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TeoriaTeoria de de DrudeDrude parapara o o comportamentocomportamento MetMetáálicolico
Drude, Annalen der Physik1, 566 e 3, 369 (1900)
Paul Karl Ludwig Drude, 1863 – 1906
SSóólidoslidos ⇒⇒ RedeRede cristalinacristalina
Traité de cristallographie, 1822
O O queque era era conhecidoconhecido nana éépocapoca
1897 1897 ⇒⇒ JJ Thompson JJ Thompson descobredescobre o o eleléétrontron
1900 1900 ⇒⇒ Planck: Planck: sugeresugere queque a a radiaradiaççãoão ééquantizadaquantizada
EstruturaEstrutura dada matmatéériaria
DepoisDepois de de DrudeDrude ……
1905 1905 ⇒⇒ Einstein: quantum de Einstein: quantum de luzluz se se comportacomportacomocomo partpartíículacula
1913 1913 ⇒⇒ Bohr: Bohr: ModeloModelo de de áátomotomo estestáávelvel
1919 1919 ⇒⇒ Rutherford: Rutherford: primeiraprimeira evidênciaevidência de um de um prpróótonton
EstruturaEstrutura dada matmatéériaria
1924 1924 ⇒⇒ L. De L. De BroglieBroglie: : propriedadespropriedades ondulatondulatóóriasrias dadamatmatéériaria
1925 1925 ⇒⇒ PauliPauli: : princprincíípiopio de de exclusãoexclusão parapara eleléétronstrons ememum um áátomotomo
1926 1926 ⇒⇒ SchrodingerSchrodinger: : desenvolvedesenvolve a a equaequaççãoão de de ondaondaparapara sistemassistemas quânticosquânticos
⇒⇒ Born Born interpretainterpreta probabilisticamenteprobabilisticamente a a funfunççãoãode de ondaonda
1927 1927 ⇒⇒ Heisenberg formula o Heisenberg formula o princprincíípiopio dada incertezaincerteza
DrudeDrude aplicouaplicou teoriateoria cincinééticatica dos gases dos gases paraparaum metal: um metal: ggááss de de eleléétronstrons
ModeloModelo de de DrudeDrude
elétrons de condução (com massa m) que se movem num background de íons imóveis (carga positiva)
ÁTOMO ISOLADO
ZZaa ⇒⇒ nnúúmeromero atômicoatômiconúcleoeZa :
( ) caroçodoelétronsZZe a →−−
valênciadeelétronseZ :−++
carocaroççoo
Metal: NaMetal: NaZZaa =11=11
Z Z =1=1
1s2 2s2 2p6 3s1
MetalMetal
Densidade de elDensidade de eléétrons (n)trons (n)
Densidade de elDensidade de eléétrons:trons:
A
ZNn av ρ××=
Massa atômica A=23gMassa atômica A=23g
NNúúmero de Avogadro mero de Avogadro NNavav=6,02 X 10=6,02 X 102323
Densidade Densidade ρρ=1,01g=1,01g//cmcm33
n=2,65 X10n=2,65 X102222 eleléétronstrons//cmcm33
32322 /1010 cmconduçãodeelétronsa
NaNa
Densidade de elDensidade de eléétrons (n)trons (n)
31923
/107,24,22
1002,6cmmoléculas
l
moléculasn ×=
×=
32322 /1010 cmconduçãodeelétronsa
n(Na) =2,65 X10n(Na) =2,65 X102222 eleléétronstrons//cmcm33
Valores tValores tíípicos (300K, 1 picos (300K, 1 atmatm))
Gases clGases cláássicosssicos
clássicogásnan )1010(~ 43
NNúúmero de mero de portadoresportadores
NNúúmero de portadoresmero de portadores
Gases clGases cláássicosssicos
319
23
/107,2
4,22
1002,6
cmmoléculas
l
moléculasn
×=
×=
Kittel
nr
N
Vs
1
3
4 3 == π
3
1
4
3
=n
rs π
=== −
••
cmme
a 8
2
2
0 10A1A529.0h
rs ⇒⇒ raio da esfera cujo volume é igual ao volume por elétron de condução.
