a seguinte equação:
kH
h =
A amplitude do intervalo de classe deve ser constante em toda a
distribuição de freqüência intervalar.
8.3.7 Ponto médio de classe (Xi)
É a média aritmética simples do limite inferior com o limite superior de uma
mesma classe.
2ii
i
LlX
+=
8.3.8 Freqüência absoluta (fi)
É a quantidade de valores em cada classe.
n
n
ii ffffn +++==å
=
...211
8.3.9 Freqüência acumulada ou freqüência absoluta acumulada (Fi)
É o somatório da freqüência absoluta da i-ésima classe com a freqüência
absoluta das classes anteriores, ou a freqüência acumulada da classe anterior.
å=
==n
iii nfF
1
8.3.10 Freqüência Relativa (fri)
É o quociente entre a freqüência absoluta da i-ésima classe com o
somatório das freqüências.
å=
= n
ii
ii
f
ffr
1
Obs.: 11
=å=
n
iifr
A soma da coluna de freqüências relativas é sempre igual a 1, que
corresponde a 100% e pode ser lida como percentual.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
11
8.3.11 Freqüência Relativa Acumulada (Fri)
É o somatório da freqüência relativa da i-ésima classe com as freqüências
relativas das classes anteriores.
11
==å=
n
iii frFr
Método prático para construção de uma distribuição de freqüências com classe:
1º - Organize os dados brutos em um ROL;
2º - Calcule a amplitude;
3º - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges".
Observação: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos
levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade de um julgamento
pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados.
Exemplo: São observados as idades de 20 indivíduos participante de um grupo de
estudos de informática, obtendo os seguintes dados:
45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51
Determine a distribuição de freqüência.
Primeiramente pegamos os dados e colocamos eles em Rol crescente.
41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o
agrupamento dos valores em vários intervalos de classe, para tanto temos que
calcular a amplitude, número de classes e intervalo da classe.
Amplitude total: 1941601 =-=-= lLH n
Número de classes: 63,520log3.31log3.31)( @=+=+= nkn
Intervalo de classe: 417,36
19@===
kH
h
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
12
Idades dos alunos do grupo de estudo de informática
Classes Xi Freqüências (fi) Fi fri (%) Fri (%)
41 45 43 7 7 35 35
45 49 47 3 10 15 50
49 53 51 4 14 20 70
53 57 55 1 15 5 75
57 61 59 5 20 25 100
61 65 63 não é necessário X X X
Total X 20 X 100 X
Fonte: Secretaria escolar
Observe que quando trabalhando com uma distribuição de freqüência com
intervalo perdemos um pouco a precisão, pois não sabemos, por exemplo, quanto
alunos tem a idade de 45 anos, só sabemos que tem 3 alunos com idades entre 45 e
49 anos.
Exercícios
1)Dados o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em classe e
elaborar uma tabela de distribuição de freqüências (freqüência, freqüência
acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada) .
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
2) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) Construir a distribuição de freqüência;
b) Determinar as freqüências relativas;
c) determinar as freqüências acumuladas;
d) Qual é a amplitude amostral;
e) Qual a percentagem de elementos maiores que 5.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
13
3) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos (dadas
em cm):
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
Pede-se determinar:
a) A amplitude amostral;
b) O número de classes;
c) A amplitude das classes;
d) Os limites das classes;
e) As freqüências absolutas das classes;
f) As freqüências relativas;
g) Os pontos médios das classes;
h) A freqüência acumulada.
4) As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5
Determinar:
a) O rol;
b) As distribuições de freqüências (variável contínua).
c) A maior e a menor notas;
d) A amplitude total;
e) Qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4.
f) Qual o limite superior da segunda classe;
g) Qual o ponto médio da quarta classe;
h) Qual o ponto médio da terceira classe.
5) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
14
69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64 53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63 53
Construir a tabela de distribuição de freqüência , dado log40=1,6.
6) Completar os dados que faltam:
Valores Freqüências (fi) Fi fri (%)
1 4 0,08
2 4
3 16 0,16
4 7 0,14
5 5 28
6 38
7 7 45 0,14
8
7) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da
primeira classe e 10 para intervalo de classe.
8) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
15
9) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes: Áreas (m2) 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Nº de lotes 14 46 58 76 68 62 48 22 6
Com referência a essa tabela, determine: a) A amplitude total; b) O limite superior da quinta classe; c) O limite inferior da oitava classe; d) O ponto médio da sétima classe; e) A amplitude do intervalo da segunda classe; f) A freqüência da quarta classe; g) A freqüência relativa da sexta classe; h) A freqüência acumulada da quinta classe; i) O número de lotes cuja área não atinge 700m2; j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2; k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2; l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2; m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior a 1000m2. n) A classe do 72º lote; o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes. 10) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:
Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7
Nº de motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1
Determine:
a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
16
9 Medidas de posição
São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos
quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva
de freqüência.
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência
central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se
agruparem em torno dos valores centrais). As medidas de tendência central mais
utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. As outras medidas de posição
são as separatrizes , que englobam, a própria mediana, os quartis e os percentis.
9.1 Media aritmética
É a mais utilizada das medidas de tendência central para descrever,
resumidamente, um conjunto de dados.
9.1.1 Média para dados não agrupados
A média aritmética é definida, para dados não agrupados, ou seja, que
não vêem organizados em uma tabela de freqüência como sendo:
n
XX
n
iiå
== 1 ,
onde iX é o valor das varias observações e n é o número de observações.
Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6
A média para esse exemplo é 76
67810651 =+++++
==å=
n
XX
n
ii
.
9.1.2 Média para dados agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em
tabelas de freqüências, determinamos à média aritmética simples.
Quando temos dados agrupados a média é calculada como sendo:
å
å
=
== n
ii
n
iii
f
fXX
1
1
.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
17
Exemplo:
Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Agropecuária do IFF – Campus Alegrete - 2000
Altura (cm) Xi fi Xi . fi
150 158 154 18 2772
158 166 162 25 4050
166 174 170 20 3400
174 182 178 52 9256
182 190 186 30 5580
190 198 194 15 2910
Total X 160 27968
Fonte: Departamento de registros acadêmicos (2000)
. 8,174160
27968.
1
1 ===
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
Se agora tivermos dados tabelados com valores ponderados podemos calcular através de:
å
å
=
== n
ii
n
iii
W
WXX
1
1
.,
onde iW é o peso.
Exemplo: Nota do Aluno “A” 1º semestre de 2008 - IFF
Notas (Xi ) Pesos(Wi) Xi .Wi
7,8 2 15,6
8,3 3 24,9
9,2 2 18,4
5,8 3 17,4
Total 10 76,3
Fonte: Departamento de registros acadêmicos
63,710
3,76.
1
1 ===
å
å
=
=n
ii
n
iii
W
WXX
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
18
9.1.3 Desvio em relação à média
É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média
aritmética, ou seja:.
XXd ii -=
Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6, sabemos que a media é 7.
Logo temos 6 desvios em relação a média que são:
2751 -=-=d ; 1762 -=-=d ; 37103 =-=d ;
1784 =-=d ; 0775 =-=d ; 1766 -=-=d
9.1.4 Propriedades da média aritmética
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
No exemplo anterior : 0654321 =+++++ dddddd .
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa
constante.
Se no conjunto de dado {5, 6, 10, 8, 7, 6} somarmos a constante 2 a cada um dos
valores da variável temos:
9
6)26()27()28()210()26()25(
=
+++++++++++=
y
y
9272 =+=+= Xy
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável
por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa
constante.
Se nos dados {5, 6, 10, 8, 7, 6} multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores
da variável temos:
216
1266
)36()37()38()310()36()35(
==
+++++=
y
xxxxxxy
21373 === xxXy
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
19
4ª propriedade: A média aritmética simples deverá estar entre o menor e o maior valor observado.
ii LXl ££
9.2 Media geométrica
É a raiz n-ésima do produto de todos eles,representado por gX , ou seja, é
dado pela seguinte equação:
nn
n
n
ii XXXXgX ...... 21
1
== Õ-
Exemplo: Calcular a média geométrica dos dados {1, 4, 16, 64}.
84096641641 44 === xxxgX
Se tivermos dados tabelados podemos calcular através de:
( ) ( ) ( ) ( )n fn
fff n
i
fi
n
n
ii
XXXXgX ...... 211
1
211
=å= = Õ=
Exemplo: Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo: Xi fi
83,317714727.9.3.1 99 1242 ===gX
1 2
3 4
9 2
27 1
Total 9
9.3 Media harmônica
Chama-se média harmônica de n números x1, x2, x3,...xn, todos diferentes de zero o numero hX tal que:
n
n
i i XXX
n
X
nhX
1...
