Sumário - feb.unesp.br · •Supondo que um determinado sinal periódico possa ser representado...

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Sumário

• 3.1 Uma perspectiva histórica

• 3.2 Resposta dos SLIT às Exponenciais Complexas

• 3.3 Representação de SPTC em Série de Fourier

• 3.4 Convergência da Série de Fourier

• 3.5 Propriedades da Série de Fourier de Tempo Contínuo

• 3.6 Representação de Sinais Periódicos de Tempo discreto em Série de Fourier

• 3.7 Propriedades da SFTD

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slide 2slide 2

3.1 Uma perspectiva histórica

• Babilônicos

• 1748: Euler – Movimento de uma corda vibrante. Séries trigonométricas

• 1753: Bernoulli – classe de sinais representados

• 1759: Lagrange – convicto que era impossível representar sinais com descontinuidades. Portanto, as ST tinham uso limitado

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slide 3slide 3

3.1 Uma perspectiva histórica15/05/2014 13:49

slide 4slide 4

3.1 Uma perspectiva histórica

• 1807: Fourier– Estudos sobre a propagação do calor;

– Usou ST para representar a distribuição de temperatura de um corpo;

– Afirmou que qualquer sinal periódico poderia ser representado por tais séries.

• 1829: Dirichelet– Determinou as condições precisas sob as quais um

sinal periódico pode ser representado por uma ST.

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slide 5slide 5

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slide 6slide 6

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slide 7slide 7

3.2 Resposta dos SLIT às Exponenciais Complexas

Representar sinais como combinação linear de sinais

básicos que possuam as seguintes propriedades:

1. Possam ser usados para construir uma classe ampla

e útil de sinais.

2. As respostas de um SLIT aos sinal básicos deve ser

simples, na sua estrutura, para fornecer a resposta a

qualquer sinal construído como um combinação linear

dos sinais básicos.

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slide 8slide 8

3.2 Resposta de um SLIT à Exponenciais Complexas (Reescrever este texto apenas

com s=jw)A importância das exponenciais complexas no estudo dos SLIT decorre do fato de que a resposta de um SLIT a uma exponencial complexa é a própria exponencial complexa com, apenas, uma mudança de amplitude.

( )st ste H s e®

( )n nz H z z®

sz e=

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3.2 Resposta de um SLIT à Exponenciais Complexas

• Autofunções e Autovalores

• Mostrar que se aplico e^(jwt) sai H(jw)e^(jwt).

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slide 10slide 10

H(s)

( ) ( ) ( )y t h x t dt t t+¥

-¥

= -ò

( )( ) ( ) s ty t h de tt t-+¥

-¥

= ò

( ) ( )st sy t e h e dtt t+¥

-

-¥

= ò

( ) ( ) sty t H s e=

( ) ( ) sH s h e dtt t+¥

-

-¥

= ò

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slide 11slide 11

H(z)

( ) ( ) k

k

H z h k z+¥

-

=-¥

= å

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slide 12slide 12

Aplicação a um sinal x(t)

31 2

1 2 3 x

Seja:

( ) s ts t s tt a e a e a e= + +

31 2

1 1 2 2 3 3 y( ) (

Então:

) ( ) ( ) s ts t s tt a H s e a H s e a H s e= + +

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slide 13slide 13

Resumindo

x( ) y( ) ( )k ks t s tk k k

k k

t a e t a H s e= ® =å å

x[n] y[n] [ ]n nk k k k k

k k

a z a H z z= ® =å å

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slide 14slide 14

Análise de Fourier

Embora s e z possam ser números complexos quaisquer, a Análise de Fourier restringe nossa atenção à formas particulares dessas variáveis:

j ts j e ww= ®

jz e w=

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slide 15slide 15

Exemplo 3.1 (a)

Seja um SLIT tal que:

( ) ( 3)y t x t= -

Se a entrada desse sistema for o sinal:

2( ) j tx t e=

Obter a saída do sistema para esse sinal.

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slide 16slide 16

Solução 1

2( 3 26)( ) ( 3) j t j tjy t x e eet --= - = =

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slide 17slide 17

Solução 2

( ) ( ) sH s h e dtt t+¥

-

-¥

= ò

3(( ) 3) s sH s e d etd t t+¥

- -

-¥

= =-ò

6( 2) jH j e-=

2 6 2)( ) ( 2 j t j j ty H j et e e-== =

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slide 18slide 18

Exemplo 3.1 (b)

Seja um SLIT tal que:

( ) ( 3)y t x t= -

Se a entrada desse sistema for o sinal:

( ) cos(4 ) cos(7 )x t t t= +

Obter a saída do sistema para esse sinal.