0a
rsNos metaisNos metais 2 a 62 a 6
raio de Bohr
HipHipóótesesteses do do ModeloModelo de de DrudeDrude
(1) Entre duas colisões:
• aproximação de elétrons independentes(despreza a interação coulombiana entre os elétrons)
• Aproximação de elétrons livres(despreza a interação elétron-caroço)
• Na presença de campos externos (E, B),movimento de acordo com as leis de Newton
(2) Colisões:
• apenas com o caroçodiferente da Teoria Cinética dos Gases
• colisões instântaneasmodificam aleatoriamentev
r
“algum” mecanismo de colisão
Cuidado com a figura!
(3) Taxa de colisão:
• probabilidade de colisão por unidade de tempo
τ1
lv =τr
ττττ tempo de relaxação, tempo de colisão, tempo médio
livre (mean free time) ⇒⇒ tempo médio entre colisões sucessivas de um elétron
T ambiente
l livre caminho médio
s1514 1010~ −− −τ
(4) Após cada colisão:
• Vfinal independe de vinicial
• equilíbrio térmico através das colisões
Equipartição clássica da energia
= Tkmv B2
3
2
1 2
ResultadosResultados do do ModeloModelo de de DrudeDrude
(a) Condutividade elétrica DC
(b) Efeito Hall e magnetorresistência
(c) Condutividade elétrica AC
(d) Condutividade térmica
(a) Condutividade elétrica DC
jErr
ρ=elétricocampoE :
r
correntededensidadej :r
adecondutivid:σ
Ejrr
σ=ρ
σ1
=aderesistivid:ρ
Lei de Ohm V=RI
Na ausência de campo elNa ausência de campo eléétrico:trico:
0=Er
tm
Eevv
rrr−= 0
0=vr
Na presenNa presençça de campo ela de campo eléétrico:trico:
0≠Er
m
Eea
rr
−=
τm
Eev
rr
−=
A
Ij =
ELV =
LA
IV ρ=
A
LR ρ=RIV =lei de Ohm
llll
A
I
jErr
ρ= emsubstituindo
temos
Considere n elétrons por unidade de volume com velocidade vr
jr
será paralelo à vr
tempo dt ⇒⇒⇒⇒ elétrons percorrem dL = vdt na direção de vr
n° de elétrons que atravessam a área A em um intervalo
de tempo dt
= nAdL = nAvdt
dL vr
A
vnejrr
−=
vnejrr
−= τm
Eev
rr
−=
mneEj
τσ
ρσσ 2,
1, ===
rr
resistividade ~ linear àtemperatura ambiente
condutividade elétrica
77K 273K 373K
______________________________________________________
Li 1.04 8.55 12.4 1.06
Cu 0.2 1.56 2.24 1.05
Mg 0.62 3.9 5.6 1.05
Fe 0.66 8.9 14.7 1.21
Al 0.3 2.45 3.55 1.06
( )cmΩµρ ( )( ) K
K
T
T
273
373
/
/
ρρ
______________________________________________________ DTT θρ >>~
DTT θρ <<5~
(Bloch law)5T
resistividade elétrica
______________________________________________________
Em
nej
rr τ2=
2ne
m
ρτ = ambT sa 1514 1010~ −−τ
l : livre caminho médio (“mean free path”)
τv=l
τv=l distância média que um elétron caminha entre colisões
Tkmv B2
3
2
1 2 = scmv /10~ 7temperatura ambiente
o
l A101 a≈
compatível com a idéia de Drude : elétrons X íons
KT 080~ τ é uma ordem de grandeza maior que à Tamb
scmv /10~ 8independente da temperatura
+
l l l l pode ser da ordem de ou mais•
A103
com amostras à temperaturas bastante baixas e cuidadosamente preparadas
l ~ cm ( 108 espaçamento entre íons)
forte evidência que a idéia de Drude de elétrons
colidindo em íons está errada!
MAS ... ( veremos nas próximas aulas)
m
Ev F2
~2
EquaEquaççãoão de de movimentomovimento dos dos ““eleléétronstrons de de DrudeDrude””
τNdt
Nc =
dttftpdttp iii )()()(rrr
≈−+)(tfdt
pdi
irr
=
Em um intervalo de tempo dt
)1(τdt
NNNN cn −=−=
Entre colisões
Não vão colidir
Para cada um dos N elétrons
Vão colidir
[ ] [ ])()()()()(1)( 22 dtOdttfdt
dtOdttftpdt
dttp ++++
−=+rrrr
ττ
τ)(
)(tp
tfdt
pdrrr
−=
Desprezando os termos O(dt2)
Não colidiram colidiram
O efeito das colisões é introduzir um amortecimento proporcional ao momento
DeverDever de casa:de casa:
Ashcroft – capítulo 1Problemas 1 e 2
E. F. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879)
iEE xˆ=
rkHH zˆ=
rCampos aplicados
Campo induzido ou campo Hall
0<yE
sinal dos portadores
Hc
ve
rrr×−=F
e < 0
(b) Efeito Hall e magnetorresistência
Em equilíbrio o campo transverso (ou campo de Hall) Eycontrabalançará a força de Lorentz e o fluxo de corrente será na direção x.
( )x
x
j
EH =ρ
Hj
ER
x
y
H =
magnetorresistência
coeficiente de Hall
Cálculo do coeficiente de Hall e magnetorresistência:
×+−= Hc
vEe
rrrrff
τ
p
dt
pd rrr
+−=
Regime estacionário
0τ
p
dt
pd=−
×+−=rrrrr
Hc
vEe
×−= Hc
ve
rrr
dt
pd
cmc
eHH
c
re
c
vHerm ωω
ωω ==⇒==2
Movimento circular uniforme
Frequência de cíclotron
No caso estacionário, as correntes são independentes do tempo:
τω x
ycx
ppeE −−−=0
τω y
xcy
ppeE −+−=0
mc
eHc =ω
com
x por e usando
m
neτ−
ne
mjp αα −=
xycx jjE += τωσ 0
yxcy jjE +−= τωσ 0
com
Frequência de cíclotron
m
ne τσ
2
0 =
vnejrr
−= e
Rearrumando
mc
eHc =ω
com
jErtr
ρ=
ycxx jjE τωρρ 00 +=
yxcy jjE 00 ρτωρ +−=m
ne τσ
2
0 =0
0
1
σρ =
jEc
crr
−=
00
00
ρτωρτωρρ
O campo de Hall é obtido considerando que não existe corrente transversa
0=yj
xxc
y jnec
HjE −=−=
0στω
necRH
1−=
xx Ej 0σ=
( )0
1
σρ =H
Coeficiente Hall
Hr
Hj
ER
x
y
H =
( )x
x
j
EH =ρ
independente de
magnetorresistência
Só depende da densidade de portadores
T baixa, amostra preparada
c/ cuidado
GH 410= RH pode ser positivo!
baixas temperaturas, amostras puras, H alto
RH se aproxima de um valor limite
(para muitos metais: limite Drude)
HR
τdependem da temperatura e das condições da amostra
resultado de Drude para magnetorresistência
( )Hρ não depende de H
0
1
σρ =
m
ne τσ
2
0 =com
experimento mostra que
( )Hρρ = teoria quânticaé necessária
não é paralelo ajr
Er
xx jE =0σ
xcy jE τωσ −=0
τωφ c
x
y
E
Etg ==
Para 1~~,1 <<<< τωφφτω cc tg
jeErr
são quase paralelos quando 1<<τωc
1<<τωc equivale a (período de revolução)T<<τ
elétrons completam uma pequena parte da revolução antes de serem espalhados
φ é o ângulo Hall
EFEITO HALL QUÂNTICO
K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)H. L. Störmer and D. C. Tsui, Science 220, 1241 (1983) B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986)
T ~ 1.5 K; H ~ 15 T; Si - MOSFET
1985 Nobel de Física K. von Klitzing
)15(035963.137
1=α