111
211
+++==
å=
.
Isto é, hX é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
20
Exemplos: Calcule a média harmônica de {2, 4, 3}:
769,21336
13123
12133
12436
3
31
41
21
31
..111
321
====++
=
++=
++++=
xhX
xxxx
nhX
n
Se tivermos dados tabelados podemos calcular através de:
n
n
nn
i i
i
n
ii
Xf
Xf
Xf
fff
Xf
fhX
+++
+++==
å
å
=
=
...
...
2
2
1
1
21
1
1
Exemplo: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: Classes fi Xi fi / Xi
1 3 2 2 2/2=1
3 5 4 4 4/4=1
5 7 8 6 8/6=1,33
7 9 4 8 4/8=0,5
9 11 2 10 2/10=0,2
Total 20 X 4,03
96,403,4
20
1
1 ===
å
å
=
=n
i i
i
n
ii
Xf
fhX
Obs.:
ÞA média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.
ÞA igualdade XhXgX == só ocorrerá quando todos os valores da série forem
iguais.
ÞDeve-se observar esta propriedade entre as medias hXgXX ³³
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
21
9.4 Mediana
A mediana ( Md ) de um conjunto de valores, dispostos segundo uma
ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o
separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
9.4.1 A mediana em dados não tabelados
Dada uma série de valores, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o
da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a 9=Md .
Se a série dada tiver número par ou ímpar de termos, o valor mediano
será o termo de ordem dado pela fórmula:
21+
=n
PMd
Exemplos: a) Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
Primeiramente temos que ordenar a serie { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }
9=n , logo 52
102
192
1==
+=
+n, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a
mediana. Portanto a mediana será o elemento 2, isto é, 2=Md .
. b) Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } Primeiramente temos que ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }
10=n , logo a 5,52
112
110==
+, ou seja, a mediana será a média aritmética do 5º e 6º
termos da série, portanto 5,22
32=
+ .
Portanto a mediana será 2,5, isto é, 5,2=Md .
.Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá
coincidência da mediana com um dos elementos da série. Quando o número de
elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com
um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2
elementos centrais da série.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
22
Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o
mesmo valor.
A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série
ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se
deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a 10=X e 10=Md ; já em { 5, 7, 10, 13, 65 } a
20=X e 10=Md , isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a
do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana
permanece a mesma.
9.4.2 A mediana em dados tabelados
Temos que considerar dois casos nos dados tabelados, o primeiro sem
intervalo de classe e o segundo com intervalo de classe.
9.4.2.1 Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada
imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele
valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.
Quando o somatório das freqüências for par ou ímpar o valor mediano
será o termo de ordem dado pela fórmula:
2
11
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
ii
Md
fP
Exemplos: a) Dada a tabela abaixo determine a mediana.
Variável (Xi) Freqüência (fi ) Fi
0 2 2
1 6 8
2 9 17
3 13 30
4 5 35
Total 35 X
Como o somatório das freqüências foi 35 a fórmula ficará:
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
23
182
362
1352
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
ii
Md
fP , ou seja, o 18º termo é a nossa mediana, portanto
3=Md .
b) Calcule a mediana dos dados da tabela abaixo.
Variável (Xi) Freqüência (fi ) Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
Total 8 X
Como o somatório das freqüências foi 8 a fórmula ficará:
5,429
218
2
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
ii
Md
fP , ou seja, a mediana se encontra entre o 4º e o 5º
termo e será a média aritmética destes termos, portanto 5,152
1615=
+ . Portanto
a mediana é 5,15=Md .
9.4.2.2 Com intervalos de classe
Devemos seguir os seguintes passos:
a) Determinamos as freqüências acumuladas;
b) Calculamos 21å=
n
iif
;
c) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada, pois tal classe será
a classe mediana;
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
24
d) Calculamos a mediana pela seguinte fórmula:.
medi
ant
n
ii
i f
hFf
lMd
1 .2
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
-
+=
å=
,
onde il é o limite inferior da classe mediana; antF é a freqüência acumulada da
classe anterior à classe mediana; h é a amplitude do intervalo da classe mediana e
medif é a freqüência absoluta da classe que contém a mediana.
Exemplo: Dada a tabela abaixo determine a mediana.
Classes Freqüência (fi ) Fi
50 54 4 4
54 58 9 13
58 62 11 24
62 66 8 32
66 70 5 37
70 74 3 40
Total 40 X
Calculamos 20240
21 ==å=
n
iif
, logo a classe mediana será (58 62). Com
isso determinamos 58=il , 13=antF , 11 =medif e 4=h .
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
( )
55,6055,25811
4758
1141320
58
.2
1
=+=+=
-+=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
-
+=
å=
xMd
f
hFf
lMdmedi
ant
n
ii
i
Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição, isto significa, que tem 20 valores antes e 20 valores depois de 60,55.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
25
Emprego da Mediana
Þ Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais.
Þ Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.
Þ Quando a variável em estudo é salário.
9.5 Moda
A moda ( Mo ) é, por definição, o valor mais freqüente dos dados. Assim
para dados não agrupados ou para tabelas de freqüência de dados discretos basta
localizar o valor de maior freqüência, e este será a moda.
Se num conjunto de dados existir somente um valor que se repita mais, se
dirá que a moda é unimodal, se houver 2 valores que se repitam na mesma
quantidade diremos que é bimodal, se houver 3 ou mais valores que se repitam na
mesma quantidade diremos que plurimodal ou multimodal. Caso não haja valores
que se repitam diremos que é amodal.
Exemplos: a) Considere os seguintes dados {1, 4, 5, 4, 3, 2, 5, 7, 1, 5, 5}
Primeiramente ordenamos os dados para facilitar a nossa visualização.
{1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7}
Portanto neste exemplo a moda é 5=Mo .
b) Considere a seguinte tabela de freqüências para dados discretos.
Ocorrências fi Neste caso basta observarmos qual a
maior freqüência e a moda será o valor que tem esta
freqüência. No nosso exemplo, a maior freqüência é
5 e o valor associado a ela é 3 logo nossa moda é
3=Mo .
0 2
2 3
3 5
4 4
Caso tenhamos dados contínuos o cálculo da moda é um pouco mais
complicado. Procedemos da seguinte forma:
a) Definimos qual a classe que tem maior freqüência. Esta classe é chamada classe
modal;
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
26
b) Calculamos a moda com a fórmula (moda de Czuber)
hlMo Mo .21
1÷÷ø
öççè
æD+D
D+= Þ
îíì
-=D-=D
posMo
antMo
ff
ff
2
1,
onde Mol é o limite inferior da classe modal; Mof é a freqüência absoluta da classe
modal; antf é a freqüência absoluta da classe anterior a classe modal; posf é a
freqüência absoluta da classe posterior a classe modal e h é a amplitude do
intervalo de classe.
Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências
Classes fi
Primeiramente localizamos a classe de
maior freqüência. A classe é 4 6. A amplitude de
classe é 2, logo calculamos a moda através da
equação:
0 2 1
2 4 3
4 6 4
6 8 2
( ) ( )
67,432
42.21
14
2.2434
344.
21
1
=+=÷øö
çèæ+
+=
÷÷ø
öççè
æ-+-
-+=÷÷
ø
öççè
æD+D
D+=
Mo
hlMo Mo
9.6 Separatrizes
Como vimos à mediana caracteriza uma série de valores devido à sua
posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante
quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo
número de valores.
Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que,
consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão
ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam
em sua posição na série. Essas medidas – os quartis e os percentis – são
juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
27
9.6.1 Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro
partes iguais.
Há, portanto, três quartis:
O primeiro quartil ( 1Q ) é o valor situado de tal modo na série que separa
os primeiros 25% dos 75% restantes.
O segundo quartil ( 2Q ) é o valor situado de tal modo na série que
separa em duas partes iguais, isto é, temos então a mediana.
O terceiro quartil ( 3Q ) é o valor situado de tal modo na série que separa
os primeiros 75% dos 25% restantes.
9.6.1 Quartis sem intervalo de classes
Procedimento no caso de dados brutos:
a) Colocam-se os dados em ordem (rol);
b) Calcula-se a posição do quartil através da formula:
4.n
iPQi = ,
onde i é o número do quartil e n é o número de observações;
c) O quartil será o valor que ocupa, no rol, a posição calculada anteriormente.
