TeoriaTeoria de de DrudeDrude parapara o o comportamentocomportamento MetMetáálicolico

Drude, Annalen der Physik1, 566 e 3, 369 (1900)

Paul Karl Ludwig Drude, 1863 – 1906

SSóólidoslidos ⇒⇒ RedeRede cristalinacristalina

Traité de cristallographie, 1822

O O queque era era conhecidoconhecido nana éépocapoca

1897 1897 ⇒⇒ JJ Thompson JJ Thompson descobredescobre o o eleléétrontron

1900 1900 ⇒⇒ Planck: Planck: sugeresugere queque a a radiaradiaççãoão ééquantizadaquantizada

EstruturaEstrutura dada matmatéériaria

DepoisDepois de de DrudeDrude ……

1905 1905 ⇒⇒ Einstein: quantum de Einstein: quantum de luzluz se se comportacomportacomocomo partpartíículacula

1913 1913 ⇒⇒ Bohr: Bohr: ModeloModelo de de áátomotomo estestáávelvel

1919 1919 ⇒⇒ Rutherford: Rutherford: primeiraprimeira evidênciaevidência de um de um prpróótonton

EstruturaEstrutura dada matmatéériaria

1924 1924 ⇒⇒ L. De L. De BroglieBroglie: : propriedadespropriedades ondulatondulatóóriasrias dadamatmatéériaria

1925 1925 ⇒⇒ PauliPauli: : princprincíípiopio de de exclusãoexclusão parapara eleléétronstrons ememum um áátomotomo

1926 1926 ⇒⇒ SchrodingerSchrodinger: : desenvolvedesenvolve a a equaequaççãoão de de ondaondaparapara sistemassistemas quânticosquânticos

⇒⇒ Born Born interpretainterpreta probabilisticamenteprobabilisticamente a a funfunççãoãode de ondaonda

1927 1927 ⇒⇒ Heisenberg formula o Heisenberg formula o princprincíípiopio dada incertezaincerteza

DrudeDrude aplicouaplicou teoriateoria cincinééticatica dos gases dos gases paraparaum metal: um metal: ggááss de de eleléétronstrons

ModeloModelo de de DrudeDrude

elétrons de condução (com massa m) que se movem num background de íons imóveis (carga positiva)

ÁTOMO ISOLADO

ZZaa ⇒⇒ nnúúmeromero atômicoatômiconúcleoeZa :

( ) caroçodoelétronsZZe a →−−

valênciadeelétronseZ :−++

carocaroççoo

Metal: NaMetal: NaZZaa =11=11

Z Z =1=1

1s2 2s2 2p6 3s1

MetalMetal

Densidade de elDensidade de eléétrons (n)trons (n)

Densidade de elDensidade de eléétrons:trons:

A

ZNn av ρ××=

Massa atômica A=23gMassa atômica A=23g

NNúúmero de Avogadro mero de Avogadro NNavav=6,02 X 10=6,02 X 102323

Densidade Densidade ρρ=1,01g=1,01g//cmcm33

n=2,65 X10n=2,65 X102222 eleléétronstrons//cmcm33

32322 /1010 cmconduçãodeelétronsa

NaNa

Densidade de elDensidade de eléétrons (n)trons (n)

31923

/107,24,22

1002,6cmmoléculas

l

moléculasn ×=

×=

32322 /1010 cmconduçãodeelétronsa

n(Na) =2,65 X10n(Na) =2,65 X102222 eleléétronstrons//cmcm33

Valores tValores tíípicos (300K, 1 picos (300K, 1 atmatm))

Gases clGases cláássicosssicos

clássicogásnan )1010(~ 43

NNúúmero de mero de portadoresportadores

NNúúmero de portadoresmero de portadores

Gases clGases cláássicosssicos

319

23

/107,2

4,22

1002,6

cmmoléculas

l

moléculasn

×=

×=

Kittel

nr

N

Vs

1

3

4 3 == π

3

1

4

3

=n

rs π

=== −

••

cmme

a 8

2

2

0 10A1A529.0h

rs ⇒⇒ raio da esfera cujo volume é igual ao volume por elétron de condução.

0a

rsNos metaisNos metais 2 a 62 a 6

raio de Bohr

HipHipóótesesteses do do ModeloModelo de de DrudeDrude

(1) Entre duas colisões:

• aproximação de elétrons independentes(despreza a interação coulombiana entre os elétrons)

• Aproximação de elétrons livres(despreza a interação elétron-caroço)

• Na presença de campos externos (E, B),movimento de acordo com as leis de Newton

(2) Colisões:

• apenas com o caroçodiferente da Teoria Cinética dos Gases

• colisões instântaneasmodificam aleatoriamentev

r

“algum” mecanismo de colisão

Cuidado com a figura!

(3) Taxa de colisão:

• probabilidade de colisão por unidade de tempo

τ1

lv =τr

ττττ tempo de relaxação, tempo de colisão, tempo médio

livre (mean free time) ⇒⇒ tempo médio entre colisões sucessivas de um elétron

T ambiente

l livre caminho médio

s1514 1010~ −− −τ

(4) Após cada colisão:

• Vfinal independe de vinicial

• equilíbrio térmico através das colisões

Equipartição clássica da energia

= Tkmv B2

3

2

1 2

ResultadosResultados do do ModeloModelo de de DrudeDrude

(a) Condutividade elétrica DC

(b) Efeito Hall e magnetorresistência

(c) Condutividade elétrica AC

(d) Condutividade térmica

(a) Condutividade elétrica DC

jErr

ρ=elétricocampoE :

r

correntededensidadej :r

adecondutivid:σ

Ejrr

σ=ρ

σ1

=aderesistivid:ρ

Lei de Ohm V=RI

Na ausência de campo elNa ausência de campo eléétrico:trico:

0=Er

tm

Eevv

rrr−= 0

0=vr

Na presenNa presençça de campo ela de campo eléétrico:trico:

0≠Er

m

Eea

rr

−=

τm

Eev

rr

−=

A

Ij =

ELV =

LA

IV ρ=

A

LR ρ=RIV =lei de Ohm

llll

A

I

jErr

ρ= emsubstituindo

temos

Considere n elétrons por unidade de volume com velocidade vr

jr

será paralelo à vr

tempo dt ⇒⇒⇒⇒ elétrons percorrem dL = vdt na direção de vr

n° de elétrons que atravessam a área A em um intervalo

de tempo dt

= nAdL = nAvdt

dL vr

A

vnejrr

−=

vnejrr

−= τm

Eev

rr

−=

mneEj

τσ

ρσσ 2,

1, ===

rr

resistividade ~ linear àtemperatura ambiente

condutividade elétrica

77K 273K 373K

______________________________________________________

Li 1.04 8.55 12.4 1.06

Cu 0.2 1.56 2.24 1.05

Mg 0.62 3.9 5.6 1.05

Fe 0.66 8.9 14.7 1.21

Al 0.3 2.45 3.55 1.06

( )cmΩµρ ( )( ) K

K

T

T

273

373

/

/

ρρ

______________________________________________________ DTT θρ >>~

DTT θρ <<5~

(Bloch law)5T

resistividade elétrica

______________________________________________________

Em

nej

rr τ2=

2ne

m

ρτ = ambT sa 1514 1010~ −−τ

l : livre caminho médio (“mean free path”)

τv=l

τv=l distância média que um elétron caminha entre colisões

Tkmv B2

3

2

1 2 = scmv /10~ 7temperatura ambiente

o

l A101 a≈

compatível com a idéia de Drude : elétrons X íons

KT 080~ τ é uma ordem de grandeza maior que à Tamb

scmv /10~ 8independente da temperatura

+

l l l l pode ser da ordem de ou mais•

A103

com amostras à temperaturas bastante baixas e cuidadosamente preparadas

l ~ cm ( 108 espaçamento entre íons)

forte evidência que a idéia de Drude de elétrons

colidindo em íons está errada!

MAS ... ( veremos nas próximas aulas)

m

Ev F2

~2

EquaEquaççãoão de de movimentomovimento dos dos ““eleléétronstrons de de DrudeDrude””

τNdt

Nc =

dttftpdttp iii )()()(rrr

≈−+)(tfdt

pdi

irr

=

Em um intervalo de tempo dt

)1(τdt

NNNN cn −=−=

Entre colisões

Não vão colidir

Para cada um dos N elétrons

Vão colidir

[ ] [ ])()()()()(1)( 22 dtOdttfdt

dtOdttftpdt

dttp ++++

−=+rrrr

ττ

τ)(

)(tp

tfdt

pdrrr

−=

Desprezando os termos O(dt2)

Não colidiram colidiram

O efeito das colisões é introduzir um amortecimento proporcional ao momento

DeverDever de casa:de casa:

Ashcroft – capítulo 1Problemas 1 e 2

E. F. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879)

iEE xˆ=

rkHH zˆ=

rCampos aplicados

Campo induzido ou campo Hall

0<yE

sinal dos portadores

Hc

ve

rrr×−=F

e < 0

(b) Efeito Hall e magnetorresistência

Em equilíbrio o campo transverso (ou campo de Hall) Eycontrabalançará a força de Lorentz e o fluxo de corrente será na direção x.

( )x

x

j

EH =ρ

Hj

ER

x

y

H =

magnetorresistência

coeficiente de Hall

Cálculo do coeficiente de Hall e magnetorresistência:

×+−= Hc

vEe

rrrrff

τ

p

dt

pd rrr

+−=

Regime estacionário

0τ

p

dt

pd=−

×+−=rrrrr

Hc

vEe

×−= Hc

ve

rrr

dt

pd

cmc

eHH

c

re

c

vHerm ωω

ωω ==⇒==2

Movimento circular uniforme

Frequência de cíclotron

No caso estacionário, as correntes são independentes do tempo:

τω x

ycx

ppeE −−−=0

τω y

xcy

ppeE −+−=0

mc

eHc =ω

com

x por e usando

m

neτ−

ne

mjp αα −=

xycx jjE += τωσ 0

yxcy jjE +−= τωσ 0

com

Frequência de cíclotron

m

ne τσ

2

0 =

vnejrr

−= e

Rearrumando

mc

eHc =ω

com

jErtr

ρ=

ycxx jjE τωρρ 00 +=

yxcy jjE 00 ρτωρ +−=m

ne τσ

2

0 =0

0

1

σρ =

jEc

crr

−=

00

00

ρτωρτωρρ

O campo de Hall é obtido considerando que não existe corrente transversa

0=yj

xxc

y jnec

HjE −=−=

0στω

necRH

1−=

xx Ej 0σ=

( )0

1

σρ =H

Coeficiente Hall

Hr

Hj

ER

x

y

H =

( )x

x

j

EH =ρ

independente de

magnetorresistência

Só depende da densidade de portadores

T baixa, amostra preparada

c/ cuidado

GH 410= RH pode ser positivo!

baixas temperaturas, amostras puras, H alto

RH se aproxima de um valor limite

(para muitos metais: limite Drude)

HR

τdependem da temperatura e das condições da amostra

resultado de Drude para magnetorresistência

( )Hρ não depende de H

0

1

σρ =

m

ne τσ

2

0 =com

experimento mostra que

( )Hρρ = teoria quânticaé necessária

não é paralelo ajr

Er

xx jE =0σ

xcy jE τωσ −=0

τωφ c

x

y

E

Etg ==

Para 1~~,1 <<<< τωφφτω cc tg

jeErr

são quase paralelos quando 1<<τωc

1<<τωc equivale a (período de revolução)T<<τ

elétrons completam uma pequena parte da revolução antes de serem espalhados

φ é o ângulo Hall

EFEITO HALL QUÂNTICO

K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)H. L. Störmer and D. C. Tsui, Science 220, 1241 (1983) B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986)

T ~ 1.5 K; H ~ 15 T; Si - MOSFET

1985 Nobel de Física K. von Klitzing

)15(035963.137

1=α

Ω±= 005.0204.64534 2e

h

)15(035963.137

1=α

Ω±= 005.0204.64534 2e

h

( )x

x

j

EH =ρ

B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986)

Hj

ER

x

y

H =x

y

j

E

x

x

j

E

Continuamos na prContinuamos na próóxima aulaxima aula

corrente induzida em um metal por um campo elétrico dependente do tempo

( ) ( )tieEtE ωω −= )(Rerr

Eeτ

p

dt

pd rrr

−−

=

solução estacionária da forma

( ) ( ) tiet ωω −= pprr

( ) ( ) tiejtjm

nej ωω −=−=rr

rr

;p

(c) Condutividade elétrica AC

substituindo( ) ( ) tiet ωω −= pp

rr

( ) ( ) ( )ωτω

ωω Eeirr

r−

−=−

pp

( )( )

ωτ

ωω

ωi

Em

ne

mnej

−

=

−=1

)(p

2 rr

r

temos

( ) ( ) ( )ωωσω Ejrr

=

Lembrando que

( )ωτ

σωσ

i−=1

0

m

ne τσ

2

0 =

Temos com

( ) ( ) ( )ωωσω Ejrr

=

Resposta defasada

( )ωτ

σωσ

i−=1

0

Temos então

IR iσσσ +=)1( 22

0

τωσ

σ+

=R

)1( 22

0

τωωτσ

σ+

=I

( ) ( )tEitEj IR ωσωσ sencos 00

rrr+=

0→ω0σσ →R

0→Iσ(a)

( ) EtEjrrr

000 cos σωσ ==

(b) ∞→ω RI σσ >>

como

Limite DC

Casos limite

aplicação : propagação de radiação EM em um metal

Hr

termo adicional na força : Hmc

e rr

×− p

fator v/c menor que termo em Er

2/1~ mmAj

campos também variam no espaço

l>>campoλluz visívelo

A10,10~ 43λ

oo

l A10,A10~ 2 T ambiente

( )ωτ

σωσ

i−=1

0O que deixamos de fora para chegar em

(a)

(b)

1010~ −

E

Hr

r

scmv /1.0~<

( )ω,rErr

OK!

OK!

( ) ( ) ( )ωωσω ,, rErjrrrr

= l>>λ

t

E

cj

cH

t

H

cEHE

∂∂

+=×∇∂∂

−=×∇=∇=∇

rrrr

rrrrrrr 14

;1

;0.;0.π

dependencia temporal tie ω−

( ) ( ) =×∇=−∇=∇−∇∇=×∇×∇ Hc

iEEEE

rrrrrrrrrr ω22.

−= Ec

iE

cc

i rr ωσ

πω 4

Ei

cE

rr

+=∇−ωσπω 4

12

22

( ) 02

22 =+∇ E

cE

rrωε

ω

ρρρρ =0, por enquanto

com ( ) ( )ωωσπ

ωεi4

1+= função dielétrica

( )m

ne

i

τσ

ωτσ

ωσ2

00 ,

1=

−=

Limite de altas frequências

1>>ωτ ( )2

2

1ω

ωωε p−=

m

nep

22 4π

ω =

Frequência de plasma

com

Limite de altas freqûencias

pωω ~Válido para

Quando εεεε é real e negativo as soluções da equação de onda sofrem decaimento exponencial no espaço, ie, a radiação não se propaga.

pωω <

pωω >

Quando εεεε é positivo, as soluções são oscilatórias, a radiação se propaga e o metal se torna transparente.

Duas possibilidades

(a) região de atenuação

(b) região de propagação

( ) 02

22 =+∇ E

cE

rrωε

ω( )

2

2

1ω

ωωε p−=

Os metais alcalinos mostram o

comportamento previsto pela

teoria de Drude.

o

Α×

=== 3

2/3

0

1026.02

a

rcc s

pp

p ωπ

νλ

Em outros metais, outras contribuições para a constante dielétrica

competem com o termo de Drude.

equação da continuidade

0. =∂

∂+∇

tj

ρrr

πρ4. =∇ Err

Lei de Gauss

( ) ( )ωωρω ij =∇rr.

( ) ( )ωπρω 4. =∇ Err

( ) ( ) ( )ωωσω Ejrr

= ( ) ( ) ( )ωπρωσω 4. =∇ jrr

( ) ( ) ( )ωρωπσωωρ 4=i

Solução :( )

04

1 =+ω

ωσπ i ( ) 0=ωε

Propagação de oscilações na densidade de carga (PLASMON)

1>>ωτ pωω = (freq. plasmon)

aplicação: oscilações da densidade de carga no gás de elétrons

Lembrando que temos

PLASMON: quantum das flutuações longitudinais da densidade eletrônica de carga dos elétrons de valência ou condução num sólido.

