Professor Mauricio Lutz - iffmauricio.pbworks.comiffmauricio.pbworks.com/w/file/fetch/59898710/Estat%C3%AD%C2... · Quando uma tabela, por expressa altura, tiver de ocupar mais de

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Professor Mauricio Lutz

1

ESTATÍSTICA BÁSICA

1. Conceito

Existem muitas definições propostas por autores, objetivando estabelecer

com clareza o que é estatística, como por exemplo:

Þ A Estatística é um conjunto de métodos destinados à coleta,

organização, resumo, apresentação e análise de dados de observação, bem como

da tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises.

Þ A Estatística é um conjunto de processos ou técnicas empregadas na

investigação e análise de fenômenos coletivos ou de massa.

Þ A Estatística é a matemática aplicada aos dados de observação.

2. População (N)

Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenômeno

que possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o conjunto

Universo, podendo ser finita ou infinita.

Þ Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível

de contagem.

Þ Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é

impossível de contar e geralmente esta associada a processos.

Exemplo: O governo encomenda ao instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

(IBGE) uma pesquisa para conhecer o salário médio do brasileiro. O universo

estatístico ou população estatística é, neste caso, o conjunto de todos os

assalariados brasileiros.

3. Amostra (n)

É um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a amostra

deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo

que ela represente todas as características da população como se fosse uma

fotografia desta.





2

Em termos de critérios de coleta a amostra pode ser classificada, em

termos mais amplos como:

Þ Amostra probabilística ou aleatória: cada elemento da população tem a

mesma probabilidade de ser incluído na amostra.

Þ Amostra não-probabilística: cada elemento da amostra é escolhido

intencionalmente.

Exemplo: Um partido político quer conhecer a tendência dos eleitorados quanto a

preferência entre dois candidatos a presidência do Brasil, numa determinada cidade.

Para isso, encomenda uma pesquisa a uma empresa especializada. A população

estatística, nesse caso, é o conjunto de todos os eleitores brasileiros, mas como

quero em uma cidade específica então temos uma amostra.

4. Censo

É a coleta exaustiva de informações das "N" unidades populacionais.

5. Experimento

Conjunto de procedimentos reprodutíveis que visam a obtenção de

informação sobre uma dada realidade, que podem ser determinístico ou aleatório.

5.1 Experimento determinístico

É aquele que garantidas as mesmas condições iniciais o resultado será o

mesmo.

Exemplos: Observar a temperatura de ebulição da água em condições normais de

temperatura e pressão, ou soltar sempre um objeto de certa altura e calcular a

velocidade com que chega ao solo.

5.2 Experimento aleatório

É aquele que mesmo garantindo as condições iniciais é impossível prever

com certeza o resultado do mesmo.





3

Exemplos: O lançamento de uma moeda ou um dado, ou ainda o comportamento de

um índice financeiro como o Ibovespa (Bolsa de Valores de São Paulo).

6. Variável

É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão,

geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de

amostragem. Os símbolos utilizados para representar as variáveis são as letras

maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y, Z, ... que pode assumir qualquer valor de um

conjunto de dados. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas (ou

atributos) e quantitativas.

6.1 Variável Qualitativa

É o tipo de variável que não pode ser medida numericamente. Podem ser

classificadas em:

A Þ Ordinal ou por Postos: os elementos têm relação de ordem, de conceito ou

de colocação entre eles.

Exemplos: De conceito: ótimo, bom, regular

De colocação: primeiro, segundo, terceiro

B Þ Nominal: os elementos são identificados por um nome.

Exemplo: Cor dos olhos: castanho, preto, azul e verde

6.2 Variável Quantitativa

Pode ser medida numericamente. Classificam-se em:

A Þ Discreta: o valor numérico muda em saltos ou passos, não admitindo valores

intermediários entre eles.

Exemplos: Número de carros, número de filhos.

B Þ Contínua: admite infinitos valores entre elas (dentro de um intervalo).

Exemplo: altura.





4

Observações:

Þ Todas as vaiáveis associadas a contagem são discretas.

ÞTodas as vaiáveis associadas à medidas que dependem da precisão de um

instrumento são contínuas.

Þ A variável idade, apesar de geralmente ser representada por valores inteiros, é

uma variável contínua pois está relacionada com o tempo, que é variável contínua.

Þ Quantia em dinheiro também é considerada uma variável contínua.

7 Normas para apresentação tabular de dados

As Normas para apresentação Tabular da Estatística Brasileira é dada

pela Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, onde será apresentado os pontos

principais.

Uma tabela estatística compõe-se de elementos essenciais e elementos

complementares.

Os elementos essenciais de uma tabela estatística são: título, corpo,

cabeçalho e coluna indicadora.

Titulo é a indicação que precede a tabela e que contém a designação do

fato observado, o local e a época em que foi registrado.

Corpo é o conjunto de colunas e linhas que contém respectivamente, em

ordem horizontal e vertical, as informações sobre o fato observado.

Casa é o cruzamento de uma coluna com uma linha. As casas não

deverão ficar em branco, apresentando sempre um número ou um sinal

convencional.

Cabeçalho é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das

colunas.

Coluna indicadora é a parte da tabela que especifica o conteúdo das

linhas. Uma tabela pode ter mais de uma coluna indicadora.

Os elementos complementares de uma tabela estatística são: fonte, notas

e chamadas, e se situam de preferência no rodapé da tabela.

Fonte é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados

ou pela sua elaboração.





5

Notas são informações de natureza geral, destinadas a conceituar ou

esclarecer o conteúdo das tabelas, ou a indicar a metodologia adotada na

elaboração dos dados.

Chamadas são informações de natureza especifica sobre determinadas

partes da tabela, destinadas a conceituar ou esclarecer dados. As chamadas são

indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à esquerda

nas casas e à direita na coluna indicadora. A numeração das chamadas da tabela

será sucessiva, de cima para baixo e da esquerda para a direita. A distribuição das

chamadas no rodapé na tabela obedecerá à ordem de sua sucessão na tabela,

separando-se uma das outras por ponto (.). As chamadas de uma tabela que ocupe

mais de uma página devem figurar no rodapé da tabela da ultima página, de acordo

com a sucessão da mesma.

7.1 Sinais convencionais

– (traço), quando o dado for nulo;

... (três pontos), quando não se dispuser do dado;

X (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das

informações;

0 (zero), quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade

utilizada;

? (ponto de interrogação). quando temos dúvida quanto à exatidão de

determinado valor;

7.2 Apresentação das tabelas

As tabelas, excluídos os títulos, serão delimitadas, no alto e em baixo, por

traços horizontais grossos, preferencialmente.

Recomenda-se não delimitar as tabelas, à direita e à esquerda, por

trações verticais.

Será facultativo o emprego de traços verticais para separar as colunas no

corpo da tabela.





6

Quando uma tabela, por expressa altura, tiver de ocupar mais de uma

página, não será delimitada na parte inferior, repetindo-se o cabeçalho na página

seguinte. Neste caso, deve-se usar, no alto do cabeçalho ou dentro da coluna

indicadora, a designação contínua ou conclusão, conforme o caso.

Exemplo: Pessoal docente lotado na IFF X por categoria funcional e formação acadêmica 1999

Formação Acadêmica

Categoria Funcional Total

Substitutos Efetivos Estagiários Bolsistas

Graduação 100 300 250 90 740

Especialização - ... 10 310 320

Aperfeiçoamento 50 50 30 10 140

Mestrado 10 - 20 40 70

Doutorado (1) (2) 50 (3) 30 20 - 100

Total 210 380 330 450 1370

Fonte: Pró-Reitoria de Recursos Humanos

(1) Com e sem curso de mestrado

(2) Protegido pela Lei nº 5.540

(3) Livres docentes

Após a coleta dos dados e sua apuração necessita-se de métodos de

apresentação dos dados. Para tanto um dos instrumentos é a tabela.

A filosofia da tabulação obedece ao seguinte critério:

Máximo de esclarecimento (informação) num mínimo de espaço.

Uma tabela pode ser decomposta em três partes:

A Þ Título: é uma apresentação do que a tabela está tentando representar. Deve

conter informações suficientes para responder às seguintes questões:

i) O que? (referente ao fato);

ii) Onde? (referente ao lugar);

iii) Quando? (referente ao tempo).

Exemplos:

Acidentes com morte na RS 509 em 2004

O que? Acidentes com morte;

Onde? RS 509;

Quando? 2004.





7

Peso médio dos alunos do Ensino Médio do IFF no ano de 2008

O que? Peso médio dos alunos do Ensino Médio;

Onde? IFF;

Quando? 2008

B Þ Corpo: é composto de um conjunto de colunas e subcolunas onde são postos

os dados coletados.

Exemplo: Estimativa de crescimento populacional para a cidade de Porto Alegre 1990 – 2050

Anos População (em 1000 hab.)

1990 10035

2000 12047

2010 13959

2020 15468

2030 17089

2040 18999

2050 20093 Fonte: Secretaria de habitação e transporte de POA

C Þ Rodapé: colocam-se todas as legendas que visam esclarecer a interpretação

da tabela. Geralmente também é no rodapé que se coloca a fonte dos dados.

Exemplo: Número de alunos da rede pública de Alegrete em 2005

Masculino Feminino Total

Menores de 15 anos 1568 1379 2947

Maiores de 15 anos 1378 1534 2912

Total 2946 2913 5859 Fonte: Coordenadoria Regional de Ensino

8. Distribuição de freqüências

É o tipo de série estatística na qual permanece constante o fato, o local e

a época. Os dados são colocados em classes preestabelecidas, registrando a

freqüência de ocorrência. Uma distribuição de freqüência pode ser classificada em

discreta e intervalar.





8

8.1 Distribuição de freqüência discreta ou pontual

É uma série de dados agrupados na qual o número de observações está

relacionado com um ponto real. Notas de Alunos na Disciplina de Matemática no 1º semestre de 2008

Notas Quantidade

5.4 5

6.3 3

6.5 4

7.0 3

7.2 5

7.8 2

Total 22 Fonte: Secretaria escolar do IFF.