9.6.2 Quartis com intervalo de classes
Devemos seguir os seguintes passos:
a) Calcula-se a posição do quartil a través de 4
.4
. 1 ni
fiP
n
ii
Qi ==å= ;
b) O quartil estará localizado na classe onde, pela primeira vez, Qii PF ³ , onde iF é a
freqüência absoluta acumulada; c) Para encontrar o valor do quartil aplica-se a seguinte fórmula:
( )Qi
antQiii f
hFPlQ
.-+= ,
onde il é o limite inferior da classe que contém o respectivo quartil; antF é a
freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o quartil; h é a
amplitude do intervalo da classe que contém o quartil e Qif é a freqüência absoluta
da classe que contém o quartil.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
28
Exemplo:
Estaturas (cm) fi Fi
150 154 4 4
154 158 9 13 Ü 1Q
158 162 11 24
162 166 8 32 Ü 3Q
166 170 5 37
170 174 3 40
Total 40 X
Primeiro quartil
Temos:
10440
.14
. 11 ===
å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )66,15666,2154
924
1549
4410154
.1 =+=+=
-+=
-+=
Qi
antQii f
hFPlQ
cmQ 66,1561 =
Terceiro quartil
Temos:
30440
.34
. 13 ===
å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )1653162
824
1628
42430162
.3 =+=+=
-+=
-+=
Qi
antQii f
hFPlQ
cmQ 1653 =
9.6.2 Percentis
Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma
série em 100 partes iguais.
Indicamos por 993221 , ..., , , PPPP .
É evidente que MdP =50 , 125 QP = e 375 QP = .
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
29
Para encontrar o valor do percentil desejado, procede-se como no caso
dos quartis, sendo que para o cálculo da posição do percentil, a fórmula será:
100.
100. 1 n
if
iP
n
ii
Pi ==å= ,
onde i é o número do percentil e n é o número de observações.
Para encontrar o valor de percentil quando os dados estão agrupados em
classe, a fórmula será:
( )Pi
antPiii f
hFPlP
.-+= ,
onde il é o limite inferior da classe que contém o respectivo percentil; antF é a
freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o percentil; h é a
amplitude do intervalo da classe que contém o percentil e Pif é a freqüência
absoluta da classe que contém o percentil.
Exemplo:
Estaturas (cm) fi Fi
150 154 4 4 Ü 8P
154 158 9 13
158 162 11 24
162 166 8 32
166 170 5 37
170 174 3 40
Total 40 X
Oitavo percentil
Temos:
2,310040
.8100
. 18̀ ===
å=
n
ii
P
fiP
( ) ( )2,1532,3150
48,12
1504
402,3150
.8 =+=+=
-+=
-+=
Pi
antPii f
hFPlP
cmP 2,1538 =
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
30
Exercícios
1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
2) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a) b) c)
ix iF ix ifr
ix if
2 3 7 1/16 85 5
3 9 8 5/18 87 1
4 19 9 1/3 88 10
5 25 10 2/9 89 3
6 28 11 5/48 90 5
3) Das estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a
média.
Estaturas (cm) 145 150 150 155 155 160 160 165 165 170 170 175 175 180 180 185
No de alunos 2 10 27 38 27 21 8 7
4) Dada a distribuição abaixo determine a média
Classes 68 72 72 76 76 80 80 84
iF 8 20 35 40
5) turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa
disciplina:
Turma A (40 alunos) – média 6,5
Turma B (35 alunos) – média 6,0
Turma C (35 alunos) – média 4,0
Turma D (20 alunos) – média 7,5
Determine a média geral.
6) Para cada item abaixo, determine a mediana.
a)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
c) 12, 7, 10, 8, 8
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
31
7) Para cada distribuição determine a mediana:
a)
ix 73 75 77 79 81
if 2 10 12 5 2
b)
ix 232 235 237 240
iF 15 40 55 61
8) Para cada distribuição, determine a mediana:
a)
Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13
if 3 5 8 6 4 3
b)
Classes 22 25 25 28 28 31 31 34
if 18 25 30 20
9) Para cada série, determine a moda: a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 b) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48
10) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
ix 72 75 78 80
if 8 18 28 38
b)
ix 2,5 3,5 4,5 6,5
if 7 17 10 5
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
32
11) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22
if 6 10 15 10 5
b)
Classes 10 20 20 30 30 40 40 50
iF 7 19 28 32
12) Para as distribuições:
a)
Classes 4 6 6 8 8 10 10 12
if 4 11 15 5
Calcule P65 e Q1.
b)
Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70
iF 3 8 18 22 24
Calcule P43 e Q3.
13) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em
certa rodovia:
N° de acidentes 0 1 2 3 4
N° de dias 20 15 10 5 3
Pede-se:
a) Determinar a média.
b) Determinar a mediana.
c) Determinar a moda.
d) Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?
14) Sendo:
Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42
N° de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5
a)Determine a média.
b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
33
c) Determine a moda.
d) Calcular o trigésimo percentil.
e) determinar a medida que deixa ¼ dos elementos.
f) Calcular o percentil 80.
g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
15) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47, 18, 24.
Então, a mediana e a média são respectivamente:
a) 33 e 30 b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9
16) Considere o seguinte conjunto de dados: {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}. A média,
mediana e moda são respectivamente:
a) 4,5; 3,6; 6. b) 5,0; 5,5; 5. c) 5,0; 5,5; 6. d) 5,1; 5; 5. e) 5,2; 5,5; 5.
17) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Calculando a nota mediana e modal obtemos respectivamente:
a) 25,5; 5. b) 25; 13 c) 10; 5 d) 6; 6 e) 5; 6.
10 Medidas de dispersão
Suponha que estivéssemos observando dois grupos de alunos e anotando
os resultados dos mesmos em uma dada prova. Suponha ainda que os resultados
fossem:
Grupo 1 = {5, 5, 5, 5, 5}
Grupo 2 = {4, 5, 8, 7, 1}
Se calcularmos a média dos dois grupos vemos que ambos apresentam a
mesma média aritmética, 5, mas também vemos claramente que o conjunto de
dados provêm de grupos cujos resultados são bem diferentes.
A diferença entre um grupo e outro se encontra num fato que a média, assim
como qualquer outra medida de posição não pode perceber: a variabilidade dos
dados.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
34
Para caracterizar essas diferenças os estatísticos criaram as medidas de dispersão, como a amplitude total (ou desvio extremo), desvio médio, variância (ou desvio quadrático), desvio padrão e coeficiente de variação. 10.1 Amplitude total ou amplitude de variação ou desvio extremo (H)
É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe, ou a diferença entre o último e o primeiro elemento de um conjunto
de dados postos em ordem crescente.
1lLH n -=
Exemplo: Suponha que temos o seguinte conjunto de dados {1; 2; 5; 3; 1; 7; 2; 5}.
Para esse caso a amplitude total é dada por
6171 =-=-= lLH n Essa medida tem aplicações muito limitadas, pois só capta o que acontece com os
valores extremos, sendo completamente insensível aos valores intermediários.
10.2 Desvio Médio Uma maneira muito interessante de perceber como os dados estão
dispersos é perceber como estão variando em torno da média. Uma forma de fazer
isso é com o desvio médio ( d ).
O desvio médio é definido como a média dos valores absolutos dos
desvios em relação à média aritmética, ou seja:
Dados não tabelados Dados tabelados
n
XXd
n
iiå
=
-= 1
( )
å
å
=
=
-= n
ii
n
iii
f
XXfd
1
1
onde iX é a i-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do
i-ésimo intervalo (caso contínuo); if é a freqüência absoluta da i-ésima ocorrência
possível (caso discreto) ou da i-ésima classe (caso contínuo); X é a média
aritmética das observações e n é o número de observações.
Exemplo: Suponha que temos a seguinte tabela de freqüências. Classes Freqüência (fi ) Para facilitar a aplicação da expressão
do desvio médio, vamos criar algumas colunas auxiliares na nossa tabela de freqüências, de modo que nossa nova tabela é dada por:
0 2 1
2 4 3
4 6 2
6 8 1
Total 7
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
35
Classes fi iX ii fX . XXi - ii fXX .-
0 2 1 1 1 2,86 2,86
2 4 3 3 9 0,86 2,58
4 6 2 5 10 1,14 2,28
6 8 1 7 7 3,14 3,14
Total 7 X 27 X 10,86
As colunas auxiliares são, na verdade, organização do processo aritmético de cálculo da medida. Observe que para montar a 5ª coluna precisamos saber quanto vale a média aritmética. Para tanto podemos usar as colunas 4 e 2 para calcular. Nesse caso temos:
86,37
27==X , assim
( )55,1
786,10
1
1 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfd .
10.3 Variância ou desvio quadrático
Outra medida de dispersão em torno da média é a variância ( 2S ) que é definida como:
Dados não tabelados Dados tabelados
( )1
1
2
2
-
-=å=
n
XXS
n
ii
( )
å
å
=
=
-
-= n
ii
n
iii
f
XXfS
1
1
2
2
1
onde iX é a i-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do
i-ésimo intervalo (caso contínuo); if é a freqüência absoluta da i-ésima ocorrência
possível (caso discreto) ou da i-ésima classe (caso contínuo); X é a média aritmética das observações e n é o número de observações.
O fato de dividirmos por 1-n está relacionado ao fato de ser uma
amostra, caso fosse uma variância populacional seria somente n.
Exemplo: Retornemos ao exemplo anterior criando algumas colunas auxiliares na nossa tabela de freqüências.
Classes fi iX ii fX . ( )XXi - ( )2XX i - ( )2XXf ii -
0 2 1 1 1 2,86 8,18 8,18
2 4 3 3 9 0,86 0,74 2,22
4 6 2 5 10 1,14 1,30 2,6
6 8 1 7 7 3,14 9,86 9,86
Total 7 X 27 X 20,08 22,86
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
36
( )81,3
1786,22
11
1
2
2 =-
=-
-=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfS
10.3.1 Algumas propriedades da variância a) Variância de dados constantes é zero;
b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a cada valor observado a
variância não será alterada, isto é, ( ) )(22 XSXkS =±= ;
c) Multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante k cada valor observado a
variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante, isto é,
( ) )(.. 222 XSkXkS == .
10.4 Desvio padrão
Pelo fato de a variância ser uma medida que utiliza o quadrado dos
desvios em relação à média, sentiu-se a necessidade de uma medida que utilizasse
a mesma unidade dos dados. Esta medida é chamada desvio padrão (S).
O desvio padrão é definido tão somente como a raiz quadrada positiva da
variância.
2SS =
10.5 Coeficiente de Variação (CV)
É uma medida relativa de dispersão. Utilizada para fazer comparação da
dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias. Define-se
como:
XS
CV =
Exemplo: Considere que tenhamos duas séries. A primeira com média 4 e desvio
padrão 1,5 e outra com média 3 e desvio padrão 1,3. Neste caso temos os
seguintes coeficientes de variação:
375,045,1
1 ===XS
CV e 43,033,1
2 ==CV
Logo se conclui que a primeira série tem uma dispersão relativa em torno
da média menor que a segunda.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
37
Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média
pouco representativa. Valores menores que 50% implicam CV baixo e a média é tão
mais representativa quanto menor for o valor do CV .
11 Medidas de assimetria e curtose
Uma questão importante quanto à descrição dos dados é saber onde está a
maior concentração de valores (por exemplo se a maior concentração se dá antes
ou depois da média). Esta questão é respondida pelas medidas de assimetria.
Uma outra questão que podemos responder é: como se dá a concentração?
Muito acentuada ou não? Para essa pergunta utilizam-se os coeficientes de Curtose.
11.1 Assimetria
Assimetria é o grau de desvio ou afastamento que a curva de freqüência
apresenta em relação a uma curva simétrica.
Diz-se que uma distribuição é simétrica se obedece à seguinte condição
MoMdX ==
Graficamente:
MoMdX ==
Quando uma distribuição não é simétrica diz-se que é assimétrica. Neste
caso temos duas possibilidades:
Assimetria à direita ou positiva - Isso ocorre quando a maior concentração
dos dados está localizada abaixo da média, ou seja,
MoMdX >>
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
38
Graficamente:
Mo Md X
Assimetria à esquerda ou negativa - isso ocorre quando temos uma
concentração dos dados acima da média, ou seja,
MoMdX <<
Graficamente:
X Md Mo
Uma medida estatística que caracteriza a assimetria é o coeficiente de
Pearson que é definido como
SMoX
As-
= , onde
X é a média aritmética; Mo é a moda e S é o desvio padrão.
Para essa medida temos o seguinte comportamento:
Se 0=As Þ simétrica;
Se 0<As Þ assimétrica à esquerda ou negativa;
Se 0>As Þ assimétrica à direita ou positiva;
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
39
11.2 Curtose
A curtose é uma medida de "achatamento" da distribuição. Se uma
distribuição é pouco achatada dizemos que é leptocúrtica. Quando a distribuição tem
um certo grau de achatamento dizemos que é mesocúrtica. Quando é muito
achatada diz-se que é platicúrtica..
Graficamente podemos representar como:
X
A medida estatística que caracteriza a Curtose é
)(2 1090
13
PPQQ
K--
= , onde
3Q é o terceiro quartil ; 1Q é o primeiro quartil; Os quartis dividem um conjunto de
dados em quatro partes iguais. 90P é o percentil 90; 10P é o percentil 10; Percentil
são valores que dividem o conjunto das observações em 100 partes iguais.
Se
263,0=K Þ Mesocúrtica;
263,0>K Þ Platicúrtica;
263,0<K Þ Leptocúrtica.
Exercícios
1) Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10,12
a) Qual a amplitude total?
b) Determine o desvio médio?
c) Calcule a variância?
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
40
2) Para a serie 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a) Construir a distribuição de freqüência.
b) Calcular a amplitude.
c) Determinar o desvio médio.
d) Calcular a variância populacional.
e) Determinar o desvio-padrão populacional.
f) Calcular o coeficiente de variação.
3) Calcular a variância amostral:
Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12
if 3 5 8 6 3
4) Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
No de alunos 1 3 8 3 3 2 a) Calcular o desvio médio.
b) Determinar a variância populacional.
c) Determinar o desvio padrão.
d) Calcular o coeficiente de variação.
e) Determinar o coeficiente de assimetria (1o coeficiente de Pearson).
f) Calcular o coeficiente de curtose.
5) Abaixo temos a distribuição da freqüência dos pesos de uma amostra de 45
alunos:
Peso em Kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70
No de alunos 4 10 15 8 5 3 a) Determinar a média.
b) Determinar a variância.
c) Qual é o valor do coeficiente de variação?
d) A distribuição é simetria?
e) A distribuição é mesocúrtica?
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
41
6) Sendo:
Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80
if 10 20 35 25 10
Calcular a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose. 7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura média de 160,6cm, com um desvio padrão igual a 5,97cm. Outro Grupo B de 125 moças tem uma estatura média de 161,9cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01cm. Qual é o Grupo mais homogêneo e o coeficiente de variação respectivamente: a) Grupo A e 3,717. b) Grupo B e 3,712 c) Grupo A e 3,715.
d) Grupo A e 3,700. e) Grupo B e 3,717.
8) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8cm, com um
coeficiente de variação de 3,3%, portanto o desvio padrão desse grupo vale a) 3,9352 b) 4,1254 c) 4,3045 d) 5,1032 e) 5,4054
9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão de 1,5 e
coeficiente de variação de 2,9%, logo o valor da média desta distribuição é a) 48,5. b) 49,8. c) 50,9. d) 51,7. e) 52,3.
10) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: 1,48=X ,
5,47=Mo e 12,2=S , logo o valor do coeficiente de assimetria é
a) 0,283 b) 0,385 c) 0,435 d) 0,543 e) 0,678
11) Considere as seguintes medidas, relativas a uma distribuição de freqüência:
Portanto o valor do grau de curtose e o tipo de curva são respectivamente: a) 0,252 e platicúrtica.
b) 0,252 e leptocúrtica.
c) 0,255 e leptocúrtica. d) 0,355 e mesocúrtica.
e) 0,358 e platicúrtica.
Distribuição 1Q 3Q 10P 90P
A 814 935 772 1012
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
42
12 Representação gráfica de uma distribuição
A estatística gráfica consiste na utilização de estruturas geométricas,
cores, noções de proporção etc., para expor a informação contidas nos dados. A
filosofia é a mesma das tabelas: o máximo de informação no mínimo de espaço.
Tem com características o uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade,
clareza e veracidade. Podem ser de dois tipos:
A Þ Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público
em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos
tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As
legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam
presentes.
B Þ Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho
estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de
ser também informativos. Os gráficos de análise freqüentemente vêm
acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto
explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo
gráfico.
Temos que ter cuidado para evitar o uso indevido de gráficos, que
podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando
mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção
de escalas.
Os gráficos podem ser classificados em gráficos de barras, colunas,
histogramas e polígonos de freqüências entre outros.
10.1 Gráfico em colunas ou em barras
É a representação de uma série por meios de retângulos, dispostos
verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são
proporcionais aos respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos
são proporcionais aos respectivos dados.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
43
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos
retângulos e os dados estatísticos.
