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Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar
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Termodinmica Exerccios resolvidos
1. Gases perfeitos Cp e Cv
a) Mostre que a relao entre o calor especfico molar a presso constante Cp e a
volume constante Cv dada por kCvCp += , e determine a constante k. b) A energia interna de um dado sistema apenas funo da sua temperatura absoluta,
como se viu ( ) nCvdTTdU = . No caso dele ser constitudo por molculas monoatmicas ( ) TNKTU B2
3= , N o n de molculas e KB a constante de Boltzmann. Determine Cv e Cp para um gs monoatmico.
c) Porque que CvCp > ?
Resoluo:
a) Pela definio das variveis Cp e Cv temos
=
=
V
P
dTQ
nCv
dTQ
nCp
1
1
Por outro lado a 1 lei da termodinmica diz que WdUQ += , sendo dU o diferencial de energia interna.
Reescrevendo a equao PdVnCvdTQ += Tanto Cp como Cv relacionam-se pela temperatura, pelo que temos de substituir o termo
PdV atravs da equao dos gases perfeitos, nRTPV = . Diferenciando ficar nRdTVdPPdV =+ , pois n e R so constantes. Como s nos interessa o caso em que a
presso constante 0=VdP e ficar ento nRdTPdV = .
Substituindo em cima ( )dTRCvnnRdTnCvdTQ +=+= , que o calor fornecido numa transformao a presso constante. Analogamente isto poderia ser escrito da forma
nCpdTQ = .
Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar
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Ento ( ) RCvCpdTRCvnnCpdT +=+= k=R, a constante dos gases perfeitos R 11314,8 KJmol
b) A energia interna de um dado sistema apenas funo da sua temperatura absoluta,
como se viu ( ) nCvdTTdU = . No caso dele ser constitudo por molculas monoatmicas ( ) TNKTU B2
3= , N o n de molculas e KB a constante de Boltzmann. Determine Cv e Cp para um gs monoatmico.
1147,12314,823
23
23
23
23 ====== KJmolRCvnR
NRNnCvdTNKnCvdT
AB
1179,20314,825
25
23 ===+=+= KJmolRRRRCvCp
c) Sendo C a quantidade de energia (calor) fornecida a uma mol de gs para que a sua
temperatura aumente 1K, se a transformao se der a volume constante toda a energia
disponibilizada se converte em energia interna (que faz aumentar a temperatura do gs
pois U(T) ), ao passo que se a transformao se der a presso constante, uma parte do
calor perdido para fazer expandir o gs. Assim, para o mesmo aumento de temperatura,
preciso fornecer mais energia quando a presso constante, logo Cp>Cv.
Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar
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2. Gases perfeitos transformaes isobricas (presso constante)
a) A temperatura de um gs perfeito duplica durante uma transformao isobrica.
Sendo 320cmVi = determine o seu volume no final da expanso. Qual foi o trabalho realizado se atmP 100= ?
b) Uma amostra de 10g de ar, que se pode considerar um gs perfeito diatmico encontra-se temperatura ambiente de 20C. O gs comprimido a presso
constante at o seu volume diminuir 5%. Obter a temperatura final do sistema, o
calor transferido e o trabalho realizado. 111005 = KgJKCp
Resoluo:
a) nRTPV = Como P constante podemos escrever:
==== 3402
20 cmVT
VTT
VTV
fi
f
if
f
i
i 35104 mx
( ) JxxxxVPW VfVi 20010210410100 555 ===
b) cteTV =
( ) KTTT
VVTV
TV
TV
iff
ii
i
i
f
f
i
i 2782027395,095,005,0 =+====
( ) JTmCpQ 151293278100501,0 ===
TCpQnTnCpQ
==
JCp
RCpQ
CvCp
QQWWTCvTCp
QWTnCvQWUQ
12,01005
314,810051151 =
=
=
==+=+=+=
Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar
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3. Gases perfeitos transformaes isotrmicas (temperatura constante)
a) Calcular o trabalho realizado durante um processo isotrmico de um gs perfeito. b) Considere a compresso isotrmica de 0,10 mol de um gs perfeito a 0C. A presso
inicial de 1 atm e o volume final 51 do inicial. Determine o trabalho realizado e o
calor transferido.
c) Um gs ideal ocupa um volume de 30,8 m a uma presso de 4 atm e a uma
temperatura de 300K. Expande-se o gs at presso final de 1 atm. Calcular o
volume e temperatura finais, o trabalho realizado, o calor absorvido e a variao de
energia interna para uma expanso isotrmica.
Resoluo:
a) Pela definio de trabalho de um gs perfeito = fi
V
VVfViPdVW e, da equao de
estado nRTPV = temos V
nRTP 1= . Substituindo no integral acima:
=
==
f
iVf
Vii
fVfVi V
VnRTVV
nRTdVV
nRTW lnln1
b) Usando a expresso obtida anteriormente JW 3,3655ln273314,810,0 == 3,365== TnCvWUQ A temperatura constante logo JQ 3,365= .
c) ctePV = 3321
0,84 mVVPVP fffii ===
KTT if 300== molxnnRTVP ii 1283300314,80,8104 5 =
==
JxVVnRTW
f
iVfVi
6104,432
0,8ln300314,81283ln =
=
=
JxWQ 6104,4== 0=U
Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar
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4. Transformaes adiabticas (sem trocas de calor)
a) 5 mol de non gasoso a 2 atm e a 27C so comprimidas adiabaticamente para um tero do volume inicial. Determine a presso final e o trabalho realizado sobre o gs.
35==
CvCp
b) Um gs ideal expande-se adiabaticamente at um volume triplo do seu volume original. Ao faz-lo, o gs realiza um trabalho de 720J. Quanto calor sai do gs?
Qual a alterao da energia interna do gs? A temperatura aumenta ou diminui?
Resoluo:
a) ctePV = uma relao vlida para qualquer processo adiabtico.
( ) PaxxVVPVVPPVPVP ffifiifffii 6355 103,131023 ===== ( ) 3
5 06,010227327314,85 m
xVi =+= 183906,0102 3
55 == xk
302,0306,0
3m
VV if ===
Jx
VVkdVkVPdVW fi
Vf
Vi
Vf
ViVfVi
4
1351
35
11
109,11
35
02,006,01839
1
=
+=
=
+===
++
++
b) No sai calor nenhum do gs, j que essa a definio de processo adiabtico (sem
trocas de calor). JUUW 720== A energia interna do gs diminui 720J. A temperatura diminui pois TnCvU = .
Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar
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5. Nave espacial
Uma nave espacial atravessa a cintura de asterides. Tem uma massa de ar interior m0
ocupando um volume V temperatura T. A certa altura um asteride colide com a nave,
fazendo um buraco de rea A no casco. O ar comea a sair da nave.
Sabendo que os tripulantes s podero sobreviver enquanto houver pelo menos metade
da massa de ar inicial, quanto tempo tero eles para repararem a nave?
Resoluo:
Comeando pela equao de estado RTMVmPRT
MmnRTPV === onde M a
massa molecular mdia do ar.
Por outro lado podemos aplicar a equao de Bernoulli entre um ponto no interior da
nave e o ponto exterior a esta por onde o ar est a sair, sendo a a presso nula.
MRT
MVmmRTVPvvP 222
21 2 ====
Atravs de anlise dimensional podemos escrever a taxa de perda de massa de ar por
unidade de tempo como,
mMRTA
VmAv
dtdm === 2 ,
MRT
VA 2= que facilmente se verifica pelas suas
dimenses. Para resolver esta equao diferencial de 1ordem consideremos que a
soluo genrica do tipo ( ) tetm = , sendo uma constante arbitrria a ser determinada pelas condies iniciais. Substituindo na equao ficar
( ) === tttt eeeedtd
( ) tetm = ( ) 000 mmm == Vem finalmente ( ) temtm = 0 , M
RTVA 2=
E, quando a massa de ar se reduz a metade,
2ln2
2ln121ln
2 %50%5000
MRTA
Vtttemm t ==
==
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