8.2 Distribuição de freqüências intervalar

Na distribuição de freqüência, os intervalos parciais deverão ser

apresentados de maneira a evitar dúvidas quanto à classe a que permanece

determinado elemento.

O tipo de intervalo mais usado é do tipo fechado a esquerda e aberto a

direita, representado pelo símbolo: .

Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Geografia da UFSM - 2003

Altura (cm) Média Quantidade

150 158 154 18

158 166 162 25

166 174 170 20

174 182 178 52

182 190 186 30

190 198 194 15

Total X 160

Fonte: Curso de Geografia

8.3 Elementos de uma distribuição de freqüências

8.3.1 Dados brutos

São os valores originais conforme eles foram coletados, não estando

ainda prontos para a análise, pois não estão numericamente organizados ou

tabelados.





9

8.3.2 Rol

É uma lista, onde as observações são dispostas em uma determinada

ordem, seja ele crescente ou decrescente. O objetivo da ordenação é tornar possível

a visualização das variáveis ocorridas, uma vez que os valores extremos são

percebidos de imediato, e também facilitar a construção da distribuição de

freqüências.

8.3.3 Classe ou classe de freqüência (k)

É cada subintervalo (linha) na qual dividimos o fenômeno. Para determinar

o número de classes a partir dos dados não tabelados, podemos usar a Fórmula de

Sturges, mas deve-se saber que existem outros métodos de determinação do

número de classes em uma tabela de freqüência. O que se deseja fazer é apenas

comprimir um conjunto de dados em uma tabela, para facilitar a visualização e

interpretação dos mesmos.

nkn log3.31)( += ,

onde “n” é o número de informações.

Além da Regra de Sturges, existem outras fórmulas empíricas para

resolver o problema para determinação do número de classes [n(k)], há quem prefira

nkn @)( .

8.3.4 Limite de Classe ( li ou Li )

Uma classe é um subconjunto do Rol limitada inferiormente por um

número chamado limite da classe (representado por li ) e superiormente por um outro

número chamado limite superior da classe (representado por Li ).

8.3.5 Amplitude total (H)

É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da

primeira classe, ou a diferença entre o último e o primeiro elemento de um conjunto

de dados postos em ordem crescente.

1lLH n -=





10

8.3.6 Amplitude do intervalo de classe (h)

É a diferença entre dois limites inferiores ou superiores consecutivos, caso

já exista a distribuição de freqüência.

1--= nn llh ou 1--= nn LLh

Para a determinação da amplitude das classes de uma determinada

distribuição de freqüências a ser construída podemos utilizar a seguinte equação:

kH

h =

A amplitude do intervalo de classe deve ser constante em toda a

distribuição de freqüência intervalar.

8.3.7 Ponto médio de classe (Xi)

É a média aritmética simples do limite inferior com o limite superior de uma

mesma classe.

2ii

i

LlX

+=

8.3.8 Freqüência absoluta (fi)

É a quantidade de valores em cada classe.

n

n

ii ffffn +++==å

=

...211

8.3.9 Freqüência acumulada ou freqüência absoluta acumulada (Fi)

É o somatório da freqüência absoluta da i-ésima classe com a freqüência

absoluta das classes anteriores, ou a freqüência acumulada da classe anterior.

å=

==n

iii nfF

1

8.3.10 Freqüência Relativa (fri)

É o quociente entre a freqüência absoluta da i-ésima classe com o

somatório das freqüências.

å=

= n

ii

ii

f

ffr

1

Obs.: 11

=å=

n

iifr

A soma da coluna de freqüências relativas é sempre igual a 1, que

corresponde a 100% e pode ser lida como percentual.





11

8.3.11 Freqüência Relativa Acumulada (Fri)

É o somatório da freqüência relativa da i-ésima classe com as freqüências

relativas das classes anteriores.

11

==å=

n

iii frFr

Método prático para construção de uma distribuição de freqüências com classe:

1º - Organize os dados brutos em um ROL;

2º - Calcule a amplitude;

3º - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges".

Observação: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos

levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade de um julgamento

pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados.

Exemplo: São observados as idades de 20 indivíduos participante de um grupo de

estudos de informática, obtendo os seguintes dados:

45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51

Determine a distribuição de freqüência.

Primeiramente pegamos os dados e colocamos eles em Rol crescente.

41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60

Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o

agrupamento dos valores em vários intervalos de classe, para tanto temos que

calcular a amplitude, número de classes e intervalo da classe.

Amplitude total: 1941601 =-=-= lLH n

Número de classes: 63,520log3.31log3.31)( @=+=+= nkn

Intervalo de classe: 417,36

19@===

kH

h





12

Idades dos alunos do grupo de estudo de informática

Classes Xi Freqüências (fi) Fi fri (%) Fri (%)

41 45 43 7 7 35 35

45 49 47 3 10 15 50

49 53 51 4 14 20 70

53 57 55 1 15 5 75

57 61 59 5 20 25 100

61 65 63 não é necessário X X X

Total X 20 X 100 X

Fonte: Secretaria escolar

Observe que quando trabalhando com uma distribuição de freqüência com

intervalo perdemos um pouco a precisão, pois não sabemos, por exemplo, quanto

alunos tem a idade de 45 anos, só sabemos que tem 3 alunos com idades entre 45 e

49 anos.

Exercícios

1)Dados o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em classe e

elaborar uma tabela de distribuição de freqüências (freqüência, freqüência

acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada) .

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97

2) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:

a) Construir a distribuição de freqüência;

b) Determinar as freqüências relativas;

c) determinar as freqüências acumuladas;

d) Qual é a amplitude amostral;

e) Qual a percentagem de elementos maiores que 5.





13

3) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos (dadas

em cm):

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190

Pede-se determinar:

a) A amplitude amostral;

b) O número de classes;

c) A amplitude das classes;

d) Os limites das classes;

e) As freqüências absolutas das classes;

f) As freqüências relativas;

g) Os pontos médios das classes;

h) A freqüência acumulada.

4) As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:

6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5

Determinar:

a) O rol;

b) As distribuições de freqüências (variável contínua).

c) A maior e a menor notas;

d) A amplitude total;

e) Qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4.

f) Qual o limite superior da segunda classe;

g) Qual o ponto médio da quarta classe;

h) Qual o ponto médio da terceira classe.

5) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:





14

69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64 53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63 53

Construir a tabela de distribuição de freqüência , dado log40=1,6.

6) Completar os dados que faltam:

Valores Freqüências (fi) Fi fri (%)

1 4 0,08

2 4

3 16 0,16

4 7 0,14

5 5 28

6 38

7 7 45 0,14

8

7) Conhecidas as notas de 50 alunos:

84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 65 94 66 48 39 69 89 98 42 54

Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da

primeira classe e 10 para intervalo de classe.

8) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:

6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3

Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe





15

9) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes: Áreas (m2) 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Nº de lotes 14 46 58 76 68 62 48 22 6

Com referência a essa tabela, determine: a) A amplitude total; b) O limite superior da quinta classe; c) O limite inferior da oitava classe; d) O ponto médio da sétima classe; e) A amplitude do intervalo da segunda classe; f) A freqüência da quarta classe; g) A freqüência relativa da sexta classe; h) A freqüência acumulada da quinta classe; i) O número de lotes cuja área não atinge 700m2; j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2; k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2; l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2; m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior a 1000m2. n) A classe do 72º lote; o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes. 10) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:

Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7

Nº de motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1

Determine:

a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;

b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;

c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;

d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;

e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.





16

9 Medidas de posição

São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos

quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva

de freqüência.

As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência

central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se

agruparem em torno dos valores centrais). As medidas de tendência central mais

utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. As outras medidas de posição

são as separatrizes , que englobam, a própria mediana, os quartis e os percentis.

9.1 Media aritmética

É a mais utilizada das medidas de tendência central para descrever,

resumidamente, um conjunto de dados.

9.1.1 Média para dados não agrupados

A média aritmética é definida, para dados não agrupados, ou seja, que

não vêem organizados em uma tabela de freqüência como sendo:

n

XX

n

iiå

== 1 ,

onde iX é o valor das varias observações e n é o número de observações.

Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6

A média para esse exemplo é 76

67810651 =+++++

==å=

n

XX

n

ii

.

9.1.2 Média para dados agrupados

Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em

tabelas de freqüências, determinamos à média aritmética simples.

Quando temos dados agrupados a média é calculada como sendo:

å

å

=

== n

ii

n

iii

f

fXX

1

1

.





17

Exemplo:

Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Agropecuária do IFF – Campus Alegrete - 2000

Altura (cm) Xi fi Xi . fi

150 158 154 18 2772

158 166 162 25 4050

166 174 170 20 3400

174 182 178 52 9256

182 190 186 30 5580

190 198 194 15 2910

Total X 160 27968

Fonte: Departamento de registros acadêmicos (2000)

. 8,174160

27968.

1

1 ===

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

Se agora tivermos dados tabelados com valores ponderados podemos calcular através de:

å

å

=

== n

ii

n

iii

W

WXX

1

1

.,

onde iW é o peso.

Exemplo: Nota do Aluno “A” 1º semestre de 2008 - IFF

Notas (Xi ) Pesos(Wi) Xi .Wi

7,8 2 15,6

8,3 3 24,9

9,2 2 18,4

5,8 3 17,4

Total 10 76,3

Fonte: Departamento de registros acadêmicos

63,710

3,76.

1

1 ===

å

å

=

=n

ii

n

iii

W

WXX





18

9.1.3 Desvio em relação à média

É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média

aritmética, ou seja:.

XXd ii -=

Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6, sabemos que a media é 7.

Logo temos 6 desvios em relação a média que são:

2751 -=-=d ; 1762 -=-=d ; 37103 =-=d ;

1784 =-=d ; 0775 =-=d ; 1766 -=-=d

9.1.4 Propriedades da média aritmética

1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.

No exemplo anterior : 0654321 =+++++ dddddd .

2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os

valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa

constante.

Se no conjunto de dado {5, 6, 10, 8, 7, 6} somarmos a constante 2 a cada um dos

valores da variável temos:

9

6)26()27()28()210()26()25(

=

+++++++++++=

y

y

9272 =+=+= Xy

3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável

por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa

constante.

