Teoria das carteiras Risco e Aversão ao Risco Risco e Aversão ao Risco Distribuição do Capital...

Teoria das carteirasTeoria das carteiras

Risco e Aversão ao RiscoRisco e Aversão ao Risco

Distribuição do Capital entre Activos Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Riscocom Risco e Activos sem Risco

Carteiras Óptimas com RiscoCarteiras Óptimas com Risco

O processo de investimento O processo de investimento consiste em duas tarefas:consiste em duas tarefas:

Segurança e análise de Segurança e análise de dados do dados do mercado;mercado;

Formação de uma carteira Formação de uma carteira óptima óptima de activos.de activos.

Risco e aversão ao risco

W1 = € 150

W2 = € 80

p =.6

1-p =.4 W= € 100

Inv. com Risco

T-bills

Prémio de Risco = € 17

E[w]E[w] = pw = pw11+(1-p)w+(1-p)w22 = € 122,000 = € 122,000

σσ 22 = p[w= p[w11-E[w]]-E[w]]22+(1-p)[w+(1-p)[w22-E[w]] -E[w]] 2 2

= € 1,176,000,000= € 1,176,000,000 σσ = € 34,292,86= € 34,292,86

Risco Numa Perspectiva Simples

Lucro

€ 50

- € 20

€ 5

Risco e aversão ao risco

•GenéricamenteGenéricamente

n

E[r] = Pr(s)r(s) s=1

n2 = Pr(s)[r(s)-E[r]]2

s=1

REGRA 1

REGRA 2

Risco e aversão ao risco

Variância ou Desvio Padrão

Reto

rno E

sp

era

do

1

2 3

42 domina 1

2 domina 3

4 domina 3

; tem maior retorno

; tem maior risco

; tem maior retorno

Principio da Dominância

Risco e aversão ao risco

Aversão ao Risco e Utility Value

Curva de indiferença

U = E[rp]-.005A 2

U – Utility valueA - Aversão

E[r]

E[rd]

p

Risco e aversão ao risco

Investir em activos para reduzir o risco da Investir em activos para reduzir o risco da carteira é chamado carteira é chamado hedginghedging..

Consideremos o problema da Consideremos o problema da HumanexHumanex, , uma organização sem lucro em que a maior uma organização sem lucro em que a maior parte do seu rendimento provém do retorno parte do seu rendimento provém do retorno de doações. Anos atrás, os fundadores da de doações. Anos atrás, os fundadores da Best CandyBest Candy deram acções da sua empresa à deram acções da sua empresa à HumanexHumanex com a condição de não as poder com a condição de não as poder vender. Este bloco de acções é agora de 50% vender. Este bloco de acções é agora de 50% do dote da do dote da HumanexHumanex. A . A HumanexHumanex é livre de é livre de escolher onde investir o resto de sua escolher onde investir o resto de sua carteira.carteira.

Risco da carteira

O valor das acções da Best Candy é sensível ao preço do açúcar. À anos atrás quando a Caribbean Sugar faliu, o preço do açúcar aumentou significativamente e a Best Candy perdeu perdas consideráveis. A fortuna da Best Candy é descrita pela seguinte análise:

Ano normal do Ano normal do açúcaraçúcar

Ano Ano AnormalAnormal

do açúcardo açúcar

Tendência Tendência de subida de subida

do do mercadomercado

Tendência Tendência de de

descida descida do do

mercadomercado

Crise do açúcarCrise do açúcar

ProbabilidadeProbabilidade 0.50.5 0.30.3 0.20.2Taxa de Taxa de retornoretorno

25%25% 10%10% -25%-25%

Risco da carteira

HumanexHumanexCom vista a reduzir o risco a Com vista a reduzir o risco a HumanexHumanex investiu a parte investiu a parte

restante do seu dote em restante do seu dote em T-billsT-bills, que garantem uma taxa , que garantem uma taxa de retorno de 5%.de retorno de 5%.

