View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula # 4
Sistemas com 01 GDL – Conceitos de Transmissibilidade
SEM 504 – DINÂMICA ESTRUTURAL
2 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
8 - Influência do Movimento no Suporte – Isolação de VibraçãoNeste caso o modelo é o seguinte
m
k
c
//\\//\\//\\//\\
//\\//\\//\\//\\
u (t)x (t)
umuxcuxk !!!! =-+- )()(
Definindo agora o deslocamento relativo ente a base e a massa:
uxz -=
Eq. 64
E a equação de movimento é a seguinte:
Eq. 65
A entrada é o movimento via suporte, típico em
problemas de isolação !
3 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
xckxkuucum !!!! +=++
Eq. 66
Temos então que a equação de movimento no deslocamento relativo é:
)(tpkzzczm eff=++ !!!
xm)t(peff !!=
O lado direito da Eq. 66 é o carregamento efetivo que é dado por:
Eq. 67
Observem que esta ¨força efetiva¨ é na verdade uma pseudo força de inércia, pois é dada pelo produto da aceleração da base pela massa m ! E portanto, a massa responde à esta força como sendo a fonte de distúrbio do sistema. De forma alternativa, podemos expressar a equação de movimento, Eq. 64 em função do deslocamento absoluto da massa m. Neste caso temos:
Eq. 68
4 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
xckxkuucum !!!! +=++)(tpkzzczm eff=++ !!!
Comparando-se os dois modelos acima descritos, Eq. 66 e Eq. 68, temos:
• Descrita em termos do deslocamento absoluto u.
• Experimentalmente requer que apenas u seja medido
• A excitação é dada pela soma de partedas forças de mola e amortecedor !
• Descrita em termos do deslocamento relativo z.
• Experimentalmente requer que x e usejam medidos e então z calculado !
• A excitação é dada pela pseudo força de inércia
Veremos em seguida a solução de ambos os modelos para entradas harmônicas. Inicialmente, definimos as entradas
Eq. 66 Eq. 68
Eq. 69
Agora, substituindo-se a Eq. 69 nas Eqs. 66 e 68 e rearranjando temos
peff (t) = �m!2X0ej!t
<latexit sha1_base64="MFMGrUuu+9j1YKL9IY9XmlhGicM=">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</latexit>
x(t) = X0ej!t
<latexit sha1_base64="edRwUY4FgMV4hBkXhjb4WAc6WdY=">AAACAnicbVDJSgNBEO2JW4xbXC7ipTEI8RJmoqAXIeDFYwSzQBJDT6cmadOz0F0jhiF48Ve8eFDEq1/hzb+xsxw08UHB470qquq5kRQabfvbSi0sLi2vpFcza+sbm1vZ7Z2qDmPFocJDGaq6yzRIEUAFBUqoRwqY70qouf3LkV+7B6VFGNzgIIKWz7qB8ARnaKR2dv8hj8f0gtbbNoXb5I42Qx+6jOKwnc3ZBXsMOk+cKcmV9rwxyu3sV7MT8tiHALlkWjccO8JWwhQKLmGYacYaIsb7rAsNQwPmg24l4xeG9MgoHeqFylSAdKz+nkiYr/XAd02nz7CnZ72R+J/XiNE7byUiiGKEgE8WebGkGNJRHrQjFHCUA0MYV8LcSnmPKcbRpJYxITizL8+TarHgnBSK1yaNUzJBmhyQQ5InDjkjJXJFyqRCOHkkz+SVvFlP1ov1bn1MWlPWdGaX/IH1+QM7W5hO</latexit>
5 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
tj0eXjckkuucum ww)( +=++ !!!
tj0
2 eXmkzzczm ww-=++ !!! Eq. 70 Eq. 71
Assumindo agora soluções harmônicas em z e u
tj0eZtz w=)( tj
0eUtu w=)(Eq. 72 Eq. 73
Substituição das Eqs. 72 e 73 em 70 e 71 fornecem as amplitudes
02
20 X
jcmkmZ
www+-
-= 020 X
jcmkjckU
www+-
+=
)(
Reparem que a equação característica nos dois modelos é a mesma !