Exemplo: Construção de Aeronaves Brasil – 1984-89
Anos Unidades
1984 184
1985 171
1986 167
1987 203
1988 199
1999 197
Fonte: EMBRAER
a) Gráfico em colunas b) Gráfico em barras
Construção de Aeronaves Brasil - 1984-89
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
1984 1985 1986 1987 1988 1989
Anos
Un
idad
es
Construção de Aeronaves Brasil - 1984-89
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225
1984
1985
1986
1987
1988
1989
An
os
Unidades
Fonte: EMBRAER Fonte: EMBRAER
10.2 Gráfico em colunas ou em barras múltiplas
Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos
representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito
de comparação.
Exemplo: Balança comercial Brasil – 1984-88
Especificação
Valor (US$ 1.000.000)
1984 1985 1986 1987 1988
Exportação
(FOB)
27.005 25.639 22.348 26.224 33.789
Importação 13.916 13.153 14.044 15.052 14.605
Fonte: Ministério da Economia
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
44
a) Gráficos em colunas múltiplas b) Gráfico em barras múltiplas
Balança Comercial Brasil - 1984-88
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
1984 1985 1986 1987 1988
Anos
US
$ m
ilh
ão
exportação importação
Balança Comercial Brasil - 1984-88
0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000
1984
1985
1986
1987
1988
An
os
US$ milhão
exportação importação
Fonte: Ministério da Economia Fonte: Ministério da Economia
10.3 Histograma
É um gráfico de colunas justapostas, cujas alturas são proporcionais às
freqüências absolutas e cujas bases correspondem ao intervalo de classe da
distribuição.
Exemplo: Notas dos alunos da Classe A
Notas Freqüência Freqüência
Acumulada
0,0 1,7 5 5
1,7 3,4 6 11
3,4 5,1 6 17
5,1 6,8 1 18
6,8 8,5 4 22
8,5 10,2 3 25
Total 25 X
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
Notas dos alunos da Classe A
0
1
2
3
4
5
6
7
0,85 2,55 4,25 5,99 7,65 9,35
Ponto médio da classe
Nú
mer
os
de
alu
no
s
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
45
10.4 Polígono de freqüências
É um gráfico de linha, cujos vértices são proporcionais às freqüências
absolutas e correspondem aos pontos médios das classes da distribuição.
O gráfico consiste na ligação dos pontos cartesianos formados pelos
pontos médios das classes e as freqüências por linhas poligonais.
Os pontos inicial e final do gráfico são pontos médios das classes que
existiriam antes da primeira e depois da última classe real dos dados. Eles são
introduzidos para manter a proporcionalidade na representação dos dados.
Este gráfico também pode ser utilizado para representar freqüências
acumuladas. Neste caso usam-se os pontos finais da classe como referência, ao
invés dos pontos médios.
Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior temos:
a) Polígono de freqüência da freqüência absoluta
Notas dos alunos da Classe A
0
1
2
3
4
5
6
7
-0,85 0,85 2,55 4,25 5,99 7,65 9,35 11,1
Ponto médio da classe
Nú
mer
o d
e al
un
os
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
b) Polígono de freqüência da freqüência acumuladas
Notas dos alunos da Classe A
0
5
10
15
20
25
30
0 1,7 3,4 5,1 6,8 8,5 10,2
Limite superior da classe
Nú
mer
o d
e al
un
os
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
46
Exercícios 1) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na Grande São Paulo,
medida nos meses de abril, segundo o Dieese:
Taxa de desemprego nos meses de abril - em %
14,2
11,6
10,6
13,1
15,3
13,5
15,9
18,8
20,3
18,6
17,7
8,9
20,4
16,1
10,4 10,3
15,5
15,9
8
10
12
14
16
18
20
22
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
RECORDE NA GRANDE SÃO PAULO
Fonte: Dieese
Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de
desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de:
a) abril de 1985 a abril de 1986. b) abril de 1989 a abril de 1990.
c) abril de 1995 a abril de 1996. d) abril de 1997 a abril de 1998.
e) abril de 2001 a abril de 2002.
2) Uma pessoa com 83kg, considerando-se obesa, consulta um nutricionista e
é aconselhada a fazer uma dieta para perder 0,5kg por semana. O gráfico
seguinte apresenta a situação real do emagrecimento, durante as quatros
primeiras semanas da dieta.
80
80,5
81
81,5
82
82,5
83
83,5
início (1) semana (2) semana (3) semana (4) semana
semanas
kg
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
47
A análise do gráfico mostra que: a) ao final da primeira semana, tinha perdido menos de 1kg; b) na segunda semana, não perdeu “peso”; c) ao final da terceira semana, tinha perdido 1kg; d) ao final da quarta semana, perdeu mais de 2kg; e) na terceira e quarta semanas, a dieta não deu o resultado previsto. 3) O gráfico a seguir mostra saldos anuais da transferência de capitais entre
América Latina/Caribe e os países desenvolvidos, em bilhões de dólares.
Valores positivos indicam saldos favoráveis à América Latina/Caribe.
9,0
16,0 15,513,1
11,3
-18,7
-31,6
-26,9
-32,3
-22,8
1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
De acordo com o gráfico, no período de 1977 a 1986, o saldo total é:
a) 42.800.000 dólares a favor da América Latina/Caribe.
b) 42.800.000 dólares a favor dos países desenvolvidos. c) 67.400.000.000 dólares a favor da América Latina/Caribe.
d) 67.400.000.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.
e) 72.300.000.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.
4) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no
período 1985-1996, realizado pelo Seade-Dieese, apresentou o seguinte
gráfico sobre taxa de desemprego.
Médias anuais da taxa de desemprego total
6,0%
8,0%
10,0%
12,0%
14,0%
16,0%
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Grande São Paulo
1985 - 1996
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
48
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado:
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%;
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período;
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente;
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%;
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e
1991.
5) O histograma abaixo apresenta a distribuição de freqüência das faixas
salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir
que a média desses salários é, aproximadamente:
500 1 000 1 500 2 000 2 500 0
2
4
6
8
10
12
14
16
Salário (em R$)
Número de funcionários
a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00
6) Os dados abaixo referem-se à origem do petróleo consumido no Brasil em dois diferentes anos.
Origens do consumo em 1990 (em %)
0
20
40
60
80
100
Produção Interna Importação
Origens do consumo em 2002(em %)
0
20
40
60
80
100
Produção Interna Importação
Origens das importações em 1990 (milhares de barris)
158
150
100
37
Arábia Saudita
Iraque
Irã
Catar
Origens das importações em 2002 (milhares de barris)
114
77
60
33
Nigéria
Argélia
Arábia Saudita
Iraque
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
49
Analisando os dados, pode-se perceber que o Brasil adotou determinadas estratégias energéticas, dentre as quais podemos citar: a) a diminuição das importações dos países muçulmanos e a redução do consumo interno. b) a redução da produção nacional e diminuição do consumo do petróleo produzido no Oriente Médio. c) a redução da produção nacional e o aumento das compras de petróleo dos países árabes e africanos. d) o aumento da produção nacional e redução do consumo de petróleo vindo dos países do Oriente Médio. e) o aumento da dependência externa de petróleo vindo de países mais próximos do Brasil e redução do consumo interno.
7) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com a sua velocidade aproximada.
5
15
30
40
63
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
velocidade (km/h)
veíc
ulo
s (%
)
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de: a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
50
Gabarito distribuições de freqüências
1)Dados o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em
classe e elaborar uma tabela de distribuição de freqüências (freqüência, freqüência acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada) .
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
Amplitude total: 6433971 =-=-= lLH n
Número de classes: 76,650log3.31log3.31)( @=+=+= nkn
Intervalo de classe: 1014,9764
@===kH
h
Classes Xi Freqüências (fi) Fi fri (%) Fri (%)
33 43 38 7 7 0,14 0,14
43 53 48 5 12 0,10 0,24
53 63 58 9 21 0,18 0,42
63 73 68 11 32 0,22 0,64
73 83 78 10 42 0,20 0,84
83 93 88 6 48 0,12 0,96
93 103 98 2 50 0,04 1
Total 50 1
2) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se: a) Construir a distribuição de freqüência;
b) Determinar as freqüências relativas;
c) determinar as freqüências acumuladas;
d) Qual é a amplitude amostral; e) Qual a percentagem de elementos maiores que 5.
Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)
3 1 0,05 1 0,05
4 3 0,15 4 0,20
5 5 0,25 9 0,45
6 6 0,30 15 0,75
7 4 0,20 19 0,95
8 1 0,05 20 1
Total 20 1
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
51
d) 538 =-=H
e) %5555,005,020,030,0 ==++
3) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos
(dadas em cm):
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 183 182 183 184 185 186 187 188 190 190
Pede-se determinar:
a) A amplitude amostral = 39151190 =-=H
b) O número de classes = 86,7100log3,31log3,31)( @=+=+= nkn
c) A amplitude das classes = 5875,4839
@===kH
h
d) Os limites das classes;
e) As freqüências absolutas das classes;
f) As freqüências relativas;
g) Os pontos médios das classes;
h) A freqüência acumulada.