Se nos dados {5, 6, 10, 8, 7, 6} multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores

da variável temos:

216

1266

)36()37()38()310()36()35(

==

+++++=

y

xxxxxxy

21373 === xxXy





19

4ª propriedade: A média aritmética simples deverá estar entre o menor e o maior valor observado.

ii LXl ££

9.2 Media geométrica

É a raiz n-ésima do produto de todos eles,representado por gX , ou seja, é

dado pela seguinte equação:

nn

n

n

ii XXXXgX ...... 21

1

== Õ-

Exemplo: Calcular a média geométrica dos dados {1, 4, 16, 64}.

84096641641 44 === xxxgX

Se tivermos dados tabelados podemos calcular através de:

( ) ( ) ( ) ( )n fn

fff n

i

fi

n

n

ii

XXXXgX ...... 211

1

211

=å= = Õ=

Exemplo: Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo: Xi fi

83,317714727.9.3.1 99 1242 ===gX

1 2

3 4

9 2

27 1

Total 9

9.3 Media harmônica

Chama-se média harmônica de n números x1, x2, x3,...xn, todos diferentes de zero o numero hX tal que:

n

n

i i XXX

n

X

nhX

1...

111

211

+++==

å=

.

Isto é, hX é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números.





20

Exemplos: Calcule a média harmônica de {2, 4, 3}:

769,21336

13123

12133

12436

3

31

41

21

31

..111

321

====++

=

++=

++++=

xhX

xxxx

nhX

n

Se tivermos dados tabelados podemos calcular através de:

n

n

nn

i i

i

n

ii

Xf

Xf

Xf

fff

Xf

fhX

+++

+++==

å

å

=

=

...

...

2

2

1

1

21

1

1

Exemplo: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: Classes fi Xi fi / Xi

1 3 2 2 2/2=1

3 5 4 4 4/4=1

5 7 8 6 8/6=1,33

7 9 4 8 4/8=0,5

9 11 2 10 2/10=0,2

Total 20 X 4,03

96,403,4

20

1

1 ===

å

å

=

=n

i i

i

n

ii

Xf

fhX

Obs.:

ÞA média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.

ÞA igualdade XhXgX == só ocorrerá quando todos os valores da série forem

iguais.

ÞDeve-se observar esta propriedade entre as medias hXgXX ³³





21

9.4 Mediana

A mediana ( Md ) de um conjunto de valores, dispostos segundo uma

ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o

separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

9.4.1 A mediana em dados não tabelados

Dada uma série de valores, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o

da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a 9=Md .

Se a série dada tiver número par ou ímpar de termos, o valor mediano

será o termo de ordem dado pela fórmula:

21+

=n

PMd

Exemplos: a) Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

Primeiramente temos que ordenar a serie { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

9=n , logo 52

102

192

1==

+=

+n, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a

mediana. Portanto a mediana será o elemento 2, isto é, 2=Md .

. b) Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } Primeiramente temos que ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

10=n , logo a 5,52

112

110==

+, ou seja, a mediana será a média aritmética do 5º e 6º

termos da série, portanto 5,22

32=

+ .

Portanto a mediana será 2,5, isto é, 5,2=Md .

.Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá

coincidência da mediana com um dos elementos da série. Quando o número de

elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com

um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2

elementos centrais da série.





22

Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o

mesmo valor.

A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série

ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se

deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a 10=X e 10=Md ; já em { 5, 7, 10, 13, 65 } a

20=X e 10=Md , isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a

do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana

permanece a mesma.

9.4.2 A mediana em dados tabelados

Temos que considerar dois casos nos dados tabelados, o primeiro sem

intervalo de classe e o segundo com intervalo de classe.

9.4.2.1 Sem intervalos de classe

Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada

imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele

valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.

Quando o somatório das freqüências for par ou ímpar o valor mediano

será o termo de ordem dado pela fórmula:

2

11

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

ii

Md

fP

Exemplos: a) Dada a tabela abaixo determine a mediana.

Variável (Xi) Freqüência (fi ) Fi

0 2 2

1 6 8

2 9 17

3 13 30

4 5 35

Total 35 X

Como o somatório das freqüências foi 35 a fórmula ficará:





23

182

362

1352

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

ii

Md

fP , ou seja, o 18º termo é a nossa mediana, portanto

3=Md .

b) Calcule a mediana dos dados da tabela abaixo.

Variável (Xi) Freqüência (fi ) Fi

12 1 1

14 2 3

15 1 4

16 2 6

17 1 7

20 1 8

Total 8 X


5,429

218

2

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

ii

Md

fP , ou seja, a mediana se encontra entre o 4º e o 5º

termo e será a média aritmética destes termos, portanto 5,152

1615=

+ . Portanto

a mediana é 5,15=Md .

9.4.2.2 Com intervalos de classe

Devemos seguir os seguintes passos:

a) Determinamos as freqüências acumuladas;

b) Calculamos 21å=

n

iif

;

c) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada, pois tal classe será

a classe mediana;





24

d) Calculamos a mediana pela seguinte fórmula:.

medi

ant

n

ii

i f

hFf

lMd

1 .2

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-

+=

å=

,

onde il é o limite inferior da classe mediana; antF é a freqüência acumulada da

classe anterior à classe mediana; h é a amplitude do intervalo da classe mediana e

medif é a freqüência absoluta da classe que contém a mediana.

Exemplo: Dada a tabela abaixo determine a mediana.

Classes Freqüência (fi ) Fi

50 54 4 4

54 58 9 13

58 62 11 24

62 66 8 32

66 70 5 37

70 74 3 40

Total 40 X

Calculamos 20240

21 ==å=

n

iif

, logo a classe mediana será (58 62). Com

isso determinamos 58=il , 13=antF , 11 =medif e 4=h .

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

( )

55,6055,25811

4758

1141320

58

.2

1

=+=+=

-+=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-

+=

å=

xMd

f

hFf

lMdmedi

ant

n

ii

i

Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição, isto significa, que tem 20 valores antes e 20 valores depois de 60,55.





25

Emprego da Mediana

Þ Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais.

Þ Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.

Þ Quando a variável em estudo é salário.

9.5 Moda

A moda ( Mo ) é, por definição, o valor mais freqüente dos dados. Assim

para dados não agrupados ou para tabelas de freqüência de dados discretos basta

localizar o valor de maior freqüência, e este será a moda.

Se num conjunto de dados existir somente um valor que se repita mais, se

dirá que a moda é unimodal, se houver 2 valores que se repitam na mesma

quantidade diremos que é bimodal, se houver 3 ou mais valores que se repitam na

mesma quantidade diremos que plurimodal ou multimodal. Caso não haja valores

que se repitam diremos que é amodal.

Exemplos: a) Considere os seguintes dados {1, 4, 5, 4, 3, 2, 5, 7, 1, 5, 5}

Primeiramente ordenamos os dados para facilitar a nossa visualização.

{1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7}

Portanto neste exemplo a moda é 5=Mo .

b) Considere a seguinte tabela de freqüências para dados discretos.

Ocorrências fi Neste caso basta observarmos qual a

maior freqüência e a moda será o valor que tem esta

freqüência. No nosso exemplo, a maior freqüência é

5 e o valor associado a ela é 3 logo nossa moda é

3=Mo .

0 2

2 3

3 5

4 4

Caso tenhamos dados contínuos o cálculo da moda é um pouco mais

complicado. Procedemos da seguinte forma:

a) Definimos qual a classe que tem maior freqüência. Esta classe é chamada classe

modal;





26

b) Calculamos a moda com a fórmula (moda de Czuber)

hlMo Mo .21

1÷÷ø

öççè

æD+D

D+= Þ

îíì

-=D-=D

posMo

antMo

ff

ff

2

1,

onde Mol é o limite inferior da classe modal; Mof é a freqüência absoluta da classe

modal; antf é a freqüência absoluta da classe anterior a classe modal; posf é a

freqüência absoluta da classe posterior a classe modal e h é a amplitude do

intervalo de classe.

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências

Classes fi

Primeiramente localizamos a classe de

maior freqüência. A classe é 4 6. A amplitude de

classe é 2, logo calculamos a moda através da

equação:

0 2 1

2 4 3

4 6 4

6 8 2

( ) ( )

67,432

42.21

14

2.2434

344.

21

1

=+=÷øö

çèæ+

+=

÷÷ø

öççè

æ-+-

-+=÷÷

ø

öççè

æD+D

D+=

Mo

hlMo Mo

9.6 Separatrizes

Como vimos à mediana caracteriza uma série de valores devido à sua

posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante

quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo

número de valores.

Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que,

consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão

ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam

em sua posição na série. Essas medidas – os quartis e os percentis – são

juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.





27

9.6.1 Quartis

Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro

partes iguais.

Há, portanto, três quartis:

O primeiro quartil ( 1Q ) é o valor situado de tal modo na série que separa

os primeiros 25% dos 75% restantes.

O segundo quartil ( 2Q ) é o valor situado de tal modo na série que

separa em duas partes iguais, isto é, temos então a mediana.

O terceiro quartil ( 3Q ) é o valor situado de tal modo na série que separa

os primeiros 75% dos 25% restantes.

9.6.1 Quartis sem intervalo de classes

Procedimento no caso de dados brutos:

a) Colocam-se os dados em ordem (rol);

b) Calcula-se a posição do quartil através da formula:

4.n

iPQi = ,

onde i é o número do quartil e n é o número de observações;

c) O quartil será o valor que ocupa, no rol, a posição calculada anteriormente.

9.6.2 Quartis com intervalo de classes

Devemos seguir os seguintes passos:

a) Calcula-se a posição do quartil a través de 4

.4

. 1 ni

fiP

n

ii

Qi ==å= ;

b) O quartil estará localizado na classe onde, pela primeira vez, Qii PF ³ , onde iF é a

freqüência absoluta acumulada; c) Para encontrar o valor do quartil aplica-se a seguinte fórmula:

( )Qi

antQiii f

hFPlQ

.-+= ,

onde il é o limite inferior da classe que contém o respectivo quartil; antF é a

freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o quartil; h é a

amplitude do intervalo da classe que contém o quartil e Qif é a freqüência absoluta

da classe que contém o quartil.