Eq. 74 Eq. 75
6 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
wwwwwjcmk
mXZTRr 2
2
0
0+-
-== )()(
wwwwwjcmk
jckXUTRa 20
0+-
+== )()(
Com base nas Eqs. 74 e 75, podemos definir a Função de Resposta em Freqüência de Transmissibilidade de Movimento, ou simplesmente Transmissibilidade
Eq. 76 Eq. 77
As FRF definidas pelas Eqs. 76 e 77 são importantíssimas no estudo da isolação de vibração pois elas definem a quantidade de movimento transmitida pela base para a massa m por unidade de movimento de entrada no suporte. São grandezas adimensionais. A Eq. 76 define a transmissibilidade relativa pois a variável de saída é o movimento relativo (z = x - u) entre a base e a massa m. A Eq. 77 define a transmissibilidade absoluta, pois é definida em termos do deslocamento absoluto da massa m. Em função da razão de freqüências r = w /wn temos :
Vejamos agora os gráficos das duas TR(w)
r2jr1r2j1TRa 2 VVw
+-
+=)(
r2jr1rTRr 2
2
Vw
+-
-=)( Eq. 78 Eq. 79
7 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Gráfico da transmissibilidade relativaTRr
r0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
r2jr1rTRr 2
2
Vw
+-
-=)(
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
50
100
150
200
8 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Gráfico da transmissibilidade absoluta
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
2r =
TRa
r
wwwwjcmk
jckXU
20
0+-
+=)(
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
50
100
150
200
9 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
)()()( uxcuxktfTR !! -+-=
tj0eZtz w=)(
tj0TR eZjcktf ww)()( +=
Uma segunda maneira de olharmos o problema de isolação da vibração é avaliarmos a força transmitida pelo suporte, chamada de força de reação. Com base no modelo, esta força é
Eq. 80
Ou ainda em função do deslocamento relativo z :
zckztfTR !+=)( Eq. 81
Lembrando agora que :
Eq. 82
Substituição da Eq. 82 na Eq. 81 fornece :
Eq. 83
10 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
tjTRTR eFtf ww)()( =
Agora, da Eq. 76
wwwwwjcmk
mXZTRr 2
2
0
0+-
-== )()(
Obtemos
tj0TR eXTRrjcktf www )()()( +=
E finalmente :
Com :
02
2TR X
jcmkjckmFwwwww
+-
+-=
)()(
Eq. 84
Eq. 85
Eq. 86
Eq. 87
11 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Desta última Eq. 87, podemos concluir que o produto – mw2X0 nada mais é senãoa aceleração a0 da base, e então podemos definir a Função de Resposta em freqüência de Transmissibilidade de força ou simplesmente transmissibilidade deforça
wwwwwjcmk
jckaFTR 20
TRf
+-
+== )()( Eq. 88
E esta última expressão é idêntica à transmissibilidade absoluta de deslocamentodada pela Eq. aqui repetida por conveniência
wwwwwjcmk
jckXUTR 20
0a
+-
+== )()( Eq. 89
Portanto, quando falamos em transmissibilidade, tanto faz referirmos-nos a força ou movimento, já que a função de transferência é essencialmente a mesma !
12 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Quando projetamos um sistema de isolação de vibração que opera em freqüências acima do valor crítico r = (2)1/2 é conveniente expressarmos o comportamento do sistema de 01 GDL em termos da eficiência de isolação(IE) ao invés da transmissibilidade
)()( ww TR1IE -= Eq. 90
Onde IE = 1 representa uma isolação perfeita, mas isto requer um valor de rinfinitamente grande, enquanto que IE = 0 representa nenhuma isolação.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
r
IE
13 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
9 – Desbalanceamento Rotativo
O desbalanceamento rotativo é uma fonte comum de excitação em máquinas. Considere o modelo abaixo para o estudo:
M
me wt u
k/2 k/2c
O desbalanceamento é causado por uma massa excêntrica m com excentricidade e que realiza um movimento circular com velocidade angular w.