Ω±= 005.0204.64534 2e
h
)15(035963.137
1=α
Ω±= 005.0204.64534 2e
h
( )x
x
j
EH =ρ
B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986)
Hj
ER
x
y
H =x
y
j
E
x
x
j
E
Continuamos na prContinuamos na próóxima aulaxima aula
corrente induzida em um metal por um campo elétrico dependente do tempo
( ) ( )tieEtE ωω −= )(Rerr
Eeτ
p
dt
pd rrr
−−
=
solução estacionária da forma
( ) ( ) tiet ωω −= pprr
( ) ( ) tiejtjm
nej ωω −=−=rr
rr
;p
(c) Condutividade elétrica AC
substituindo( ) ( ) tiet ωω −= pp
rr
( ) ( ) ( )ωτω
ωω Eeirr
r−
−=−
pp
( )( )
ωτ
ωω
ωi
Em
ne
mnej
−
=
−=1
)(p
2 rr
r
temos
( ) ( ) ( )ωωσω Ejrr
=
Lembrando que
( )ωτ
σωσ
i−=1
0
m
ne τσ
2
0 =
Temos com
( ) ( ) ( )ωωσω Ejrr
=
Resposta defasada
( )ωτ
σωσ
i−=1
0
Temos então
IR iσσσ +=)1( 22
0
τωσ
σ+
=R
)1( 22
0
τωωτσ
σ+
=I
( ) ( )tEitEj IR ωσωσ sencos 00
rrr+=
0→ω0σσ →R
0→Iσ(a)
( ) EtEjrrr
000 cos σωσ ==
(b) ∞→ω RI σσ >>
como
Limite DC
Casos limite
aplicação : propagação de radiação EM em um metal
Hr
termo adicional na força : Hmc
e rr
×− p
fator v/c menor que termo em Er
2/1~ mmAj
campos também variam no espaço
l>>campoλluz visívelo
A10,10~ 43λ
oo
l A10,A10~ 2 T ambiente
( )ωτ
σωσ
i−=1
0O que deixamos de fora para chegar em
(a)
(b)
1010~ −
E
Hr
r
scmv /1.0~<
( )ω,rErr
OK!
OK!
( ) ( ) ( )ωωσω ,, rErjrrrr
= l>>λ
t
E
cj
cH
t
H
cEHE
∂∂
+=×∇∂∂
−=×∇=∇=∇
rrrr
rrrrrrr 14
;1
;0.;0.π
dependencia temporal tie ω−
( ) ( ) =×∇=−∇=∇−∇∇=×∇×∇ Hc
iEEEE
rrrrrrrrrr ω22.
−= Ec
iE
cc
i rr ωσ
πω 4
Ei
cE
rr
+=∇−ωσπω 4
12
22
( ) 02
22 =+∇ E
cE
rrωε
ω
ρρρρ =0, por enquanto
com ( ) ( )ωωσπ
ωεi4
1+= função dielétrica
( )m
ne
i
τσ
ωτσ
ωσ2
00 ,
1=
−=
Limite de altas frequências
1>>ωτ ( )2
2
1ω
ωωε p−=
m
nep
22 4π
ω =
Frequência de plasma
com
Limite de altas freqûencias
pωω ~Válido para
Quando εεεε é real e negativo as soluções da equação de onda sofrem decaimento exponencial no espaço, ie, a radiação não se propaga.
pωω <
pωω >
Quando εεεε é positivo, as soluções são oscilatórias, a radiação se propaga e o metal se torna transparente.
Duas possibilidades
(a) região de atenuação
(b) região de propagação
( ) 02
22 =+∇ E
cE
rrωε
ω( )
2
2
1ω
ωωε p−=
Os metais alcalinos mostram o
comportamento previsto pela
teoria de Drude.
o
Α×
=== 3
2/3
0
1026.02
a
rcc s
pp
p ωπ
νλ
Em outros metais, outras contribuições para a constante dielétrica
competem com o termo de Drude.
equação da continuidade
0. =∂
∂+∇
tj
ρrr
πρ4. =∇ Err
Lei de Gauss
( ) ( )ωωρω ij =∇rr.
( ) ( )ωπρω 4. =∇ Err
( ) ( ) ( )ωωσω Ejrr
= ( ) ( ) ( )ωπρωσω 4. =∇ jrr
( ) ( ) ( )ωρωπσωωρ 4=i
Solução :( )
04
1 =+ω
ωσπ i ( ) 0=ωε
Propagação de oscilações na densidade de carga (PLASMON)
1>>ωτ pωω = (freq. plasmon)
aplicação: oscilações da densidade de carga no gás de elétrons
Lembrando que temos
PLASMON: quantum das flutuações longitudinais da densidade eletrônica de carga dos elétrons de valência ou condução num sólido.