E[rE[rHumanexHumanex] = 0.5E[r] = 0.5E[rBestBest] + 0.5r] + 0.5rbillsbills= (0.5*10.5) + (0.5*5)= (0.5*10.5) + (0.5*5) =7.75%=7.75%

HumanexHumanex= 0.5= 0.5Best Best + 0.5+ 0.5bills bills = 0.5*18.9 + 0.5*0 = = 0.5*18.9 + 0.5*0 = 9.45%9.45%

Risco da carteira

Ano normal do Ano normal do açúcaraçúcar

Ano Anormal do Ano Anormal do açúcaraçúcar

TendênciTendência de a de

subida subida do do

mercadomercado

TendênciTendência de a de

descida descida do do

mercadomercado

Crise do açúcarCrise do açúcar

ProbabilidadeProbabilidade 0.50.5 0.30.3 0.20.2Taxa de Taxa de retornoretorno

1%1% -5%-5% 35%35%

Risco da carteira

E[rSugar Kane] = 6%

Sugar Kane = 14.73%

Sugar KaneSugar Kane

CarteiraCarteira Retorno Retorno EsperadoEsperado

Desvio PadrãoDesvio Padrão

Tudo em Best Tudo em Best CandyCandy

10.50%10.50% 18.90%18.90%

Metade em T-BillsMetade em T-Bills 7.575%7.575% 9.45%9.45%Metade em Sugar Metade em Sugar KaneKane

8.25%8.25% 4.83%4.83%

Os números são expressivos. A Carteira Os números são expressivos. A Carteira Sugar KaneSugar Kane domina a domina a estratégia simples da redução do risco de investir nos estratégia simples da redução do risco de investir nos seguros seguros T-billsT-bills. . Este exemplo demostra que as acções que estão Este exemplo demostra que as acções que estão inversamente inversamente relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco.relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco.

Risco da carteira

SallySally

Cov[rCov[rBestBest,r,rSugarSugar]]

BestBest Sugar Kane

Cov[rCov[rBestBest,r,rsugarsugar]=]= Pr(s)[rPr(s)[rBestBest(s)-E[r(s)-E[rBestBest]] * [rSugar (s)-]] * [rSugar (s)-E[rE[rSugarSugar]]]] ss

(Best,Sugar Kane) (Best,Sugar Kane) ==

Risco da carteira

Quantificação do Quantificação do poder de poder de

diversificaçãodiversificação

DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE ACTIVOS COM E SEM RISCOACTIVOS COM E SEM RISCO

• Investir num activo sem risco é mais seguro

• Investir num activo com risco pode implicar um lucro bem mais generoso

Então, Então,

ONDE INVESTIR ???ONDE INVESTIR ???

TUDO ou NADA ? =>

Distribuir o capital entre os

activos com e sem risco

MAS QUAL SERÁ O PESO DO INVESTIMENTO EM CADA ACTIVO ?

Distribuição de capital entre activos com e sem risco

Movimentação de Movimentação de ValoresValores

Cart

eir

as

Cart

eir

as

Activ

os

Activ

os

25%

75%

40%

55%

55%

60%

45%

45%

Distribuição de capital entre activos com e sem risco

Activos sem riscoActivos sem risco

Obrigações de TesouroObrigações de Tesouro

Certificados do Banco de DepósitosCertificados do Banco de Depósitos

Papel ComercialPapel Comercial

Activos sem risco

FormulárioFormulário

Taxa de retorno da carteira global

rC = yrp + (1 – y)rf

Valor esperado da taxa de retorno da carteira global

E(rC) = rf + y(E(rp) – rf)

Desvio padrão da carteira global

C = yp

Carteiras de um activo com risco e um activo sem risco

Exemplo NuméricoExemplo NuméricoVamos tomar os seguintes valores:

E(rp) = 15 % ; p = 22 % ; rf = 7 %

Temos então que o Risco de Prémio será:

RP = 15 % - 7 % = 8 %

e y = C/22 vindo que o valor esperado procurado

será:

E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) = 7 + (8/22) C

O valor esperado de retorno de uma carteira global, como função do seu desvio padrão, é uma recta cujo declive será:

S = (E(rp) – rf) / p = 8/22

Distribuição de capital entre activos com e sem risco

Gráfico de combinações Gráfico de combinações Retorno Esperado/Desvio Retorno Esperado/Desvio

PadrãoPadrãoE(r)

CAL

rf = 7

P15

220

S1

}Prémio de risco

S2

Distribuição de capital entre activos com e sem risco

Tolerância ao risco e distribuição de Tolerância ao risco e distribuição de activosactivos