28

Exemplo:

Estaturas (cm) fi Fi

150 154 4 4

154 158 9 13 Ü 1Q

158 162 11 24

162 166 8 32 Ü 3Q

166 170 5 37

170 174 3 40

Total 40 X

Primeiro quartil

Temos:

10440

.14

. 11 ===

å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )66,15666,2154

924

1549

4410154

.1 =+=+=

-+=

-+=

Qi

antQii f

hFPlQ

cmQ 66,1561 =

Terceiro quartil

Temos:

30440

.34

. 13 ===

å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )1653162

824

1628

42430162

.3 =+=+=

-+=

-+=

Qi

antQii f

hFPlQ

cmQ 1653 =

9.6.2 Percentis

Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma

série em 100 partes iguais.

Indicamos por 993221 , ..., , , PPPP .

É evidente que MdP =50 , 125 QP = e 375 QP = .





29

Para encontrar o valor do percentil desejado, procede-se como no caso

dos quartis, sendo que para o cálculo da posição do percentil, a fórmula será:

100.

100. 1 n

if

iP

n

ii

Pi ==å= ,

onde i é o número do percentil e n é o número de observações.

Para encontrar o valor de percentil quando os dados estão agrupados em

classe, a fórmula será:

( )Pi

antPiii f

hFPlP

.-+= ,

onde il é o limite inferior da classe que contém o respectivo percentil; antF é a

freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o percentil; h é a

amplitude do intervalo da classe que contém o percentil e Pif é a freqüência

absoluta da classe que contém o percentil.

Exemplo:

Estaturas (cm) fi Fi

150 154 4 4 Ü 8P

154 158 9 13

158 162 11 24

162 166 8 32

166 170 5 37

170 174 3 40

Total 40 X

Oitavo percentil

Temos:

2,310040

.8100

. 18̀ ===

å=

n

ii

P

fiP

( ) ( )2,1532,3150

48,12

1504

402,3150

.8 =+=+=

-+=

-+=

Pi

antPii f

hFPlP

cmP 2,1538 =





30

Exercícios

1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.

2) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.

a) b) c)

ix iF ix ifr

ix if

2 3 7 1/16 85 5

3 9 8 5/18 87 1

4 19 9 1/3 88 10

5 25 10 2/9 89 3

6 28 11 5/48 90 5

3) Das estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a

média.

Estaturas (cm) 145 150 150 155 155 160 160 165 165 170 170 175 175 180 180 185

No de alunos 2 10 27 38 27 21 8 7

4) Dada a distribuição abaixo determine a média

Classes 68 72 72 76 76 80 80 84

iF 8 20 35 40

5) turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa

disciplina:

Turma A (40 alunos) – média 6,5

Turma B (35 alunos) – média 6,0

Turma C (35 alunos) – média 4,0

Turma D (20 alunos) – média 7,5

Determine a média geral.

6) Para cada item abaixo, determine a mediana.

a)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6

b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9

c) 12, 7, 10, 8, 8

d) 82, 86, 88, 84, 91, 93





31

7) Para cada distribuição determine a mediana:

a)

ix 73 75 77 79 81

if 2 10 12 5 2

b)

ix 232 235 237 240

iF 15 40 55 61

8) Para cada distribuição, determine a mediana:

a)

Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13

if 3 5 8 6 4 3

b)

Classes 22 25 25 28 28 31 31 34

if 18 25 30 20

9) Para cada série, determine a moda: a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 b) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48

10) Para cada distribuição, determine a moda:

a)

ix 72 75 78 80

if 8 18 28 38

b)

ix 2,5 3,5 4,5 6,5

if 7 17 10 5





32


a)

Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22

if 6 10 15 10 5

b)

Classes 10 20 20 30 30 40 40 50

iF 7 19 28 32

12) Para as distribuições:

a)

Classes 4 6 6 8 8 10 10 12

if 4 11 15 5

Calcule P65 e Q1.

b)

Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70

iF 3 8 18 22 24

Calcule P43 e Q3.

13) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em

certa rodovia:

N° de acidentes 0 1 2 3 4

N° de dias 20 15 10 5 3

Pede-se:

a) Determinar a média.

b) Determinar a mediana.

c) Determinar a moda.

d) Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?

14) Sendo:

Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42

N° de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5

a)Determine a média.

b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.





33

c) Determine a moda.

d) Calcular o trigésimo percentil.

e) determinar a medida que deixa ¼ dos elementos.

f) Calcular o percentil 80.

g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?

15) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47, 18, 24.

Então, a mediana e a média são respectivamente:

a) 33 e 30 b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9

16) Considere o seguinte conjunto de dados: {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}. A média,

mediana e moda são respectivamente:

a) 4,5; 3,6; 6. b) 5,0; 5,5; 5. c) 5,0; 5,5; 6. d) 5,1; 5; 5. e) 5,2; 5,5; 5.

17) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1

Calculando a nota mediana e modal obtemos respectivamente:

a) 25,5; 5. b) 25; 13 c) 10; 5 d) 6; 6 e) 5; 6.

10 Medidas de dispersão

Suponha que estivéssemos observando dois grupos de alunos e anotando

os resultados dos mesmos em uma dada prova. Suponha ainda que os resultados

fossem:

Grupo 1 = {5, 5, 5, 5, 5}

Grupo 2 = {4, 5, 8, 7, 1}

Se calcularmos a média dos dois grupos vemos que ambos apresentam a

mesma média aritmética, 5, mas também vemos claramente que o conjunto de

dados provêm de grupos cujos resultados são bem diferentes.

A diferença entre um grupo e outro se encontra num fato que a média, assim

como qualquer outra medida de posição não pode perceber: a variabilidade dos

dados.





34

Para caracterizar essas diferenças os estatísticos criaram as medidas de dispersão, como a amplitude total (ou desvio extremo), desvio médio, variância (ou desvio quadrático), desvio padrão e coeficiente de variação. 10.1 Amplitude total ou amplitude de variação ou desvio extremo (H)

É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe, ou a diferença entre o último e o primeiro elemento de um conjunto

de dados postos em ordem crescente.

1lLH n -=

Exemplo: Suponha que temos o seguinte conjunto de dados {1; 2; 5; 3; 1; 7; 2; 5}.

Para esse caso a amplitude total é dada por

6171 =-=-= lLH n Essa medida tem aplicações muito limitadas, pois só capta o que acontece com os

valores extremos, sendo completamente insensível aos valores intermediários.

10.2 Desvio Médio Uma maneira muito interessante de perceber como os dados estão

dispersos é perceber como estão variando em torno da média. Uma forma de fazer

isso é com o desvio médio ( d ).

O desvio médio é definido como a média dos valores absolutos dos

desvios em relação à média aritmética, ou seja:

Dados não tabelados Dados tabelados

n

XXd

n

iiå

=

-= 1

( )

å

å

=

=

-= n

ii

n

iii

f

XXfd

1

1

onde iX é a i-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do

i-ésimo intervalo (caso contínuo); if é a freqüência absoluta da i-ésima ocorrência

possível (caso discreto) ou da i-ésima classe (caso contínuo); X é a média

aritmética das observações e n é o número de observações.

Exemplo: Suponha que temos a seguinte tabela de freqüências. Classes Freqüência (fi ) Para facilitar a aplicação da expressão

do desvio médio, vamos criar algumas colunas auxiliares na nossa tabela de freqüências, de modo que nossa nova tabela é dada por:

0 2 1

2 4 3

4 6 2

6 8 1

Total 7





35

Classes fi iX ii fX . XXi - ii fXX .-

0 2 1 1 1 2,86 2,86

2 4 3 3 9 0,86 2,58

4 6 2 5 10 1,14 2,28

6 8 1 7 7 3,14 3,14

Total 7 X 27 X 10,86

As colunas auxiliares são, na verdade, organização do processo aritmético de cálculo da medida. Observe que para montar a 5ª coluna precisamos saber quanto vale a média aritmética. Para tanto podemos usar as colunas 4 e 2 para calcular. Nesse caso temos:

86,37

27==X , assim

( )55,1

786,10

1

1 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfd .

10.3 Variância ou desvio quadrático

Outra medida de dispersão em torno da média é a variância ( 2S ) que é definida como:

Dados não tabelados Dados tabelados

( )1

1

2

2

-

-=å=

n

XXS

n

ii

( )

å

å

=

=

-

-= n

ii

n

iii

f

XXfS

1

1

2

2

1

onde iX é a i-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do

i-ésimo intervalo (caso contínuo); if é a freqüência absoluta da i-ésima ocorrência

possível (caso discreto) ou da i-ésima classe (caso contínuo); X é a média aritmética das observações e n é o número de observações.

O fato de dividirmos por 1-n está relacionado ao fato de ser uma

amostra, caso fosse uma variância populacional seria somente n.

Exemplo: Retornemos ao exemplo anterior criando algumas colunas auxiliares na nossa tabela de freqüências.

Classes fi iX ii fX . ( )XXi - ( )2XX i - ( )2XXf ii -

0 2 1 1 1 2,86 8,18 8,18

2 4 3 3 9 0,86 0,74 2,22

4 6 2 5 10 1,14 1,30 2,6

6 8 1 7 7 3,14 9,86 9,86

Total 7 X 27 X 20,08 22,86





36

( )81,3

1786,22

11

1

2

2 =-

=-

-=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfS

10.3.1 Algumas propriedades da variância a) Variância de dados constantes é zero;

b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a cada valor observado a

variância não será alterada, isto é, ( ) )(22 XSXkS =±= ;

c) Multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante k cada valor observado a

variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante, isto é,

( ) )(.. 222 XSkXkS == .

10.4 Desvio padrão

Pelo fato de a variância ser uma medida que utiliza o quadrado dos

desvios em relação à média, sentiu-se a necessidade de uma medida que utilizasse

a mesma unidade dos dados. Esta medida é chamada desvio padrão (S).

O desvio padrão é definido tão somente como a raiz quadrada positiva da

variância.

2SS =

10.5 Coeficiente de Variação (CV)

É uma medida relativa de dispersão. Utilizada para fazer comparação da

dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias. Define-se

como:

XS

CV =

Exemplo: Considere que tenhamos duas séries. A primeira com média 4 e desvio

padrão 1,5 e outra com média 3 e desvio padrão 1,3. Neste caso temos os

seguintes coeficientes de variação:

375,045,1

1 ===XS

CV e 43,033,1

2 ==CV

Logo se conclui que a primeira série tem uma dispersão relativa em torno

da média menor que a segunda.





37

Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média

pouco representativa. Valores menores que 50% implicam CV baixo e a média é tão

mais representativa quanto menor for o valor do CV .

11 Medidas de assimetria e curtose

Uma questão importante quanto à descrição dos dados é saber onde está a

maior concentração de valores (por exemplo se a maior concentração se dá antes

ou depois da média). Esta questão é respondida pelas medidas de assimetria.

Uma outra questão que podemos responder é: como se dá a concentração?

Muito acentuada ou não? Para essa pergunta utilizam-se os coeficientes de Curtose.

11.1 Assimetria

Assimetria é o grau de desvio ou afastamento que a curva de freqüência

apresenta em relação a uma curva simétrica.

Diz-se que uma distribuição é simétrica se obedece à seguinte condição

MoMdX ==

Graficamente:

MoMdX ==

Quando uma distribuição não é simétrica diz-se que é assimétrica. Neste

caso temos duas possibilidades:

Assimetria à direita ou positiva - Isso ocorre quando a maior concentração

dos dados está localizada abaixo da média, ou seja,

MoMdX >>





38

Graficamente:

Mo Md X

Assimetria à esquerda ou negativa - isso ocorre quando temos uma

concentração dos dados acima da média, ou seja,

MoMdX <<

Graficamente:

X Md Mo

Uma medida estatística que caracteriza a assimetria é o coeficiente de

Pearson que é definido como

SMoX

As-

= , onde

X é a média aritmética; Mo é a moda e S é o desvio padrão.

Para essa medida temos o seguinte comportamento:

Se 0=As Þ simétrica;

Se 0<As Þ assimétrica à esquerda ou negativa;

Se 0>As Þ assimétrica à direita ou positiva;





39

11.2 Curtose

A curtose é uma medida de "achatamento" da distribuição. Se uma

distribuição é pouco achatada dizemos que é leptocúrtica. Quando a distribuição tem

um certo grau de achatamento dizemos que é mesocúrtica. Quando é muito

achatada diz-se que é platicúrtica..

Graficamente podemos representar como:

X

A medida estatística que caracteriza a Curtose é

)(2 1090

13

PPQQ

K--

= , onde

3Q é o terceiro quartil ; 1Q é o primeiro quartil; Os quartis dividem um conjunto de

dados em quatro partes iguais. 90P é o percentil 90; 10P é o percentil 10; Percentil

são valores que dividem o conjunto das observações em 100 partes iguais.

Se

263,0=K Þ Mesocúrtica;

263,0>K Þ Platicúrtica;

263,0<K Þ Leptocúrtica.

Exercícios

1) Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10,12

a) Qual a amplitude total?

b) Determine o desvio médio?

c) Calcule a variância?





40

2) Para a serie 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.

a) Construir a distribuição de freqüência.

b) Calcular a amplitude.

c) Determinar o desvio médio.

d) Calcular a variância populacional.

e) Determinar o desvio-padrão populacional.

f) Calcular o coeficiente de variação.

3) Calcular a variância amostral:

Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12

if 3 5 8 6 3

4) Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:

Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95

No de alunos 1 3 8 3 3 2 a) Calcular o desvio médio.

b) Determinar a variância populacional.

c) Determinar o desvio padrão.

d) Calcular o coeficiente de variação.

e) Determinar o coeficiente de assimetria (1o coeficiente de Pearson).

f) Calcular o coeficiente de curtose.

5) Abaixo temos a distribuição da freqüência dos pesos de uma amostra de 45

alunos:

Peso em Kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70

No de alunos 4 10 15 8 5 3 a) Determinar a média.

b) Determinar a variância.

c) Qual é o valor do coeficiente de variação?

d) A distribuição é simetria?

e) A distribuição é mesocúrtica?





41

6) Sendo:

Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80

if 10 20 35 25 10

Calcular a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose. 7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura média de 160,6cm, com um desvio padrão igual a 5,97cm. Outro Grupo B de 125 moças tem uma estatura média de 161,9cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01cm. Qual é o Grupo mais homogêneo e o coeficiente de variação respectivamente: a) Grupo A e 3,717. b) Grupo B e 3,712 c) Grupo A e 3,715.

d) Grupo A e 3,700. e) Grupo B e 3,717.

8) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8cm, com um

coeficiente de variação de 3,3%, portanto o desvio padrão desse grupo vale a) 3,9352 b) 4,1254 c) 4,3045 d) 5,1032 e) 5,4054

9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão de 1,5 e

coeficiente de variação de 2,9%, logo o valor da média desta distribuição é a) 48,5. b) 49,8. c) 50,9. d) 51,7. e) 52,3.

10) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: 1,48=X ,

5,47=Mo e 12,2=S , logo o valor do coeficiente de assimetria é

a) 0,283 b) 0,385 c) 0,435 d) 0,543 e) 0,678

11) Considere as seguintes medidas, relativas a uma distribuição de freqüência:

Portanto o valor do grau de curtose e o tipo de curva são respectivamente: a) 0,252 e platicúrtica.

b) 0,252 e leptocúrtica.

c) 0,255 e leptocúrtica. d) 0,355 e mesocúrtica.

e) 0,358 e platicúrtica.

Distribuição 1Q 3Q 10P 90P

A 814 935 772 1012





42

12 Representação gráfica de uma distribuição

A estatística gráfica consiste na utilização de estruturas geométricas,

cores, noções de proporção etc., para expor a informação contidas nos dados. A

filosofia é a mesma das tabelas: o máximo de informação no mínimo de espaço.

Tem com características o uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade,

clareza e veracidade. Podem ser de dois tipos:

A Þ Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público

em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos

tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As

legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam

presentes.

B Þ Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho

estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de

ser também informativos. Os gráficos de análise freqüentemente vêm

acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto

explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo

gráfico.

Temos que ter cuidado para evitar o uso indevido de gráficos, que

podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando

mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção

de escalas.

Os gráficos podem ser classificados em gráficos de barras, colunas,

histogramas e polígonos de freqüências entre outros.

10.1 Gráfico em colunas ou em barras

É a representação de uma série por meios de retângulos, dispostos

verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).

Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são

proporcionais aos respectivos dados.

Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos

são proporcionais aos respectivos dados.





43

Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos

retângulos e os dados estatísticos.

Exemplo: Construção de Aeronaves Brasil – 1984-89

Anos Unidades

1984 184

1985 171

1986 167

1987 203

1988 199

1999 197

Fonte: EMBRAER

a) Gráfico em colunas b) Gráfico em barras

Construção de Aeronaves Brasil - 1984-89

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

1984 1985 1986 1987 1988 1989

Anos

Un

idad

es

Construção de Aeronaves Brasil - 1984-89

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

1984

1985

1986

1987

1988

1989

An

os

Unidades

Fonte: EMBRAER Fonte: EMBRAER

10.2 Gráfico em colunas ou em barras múltiplas

Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos

representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito

de comparação.

Exemplo: Balança comercial Brasil – 1984-88

Especificação

Valor (US$ 1.000.000)

1984 1985 1986 1987 1988

Exportação

(FOB)

27.005 25.639 22.348 26.224 33.789

Importação 13.916 13.153 14.044 15.052 14.605

Fonte: Ministério da Economia





44

a) Gráficos em colunas múltiplas b) Gráfico em barras múltiplas

Balança Comercial Brasil - 1984-88

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000

40.000

1984 1985 1986 1987 1988

Anos

US

$ m

ilh

ão

exportação importação

Balança Comercial Brasil - 1984-88

0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000

1984

1985

1986

1987

1988

An

os

US$ milhão

exportação importação

Fonte: Ministério da Economia Fonte: Ministério da Economia

10.3 Histograma

É um gráfico de colunas justapostas, cujas alturas são proporcionais às

freqüências absolutas e cujas bases correspondem ao intervalo de classe da

distribuição.

Exemplo: Notas dos alunos da Classe A

Notas Freqüência Freqüência

Acumulada

0,0 1,7 5 5

1,7 3,4 6 11

3,4 5,1 6 17

5,1 6,8 1 18

6,8 8,5 4 22

8,5 10,2 3 25

Total 25 X

Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac

Notas dos alunos da Classe A

0

1

2

3

4

5

6

7

0,85 2,55 4,25 5,99 7,65 9,35

Ponto médio da classe

Nú

mer

os

de

alu

no

s






45

10.4 Polígono de freqüências

É um gráfico de linha, cujos vértices são proporcionais às freqüências

absolutas e correspondem aos pontos médios das classes da distribuição.

O gráfico consiste na ligação dos pontos cartesianos formados pelos

pontos médios das classes e as freqüências por linhas poligonais.

Os pontos inicial e final do gráfico são pontos médios das classes que

existiriam antes da primeira e depois da última classe real dos dados. Eles são

introduzidos para manter a proporcionalidade na representação dos dados.

Este gráfico também pode ser utilizado para representar freqüências

acumuladas. Neste caso usam-se os pontos finais da classe como referência, ao

invés dos pontos médios.

Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior temos:

a) Polígono de freqüência da freqüência absoluta


0

1

2

3

4

5

6

7

-0,85 0,85 2,55 4,25 5,99 7,65 9,35 11,1

Ponto médio da classe

Nú

mer

o d

e al

un

os


b) Polígono de freqüência da freqüência acumuladas


0

5

10

15

20

25

30

0 1,7 3,4 5,1 6,8 8,5 10,2

Limite superior da classe

Nú

mer

o d

e al

un

os






46

Exercícios 1) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na Grande São Paulo,

medida nos meses de abril, segundo o Dieese:

Taxa de desemprego nos meses de abril - em %

14,2

11,6

10,6

13,1

15,3

13,5

15,9

18,8

20,3

18,6

17,7

8,9

20,4

16,1

10,4 10,3

15,5

15,9

8

10

12

14

16

18

20

22

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

RECORDE NA GRANDE SÃO PAULO

Fonte: Dieese

Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de

desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de:

a) abril de 1985 a abril de 1986. b) abril de 1989 a abril de 1990.

c) abril de 1995 a abril de 1996. d) abril de 1997 a abril de 1998.

e) abril de 2001 a abril de 2002.

2) Uma pessoa com 83kg, considerando-se obesa, consulta um nutricionista e

é aconselhada a fazer uma dieta para perder 0,5kg por semana. O gráfico

seguinte apresenta a situação real do emagrecimento, durante as quatros

primeiras semanas da dieta.

80

80,5

81

81,5

82

82,5

83

83,5

início (1) semana (2) semana (3) semana (4) semana

semanas

kg





47

A análise do gráfico mostra que: a) ao final da primeira semana, tinha perdido menos de 1kg; b) na segunda semana, não perdeu “peso”; c) ao final da terceira semana, tinha perdido 1kg; d) ao final da quarta semana, perdeu mais de 2kg; e) na terceira e quarta semanas, a dieta não deu o resultado previsto. 3) O gráfico a seguir mostra saldos anuais da transferência de capitais entre

América Latina/Caribe e os países desenvolvidos, em bilhões de dólares.

Valores positivos indicam saldos favoráveis à América Latina/Caribe.

9,0

16,0 15,513,1

11,3

-18,7

-31,6

-26,9

-32,3

-22,8

1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

De acordo com o gráfico, no período de 1977 a 1986, o saldo total é:

a) 42.800.000 dólares a favor da América Latina/Caribe.

b) 42.800.000 dólares a favor dos países desenvolvidos. c) 67.400.000.000 dólares a favor da América Latina/Caribe.

d) 67.400.000.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.

e) 72.300.000.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.

4) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no

período 1985-1996, realizado pelo Seade-Dieese, apresentou o seguinte

gráfico sobre taxa de desemprego.

Médias anuais da taxa de desemprego total

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

Grande São Paulo

1985 - 1996





48

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado:

a) a maior taxa de desemprego foi de 14%;

b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período;

c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente;

d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%;

e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e

1991.

5) O histograma abaixo apresenta a distribuição de freqüência das faixas

salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir

que a média desses salários é, aproximadamente:

500 1 000 1 500 2 000 2 500 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Salário (em R$)

Número de funcionários

a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00

6) Os dados abaixo referem-se à origem do petróleo consumido no Brasil em dois diferentes anos.

Origens do consumo em 1990 (em %)

0

20

40

60

80

100

Produção Interna Importação

Origens do consumo em 2002(em %)

0

20

40

60

80

100

Produção Interna Importação

Origens das importações em 1990 (milhares de barris)

158

150

100

37

Arábia Saudita

Iraque

Irã

Catar

Origens das importações em 2002 (milhares de barris)

114

77

60

33

Nigéria

Argélia

Arábia Saudita

Iraque





49

Analisando os dados, pode-se perceber que o Brasil adotou determinadas estratégias energéticas, dentre as quais podemos citar: a) a diminuição das importações dos países muçulmanos e a redução do consumo interno. b) a redução da produção nacional e diminuição do consumo do petróleo produzido no Oriente Médio. c) a redução da produção nacional e o aumento das compras de petróleo dos países árabes e africanos. d) o aumento da produção nacional e redução do consumo de petróleo vindo dos países do Oriente Médio. e) o aumento da dependência externa de petróleo vindo de países mais próximos do Brasil e redução do consumo interno.

7) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com a sua velocidade aproximada.

5

15

30

40

63

1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

velocidade (km/h)

veíc

ulo

s (%

)

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de: a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h





50

Gabarito distribuições de freqüências

1)Dados o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em

classe e elaborar uma tabela de distribuição de freqüências (freqüência, freqüência acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada) .

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97

Amplitude total: 6433971 =-=-= lLH n

Número de classes: 76,650log3.31log3.31)( @=+=+= nkn

Intervalo de classe: 1014,9764

@===kH

h

Classes Xi Freqüências (fi) Fi fri (%) Fri (%)

33 43 38 7 7 0,14 0,14

43 53 48 5 12 0,10 0,24

53 63 58 9 21 0,18 0,42

63 73 68 11 32 0,22 0,64

73 83 78 10 42 0,20 0,84

83 93 88 6 48 0,12 0,96

93 103 98 2 50 0,04 1

Total 50 1

2) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se: a) Construir a distribuição de freqüência;

b) Determinar as freqüências relativas;

c) determinar as freqüências acumuladas;

d) Qual é a amplitude amostral; e) Qual a percentagem de elementos maiores que 5.

Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)

3 1 0,05 1 0,05

4 3 0,15 4 0,20

5 5 0,25 9 0,45

6 6 0,30 15 0,75

7 4 0,20 19 0,95

8 1 0,05 20 1

Total 20 1





51

d) 538 =-=H

e) %5555,005,020,030,0 ==++

3) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos

(dadas em cm):

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 183 182 183 184 185 186 187 188 190 190

Pede-se determinar:

a) A amplitude amostral = 39151190 =-=H

b) O número de classes = 86,7100log3,31log3,31)( @=+=+= nkn

c) A amplitude das classes = 5875,4839

@===kH

h

d) Os limites das classes;

e) As freqüências absolutas das classes;

f) As freqüências relativas;

g) Os pontos médios das classes;

h) A freqüência acumulada.

Limite das classes Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi

151 156 153,5 4 0,04 4

156 161 158,5 4 0,04 8

161 166 163,5 11 0,11 19

166 171 168,5 33 0,33 52

171 176 173,5 17 0,17 69

176 181 178,5 17 0,17 86

181 186 183,5 9 0,09 95

186 191 188,5 5 0,05 100

Total 100 1





52

4) As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:

6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5

Determinar:

a) O rol; 0,0 0,0 1,0 1,5 2,0 2,0 2,5 3,5 3,5 4,0 4,0 4,0 4,5 4,5 4,5 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,5 5,5 6,0 6,0 6,0 6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 8,0 8,5

b) As distribuições de freqüências (variável contínua). Classes 0,0 1,5 1,5 3,0 3,0 4,5 4,5 6,0 6,0 7,5 7,5 9,0

Freqüências (fi) 3 4 5 10 8 2

c) O maior e o menor graus;

8,5 e 0,0

d) A amplitude total = 5,80,05,8 =-=H

e) Qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4.

%125,2828125,032/9 ==

f) Qual o limite superior da segunda classe = 3,0

g) Qual o ponto médio da quarta classe = 25,52

0,65,44 =

+=x

h) Qual o ponto médio da terceira classe = 75,32

5,40,33 =

+=x

5) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:

69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64 53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63 53 Construir a tabela de distribuição de freqüência , dado log40=1,6.

Rol

45 49 50 53 53 53 54 57 58 58 59 60 60 60 62 63 63 64 64 65 65 66 67 67 68 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 80 81 81 83 93

484593 =-=H

728,640log3,31log3,31)( @=+=+= nkn

7857,6748

@===kH

h





53

Limite das classes Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)

45 52 48,5 3 0,075 3 0,075

52 59 55,5 7 0,175 10 0,250

59 66 62,5 11 0,275 21 0,525

66 73 69,5 10 0,250 31 0,775

73 80 76,5 4 0,100 35 0,875

80 87 83,5 4 0,100 39 0,975

87 94 90,5 1 0,025 40 1

Total 40 1

6) Completar os dados que faltam:

Valores Freqüências (fi) Fi fri (%)

1 4 4 0,08

2 4 8 0,08

3 8 16 0,16

4 7 23 0,14

5 5 28 0,10

6 10 38 0,20

7 7 45 0,14

8 5 50 0,10

7) Conhecidas as notas de 50 alunos:

84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 65 94 66 48 39 69 89 98 42 54

Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da

primeira classe e 10 para intervalo de classe.

Rol

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 57 59 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 77 78 80





54

81 84 85 85 88 89 91 94 94 98

Limite das classes Xi Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)

30 40 35 4 0,08 4 0,08

40 50 45 6 0,12 10 0,20

50 60 55 9 0,18 19 0,38

60 70 65 11 0,22 30 0,60

70 80 75 9 0,18 39 0,78

80 90 85 7 0,14 46 0,92

90 100 95 4 0,08 50 1

Total 50 1

8) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6 5 2 6 4 3 6 2 6 5

1 6 3 3 5 1 3 6 3 4

5 4 3 1 3 5 4 4 2 6

2 2 5 2 5 1 3 6 5 1

5 6 2 4 6 1 5 2 4 3

Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe

Rol 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

Limite das classes Freqüências (fi) fri (%) Fi Fri (%)

1 6 0,12 6 0,12

2 8 0,16 14 0,28

3 9 0,18 23 0,46

4 7 0,14 30 0,60

5 10 0,20 40 0,80

6 10 0,20 50 0,80

Total 50 1





55

9) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400

lotes: Áreas (m2) 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Nº de lotes 14 46 58 76 68 62 48 22 6

Com referência a essa tabela, determine:

a) A amplitude total 9003001200 =-=H

b) O limite superior da quinta classe = 800

c) O limite inferior da oitava classe = 1000

d) O ponto médio da sétima classe = 95021000900

7 =+

=x

e) A amplitude do intervalo da segunda classe = 100400500 =-=h

f) A freqüência da quarta classe = 76

g) A freqüência relativa da sexta classe = %5,15155,040062

===riF

h) A freqüência acumulada da quinta classe = 2626876584614 =++++=iF

i) O número de lotes cuja área não atinge 700m2 = 19476584614 =+++

j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2 = 1386224862 =+++

k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2

118584614 =++ %5,29295,0400118

==

l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2

7662248 =++ %1919,040076

==

m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior a

1000m2

3124862687658 =++++ %7878,0400312

==

n) A classe do 72º lote = 3a Classe

o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes = 5a Classe

2626876584614 =++++ %5,65655,0400262

==





56

10) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:

Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7

Nº de motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1

Determine:

a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente = 20 motoristas.

b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes =

151356 =+++

c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes =

46161020 =++

d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes

20569 =++

e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes

46161020 =++ %714,6565714,07046

==

Gabarito medidas de posição

1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um

estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos

mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou na aprovado.