Ashcroft e Mermin (1976)
Kittel (1976)
Gás de elétrons em
background de carga
positiva
d = u
eunE ππσ 44 ==r
unNeNeEdt
udNm 2
2
2
4π−=−=
04 2
2
2
=+ um
ne
dt
ud π02
2
2
=+ udt
udPω
mneP /4 22 πω = freq. do
plasmon( )2
2
1ω
ωωε
p
D −=
( )p
p
pi
ωωδω
ωδ
αωωε
−
−
+−
−~1~
1
1Im~
1Im
2
2
2
2
pω ω
−ε1
Im
• elétrons passando através de um filme metálico(ou semicondutor)
• reflexão de elétrons ou fótons por um filme
EXCITAÇÃO DO PLASMON
ObservaObservaçção experimental de ão experimental de plasmonsplasmons
DeverDever de casa:de casa:
Ashcroft – capítulo 1Problemas 5:Surface plasmons
Lei de Wiedemann-Franz (1853) ; empírica
k → condutividade térmica → condutividade elétricaσ
== tecT
k
σ n° de Lorenz
(d) Condutividade térmica
Modelo de Drude:
21 TT >
:qjr densidade térmica de corrente (vetor paralelo ao fluxo de
calor, igual à energia térmica por unidade de área por unidade de tempo)
Tkjq ∇−=rr
Lei de Fourier
qjr
1T 2TT∇
r
Corrente térmica carregada pelos elétrons de condução
Modelo unidimensional
1T
2T
elétrons chegando em x pelo ladocom temperatura T1 tiveram última colisãoem τvx −
energia térmica ( )[ ]τε vxT −
x
T∇r
2T
( )[ ] ( )[ ] τετε vxTvxTnv
jq +−−=2
ττε
vvdx
dT
dT
dnvjq −−=
2
dx
dT
dT
dnvjq
ετ2−=
Densidade térmica de corrente
T varia pouco em l l l l = vττττ
n/2 elétrons por unidade de volume vindos de cada lado Velocidade v
dx
dT
dT
dnvjq
ετ2−=
2222
3
1vvvv zyx ===
VcdT
dE
VdT
d
V
N
dT
dn ===
1εε
∇−=
→→
Tcvj Vq τ23
1
Vcvk τ23
1=
Em 3D
Tkjq ∇−=rr
Lei de Fourier
No modelo de Drude :Vcvk τ2
3
1=
2
2
2
2
3
1
3
1
ne
mvc
m
ne
cvk VV
==τ
τ
σ
BV nkc2
3=
Tkmv
B2
3
2
2
=
teoria cinética clássica
Te
kk B
2
2
3
=σ
Lei de Wiedemann-Franz
28 /1011.1 KΩ× − ω metade do valor experimental típico para metais
14243142431424314243
( ) ( )DrudeVrealVambiente ccT
100
1~:
Druderealvv 22 100~
( )FBV EgTkc 22
3
π=
3TTcV βγ +=
(elétrons)
elétrons
FE
n
2
3
fonons
CAMPO TERMOELÉTRICO (EFEITO SEEBECK)
→
E
( ) ( ) dx
dvvvxvvxvvQ τττ −=+−−=
2
1
−=
2
2v
dx
dτ
21 TT >
Er
T∇r
qjr
1T 2T
Tkmv
B2
3
2
2
=
Não é só a energia térmica que édiferente em regioões com diferentes T: a velocidade também deve ser diferente
Acumulo de carga
−=
2
2v
dx
dvQ τ
22
3
1vvx =
TdT
dvvQ ∇−=
rr 2
6
τ τm
EevE
rr
−=
0=+ QE vvrr
TQE ∇=rr
ne
cmv
dT
d
eQ v
323
1 2
−=
−=
BV nkc2
3=
volt/K1043.02
4−×−=−=e
kQ B
expt ~ 100 vezes menor!
DrudeVrealV cc
100
1~
Em 3D
Em equilíbrio
Q <0 ⇒⇒⇒⇒ thermopower
DeverDever de casa:de casa:
Ashcroft – capítulo 1
Problemas 1, 2 e 5
LER TODO!!
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