Limite das classes Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi
151 156 153,5 4 0,04 4
156 161 158,5 4 0,04 8
161 166 163,5 11 0,11 19
166 171 168,5 33 0,33 52
171 176 173,5 17 0,17 69
176 181 178,5 17 0,17 86
181 186 183,5 9 0,09 95
186 191 188,5 5 0,05 100
Total 100 1
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
52
4) As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5
Determinar:
a) O rol; 0,0 0,0 1,0 1,5 2,0 2,0 2,5 3,5 3,5 4,0 4,0 4,0 4,5 4,5 4,5 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,5 5,5 6,0 6,0 6,0 6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 8,0 8,5
b) As distribuições de freqüências (variável contínua). Classes 0,0 1,5 1,5 3,0 3,0 4,5 4,5 6,0 6,0 7,5 7,5 9,0
Freqüências (fi) 3 4 5 10 8 2
c) O maior e o menor graus;
8,5 e 0,0
d) A amplitude total = 5,80,05,8 =-=H
e) Qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4.
%125,2828125,032/9 ==
f) Qual o limite superior da segunda classe = 3,0
g) Qual o ponto médio da quarta classe = 25,52
0,65,44 =
+=x
h) Qual o ponto médio da terceira classe = 75,32
5,40,33 =
+=x
5) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64 53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63 53 Construir a tabela de distribuição de freqüência , dado log40=1,6.
Rol
45 49 50 53 53 53 54 57 58 58 59 60 60 60 62 63 63 64 64 65 65 66 67 67 68 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 80 81 81 83 93
484593 =-=H
728,640log3,31log3,31)( @=+=+= nkn
7857,6748
@===kH
h
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
53
Limite das classes Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)
45 52 48,5 3 0,075 3 0,075
52 59 55,5 7 0,175 10 0,250
59 66 62,5 11 0,275 21 0,525
66 73 69,5 10 0,250 31 0,775
73 80 76,5 4 0,100 35 0,875
80 87 83,5 4 0,100 39 0,975
87 94 90,5 1 0,025 40 1
Total 40 1
6) Completar os dados que faltam:
Valores Freqüências (fi) Fi fri (%)
1 4 4 0,08
2 4 8 0,08
3 8 16 0,16
4 7 23 0,14
5 5 28 0,10
6 10 38 0,20
7 7 45 0,14
8 5 50 0,10
7) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da
primeira classe e 10 para intervalo de classe.
Rol
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 57 59 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 77 78 80
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
54
81 84 85 85 88 89 91 94 94 98
Limite das classes Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)
30 40 35 4 0,08 4 0,08
40 50 45 6 0,12 10 0,20
50 60 55 9 0,18 19 0,38
60 70 65 11 0,22 30 0,60
70 80 75 9 0,18 39 0,78
80 90 85 7 0,14 46 0,92
90 100 95 4 0,08 50 1
Total 50 1
8) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6 5 2 6 4 3 6 2 6 5
1 6 3 3 5 1 3 6 3 4
5 4 3 1 3 5 4 4 2 6
2 2 5 2 5 1 3 6 5 1
5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe
Rol 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
Limite das classes Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)
1 6 0,12 6 0,12
2 8 0,16 14 0,28
3 9 0,18 23 0,46
4 7 0,14 30 0,60
5 10 0,20 40 0,80
6 10 0,20 50 0,80
Total 50 1
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
55
9) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400
lotes: Áreas (m2) 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Nº de lotes 14 46 58 76 68 62 48 22 6
Com referência a essa tabela, determine:
a) A amplitude total 9003001200 =-=H
b) O limite superior da quinta classe = 800
c) O limite inferior da oitava classe = 1000
d) O ponto médio da sétima classe = 95021000900
7 =+
=x
e) A amplitude do intervalo da segunda classe = 100400500 =-=h
f) A freqüência da quarta classe = 76
g) A freqüência relativa da sexta classe = %5,15155,040062
===riF
h) A freqüência acumulada da quinta classe = 2626876584614 =++++=iF
i) O número de lotes cuja área não atinge 700m2 = 19476584614 =+++
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2 = 1386224862 =+++
k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2
118584614 =++ %5,29295,0400118
==
l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2
7662248 =++ %1919,040076
==
m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior a
1000m2
3124862687658 =++++ %7878,0400312
==
n) A classe do 72º lote = 3a Classe
o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes = 5a Classe
2626876584614 =++++ %5,65655,0400262
==
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
56
10) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:
Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7
Nº de motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1
Determine:
a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente = 20 motoristas.
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes =
151356 =+++
c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes =
46161020 =++
d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes
20569 =++
e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes
46161020 =++ %714,6565714,07046
==
Gabarito medidas de posição
1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um
estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos
mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou na aprovado.
875,4839
845,525,265,385,71 ==
+++++++==
å=
n
XX
n
ii
Não foi aprovado.
2) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a) b) c)
ix iF if
ix ifr if
ix if
2 3 3 7 1/16 9 85 5
3 9 6 8 5/18 40 87 1
4 19 10 9 1/3 48 88 10
5 25 6 10 2/9 32 89 3
6 28 3 11 5/48 15 90 5
a)
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
57
428
112361063
3.66.510.46.33.2.
1
1 ==++++++++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
b)
961
.144 = ; 40185
.144 = ; 4831
.144 = ; 3292
.144 = ; 15485
.144 =
028,91441300
15324840915.1132.1048.940.89.7
.
1
1 ==++++++++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
c)
875,8724
2109531015
5.903.8910.881.875.85.
1
1 ==++++
++++==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
3) Das estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média. Estaturas (cm) 145 150 150 155 155 160 160 165 165 170 170 175 175 180 180 185
No de alunos 2 10 27 38 27 21 8 7
ix 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5
929,164140
23090
78212738271027.5,1828.5,17721.5,17227.5,16738.5,16227.5,15710.5,1522.5,147
.
1
1
==
++++++++++++++
==
å
å
=
=
X
f
fXX n
ii
n
iii
4) Dada a distribuição abaixo determine a média
iF 2 10 27 38
ix 70 74 78 82
if 8 12 15 5
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
58
7,7540
3028515128
5.8215.7812.748.70.
1
1 ==+++
+++==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
5) turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa
disciplina:
Turma A (40 alunos) – média 6,5
Turma B (35 alunos) – média 6,0
Turma C (35 alunos) – média 4,0
Turma D (20 alunos) – média 7,5
Determine a média geral.
846,5130760
203535405,7.204.356.355,6.40
.
1
1 ==++++++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
6) Para cada item abaixo, determine a mediana.
a)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
7=n , logo 428
217
21
==+
=+n
, ou seja, o 4º elemento da série ordenada será a
mediana. Portanto a mediana será o elemento 4, isto é, 4=Md .
. b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
8=n , logo 5,429
218
21
==+
=+n
, ou seja, a mediana será a média aritmética do
4º e 5º termos da série, portanto 52
64=
+ .
Portanto a mediana será 5, isto é, 5=Md . . c) 12, 7, 10, 8, 8
Primeiramente temos que ordenar a serie { 7, 8, 8, 10, 12 }
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
59
5=n , logo 326
215
21
==+
=+n
, ou seja, o 3º elemento da série ordenada será a
mediana. Portanto a mediana será o elemento 8, isto é, 8=Md .
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93
Primeiramente temos que ordenar a serie { 82, 84, 86, 88, 91, 93 }
6=n , logo 5,327
216
21
==+
=+n
, ou seja, a mediana será a média aritmética do
3º e 4º termos da série, portanto 872
8886=
+ .
Portanto a mediana será 87, isto é, 87=Md .
7) Para cada distribuição determine a mediana:
a)
ix 73 75 77 79 81
if 2 10 12 5 2
iF 2 12 24 29 31
Como o somatório das freqüências foi 312512102 =++++ a fórmula
ficará:
162
322
1312
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
ii
Md
fP , ou seja, o 16º termo é a nossa mediana,
portanto 77=Md .
b)
ix 232 235 237 240
iF 15 40 55 61
Como o somatório das freqüências foi 61 a fórmula ficará:
312
622
1612
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
ii
Md
fP , ou seja, o 31º termo é a nossa mediana,
portanto 235=Md .