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slide 19slide 19

Solução 1

( ) ( 3) cos(4( 3)) cos(7( 3))y t x t t t= - = - + -

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slide 20slide 20

Solução 2

4 4 7 71 1 1 1( )

2 2 2 2j t j t j t j tx t e e e e- -= + + +

3(( ) 3) s sH s e d etd t t+¥

- -

-¥

= =-ò

12( 4) jH j e-= 12( 4) jH j e- =

21( 7) jH j e-= 21( 7) jH j e- =

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slide 21slide 21

Solução 2 (cont)

4 4

7 7

1 1( )

2 2

1 1

( 4) ( 4)

( 7) ( 7)2 2

j t j t

j t j t

y t e e

e

H j H j

H j H ej

-

-

-

-

= + +

+

4 412 12 21 27 1 71 1 1 1( )

2 2 2 2j t j t j tj jj j tjy e e e et e e e e- -- -= + + +

4( 3) 4( 3) 7( 3) 7( 3)1 1 1 1( )

2 2 2 2j t j t j t j ty t e e e e- - - - - -= + + +

( ) cos(4( 3)) cos(7( 3))y t t t= - + -

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slide 22slide 22

3.3 Representação de sinais periódicos de tempo contínuo em Série de Fourier

(Sinal Periódico: para todo t( ) .)x t x t T= +

Menor valor positivo de T,

Periód

difer

o Fundament

ente de z

al:

ero.

0Frequência Funda : men l 2ta = Tw p

0

2

Conjunto de Exponenciais Complexas Harmonicamente

Relaciona

( ) , k

da

=0, 1, 2,

s

:

jk tjk t T

k t e ep

wfæ öç ÷è ø= = ± ± L

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slide 23slide 23

3.3.1 Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas

0

2

( )jk t

jk t Tk k

k k

x t a e a ep

wæ ö+¥ +¥ç ÷è ø

=-¥ =-¥

= =å å

n-ésima harmônica

( ) é periódico de período fundamental Tx t

(3.25)

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slide 24slide 24

3.3.1 Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas

• Será que o contrário também vale?

• Isto é, dado um sinal x(t) periódico, ele pode ser escrito como uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas?

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slide 25slide 25

Exemplo 3.2

Considere o seguinte sinal periódico:

32

3

( ) jk tk

k

x t a e p+

=-

= åcom

0

1 1 2 2 3 3

1,

1 1 1

4 2 3

a

a a a a a a- - -

=

= = = = = =

Reescreva-o na forma de somatório de senos e cossenos.

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slide 26slide 26

Exemplo 3.2 (cont.)

Então, usando a relação de Euler:

1 2( ) 1 cos(2 ) cos(4 ) cos(6 )

2 3x t t t tp p p= + + +

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slide 27slide 27

Exemplo 3.2 (cont.)

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slide 28slide 28

Exemplo 3.2 (cont.)

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slide 29slide 29

Exemplo 3.2 (cont.)

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slide 30slide 30

Exemplo 3.2 (cont.)

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slide 31slide 31

Exemplo 3.2 (cont.)

1 2( ) 1 cos(2 ) cos(4 ) cos(6 )

2 3x t t t tp p p= + + +

Exemplo de uma forma alternativa para a Série de Fourier de sinais periódicos reais.

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slide 32slide 32

Formas Alternativas da SF para Sinais Reais

Supondo x(t) um sinal real que pode ser representado na forma da Eq. 3.25:

0 0* **( ) ( ) ( ) k t k tk

j jk

k k

x t x t x t a e a ew w-+¥ +¥

=-¥ =-¥-= ® = =å å

Portanto

* * kk kka a a a- -= ® =

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slide 33slide 33

Formas Alternativas da SF para Sinais Reais

E, então{ } { }k ke a e a-Â = Â

=k ka a--R R

{ } { }k km a m a-Á = -Á

=k ka a-

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slide 34slide 34

Formas Alternativas da SF para Sinais Reais

0 0 0

01

( ) ( )jk t jk t jk tk k k

k k

x t a e x t a a e a ew w w+¥ +¥

--

=-¥ =

é ù= ® = + +ë ûå å

0 0*0

1

( ) kjk t jk t

kk

x t a a e a ew w+¥

-

=

é ù= + +ë ûå

{ }0

01

( ) 2 jk tk

k

x t a e a e w+¥

=

= + Âå

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slide 35slide 35

Representação de Sinais Reais na forma Amplitude - Fase

e k

kk kj

k Aa A e q q Î= Â

{ }0( )0

1

( ) 2 kj k tk

k

x t a e A e w q+¥

+

=

= + Âå

Expressando ak na forma polar:

0 01

( ) 2 cos( )k kk

x t a A k tw q+¥

=

= + +å

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slide 36slide 36

Representação de Sinais Reais na forma Seno - Cosseno

e k kk k k B Ca B jC= + Î Â

{ }0( )0

1

( ) 2 kj k tk

k

x t a e A e w q+¥

+

=

= + Âå

Expressando ak na forma retangular:

[ ]0 0 01

( ) 2 cos( ) ( )k kk

x t a B k t C sen k tw w+¥

=

= + -å

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slide 37slide 37

3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier

• Supondo que um determinado sinal periódico possa ser representado com a série da Equação 3.25, precisamos de um procedimento para determinar os coeficientes a

k.

0 00( ) jn t jk tk

k

jn tx t a ee eww w+¥

=

-

-¥

- = å

0( ) jk tk

k

x t a e w+¥

=-¥

= å

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slide 38slide 38

3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier

00 0

0 0

( ) jk tk

k

T Tjn t jn tx e dt et da e tww w

+¥

=-¥

- -=ò åò

0 0 0

0 0

( )T T

jn jk tt jnk

k

tx t a ee dt e dtww w-+¥

=-

-

¥

=ò òå

( ) 00

0 0

( )T T

njn t j k t

kk

x t a ee dt dtw w-+¥

-

=-¥

=ò òå

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slide 39slide 39

3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier

( ) 00

0 0

( )T T

njn t j k t

kk

x t a ee dt dtw w-+¥

-

=-¥

=ò òå

( ) ( )( ) ( )( )0

0

0

0

0

0

cos sinT

j k tT T

ne k t kdt n dt j n dt t

w w w-= +- -ò ò ò

( ) 0

0

, para

0, para

Tj k n t T k n

e dtk n

w- =ì= í

¹îò

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slide 40slide 40

3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier

• Portanto, dado um sinal periódico qualquer que possa se representado na forma da série da Equação 3.25, os coeficientes a

k podem ser

calculados pela expressão:

01

( ) jk tk T

a x t e dtT

w-= ò

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slide 41slide 41

Exemplo 3.3

• Determinar os coeficientes da Série de Fourier Complexa do seguinte sinal:

0( )x t sen tw=

1 1

1 1

2 2

0 para k 1k

a aj j

a

-= = -

= ¹ ±

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slide 42slide 42

Exemplo 3.4

• Determinar os coeficientes da Série de Fourier Complexa do seguinte sinal:

0 0 0( ) 1 2cos cos 24

x t sen t t tp

w w wæ ö

= + + + +ç ÷è ø

( ) ( )

0

1 1

2 1

1

1 11 1

2 2

2 21 1

4 4

0 para k 2k

a

a aj j

a j a j

a

-

-

=

= - = +

= + = -

= >

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slide 43slide 43

Exemplo 3.4

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slide 44slide 44

• Determinar os coeficientes da série de Fourier da forma de onda abaixo:

Exemplo 3.5

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slide 45slide 45

Exemplo 3.5 (cont.)

1

1

1( )

0 / 2T

t Tx t

T t T

ì <= í

< <î

Solução:

1 1

1 1

10

1 21( )

T T

T T

Ta x t dt dtTT T

T+ +

- -

= = =ò ò

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slide 46slide 46

Exemplo 3.5 (cont.)

1

0 0

0 1 0 1

0

1

1 1

1

10 0

0 1

1 1( )

1 2

2

( ) para k 0

T T

T T

T

T

jk t jk tk T

jk T jk Tjk t

a x t e dt e dtT T

e ee

jk T k T j

sen k T

k

w w

w ww

w w

w

p

-

+ +

- -

+

-

-

= =

é ù-= - = ê ú

ë û

= ¹

ò ò

0 1( ) para k 0k

sen k Ta

k

w

p= ¹

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slide 47slide 47

14T T=

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slide 48slide 48

18T T=

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slide 49slide 49

116T T=

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slide 50slide 50

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slide 51slide 51

3.4 Convergência da Série de Fourier

• P. L. Dirichlet (1829)

• Condição 1: Em qualquer período, o sinal deve ser absolutamente integrável; ou seja:

( )T

x t dt < ¥ò

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slide 52slide 52

(continua)Figura 3.8

Exemplo de Função que Não Satisfaz a 1ª Condição

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slide 53slide 53

3.4 Convergência da Série de Fourier

• Condição 2: Em qualquer intervalo finito de tempo, o sinal deve apresentar um número finito de máximos e mínimos.