875,4839

845,525,265,385,71 ==

+++++++==

å=

n

XX

n

ii

Não foi aprovado.

2) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.

a) b) c)

ix iF if

ix ifr if

ix if

2 3 3 7 1/16 9 85 5

3 9 6 8 5/18 40 87 1

4 19 10 9 1/3 48 88 10

5 25 6 10 2/9 32 89 3

6 28 3 11 5/48 15 90 5

a)





57

428

112361063

3.66.510.46.33.2.

1

1 ==++++++++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

b)

961

.144 = ; 40185

.144 = ; 4831

.144 = ; 3292

.144 = ; 15485

.144 =

028,91441300

15324840915.1132.1048.940.89.7

.

1

1 ==++++++++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

c)

875,8724

2109531015

5.903.8910.881.875.85.

1

1 ==++++

++++==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

3) Das estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média. Estaturas (cm) 145 150 150 155 155 160 160 165 165 170 170 175 175 180 180 185

No de alunos 2 10 27 38 27 21 8 7

ix 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5

929,164140

23090

78212738271027.5,1828.5,17721.5,17227.5,16738.5,16227.5,15710.5,1522.5,147

.

1

1

==

++++++++++++++

==

å

å

=

=

X

f

fXX n

ii

n

iii

4) Dada a distribuição abaixo determine a média

iF 2 10 27 38

ix 70 74 78 82

if 8 12 15 5





58

7,7540

3028515128

5.8215.7812.748.70.

1

1 ==+++

+++==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

5) turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa

disciplina:

Turma A (40 alunos) – média 6,5

Turma B (35 alunos) – média 6,0

Turma C (35 alunos) – média 4,0

Turma D (20 alunos) – média 7,5

Determine a média geral.

846,5130760

203535405,7.204.356.355,6.40

.

1

1 ==++++++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

6) Para cada item abaixo, determine a mediana.

a)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6

7=n , logo 428

217

21

==+

=+n

, ou seja, o 4º elemento da série ordenada será a


. b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9

8=n , logo 5,429

218

21

==+

=+n

, ou seja, a mediana será a média aritmética do

4º e 5º termos da série, portanto 52

64=

+ .

Portanto a mediana será 5, isto é, 5=Md . . c) 12, 7, 10, 8, 8

Primeiramente temos que ordenar a serie { 7, 8, 8, 10, 12 }





59

5=n , logo 326

215

21

==+

=+n

, ou seja, o 3º elemento da série ordenada será a


d) 82, 86, 88, 84, 91, 93

Primeiramente temos que ordenar a serie { 82, 84, 86, 88, 91, 93 }

6=n , logo 5,327

216

21

==+

=+n

, ou seja, a mediana será a média aritmética do

3º e 4º termos da série, portanto 872

8886=

+ .

Portanto a mediana será 87, isto é, 87=Md .

7) Para cada distribuição determine a mediana:

a)

ix 73 75 77 79 81

if 2 10 12 5 2

iF 2 12 24 29 31

Como o somatório das freqüências foi 312512102 =++++ a fórmula

ficará:

162

322

1312

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

ii

Md

fP , ou seja, o 16º termo é a nossa mediana,

portanto 77=Md .

b)

ix 232 235 237 240

iF 15 40 55 61


312

622

1612

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

ii

Md

fP , ou seja, o 31º termo é a nossa mediana,

portanto 235=Md .

8) Para cada distribuição, determine a mediana:





60

a)

Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13

if 3 5 8 6 4 3

iF 3 8 16 22 26 29

Calculamos 5,14229

2346853

21 ==

+++++=

å=

n

iif

, logo a classe mediana

será (5 7). Com isso determinamos 5=il , 8=iantF , 8 =medif e 2=h .


( )

625,6

82.85,14

5

.2

1

=

-+=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-

+=

å=

Md

f

hFf

lMdmedi

ant

n

ii

i

Esta mediana é estimada, pois não temos os 29 valores da distribuição, isto significa, que tem metade dos valores antes e metade depois de 6,625. b) Classes 22 25 25 28 28 31 31 34

if 18 25 30 20

iF 18 43 73 93

Calculamos 5,46293

21 ==å=

n

iif

, logo a classe mediana será (28 31).

Com isso determinamos 28=il , 43=iantF , 30 =medif e 3=h .


( )

35,28

303.435,46

28

.2

1

=

-+=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-

+=

å=

Md

f

hFf

lMdmedi

ant

n

ii

i





61

Esta mediana é estimada, pois não temos os 93 valores da

distribuição, isto significa, que tem metade dos valores antes e metade depois

de 28,35.

9) Para cada série, determine a moda:

a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10

Moda = 7

b) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48

Primeiramente organizamos os dados:

40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 45, 47, 48

Moda = 43


a)

ix 72 75 78 80

if 8 18 28 38

Moda = 80

b)

ix 2,5 3,5 4,5 6,5

if 7 17 10 5

Moda = 3,5


a)

Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22

if 6 10 15 10 5

iF

6 16 31 41 46

hlMo Mo .21

1÷÷ø

öççè

æD+D

D+= Þ

îíì

-=D-=D

posMo

antMo

ff

ff

2

1

Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe

é 13 16. A amplitude de classe é 3, logo calculamos a moda através da

equação:





62

îíì

=-=-=D=-=-=D

51015

51015

2

1

posMo

antMo

ff

ff

5,143.

555

13.21

1 =÷øö

çèæ+

+=÷÷ø

öççè

æD+D

D+= hlMo Mo

b)

Classes 10 20 20 30 30 40 40 50

iF 7 19 28 32

if 7 12 9 4

Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe

é 20 30. A amplitude de classe é 10, logo calculamos a moda através da

equação:

îíì

=-=-=D=-=-=D

3912

5712

2

1

posMo

antMo

ff

ff

25,2610.

355

20.21

1 =÷øö

çèæ

++=÷÷

ø

öççè

æD+D

D+= hlMo Mo

12) Para as distribuições:

a)

Classes 4 6 6 8 8 10 10 12

if 4 11 15 5

iF

4 15 30 35

Calcule P65 e Q1.

Calculo do P65

Temos:

75,2210035

.65100

. 165 ===

å=

n

ii

P

fiP

( ) ( )033,9

1521575,22

8.

65 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP





63

Primeiro quartil

Temos:

75,84

35.1

4. 1

1 ===å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )864,6

112475,8

6.

1 =-

+=-

+=Qi

antQii f

hFPlQ

b)

Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70

iF 3 8 18 22 24

if 3 5 10 4 2

Calcule P43 e Q3.

Calculo do P43

Temos:

32,1010024

.43100

. 143 ===

å=

n

ii

P

fiP

( ) ( )32,42

1010832,10

40.

43 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

Terceiro quartil

Temos:

18424

.34

. 13 ===

å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )50

1010818

40.

3 =-

+=-

+=Qi

antQii f

hFPlQ

13) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53

dias, em certa rodovia:


N° de dias 20 15 10 5 3

Pede-se:






64

b) Determinar a mediana.

c) Determinar a moda.

d) Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?


N° de dias 20 15 10 5 3

iF

20 35 45 50 53

a)

17,15362

351015203.45.310.215.120.0

.

1

1 ==++++++++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

b) Como o somatório das freqüências foi 53 a fórmula ficará:

272

542

1532

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

iif

Md , ou seja, o 27º termo é a nossa mediana,

portanto 1=Md . c) Moda = 0

d) %963,3333963,053

3510==

++

14) Sendo:

Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42

N° de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5

a)Determine a média.

b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.

c) Determine a moda.

d) Calcular o trigésimo percentil.

e) determinar a medida que deixa ¼ dos elementos.

f) Calcular o percentil 80.

g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?

Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42

N° de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5

ix

12 16 20 24 28 32 36 40





65

iF

15 43 83 113 133 148 158 163

a)

994,22

1633748

5101520304028155.4010.3615.3220.2830.2440.2028.1615.12

.

1

1 ==+++++++

+++++++==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

b) Calcular a mediana.

Calculamos 5,812

16321 ==å=

n

iif

, logo a classe mediana será (18 22).

Com isso determinamos 18=il , 43=iantF , 40 =medif e 4=h .


( )

85,21

404.435,81

18

.2

1

=

-+=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-

+=

å=

Md

f

hFf

lMdmedi

ant

n

ii

i

c) Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe é 18 22.

A amplitude de classe é 4, logo calculamos a moda através da equação:

îíì

=-=-=D=-=-=D

103040

122840

2

1

posMo

antMo

ff

ff

182,204.

101212

18.21

1 =÷øö

çèæ

++=÷÷

ø

öççè

æD+D

D+= hlMo Mo

d) Calculo do P30

Temos:

9,48100163

.30100

. 130 ===

å=

n

ii

P

fiP





66

( ) ( )59,18

404.439,48

18.

30 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

e) Primeiro quartil

Temos:

75,404

163.1

4. 1

1 ===å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )679,17

2841575,40

14.

1 =-

+=-

+=Qi

antQii f

hFPlQ

f) Calculo do P80

Temos:

4,130100163

.80100

. 180 ===

å=

n

ii

P

fiP

( ) ( )48,29

204.1134,130

26.

30 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

g) %62,737362,0

163120

16351015203040

===+++++

15) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47,

18, 24. Então, a mediana e a média são respectivamente:

a) 33 e 30 b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9

Organizando os dados temos:

18, 18, 21, 23, 24, 24, 26, 37, 43, 47

1,2810281

10474337262424232118181 ==

+++++++++==

å=

n

XX

n

ii





67

5,52

112

1102

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

iif

Md , ou seja, a mediana será a média aritmética

do 5º e 6º termos da série, portanto 242

2424=

+ .

Portanto a mediana será 24, isto é, 24=Md . Gabarito letra B.

16) Considere o seguinte conjunto de dados: {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}. A

média, mediana e moda são respectivamente:

a) 4,5; 3,6; 6. b) 5,0; 5,5; 5. c) 5,0; 5,5; 6. d) 5,1; 5; 5. e) 5,2; 5,5; 5.

Organizando os dados temos:

2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9

1,51051

1098665553221 ==

+++++++++==

å=

n

XX

n

ii

5,52

112

1102

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

iif


do 5º e 6º termos da série, portanto 52

55=

+ .