8) Para cada distribuição, determine a mediana:
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
60
a)
Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13
if 3 5 8 6 4 3
iF 3 8 16 22 26 29
Calculamos 5,14229
2346853
21 ==
+++++=
å=
n
iif
, logo a classe mediana
será (5 7). Com isso determinamos 5=il , 8=iantF , 8 =medif e 2=h .
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
( )
625,6
82.85,14
5
.2
1
=
-+=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
-
+=
å=
Md
f
hFf
lMdmedi
ant
n
ii
i
Esta mediana é estimada, pois não temos os 29 valores da distribuição, isto significa, que tem metade dos valores antes e metade depois de 6,625. b) Classes 22 25 25 28 28 31 31 34
if 18 25 30 20
iF 18 43 73 93
Calculamos 5,46293
21 ==å=
n
iif
, logo a classe mediana será (28 31).
Com isso determinamos 28=il , 43=iantF , 30 =medif e 3=h .
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
( )
35,28
303.435,46
28
.2
1
=
-+=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
-
+=
å=
Md
f
hFf
lMdmedi
ant
n
ii
i
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
61
Esta mediana é estimada, pois não temos os 93 valores da
distribuição, isto significa, que tem metade dos valores antes e metade depois
de 28,35.
9) Para cada série, determine a moda:
a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10
Moda = 7
b) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48
Primeiramente organizamos os dados:
40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 45, 47, 48
Moda = 43
10) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
ix 72 75 78 80
if 8 18 28 38
Moda = 80
b)
ix 2,5 3,5 4,5 6,5
if 7 17 10 5
Moda = 3,5
11) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22
if 6 10 15 10 5
iF
6 16 31 41 46
hlMo Mo .21
1÷÷ø
öççè
æD+D
D+= Þ
îíì
-=D-=D
posMo
antMo
ff
ff
2
1
Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe
é 13 16. A amplitude de classe é 3, logo calculamos a moda através da
equação:
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
62
îíì
=-=-=D=-=-=D
51015
51015
2
1
posMo
antMo
ff
ff
5,143.
555
13.21
1 =÷øö
çèæ+
+=÷÷ø
öççè
æD+D
D+= hlMo Mo
b)
Classes 10 20 20 30 30 40 40 50
iF 7 19 28 32
if 7 12 9 4
Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe
é 20 30. A amplitude de classe é 10, logo calculamos a moda através da
equação:
îíì
=-=-=D=-=-=D
3912
5712
2
1
posMo
antMo
ff
ff
25,2610.
355
20.21
1 =÷øö
çèæ
++=÷÷
ø
öççè
æD+D
D+= hlMo Mo
12) Para as distribuições:
a)
Classes 4 6 6 8 8 10 10 12
if 4 11 15 5
iF
4 15 30 35
Calcule P65 e Q1.
Calculo do P65
Temos:
75,2210035
.65100
. 165 ===
å=
n
ii
P
fiP
( ) ( )033,9
1521575,22
8.
65 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
63
Primeiro quartil
Temos:
75,84
35.1
4. 1
1 ===å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )864,6
112475,8
6.
1 =-
+=-
+=Qi
antQii f
hFPlQ
b)
Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70
iF 3 8 18 22 24
if 3 5 10 4 2
Calcule P43 e Q3.
Calculo do P43
Temos:
32,1010024
.43100
. 143 ===
å=
n
ii
P
fiP
( ) ( )32,42
1010832,10
40.
43 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
Terceiro quartil
Temos:
18424
.34
. 13 ===
å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )50
1010818
40.
3 =-
+=-
+=Qi
antQii f
hFPlQ
13) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53
dias, em certa rodovia:
N° de acidentes 0 1 2 3 4
N° de dias 20 15 10 5 3
Pede-se:
a) Determinar a média.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
64
b) Determinar a mediana.
c) Determinar a moda.
d) Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?
N° de acidentes 0 1 2 3 4
N° de dias 20 15 10 5 3
iF
20 35 45 50 53
a)
17,15362
351015203.45.310.215.120.0
.
1
1 ==++++++++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
b) Como o somatório das freqüências foi 53 a fórmula ficará:
272
542
1532
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
iif
Md , ou seja, o 27º termo é a nossa mediana,
portanto 1=Md . c) Moda = 0
d) %963,3333963,053
3510==
++
14) Sendo:
Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42
N° de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5
a)Determine a média.
b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.
c) Determine a moda.
d) Calcular o trigésimo percentil.
e) determinar a medida que deixa ¼ dos elementos.
f) Calcular o percentil 80.
g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42
N° de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5
ix
12 16 20 24 28 32 36 40
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
65
iF
15 43 83 113 133 148 158 163
a)
994,22
1633748
5101520304028155.4010.3615.3220.2830.2440.2028.1615.12
.
1
1 ==+++++++
+++++++==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
b) Calcular a mediana.
Calculamos 5,812
16321 ==å=
n
iif
, logo a classe mediana será (18 22).
Com isso determinamos 18=il , 43=iantF , 40 =medif e 4=h .
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
( )
85,21
404.435,81
18
.2
1
=
-+=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
-
+=
å=
Md
f
hFf
lMdmedi
ant
n
ii
i
c) Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe é 18 22.
A amplitude de classe é 4, logo calculamos a moda através da equação:
îíì
=-=-=D=-=-=D
103040
122840
2
1
posMo
antMo
ff
ff
182,204.
101212
18.21
1 =÷øö
çèæ
++=÷÷
ø
öççè
æD+D
D+= hlMo Mo
d) Calculo do P30
Temos:
9,48100163
.30100
. 130 ===
å=
n
ii
P
fiP
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
66
( ) ( )59,18
404.439,48
18.
30 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
e) Primeiro quartil
Temos:
75,404
163.1
4. 1
1 ===å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )679,17
2841575,40
14.
1 =-
+=-
+=Qi
antQii f
hFPlQ
f) Calculo do P80
Temos:
4,130100163
.80100
. 180 ===
å=
n
ii
P
fiP
( ) ( )48,29
204.1134,130
26.
30 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
g) %62,737362,0
163120
16351015203040
===+++++
15) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47,
18, 24. Então, a mediana e a média são respectivamente:
a) 33 e 30 b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9
Organizando os dados temos:
18, 18, 21, 23, 24, 24, 26, 37, 43, 47
1,2810281
10474337262424232118181 ==
+++++++++==
å=
n
XX
n
ii
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
67
5,52
112
1102
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
iif
Md , ou seja, a mediana será a média aritmética
do 5º e 6º termos da série, portanto 242
2424=
+ .
Portanto a mediana será 24, isto é, 24=Md . Gabarito letra B.
16) Considere o seguinte conjunto de dados: {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}. A
média, mediana e moda são respectivamente:
a) 4,5; 3,6; 6. b) 5,0; 5,5; 5. c) 5,0; 5,5; 6. d) 5,1; 5; 5. e) 5,2; 5,5; 5.
Organizando os dados temos:
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9
1,51051
1098665553221 ==
+++++++++==
å=
n
XX
n
ii
5,52
112
1102
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
iif
Md , ou seja, a mediana será a média aritmética
do 5º e 6º termos da série, portanto 52
55=
+ .
Portanto a mediana será 5, isto é, 5=Md . Moda = 5.
Gabarito letra D.
17) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte
distribuição: Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Calculando a nota mediana e modal obtemos respectivamente:
a) 25,5; 5. b) 25; 13 c) 10; 5 d) 6; 6 e) 5; 6. Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1
iF 1 4 10 20 33 41 46 49 50
Moda = 6.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
68
5,25251
2150
2
11 ==
+=
+÷ø
öçè
æ
=å=
n
iif
Md , ou seja, a mediana será a média aritmética
do 25º e 26º termos da série, portanto 6=Md . Gabarito Letra D.
Gabarito Medidas de dispersão, Assimetria e curtose
1) Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10,12
a) Qual a amplitude total?
102121 =-=-= lLH n
b) Determine o desvio médio?
143,6743
71210754321 ==
++++++==
å=
n
XX
n
ii
02,37143,21
7
143,612...143,63143,621 ==
-++-+-=
-=å=
n
XXd
n
ii
c) Calcule a variância?
( ) ( ) ( ) ( )81,13
6857,82
7143,612...143,63143,62
1
2221
2
2 ==-++-+-
=-
-=å=
n
XXS
n
ii
2) Para a serie 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a) Construir a distribuição de freqüência.
Classes 5 6 7 8 9 Total
if 3 4 6 3 2 18
xxi - 1,833 0,833 0,167 1,167 2,167 6,167
2xxi -
3,36 0,694 0,028 1,362 4,696 10,14
xxf ii -
5,499 3,332 1,002 3,501 4,334 17,668
2xxf ii -
10,08 2,776 0,168 4,086 9,392 26,502
b) Calcular a amplitude.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
69
4591 =-=-= lLH n
c) Determinar o desvio médio.
( )982,0
18668,17
1
1 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfd .
d) Calcular a variância populacional.
( )472,1
18502,26
1
1
2
2 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfS
e) Determinar o desvio-padrão populacional.
213,1472,12 === SS
f) Calcular o coeficiente de variação.
%75,171775,0833,6213,1
====XS
CV
3) Calcular a variância amostral:
Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 Total
if 3 5 8 6 3 25
ix
3 5 7 9 11
xxi - 4,08 2,08 0,08 1,92 3,92 12,08
2xxi -
16,646 4,326 0,0064 3,686 15,366 40,03
2xxf ii -
49,938 21,63 0,0512 22,116 46,098 139,833
08,725
17725
11.39.67.85.53.3.
1
1 ==++++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
70
( )826,5
125833,139
11
1
2
2 =-
=-
-=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfS
4) Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 Total
No de alunos 1 3 8 3 3 2 20
ix
40 50 60 70 80 90
xxi - 25 15 5 5 15 25
2xxi -
625 225 25 25 225 625
xxf ii -
25 45 40 15 45 50 220
2xxf ii -
625 675 200 75 675 1250 3500
iF
1 4 12 15 18 20
P10 Q1 Q3 P90
6520
130020
2.90...3.501.40.
1
1 ==+++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
a) Calcular o desvio médio.
( )11
20220
1
1 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfd
b) Determinar a variância populacional.
( )175
203500
1
1
2
2 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfS
c) Determinar o desvio padrão.
229,131752 === SS
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
71
d) Calcular o coeficiente de variação.
%35,202035,065229,13
====XS
CV
e) Determinar o coeficiente de assimetria (1o coeficiente de Pearson).
378,0229,13
6065=
-=
-=
SMoX
As
îíì
=-=-=D=-=-=D
538
538
2
1
posMo
antMo
ff
ff
6010.
555
55.21
1 =÷øö
çèæ+
+=÷÷ø
öççè
æD+D
D+= hlMo Mo
f) Calcular o coeficiente de curtose.
256,0)333,4885(2
25,5675)(2 1090
13 =--
=--
=PP
QQK
54
20.1
4. 1
1 ===å=
n
ii
Q
fiP
e 15
420
.34
. 13 ===
å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )25,56
810.45
55.
1 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlQ
( ) ( )75
310.1215
65.
3 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlQ
210020
.10100
. 110 ===
å=
n
ii
P
fiP
e 18
10020
.90100
. 190 ===
å=
n
ii
P
fiP
( ) ( )333,48
310.12
45.
10 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
( ) ( )85
310.1518
75.
90 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
5) Abaixo temos a distribuição da freqüência dos pesos de uma amostra de 45
alunos:
Peso em Kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 Total
No de alunos 4 10 15 8 5 3 45
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
72
ix
42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5
xxi - 11 6 1 4 9 14
2xxi -
121 36 1 16 81 196
xxf ii -
44 60 15 32 45 42 196
2xxf ii -
484 360 15 198 405 588 2050
iF
4 14 29 37 42 45
Q1P10 Q3 P90
a) Determinar a média.
5,5345
5,240745
3.5,6710.5,474.5,42.
1
1 ==++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
b) Determinar a variância.
( )556,45
452050
1
1
2
2 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfS
c) Qual é o valor do coeficiente de variação?
75,6556,452 === SS
%62,121262,05,53
75,6====
XS
CV
d) A distribuição é simetria?
21,075,6
083,525,53=
-=
-=
SMoX
As
îíì
=-=-=D=-=-=D
7815
51015
2
1
posMo
antMo
ff
ff
083,525.
755
50.21
1 =÷øö
çèæ
++=÷÷
ø
öççè
æD+D
D+= hlMo Mo
Assimetria à direita ou positiva, pois 0>As , portanto a distribuição
não é simétrica
e) A distribuição é mesocúrtica?
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
73
22,0)25,425,63(2
625,48969,57)(2 1090
13 =--
=--
=PP
QQK
25,11445
.14
. 11 ===
å=
n
ii
Q
fiP
e 75,33
445
.34
. 13 ===
å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )625,48
105.425,11
45.
1 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlQ
( ) ( )969,57
85.2975,33
55.
3 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlQ
5,410045
.10100
. 110 ===
å=
n
ii
P
fiP
e 5,40
10045
.90100
. 190 ===
å=
n
ii
P
fiP
( ) ( )25,45
105.45,4
45.
10 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
( ) ( )5,63
55.375,40
60.
90 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
A distribuição não é mesocúrtica pois K não é igual a 0,260.
6) Sendo:
Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Total
if 10 20 35 25 10 100
ix
35 45 55 65 75
xxi - 20,5 10,5 0,5 9,5 19,5
2xxi -
420,25 110,25 0,25 90,25 380,25
xxf ii -
205 210 17,5 237,5 195 865
2xxf ii -
4202,5 2205 8,75 2256,25 3802,5 12475
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
74
iF
10 30 65 90 100
P10 Q1 Q3P90
Calcular a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, coeficiente
de assimetria e coeficiente de curtose.
5,551005550
10075.1065.2555.3545.2035.10
.
1
1 ==++++
==
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
fXX
( )75,124
10012475
1
1
2
2 ==-
=
å
å
=
=n
ii
n
iii
f
XXfS
17,1175,1242 === SS
%13,202013,05,55
17,11====
XS
CV
045,075,6
565,55-=
-=
-=
SMoX
As
îíì
=-=-=D=-=-=D
102535
152035
2
1
posMo
antMo
ff
ff
5610.
101515
50.21
1 =÷øö
çèæ
++=÷÷
ø
öççè
æD+D
D+= hlMo Mo
275,0)4070(2
5,4764)(2 1090
13 =-
-=
--
=PP
QQK
254
100.1
4. 1
1 ===å=
n
ii
Q
fiP
e 75
4100
.34
. 13 ===
å=
n
ii
Q
fiP
( ) ( )5,47
2010.1025
40.
1 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlQ
( ) ( )64
2510.6575
60.
3 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlQ
10100100
.10100
. 110 ===
å=
n
ii
P
fiP
e 90
100100
.90100
. 190 ===
å=
n
ii
P
fiP
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
75
( ) ( )40
1010.010
30.
10 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
( ) ( )70
2510.6590
60.
90 =-
+=-
+=Pi
antPii f
hFPlP
7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura média de 160,6cm, com um desvio
padrão igual a 5,97cm. Outro Grupo B de 125 moças tem uma estatura média
de 161,9cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01cm. Qual é o Grupo mais
homogêneo e o coeficiente de variação respectivamente:
a) Grupo A e 3,717. b) Grupo B e 3,712 c) Grupo A e 3,715.
d) Grupo A e 3,700. e) Grupo B e 3,717.
XS
CV =
717,36,160
97,5===
XS
CVA
712,39,161
01,6===
XS
CVB
Alternativa correta é a letra B.
8) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8cm, com um
coeficiente de variação de 3,3%, portanto o desvio padrão desse grupo vale
a) 3,9352 b) 4,1254 c) 4,3045 d) 5,1032 e) 5,4054
4054,58,163
033,0 =Þ=Þ= SS
XS
CV
Alternativa correta é a letra E.
9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão de 1,5 e
coeficiente de variação de 2,9%, logo o valor da média desta distribuição é
a) 48,5. b) 49,8. c) 50,9. d) 51,7. e) 52,3.
7,515,1
029,0 =Þ=Þ= XXX
SCV
Alternativa correta é a letra D.
10) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: 1,48=X ,
5,47=Mo e 12,2=S , logo o valor do coeficiente de assimetria é
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
76
a) 0,283 b) 0,385 c) 0,435 d) 0,543 e) 0,678
283,012,2
5,471,48=
-=
-=
SMoX
As
Alternativa correta é a letra A.
11) Considere as seguintes medidas, relativas a uma distribuição de
freqüência:
Portanto o valor do grau de curtose e o tipo de curva são respectivamente:
a) 0,252 e platicúrtica. b) 0,252 e leptocúrtica. c) 0,255 e leptocúrtica.
d) 0,355 e mesocúrtica. e) 0,358 e platicúrtica.
252,0)7721012(2
814935)(2 1090
13 =--
=--
=PP
QQK
caLeptocúrti Curva263,0 Þ<K
Alternativa correta é a letra B.
Gabarito representação gráfica
1) d; 2) b; 3) d; 4)d; 5)e; 6)d; 7)b;
Distribuição 1Q 3Q 10P 90P
A 814 935 772 1012
Recommended