14 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Da sua posição de equilíbrio estático, a posição da massa m é dada por
teuum wsen+= Eq. 91
E a equação de movimento de translação fica então
uckuteudtdmumM 2
2!!! --=++- )sen()( w Eq. 92
A qual pode ser rearranjada para
tmekuucuM 2 ww sen)(=++ !!! Eq. 93
E a Eq. 93 mostra claramente que o desbalanceamento é a fonte de excitação do sistema. Assumindo uma solução harmônica como antes, podemos achar a amplitude do movimento e seu ângulo de fase
tUtu 0 wsen)( = Eq. 94
15 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
De onde obtemos
Eq. 95222
20
cwMk
meU)()( +-
=w
w
2Mkctgw
wf-
= Eq. 96
Ou na forma adimensional
222
20
r2r1
rreU
mM
)()()(
V+-=
2r1r2tg
-=
Vf
Eq. 97
Eq. 98
16 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Gráfico do desbalanceamento rotativo
r0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
50
100
150
200
meMU0
17 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
9 – Determinação do Amortecimento Através da FRF9.1 - Método da Amplificação Ressonante
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
r0
rmax
r
H(r)
Este método é baseado na medida da resposta de regime permanente em várias freqüências discretas em uma faixa incluindo a freqüência natural do sistema.
Então, o máximo valor da FRF ocorre em
2pico 21r V-=
maxrrV
20@
E para valores pequenos de amortecimento
Este método é de simples aplicação, requerendo instrumentação simplificada, mas podendo oferecer alguma dificuldade na determinação do deslocamento estático r0 !
Eq. 99
Eq. 100
18 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
9.2 - Método da Meia Potência
Neste caso, o fator de amortecimento é determinado a partir de freqüências nas quais a amplitude de resposta é reduzida a vezes a amplitude máxima rmax !
21/
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
r1 r2
rmax
2maxr
H(r)
÷ø
öçè
æ -=+-
2222
121
21
r2r1
1 VVV )()(
Então usando esta relação temos:
Elevando-se ambos os lados ao quadrado:
2221
2 1221r VVV --= !,
Eq. 101
Eq. 102
Agora, para pequenos valores de amortecimento:
2221 11r VVV --@ !, Eq. 103
19 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Subtraindo-se as raízes na Eq. 103
VVV 212rr 212 @-=-
212rr 212 @-=+ )( V
12
12
12
12ffff
rrrr
+-
=+-
=V
E somando-se as raízes temos
Eq. 104
Eq. 105
Combinando-se as Eqs. 104 e 105 vem :
Eq. 106
Onde f1 e f2 são freqüências para as quais a amplitude de resposta é igual a
2maxrr = Eq. 107
20 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
)()()(/ /
wwwwVpww
pw wp wp
==úûù
êëé== ò ò 22
n2
0
2
0222
med Hmdttu2
cdttu2cP !!
Este método de obtenção da razão de amortecimento evita termos que achar o deslocamento estático r0, entretanto, ele requer a obtenção acurada da curva de resposta em freqüência na região do pico de ressonância e no nível (2)-1/2 !Para clarificar a essência do método que é chamado de meia potência, considere a potência média aplicada pelo carregamento, a qual deve ser igual à energia dissipada pela força de amortecimento viscosa em regime permanente a uma freqüência w
Eq. 108
Esta última expressão nos pontos r1 e r2 fornece
2P
rrP pico
2
pico
1r1 ÷
÷ø
öççè
æ=
2P
rrP pico
2
pico
2r2 ÷
÷ø
öççè
æ=
Eq. 109
Eq. 110
21 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
9.3 - Método da Energia Dissipada Por Ciclo
Este método requer a construção do gráfico abaixo :fD
u
umax
Área = ED
Elipse (viscoso)Área equiv. = ED
P0
Se o sistema possui amortecimento viscoso puramente linear (elipse) então a seguinte relação pode ser usada :
maxmaxmaxmaxum2um2ucfp 2
nnD0 wVwV ==== !!
ou
maxum2p2n
0w
V =
Eq. 111
Eq. 112
22 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Agora, se o amortecimento viscoso é não linear (curva hachurada) a energia dissipada por ciclo ED pode ser obtida pela área do gráfico da fD, ou seja
( )23neq
nmed
nD um2P2E maxwV
wp
wp
÷÷ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ= Eq. 113
)()( maxmax2
D22
n
Deq
uk2E
um2E
pwpV ==
E então
Eq. 114
fs
uÁrea = Es
umax
maxmaxukfs = Preferível !!
23 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
2nmedD Hm2P2E maxwwpV
wp
=÷øö
çèæ=
kHED pV=
9.4 – Amortecimento Estrutural (Histerético)
Lembrando que o amortecimento estrutural possui a seguinte relação:
)()( tukjtfD h= Eq. 115
Neste caso, a energia dissipada por ciclo de vibração é dada por :
Enquanto que no caso viscoso :
Eq. 116
Eq. 117
24 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
10 – Aplicação do Modelo de 01 GDL – O AcelerômetroO acelerômetro é um sensor dedicado à medidas de vibração. A figura abaixo mostra três modelos típicos de acelerômetros piezelétricos
Compressãoisolada
Compressão simples
Cisalhamento“Shear”
Cristal piezoelétrico
Massa Sísmica
Conector
Princípio de operação: A massa sismica quando sujeita à mesma vibração que se deseja medir causa uma deformação no cristal, que por sua vez possui a capacidade de gerar cargas elétricas proporcionais à aceleração desconhecida !
Fonte de massa Fonte de
rigidez eamortecimento
25 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Alguns modelos comerciais
Modelo OrthoShear da Bruel & Kjaer
Extraído do Catálogo Master Bruel and Kjaer 1997
26 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Modelo DeltaShear da Bruel & Kjaer
Extraído do Catálogo Master Bruel and Kjaer 1997
27 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Modelo PlanarShear da Bruel & Kjaer
Extraído do Catálogo Master Bruel and Kjaer 1997
28 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Outros modelos da B&K
Extraído do Catálogo Master Bruel and Kjaer 2000
29 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Como temos duas fontes de massa no sistema (base do sensor e massa sísmica) e uma fonte de rigidez e amortecimento (cristal piezoelétrico), então um modeloconveniente para o sensor seria o de 02 GDL !
k
mb
m
c
fb (t)
x
y
f (t)
m y
f (t)
)xy(k - )xy(c !! -
DCL
Agora, considerando-se que para seu correto funcionamento o sensor deve ser rigidamente fixado à estrutura tal que a massa da base mb fica incorporada à mesma, então o modelo acima pode ser simplificado para um modelo de 01 GDL com excitação via base, e então podemos usar os conceitos de transmissibilidade vistos até agora !!
30 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Então, para a massa sísmica m podemos escrever a seguinte equação
xmzkzczm !!!!! -=++
Onde z é o deslocamento relativo entre a base e a massa sísmica. Devemos Observar que o acelerômetro é projetado para medir . Como antes, a solução Da equação acima fica
x!!
)( r2jr1kam
cjmkXmZ 2
o2
2o
oVww
w+-
=+-
-=
oo aHZ )(w=
Ou simplesmente
Portanto o que queremos medir é a0, mas o que obtemos é Z0, ou seja, a0 afetado da dinâmica do sensor dada pela FRF H(w) !
www
cjmkmH 2 +-
=)(
FRF do sensor
31 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
0.001 0.01 0.1 1 10 1000.01
0.1
1
10
100M
agni
tude
of H
a(w)
r = w /wn
Região útil
Abaixo vemos uma curva típica teórica de um sensor piezelétrico
32 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Enquanto que abaixo vemos uma curva típica de um sensor comercial
Extraído do Catálogo Master Bruel and Kjaer 2000
33 Prof. Paulo S. Varoto!
SEM 504 – Dinâmica Estrutural
Extraído do Catálogo Master Bruel and Kjaer 2000
Detalhes da montagem do acelerômetro em estruturas
Parafuso + arruela de mica Parafuso com cementação
Camada de cera de abelha
parafuso Filtro mecânico Basemagnética
Fita adesiva dedupla face
Recommended