Ashcroft e Mermin (1976)

Kittel (1976)

Gás de elétrons em

background de carga

positiva

d = u

eunE ππσ 44 ==r

unNeNeEdt

udNm 2

2

2

4π−=−=

04 2

2

2

=+ um

ne

dt

ud π02

2

2

=+ udt

udPω

mneP /4 22 πω = freq. do

plasmon( )2

2

1ω

ωωε

p

D −=

( )p

p

pi

ωωδω

ωδ

αωωε

−

−

+−

−~1~

1

1Im~

1Im

2

2

2

2

pω ω

−ε1

Im

• elétrons passando através de um filme metálico(ou semicondutor)

• reflexão de elétrons ou fótons por um filme

EXCITAÇÃO DO PLASMON

ObservaObservaçção experimental de ão experimental de plasmonsplasmons

DeverDever de casa:de casa:

Ashcroft – capítulo 1Problemas 5:Surface plasmons

Lei de Wiedemann-Franz (1853) ; empírica

k → condutividade térmica → condutividade elétricaσ

== tecT

k

σ n° de Lorenz

(d) Condutividade térmica

Modelo de Drude:

21 TT >

:qjr densidade térmica de corrente (vetor paralelo ao fluxo de

calor, igual à energia térmica por unidade de área por unidade de tempo)

Tkjq ∇−=rr

Lei de Fourier

qjr

1T 2TT∇

r

Corrente térmica carregada pelos elétrons de condução

Modelo unidimensional

1T

2T

elétrons chegando em x pelo ladocom temperatura T1 tiveram última colisãoem τvx −

energia térmica ( )[ ]τε vxT −

x

T∇r

2T

( )[ ] ( )[ ] τετε vxTvxTnv

jq +−−=2

ττε

vvdx

dT

dT

dnvjq −−=

2

dx

dT

dT

dnvjq

ετ2−=

Densidade térmica de corrente

T varia pouco em l l l l = vττττ

n/2 elétrons por unidade de volume vindos de cada lado Velocidade v

dx

dT

dT

dnvjq

ετ2−=

2222

3

1vvvv zyx ===

VcdT

dE

VdT

d

V

N

dT

dn ===

1εε

∇−=

→→

Tcvj Vq τ23

1

Vcvk τ23

1=

Em 3D

Tkjq ∇−=rr

Lei de Fourier

No modelo de Drude :Vcvk τ2

3

1=

2

2

2

2

3

1

3

1

ne

mvc

m

ne

cvk VV

==τ

τ

σ

BV nkc2

3=

Tkmv

B2

3

2

2

=

teoria cinética clássica

Te

kk B

2

2

3

=σ

Lei de Wiedemann-Franz

28 /1011.1 KΩ× − ω metade do valor experimental típico para metais

14243142431424314243

( ) ( )DrudeVrealVambiente ccT

100

1~:

Druderealvv 22 100~

( )FBV EgTkc 22

3

π=

3TTcV βγ +=

(elétrons)

elétrons

FE

n

2

3

fonons

CAMPO TERMOELÉTRICO (EFEITO SEEBECK)

→

E

( ) ( ) dx

dvvvxvvxvvQ τττ −=+−−=

2

1

−=

2

2v

dx

dτ

21 TT >

Er

T∇r

qjr

1T 2T

Tkmv

B2

3

2

2

=

Não é só a energia térmica que édiferente em regioões com diferentes T: a velocidade também deve ser diferente

Acumulo de carga

−=

2

2v

dx

dvQ τ

22

3

1vvx =

TdT

dvvQ ∇−=

rr 2

6

τ τm

EevE

rr

−=

0=+ QE vvrr

TQE ∇=rr

ne

cmv

dT

d

eQ v

323

1 2

−=

−=

BV nkc2

3=

volt/K1043.02

4−×−=−=e

kQ B

expt ~ 100 vezes menor!

DrudeVrealV cc

100

1~

Em 3D

Em equilíbrio

Q <0 ⇒⇒⇒⇒ thermopower

DeverDever de casa:de casa:

Ashcroft – capítulo 1

Problemas 1, 2 e 5

LER TODO!!