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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
Equações do 2º grau
http://matemática.com.sapo.pt
x x x x3 1 6 2 1 a) 3 8 3 02x x
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
A forma CANÓNICA das equações de grau 2 é: 02 cbxax
A equação é do 2º grau? Indica o valor de a , b e c.
SIM
b) 5 3 2 3 3 12 2 2x x x x x 2 4 0x NÃO
a Coeficiente de x2Nota: a não pode ser igual a zero
b Coeficiente de xc Termo independente
Uma equação é de grau 2 se, depois de simplificada, o maior expoente da variável for 2.
a = 3 b = 8 c = - 3
a = 0 Por isso não é uma equação de grau 2b = 2 ; c = 4
EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
Uma equação do 2º grau pode ser reduzida a uma expressão do
tipo ax bx c com a2 0 0
* Se b = 0 obtemos a expressão ax c2 0
Equação do 2º grau incompleta porque b = 0 .
* Se c = 0 obtemos a expressão ax bx2 0
Equação do 2º grau incompleta porque c = 0 .
* Se b = 0 e c = 0 obtemos a expressão ax2 0
Equação do 2º grau incompleta porque b= 0 e c = 0 .
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
1ª PARTE : Equações do 2º grau incompletas: b=0
Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.
12 cm15 cm
x cm
Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que
15 122 2 2 x
225 144 225 144 812 2 2x x x
Equação do 2º grau incompleta porque b= 0. Não existe termo em x
x x x2 81 81 9 Conjunto Solução da equação = { -9 , 9}
Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo
Reduz as equações a expressões do tipo
Indica o valor de a , b e c e determina a solução.
ax bx c com a2 0 0
a) 3 2 1 242x x x x
3 6 24
2 18 0
2 2
2
x x x x
x
1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0
a = 2 ; b = 0 ; c = -18
2 1818
22 2x x
x x x2 9 9 32º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.
Conjunto solução = { - 3 , 3 }
b) 5 2 3 22x x x1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0
10 5 3 2 02x x x
5 15 02x a = 5 ; b = 0 ; c = 15
5 152x
x x2 215
53
2º resolver a equação
Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.
x 3
IMPOSSÍVEL
2ª PARTE : Equações do 2º grau incompletas: c =0
7 28 02x x a = 7 ; b = 28 ; c = 0
1º colocar a incógnita em evidência x x7 28 0
2º Aplicar a lei do anulamento do produto
x x0 7 28 0
3º Encontrar as soluções x x028
7
x x0 4
Conjunto solução = { -4 , 0 }
Resolve a Equação
x xx
2
3
3 4
22 3
a = 2 ; b = 3 ; c = 0
1º Reduzir à forma canónica
x x
x2
3
3
2
12
22 6
(2) (3) (3) (6) (6)
2 9 36 12 362x x x
2 3 02x x
x x2 3 0
x x0 2 3 0
x x03
2
2º colocar a incógnita em evidência
3º Aplicar a lei do anulamento do produto
3ª PARTE : Equações do 2º grau COMPLETAS
Fórmula Resolvente
Dada uma equação do tipo ax bx c com a2 0 0
Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:
xb b a c
a
2 4
2
Fórmula Resolvente
À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta )
b a c2 4
Resolve a Equação
2 3 02x x a = 2 ; b = 1 ; c = - 3
x1 1 4 2 3
2 2
2
x1 1 24
4
x1 5
4x x
1 5
4
1 5
4
x x x x6
4
4
4
3
21 Duas Soluções
xb b ac
a
2 4
2
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.
Resolve a Equação
x x2 3 5 0 a = 1 ; b = - 3 ; c = 5
x3 3 4 1 5
2 1
2
xb b ac
a
2 4
2
x3 9 20
2
x3 11
2IMPOSSÍVEL, a equação não tem soluções
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação não tem soluções.
x
12 0
4
Resolve a Equação
2 28 12 102x x 1º Reduzir à forma canónica
2 12 18 02x x a = 2 ; b = - 12 ; c = 18
xb b ac
a
2 4
2
x
12 12 4 2 18
2 2
2
x12 144 144
4
x x12 0
4
12 0
4x x 3 3
3 é uma raiz dupla da equação
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma solução.
Aplicação das equações do 2º grau.
Determina o perímetro do triângulo rectângulo.
( 2x+1 ) cm
( x+3 ) cm ( 3x+2 ) cm
Pelo Teorema de Pitágoras:
3 2 2 1 32 2 2x x x
9 12 4 4 4 1 6 92 2 2x x x x x x
4 2 6 02x x
x
2 2 4 4 6
2 4
2
x x2 10
8
2 10
8x x
3
21
33
22 2 5
, cm
x não pode ser 3
2
3 1 2 5 cm 1 3 4 cm
2 1 1 3 cm
Perímetro = 5+3+4 =12 cm
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