Portanto a mediana será 5, isto é, 5=Md . Moda = 5.

Gabarito letra D.

17) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte

distribuição: Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1

Calculando a nota mediana e modal obtemos respectivamente:

a) 25,5; 5. b) 25; 13 c) 10; 5 d) 6; 6 e) 5; 6. Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1

iF 1 4 10 20 33 41 46 49 50

Moda = 6.





68

5,25251

2150

2

11 ==

+=

+÷ø

öçè

æ

=å=

n

iif


do 25º e 26º termos da série, portanto 6=Md . Gabarito Letra D.

Gabarito Medidas de dispersão, Assimetria e curtose

1) Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10,12

a) Qual a amplitude total?

102121 =-=-= lLH n

b) Determine o desvio médio?

143,6743

71210754321 ==

++++++==

å=

n

XX

n

ii

02,37143,21

7

143,612...143,63143,621 ==

-++-+-=

-=å=

n

XXd

n

ii

c) Calcule a variância?

( ) ( ) ( ) ( )81,13

6857,82

7143,612...143,63143,62

1

2221

2

2 ==-++-+-

=-

-=å=

n

XXS

n

ii

2) Para a serie 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.

a) Construir a distribuição de freqüência.

Classes 5 6 7 8 9 Total

if 3 4 6 3 2 18

xxi - 1,833 0,833 0,167 1,167 2,167 6,167

2xxi -

3,36 0,694 0,028 1,362 4,696 10,14

xxf ii -

5,499 3,332 1,002 3,501 4,334 17,668

2xxf ii -

10,08 2,776 0,168 4,086 9,392 26,502

b) Calcular a amplitude.





69

4591 =-=-= lLH n

c) Determinar o desvio médio.

( )982,0

18668,17

1

1 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfd .

d) Calcular a variância populacional.

( )472,1

18502,26

1

1

2

2 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfS

e) Determinar o desvio-padrão populacional.

213,1472,12 === SS

f) Calcular o coeficiente de variação.

%75,171775,0833,6213,1

====XS

CV

3) Calcular a variância amostral:

Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 Total

if 3 5 8 6 3 25

ix

3 5 7 9 11

xxi - 4,08 2,08 0,08 1,92 3,92 12,08

2xxi -

16,646 4,326 0,0064 3,686 15,366 40,03

2xxf ii -

49,938 21,63 0,0512 22,116 46,098 139,833

08,725

17725

11.39.67.85.53.3.

1

1 ==++++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX





70

( )826,5

125833,139

11

1

2

2 =-

=-

-=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfS

4) Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:

Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 Total

No de alunos 1 3 8 3 3 2 20

ix

40 50 60 70 80 90

xxi - 25 15 5 5 15 25

2xxi -

625 225 25 25 225 625

xxf ii -

25 45 40 15 45 50 220

2xxf ii -

625 675 200 75 675 1250 3500

iF

1 4 12 15 18 20

P10 Q1 Q3 P90

6520

130020

2.90...3.501.40.

1

1 ==+++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

a) Calcular o desvio médio.

( )11

20220

1

1 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfd

b) Determinar a variância populacional.

( )175

203500

1

1

2

2 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfS

c) Determinar o desvio padrão.

229,131752 === SS





71

d) Calcular o coeficiente de variação.

%35,202035,065229,13

====XS

CV

e) Determinar o coeficiente de assimetria (1o coeficiente de Pearson).

378,0229,13

6065=

-=

-=

SMoX

As

îíì

=-=-=D=-=-=D

538

538

2

1

posMo

antMo

ff

ff

6010.

555

55.21

1 =÷øö

çèæ+

+=÷÷ø

öççè

æD+D

D+= hlMo Mo

f) Calcular o coeficiente de curtose.

256,0)333,4885(2

25,5675)(2 1090

13 =--

=--

=PP

QQK

54

20.1

4. 1

1 ===å=

n

ii

Q

fiP

e 15

420

.34

. 13 ===

å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )25,56

810.45

55.

1 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlQ

( ) ( )75

310.1215

65.

3 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlQ

210020

.10100

. 110 ===

å=

n

ii

P

fiP

e 18

10020

.90100

. 190 ===

å=

n

ii

P

fiP

( ) ( )333,48

310.12

45.

10 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

( ) ( )85

310.1518

75.

90 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

5) Abaixo temos a distribuição da freqüência dos pesos de uma amostra de 45

alunos:

Peso em Kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 Total

No de alunos 4 10 15 8 5 3 45





72

ix

42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5

xxi - 11 6 1 4 9 14

2xxi -

121 36 1 16 81 196

xxf ii -

44 60 15 32 45 42 196

2xxf ii -

484 360 15 198 405 588 2050

iF

4 14 29 37 42 45

Q1P10 Q3 P90


5,5345

5,240745

3.5,6710.5,474.5,42.

1

1 ==++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

b) Determinar a variância.

( )556,45

452050

1

1

2

2 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfS

c) Qual é o valor do coeficiente de variação?

75,6556,452 === SS

%62,121262,05,53

75,6====

XS

CV

d) A distribuição é simetria?

21,075,6

083,525,53=

-=

-=

SMoX

As

îíì

=-=-=D=-=-=D

7815

51015

2

1

posMo

antMo

ff

ff

083,525.

755

50.21

1 =÷øö

çèæ

++=÷÷

ø

öççè

æD+D

D+= hlMo Mo

Assimetria à direita ou positiva, pois 0>As , portanto a distribuição

não é simétrica

e) A distribuição é mesocúrtica?





73

22,0)25,425,63(2

625,48969,57)(2 1090

13 =--

=--

=PP

QQK

25,11445

.14

. 11 ===

å=

n

ii

Q

fiP

e 75,33

445

.34

. 13 ===

å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )625,48

105.425,11

45.

1 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlQ

( ) ( )969,57

85.2975,33

55.

3 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlQ

5,410045

.10100

. 110 ===

å=

n

ii

P

fiP

e 5,40

10045

.90100

. 190 ===

å=

n

ii

P

fiP

( ) ( )25,45

105.45,4

45.

10 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

( ) ( )5,63

55.375,40

60.

90 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

A distribuição não é mesocúrtica pois K não é igual a 0,260.

6) Sendo:

Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Total

if 10 20 35 25 10 100

ix

35 45 55 65 75

xxi - 20,5 10,5 0,5 9,5 19,5

2xxi -

420,25 110,25 0,25 90,25 380,25

xxf ii -

205 210 17,5 237,5 195 865

2xxf ii -

4202,5 2205 8,75 2256,25 3802,5 12475





74

iF

10 30 65 90 100

P10 Q1 Q3P90

Calcular a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, coeficiente

de assimetria e coeficiente de curtose.

5,551005550

10075.1065.2555.3545.2035.10

.

1

1 ==++++

==

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

fXX

( )75,124

10012475

1

1

2

2 ==-

=

å

å

=

=n

ii

n

iii

f

XXfS

17,1175,1242 === SS

%13,202013,05,55

17,11====

XS

CV

045,075,6

565,55-=

-=

-=

SMoX

As

îíì

=-=-=D=-=-=D

102535

152035

2

1

posMo

antMo

ff

ff

5610.

101515

50.21

1 =÷øö

çèæ

++=÷÷

ø

öççè

æD+D

D+= hlMo Mo

275,0)4070(2

5,4764)(2 1090

13 =-

-=

--

=PP

QQK

254

100.1

4. 1

1 ===å=

n

ii

Q

fiP

e 75

4100

.34

. 13 ===

å=

n

ii

Q

fiP

( ) ( )5,47

2010.1025

40.

1 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlQ

( ) ( )64

2510.6575

60.

3 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlQ

10100100

.10100

. 110 ===

å=

n

ii

P

fiP

e 90

100100

.90100

. 190 ===

å=

n

ii

P

fiP





75

( ) ( )40

1010.010

30.

10 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

( ) ( )70

2510.6590

60.

90 =-

+=-

+=Pi

antPii f

hFPlP

7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura média de 160,6cm, com um desvio

padrão igual a 5,97cm. Outro Grupo B de 125 moças tem uma estatura média

de 161,9cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01cm. Qual é o Grupo mais

homogêneo e o coeficiente de variação respectivamente:

a) Grupo A e 3,717. b) Grupo B e 3,712 c) Grupo A e 3,715.

d) Grupo A e 3,700. e) Grupo B e 3,717.

XS

CV =

717,36,160

97,5===

XS

CVA

712,39,161

01,6===

XS

CVB

Alternativa correta é a letra B.

8) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8cm, com um

coeficiente de variação de 3,3%, portanto o desvio padrão desse grupo vale

a) 3,9352 b) 4,1254 c) 4,3045 d) 5,1032 e) 5,4054

4054,58,163

033,0 =Þ=Þ= SS

XS

CV

Alternativa correta é a letra E.

9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão de 1,5 e

coeficiente de variação de 2,9%, logo o valor da média desta distribuição é

a) 48,5. b) 49,8. c) 50,9. d) 51,7. e) 52,3.

7,515,1

029,0 =Þ=Þ= XXX

SCV

Alternativa correta é a letra D.

10) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: 1,48=X ,

5,47=Mo e 12,2=S , logo o valor do coeficiente de assimetria é





76

a) 0,283 b) 0,385 c) 0,435 d) 0,543 e) 0,678

283,012,2

5,471,48=

-=

-=

SMoX

As

Alternativa correta é a letra A.

11) Considere as seguintes medidas, relativas a uma distribuição de

freqüência:

Portanto o valor do grau de curtose e o tipo de curva são respectivamente:

a) 0,252 e platicúrtica. b) 0,252 e leptocúrtica. c) 0,255 e leptocúrtica.

d) 0,355 e mesocúrtica. e) 0,358 e platicúrtica.

252,0)7721012(2

814935)(2 1090

13 =--

=--

=PP

QQK

caLeptocúrti Curva263,0 Þ<K

Alternativa correta é a letra B.

Gabarito representação gráfica

1) d; 2) b; 3) d; 4)d; 5)e; 6)d; 7)b;

Distribuição 1Q 3Q 10P 90P

A 814 935 772 1012

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