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slide 54slide 54

(continua)Figura 3.8

Exemplo de Função que Não Satisfaz a 2ª Condição

2( ) 0<t 1x t sen

t

pæ ö= £ç ÷

è ø

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slide 55slide 55

3.4 Convergência da Série de Fourier

• Condição 3: Em qualquer intervalo de duração finita, deve existir apenas um número finito de descontinuidades. Além disso, cada uma delas deve ser finita.

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slide 56slide 56

Exemplo de Função que Não Satisfaz a 3ª Condição

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slide 57slide 57

(continua)Figura 3.9

Exemplo de Convergência na Descontinuidade

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slide 58slide 58

(continuação)

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slide 59slide 59

3.5 Propriedades da Série de Fourier de Tempo Contínuo

( ) SFkx t a¬¾®

• Notação:

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slide 60slide 60

3.5.1 Linearidade

( ) SFkx t a¬¾®

( ) SFky t b¬¾®

( ) ( ) ( ) SFk k kz t Ax t By t c Aa Bb= + ¬¾® = +

Se

Então

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slide 61slide 61

3.5.2 Deslocamento no Tempo

( ) SFkx t a¬¾®

0 0

0( ) ( ) jk tSFk ky t x t t b e aw-= - ¬¾® =

Se

Então

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slide 62slide 62

3.5.3 Reflexão no Tempo

( ) SFkx t a¬¾®

( ) ( ) SFk ky t x t b a-= - ¬¾® =

Se

Então

: se x(t) é , a é par

se x(t) é

par

ímpar,

Cons

a

equê

é

nci

a

a

ímp r

k

k

15/05/2014 13:49

slide 63slide 63

3.5.4 Mudança de Escala no Tempo

( ) SFkx t a¬¾®

( ) ( ) SFk ky t x t b aa= ¬¾® =

Se

Então

( ) ( )0 0( )jk t jk t

k kk k

y t b e a eaw aw

+¥ +¥

=-¥ =-¥

= =å å

Mas

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slide 64slide 64

3.5.5 Multiplicação

( ) SFkx t a¬¾®

( ) SFky t b¬¾®

( ) ( ) ( ) SFk l k l

l

z t x t y t c a b+¥

-=-¥

= ¬¾® = å

Se

Então

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slide 65slide 65

3.5.6 Conjugação

( ) SFkx t a¬¾®

* *( ) ( ) SFk ky t x t b a-= ¬¾® =

Se

Então

*

*

: se x(t) é a =a

se x(t) é a = a

Conse

real

re

(Da P.3.5.

quênci

3

al e par

a

)

k k

k k

-®

®

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slide 67slide 67

Diferenciação

( ) SFkx t a¬¾®

0

( )( ) SF

k k

dx ty t b jk a

dtw= ¬¾® =

Se

Então

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slide 68slide 68

Integração

( ) SFkx t a¬¾®

0

1( ) ( )

tSF

k ky t x t dt b ajkw

-¥

= ¬¾® =ò

Se

Então

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slide 69slide 69

3.5.7 Relação Parseval

221( )

T

kk

x t dt aT

¥

=-¥

= åò

02 2 21 1

T

jk tk k k

T

a e dt a dt aT T

w = =ò ò

A potência média no período de x(t) é igual a soma das potências médias de todos os seus componentes harmônicos.

15/05/2014 13:49

slide 70slide 70

15/05/2014 13:49

slide 71slide 71

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slide 72slide 72

Exemplo 3.6

Resolver usando os resultados do Exemplo 3.5

15/05/2014 13:49

slide 73slide 73

Exemplo 3.6

Já sabemos que (Exemplo 3.5)

1

0 1

2 para k=0

( ) para k 0

k

T

Ta

sen k T

k

w

p

ìïï

= íï ¹ïî

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slide 74slide 74

Exemplo 3.6

Comparando os dois sinais, percebemos que:

1( ) ( 1) 1/ 2 com 4 e 1Tg t t Tx= - - = =

/2( ) ( 1) ( .2)jkk ky t e Pt x b a p-= - « =

1/ 2 para 0( ) 1/ 2

0 para 0k

kz t c

k

- =ì= - « = í

¹î

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slide 75slide 75

Exemplo 3.6

0 /21

0 para 0

( ) para 0

( )k jk

k

g t de

sen k T

kkpw

p-

=ìï

=« = í¹ïî

0 0

/2

( ) ( ) ( )

1 / 2 1/ 2 para 0(

(P.1)

)0 para 0

k k k

k jkk k

g t y t z t d b c

b a kg t d

b a e kp-

= + « = +

- = - =ì« = í

+ = ¹î

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slide 76slide 76

Exemplo 3.7

Resolver usando os resultados do Exemplo 3.6

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slide 77slide 77

Exemplo 3.7

• Observando que o sinal mostrado na Figura 3.10 é a derivada do sinal mostrado na Figura 3.11, podemos usar a propriedade da diferenciação. Portanto

0

( )( ) SF

k k

dx tg t d jk e

dtw= ¬¾® =

0

kk

de

jkw=

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slide 78slide 78

Exemplo 3.7

Agora,

2 para 0k

k

de k

jkp= ¹

02

pw =

Assim,

0 /21

para 1

( )

0

2 p

/

a

2

ar 0jkk sen k T

k

k

ee k

jkpw

p p-

=ìï

= í¹ï

î

15/05/2014 13:49

slide 79slide 79

Exemplo 3.8

• Análise das propriedade da representação em Série de Fourier de um Trem Periódico de Impulsos.

( ) ( )k

x t t kTd¥

=-¥

= -å

15/05/2014 13:49

slide 80slide 80

Exemplo 3.8 (a)

• Aplicando a Equação (3.39):

01

( ) jk tk T

a x t e dtT

w-= ò

0

/2

/2

1( ) jk t

T

T

ka x t e dtT

w

-

-= ò

0

/2

/2

)1

(T

t

T

jkka e dt

Tt wd

-

-= ò1

kaT

=

15/05/2014 13:49

slide 81slide 81

Exemplo 3.8 (b)

• Relação do Trem de Impulsos com a onda quadrada da Figura 3.6

15/05/2014 13:49

slide 82slide 82

Exemplo 3.8 (b)

15/05/2014 13:49

slide 83slide 83

Exemplo 3.8 (b)

Notando que

1 1( ) ( ) ( )q t x t T x t T= + - -

E assumindo

( )

( )

( )

k

k

k

x t a

q t b

g t c

«

«

«

15/05/2014 13:49

slide 84slide 84

Exemplo 3.8 (b)

Então

0 1 0 1jk T jk Tk k kb e a e aw w-= -

( )0 1 0 1jk T jk Tk kb e e aw w-= -

0 12 sin( )k kb j k T aw=

0 1

12 sin( )kb j k T

Tw=

15/05/2014 13:49

slide 85slide 85

Exemplo 3.8 (b)

Como

0

( )( ) k k

dg tq t b jk c

dtw= « =

0 1

0 0

2 sin( ) / para 0k

k

b j k T Tc k

jk jk

w

w w= = ¹

Logo

0 1sin( ) para 0k

k Tc k

k

w

p= ¹

15/05/2014 13:49

slide 86slide 86

Exemplo 3.8 (b)

O valor de c0 é apenas o valor médio de g(t),

portanto:

10

2Tc

T=

15/05/2014 13:49

slide 88slide 88

3.6 Representação de Sinais Periódicos de Tempo discreto em Série de Fourier

15/05/2014 13:49

slide 89slide 89

3.6.1 Combinações Lineares de Exponenciais Complexas Harmonicamente Relacionadas

[ ] [ ]x n x n N= +

0 2 Nw p=

0

2

[ ] 0, 1, 2, , N 1jk n

jk n Nk n e e k

pwf

æ öç ÷è ø= = = ± ± -L

0

1

0

[ ]N

jk nk

k

x n a e w-

=

= å

15/05/2014 13:49

slide 90slide 90

3.6.1 Combinações Lineares de Exponenciais Complexas Harmonicamente Relacionadas

0

2

[ ]jk n

jk n Nk k

k N k N

x n a e a ep

wæ öç ÷è ø

=< > =< >

= =å å

0[ ] [ ]Nn nf f= 1 1[ ] [ ]Nn nf f +=

[ ] [ ]k k rNn nf f += 0, 1, 2,...r = ± ±

15/05/2014 13:49

slide 91slide 91

3.6.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier

• Par da Série de Fourier de Tempo Discreto

0

2

[ ]jk n

jk n Nk k

k N k N

x n a e a ep

wæ öç ÷è ø

= =

= =å å

0

21 1

[ ] [ ]jk n

jk n Nk

n N n N

a x n e x n eN N

p

wæ ö

- ç ÷- è ø

= =

= =å å

15/05/2014 13:49

slide 92slide 92

3.6.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier

• Notar que os coeficientes espectrais também serão periódicos de período N:

0 0 1 1 1 1[ ] [[ ] [ ]] N Nx n a n an na f ff - -= + + +L

1 1 2 2[ ] [ ] ][ ] [N Nx n a a n a nnf f f= + + +L

0 0[ ] [ ] N Nn n a af f= Þ =

k k Na a +=

15/05/2014 13:49

slide 93slide 93

Exemplo 3.10

• Para o sinal abaixo, determine os coeficientes espectrais da Série de Fourier de Tempo Discreto.

0[ ]x n sen nw=0

2é periódico para

m

N

pw =

15/05/2014 13:49

slide 94slide 94

Exemplo 3.10 (cont.)

• Resolver para m genérico.

15/05/2014 13:49

slide 95slide 95

Exemplo 3.10 (cont.)

1 1

1 1

2 2a a

j j- = - =Avaliando para e5 1: N m= =

15/05/2014 13:49

slide 96slide 96

Exemplo 3.10 (cont.)

3 3

1 1

2 2a a

j j- = - =Avaliando para e5 3: N m= =

15/05/2014 13:49

slide 97slide 97

Exemplo 3.11

• Obter a representação em SF do sinal

2 2 4[ ] 1 sin 3cos cos

2x n n n n

N N N

p p p pæ ö æ ö æ ö= + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

15/05/2014 13:49

slide 98slide 98

Exemplo 3.11

( ) ( )2 22 1sin

2

j N n j N nn e e

N j

p pp -æ ö é ù= -ç ÷ ë ûè ø

( ) ( )2 22 1cos

2

j N n j N nn e e

N

p pp -æ ö é ù= +ç ÷ ë ûè ø

4 42 24 1

cos2 2

j n N j n N

n e eN

p pp pp p

æ ö æ ö+ - +ç ÷ ç ÷

è ø è øé ùæ ö

+ = +ê úç ÷è ø ê úë û

15/05/2014 13:49

slide 99slide 99

Exemplo 3.11

0

1 1

2 2

1

3 1 3 1

2 2 2 2

1 1

2 2

a

a j a j

a j a j

-

-

=

= - = +

= = -

15/05/2014 13:49

slide 100slide 100

Exemplo 3.11

15/05/2014 13:49

slide 101slide 101

Exemplo 3.11 (cont.)

15/05/2014 13:49

slide 102slide 102

Exemplo 3.12

• Obter a representação em SF da forma de onda abaixo.

15/05/2014 13:49

slide 103slide 103

Exemplo 3.12

1

1

2

[1

]N jk n

Nk

n N

a eN

x npæ ö

- ç ÷è ø

=-

= å

112 22

0

1 Njk N jk mN N

km

a e eN

p pæ ö æ ö-ç ÷ ç ÷

è ø è ø

=

= å

2jk

Nq epæ ö

- ç ÷è ø=

( )11

2 2 11 1

1

Njk NN

k

qa e

N q

pæ ö +ç ÷è ø

æ ö-= ç ÷

-è ø

15/05/2014 13:49

slide 104slide 104

Exemplo 3.12

[ ]1

1

sin 2 ( 1/ 2) /10, ,

sin( / )

2 10, ,

k

k N Nk N

N k Na

Nk N

N

p

p

ì +¹ ±ïï

= í-ï = ±

ïî

K

K

15/05/2014 13:49

slide 105slide 105

Exemplo 3.12

19 2N N= =

120 2N N= =

140 2N N= =

15/05/2014 13:49

slide 106slide 106

Exemplo 3.12

0

2

ˆ[ ]M M jk n

jk n Nk k

k M k M

x n a e a ep

wæ ö+ +ç ÷è ø

=- =-

= =å å

15/05/2014 13:49

slide 107slide 107

3.7 Propriedades da SFTD

15/05/2014 13:49

slide 108slide 108

3.7 Propriedades da SFTD

15/05/2014 13:49

slide 109slide 109

Exemplo 3.13

• Encontrar a representação do sinal abaixo em Série de Fourier

15/05/2014 13:49

slide 110slide 110

Exemplo 3.13

1 e 5 1:N N= =

15/05/2014 13:49

slide 111slide 111

Exemplo 3.13

k k ka b c= +

( )1

1 sin(3 / 5)0, 5, 10,

5 s

Pelo Exemp

in( / 5)

30, 5

lo 3.12 1,

, 105

5 :

,k

kk

kb

k

N N

p

p

ì¹ ± ±ïï

= íï = ± ±ï

= =

î

K

K

15/05/2014 13:49

slide 112slide 112

Exemplo 3.13

2Observando [ ]

0 0

1 0

:

k

kc

k

x n

¹ì= í

=î

1 sin(3 / 5)0, 5, 10,

5 sin( / 5)

80,

Portanto

5

:

, 10,5

k

kk

ka

k

p

p

ì¹ ± ±ïï

= íï = ± ±ïî

K

K

15/05/2014 13:49

slide 113slide 113

Exemplo 3.14

• Suponha que tenhamos os seguintes fatos sobre uma sequência x[n]:

5

0

7

2

1. [ ] é periódica com período 6;

2. [ ] 2

3. ( 1) [ ] 1

4. [ ] tem a potência no período mínima dentre

todos os sinais que satisfazem as condições anteriores.

n

n

n

x n N

x n

x n

x n

=

=

=

=

- =

å

å

15/05/2014 13:49

slide 114slide 114

Exemplo 3.14

( )21

Lembrando qu :

[ ]

e

jk N

k

n

n N

a x n eN

p-

=

= å

( )2

0

5

0

0

0

U

1[ ]

1 1 1[ ] 2

sando o Fato 2:

6 6 3

n

n N

n

j Na x n e

N

a x n

p-

=

=

=

= = =

å

å

15/05/2014 13:49

slide 115slide 115

Exemplo 3.14

( ) ( )

( )

7

2

7 7

2 2

3 3

3

2 2 6

3

3

1 1[ ] [ ]

6

1 1[ ] [ ]( 1)

Usando o Fato 3

6 6

1 11

:

6 6

n n

n N n

n n

j N j

j

n n

a x n e x n eN

a x n e x n

a

p p

p

= =

= =

- -

-

= =

= = -

= =

å å

å å

15/05/2014 13:49

slide 116slide 116

Exemplo 3.14

2

2 2

0 3

22 2 2

1 2 4 5

U

mín

sando o Fato 4 e a Relação d

imo

mínimo

e Parseval:

kn N

P a

P a a a aa a

=

= =

= + + + + + =

å

15/05/2014 13:49

slide 117slide 117

Exemplo 3.14

1 1[ ] ( 1)

3 6nx n = + -

15/05/2014 13:49

slide 118slide 118

(continua)Figura 3.21

Exemplo 3.15

• Dada uma expressão algébrica para os coeficientes da Série de Fourier de um sinal, determinar e esboçar o sinal.

2

2

Seja [ ] um sinal periódico, com per

sin (

ío

3 / 7)

7sin ( /

do

7

7 e

)

:

k

kc

k

w n N

p

p=

=

15/05/2014 13:49

slide 119slide 119

(continua)Figura 3.21

Exemplo 3.15

• Do Exemplo 3.12, os coeficientes da SF de uma onda quadrada são:

[ ]1

1

sin 2 ( 1/ 2) /10, ,

sin( / )

2 10, ,

k

k N Nk N

N k Na

Nk N

N

p

p

ì +¹ ±ïï

= í-ï = ±

ïî

K

K

15/05/2014 13:49

slide 120slide 120

(continua)Figura 3.21

Exemplo 3.15

• Fazendo N=7 e N1=1:

[ ]sin 3 / 710, 7,

7 sin( / 7)

10, 7,

7

k

kk

ka

k

p

p

ì¹ ±ïï

= íï = ±ïî

K

K

15/05/2014 13:49

slide 121slide 121

(continua)Figura 3.21

Exemplo 3.15

• Portanto:

27k kc a=

• Usando a propriedade da convolução periódica:

[ ] [ ] [ ] k k kr N

w n x r y n r c Na b=

= - « =å

3

3

[ ] [ ] [ ] 7k k kr

w n x r x n r c a a=-

= - « =å

15/05/2014 13:49

slide 122slide 122

(continua)Figura 3.21

Exemplo 3.15

15/05/2014 13:49

slide 123slide 123

(continuação)

Exemplo 3.15

15/05/2014 13:49

slide 124slide 124

3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT

( ) y(t)= ( )j t j tx t e H j ew ww= ®

( ) ( ) jH j h e dwtw t t+¥

-

-¥

= ò

Resposta em Frequência do sistema

15/05/2014 13:49

slide 125slide 125

3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT (cont.)

y(t) também é periódico com a mesma frequência fundamental de x(t).

0 0

0x( ) y( ( ))jk t jkk k

t

k k

a a Ht e jkt ew ww= ® =å å

15/05/2014 13:49

slide 126slide 126

3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT(Tempo Discreto)

[ ] y[t]= ( )j j nj nx n H e ee w ww= ®

Resposta em Frequência do sistema

( ) [ ]j j n

k

H e h k ew w+¥

-

=-¥

= å

15/05/2014 13:49

slide 127slide 127

3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT (cont.)

y[n] também é periódico com a mesma frequência fundamental de x[n].

0 00x[n] y[ (n] )jk n jk n

k

j

N k N

kk ka ea H ee w ww

= =

= ® =å å

15/05/2014 13:49

slide 128slide 128

Exemplo 3.16

• Suponha que o sinal periódico discutido no Exemplo 3.2 seja o sinal de entrada para um SLIT com resposta ao impulso mostrada abaixo. Determine os coeficientes da SF da saída.

( ) ( )th t e u t-=

15/05/2014 13:49

slide 129slide 129

Exemplo 3.2

Considere o seguinte sinal periódico:

32

3

( ) jk tk

k

x t a e p+

=-

= å

com

0

1 1 2 2 3 3

1,

1 1 1

4 2 3

a

a a a a a a- - -

=

= = = = = =

15/05/2014 13:49

slide 130slide 130

Exemplo 3.16

• Calculo da Resposta em Frequência

( ) ( ) sH s h e dtt t+¥

-

-¥

= ò

0

( ) jH j e e dt wtw t+¥

- -= ò

1( )

1H j

jw

w=

+

15/05/2014 13:49

slide 131slide 131

Exemplo 3.16

• Calculo dos Coeficientes da SF de y(t)

0 0

0x( ) y( ) ( )k kjk t jk t

k k

a a H jkt e t ew ww+¥

=-¥

= ® =å å

( 2 )k kb a H jk p=

15/05/2014 13:49

slide 132slide 132

Exemplo 3.16

• Portanto,

0

1 1

2 2

3 3

1,

1 1 1 1

4 1 2 4 1 2

1 1 1 1

2 1 4 2 1 4

1 1 1 1

6 1 6 6 1 6

b

b bj j

b bj j

b bj j

p p

p p

p p

-

-

-

=

æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷+ -è ø è ø

æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷+ -è ø è ø

æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷+ -è ø è ø

15/05/2014 13:49

slide 133slide 133

Exemplo 3.17

• Considere um SLIT com a resposta ao impulso e sinal de entrada dados abaixo. Obter sua resposta.

[ ] [ ] 1 1nh n u na a= - < <

2[ ] cos

nx n

N

pæ ö= ç ÷

è ø

15/05/2014 13:49

slide 134slide 134

Exemplo 3.17

• Solução:

( )0 0

[ ]nj n j n j

n n

H e e ew w wa a¥ ¥

- -

= =

= =å å

{ {1 1

2 21 1

[ ]2 2

j n

a

N N

a

j n

x n e ep p

-

æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷

è ø è ø= +

1[ ]

1j

jH e

ew

wa -=

-

15/05/2014 13:49

slide 135slide 135

Exemplo 3.17

( )2 /1

kk j k N

ab

epa -

=-

( ) ( )2 2x[n] y[n ( 2 / )]

k k

k

j N n j N

k N kk

n

N

a a H je k N ep pp

= =

= ® =å å

( 2 / )k kb a H j k Np=

( ) ( )1 1

1 12 / 2 /1 1

j N j N

a ab b

e ep pa a

--

= =- -

15/05/2014 13:49

slide 136slide 136

Exemplo 3.17

2 2

2 2

1 1[ ]

2 21 1

j n j nN N

j jN N

e ey n

e e

p p

p p

a a

æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷

è ø è ø

æ ö æ ö- ç ÷ ç ÷

è ø è ø

= +

- -

2[ ] cosy n r n

N

pq

æ ö= +ç ÷

è ø

2

1

1

j

jN

re

e

q

p

aæ ö

- ç ÷è ø-

@

15/05/2014 13:50