Como já vimos:

U = E(r) – 0,005A2

O investidor procura maximizar o nível de utilidade. Temos então que :

Max U = E(rC) – 0,005A2C

y = rf + y(E(rp) – rf) – 0,005A y22

p

Resolvendo este problema de maximização vem que: E(rp) – rf

0,01A2p

y* =

Tolerância ao risco e distribuição do activo

Voltando ao exemplo numérico, consideremos um investidor com um grau de aversão 4, isto é, A = 4. Temos então que:

y* = (15 – 7) / (0,01*4*222) = 0,41

Vindo,

E(rC) = 7 + 0,41*(15 – 7) = 10,28 %

e

C = 0,41*22 = 9,02 %

O prémio de risco seria: PR = 10,28 – 7 = 3,28 %

Tolerância ao risco e distribuição do activo

E(r)

rf = 7

P15

220

A = 2A = 4Certainty Equivalent diferente para dois

investidores diferentes

Tolerância ao risco e distribuição do activo

Solução gráfica para uma decisão de Solução gráfica para uma decisão de carteiracarteira

E(r)

CAL

rf

PE(rf)

0

E(rC)

pC

C

Distribuição de capital entre activos com e sem risco

Estratégias PassivasEstratégias Passivas

Uma estratégia activa não é grátisUma estratégia activa não é grátis

Benefício livreBenefício livre

Estratégias passivas: Recta de mercados de capitais

Carteiras óptimas com Carteiras óptimas com riscorisco

n

n

Risco Único

Risco do Mercado

DiversificaçãoDiversificação

Risco Único Risco de Mercado

Diversificação e risco de uma carteira

Carteira de dois activos com Carteira de dois activos com riscorisco

Retorno esperadoDesvio Padrão

Covariância

Coef. de correlação

Bonds Acções

8% 13%

12% 20%

72

0,30

rp = wdrd + were

E(rp) = wd E(rd) + we

E(re)

Carteiras de dois activos com risco

Proporção na carteirawd

we

Covariâncias

wd wd

2d Cov(rd,re

)Cov(rd,re

)2

e

2p= w2

e2e + w2

d2d +

2wewdCov(re,rd)

NOTA: Cov(re,re) = 2e ; Cov(rd,rd) =

2d

Matriz de covariânciaMatriz de covariânciaCarteiras de dois activos com risco

Cov(rd,re) = cov(re,rd)

= -1

= 0

= 1

( wdd - wee )2

w2e2

e + w2d2

d

( wee + wdd )2

| wee - wdd |

w2e2

e + w2d2

d

wee - wdd

Variância da carteira

Desvio Padrão da carteira

Cov(re,rd) =eded

2p= w2

e2e + w2

d2d + 2wewd

eded

Influência do coeficiente de Influência do coeficiente de correlaçãocorrelação

Carteiras de dois activos com risco

Como escolher as proporções do Como escolher as proporções do activo de forma a criar uma posição activo de forma a criar uma posição

perfeita de perfeita de hedginghedging ? ?

= -1

e

e + d

wd =

d

d + e

we = = 1 - wd

Carteiras de dois activos com risco

Retorno esperado em função Retorno esperado em função das proporções dos das proporções dos

investimentosinvestimentosE[r(carteira

)]

13%

8%

Fundo de Acções

Fundo de bonds

-0,5 0,0 1,0 2,0

1,5 1,0 0,0 -1,0

we

wd

Carteiras de dois activos com risco

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5

Desvio Padrão da carteira

we

wd

=-1 =0 =0,3

=1

Relação desvio padrão e Relação desvio padrão e proporção dos investimentosproporção dos investimentos

Carteiras de dois activos com risco

No nosso casoNo nosso caso

e -Cov(re,rd)

e +

d -2Cov(re,rd)

wMin(D)

=

202 – 72

122 + 202 – 2x72= =

0,82

wMin(E) = 1 - 0,82 =0,18

Min(P) = [0,822x122 + 0,182x202 + 2x0,82x72]½ = 11,45%

Carteiras de dois activos com risco

Carteira óptima com dois Carteira óptima com dois activos com risco e um activos com risco e um

activo sem riscoactivo sem riscoConsidere-se duas carteiras A e B, sendo A a carteira de variância mínima:

Carteira ACarteira A

Acções Bonds

18% 82%

30% 70%

Então temos que: E(rA) = 8,9% A = 11,45%

E(rB) = 9,5% B = 11,7%

Considere-se Treasury-Bills com r = 5%.

Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

Desvio Padrão da carteira

E[r]

13%

8%

=-1

=0

=0,3

=1

Relação Retorno/RiscoRelação Retorno/RiscoDistribuição de activos com acções, bonds e T-bills

Os reward-to-variability ratio das CAL’s considerando, as carteiras A e B, respectivamente, e T-bills são:E(rA) – rf

A

SA = =8,9 - 5

11,43= 0,34

9,5 - 5

11,7= 0,38

SB = SB > SA

Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

A

B

E

E[r]

9.58.9

11.45 11.7

Determinação da CAL tangenteDeterminação da CAL tangente

Resolução do problema: Maximizar Sp

Função objectivo:

E(rp) – rf

p

Sp =

Restrição: wi = 1

No caso de 2 activos com risco, a solução para wd e we é:

[E(rd)-rf]2e – [E(re) – rf]Cov(rd, re)

[E(rd) – rf]2e + [E(re-rf]2

d – [E(rd) – rf + E(re) – rf]Cov(rd, re)wd =

vindo, we = 1 - wd

Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

Construção da carteira Construção da carteira óptima com risco óptima com risco PP

(8-5)x400 – (13-5)x72

(8-5)x400 + (13-5)x144 – (8-5+13-5)x72wp = =0,4 ; we = 0,6

E(r) CAL

Opportunity

D

E (acções)

PE(rp) = 11%

rf = 5%

p = 14.2%

Set

(Bonds)

Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

Como utilizar o nível individual de Como utilizar o nível individual de aversão ao risco ?aversão ao risco ?

Por exemplo, para A = 4, vem que:

(E(rp) – rf)

0,01A2p

y = =11-5

0,01x4x14,22=0,7439

O investidor deverá, então, investir:

74,39% carteira com risco P

25,61% T-Bills

ATENÇÃO: carteira com risco P é constituída por 40% de bonds e 60% de acções, logo

ywd = 0,4x0,7349 = 0,2976

ywe = 0,6x0,7349 = 0,4463

E(r) CAL

Opportunity Set

D

E (acções)

P11%

5%

14.2

C

(Bonds)

Carteira óptima Completa

Curva da indiferença

Carteira Óptima com risco

Determinação gráfica Determinação gráfica da carteira óptima da carteira óptima

completacompleta

Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

Caso GeralCaso Geral

n

iiiP

rEwrE1

Retorno esperado da carteira P:

Desvio Padrão da carteira P:

n

jii

n

jjiji

n

iiiP

rrCovwww1 11

22 ,

- n estimativas de E(ri)

- n estimativas das 2i

- n(n-1) estimativas das covariâncias

2

Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

Fronteira de EficiênciaFronteira de Eficiência

E(r)

E(r1)

E(r2)

E(r3)

A

B

C

Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

Distribuição de capitais Distribuição de capitais e propriedades de e propriedades de

separaçãoseparaçãoIntrodução do activo sem risco

E(r)

CAL(P)

P

F

CAL(B)

CAL(A)

Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

Q

Investidor mais averso ao risco

S

Investidor mais tolerante ao risco

P

E(r)

Fronteira eficiente de activos com risco

Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

Investidores que podem emprestar sem Investidores que podem emprestar sem risco, mas que estão proibidos de pedir risco, mas que estão proibidos de pedir

emprestadoemprestado

P

B

Q

E(r)

A

Frf

CAL

Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

Investidores que podem pedir Investidores que podem pedir emprestadoemprestado

P1

P2

E(r)

rf F

CAL1

CAL2Fronteira eficiente

A

Investidores na defensiva

rBf

Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

P2

E(r)

rBf

CAL2

Fronteira eficiente

B

Investidores mais Investidores mais agressivosagressivos

Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

rf

Investidores Investidores intermédiosintermédios

E(r)

rf

rBf

P2

P1

C

Fronteira eficiente

CAL1

CAL2

Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco