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Termodinmica Exerccios resolvidos Quasar

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Termodinmica Exerccios resolvidos

1. Gases perfeitos Cp e Cv

a) Mostre que a relao entre o calor especfico molar a presso constante Cp e a

volume constante Cv dada por kCvCp += , e determine a constante k. b) A energia interna de um dado sistema apenas funo da sua temperatura absoluta,

como se viu ( ) nCvdTTdU = . No caso dele ser constitudo por molculas monoatmicas ( ) TNKTU B2

3= , N o n de molculas e KB a constante de Boltzmann. Determine Cv e Cp para um gs monoatmico.

c) Porque que CvCp > ?

Resoluo:

a) Pela definio das variveis Cp e Cv temos

=

=

V

P

dTQ

nCv

dTQ

nCp

1

1

Por outro lado a 1 lei da termodinmica diz que WdUQ += , sendo dU o diferencial de energia interna.

Reescrevendo a equao PdVnCvdTQ += Tanto Cp como Cv relacionam-se pela temperatura, pelo que temos de substituir o termo

PdV atravs da equao dos gases perfeitos, nRTPV = . Diferenciando ficar nRdTVdPPdV =+ , pois n e R so constantes. Como s nos interessa o caso em que a

presso constante 0=VdP e ficar ento nRdTPdV = .

Substituindo em cima ( )dTRCvnnRdTnCvdTQ +=+= , que o calor fornecido numa transformao a presso constante. Analogamente isto poderia ser escrito da forma

nCpdTQ = .


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Ento ( ) RCvCpdTRCvnnCpdT +=+= k=R, a constante dos gases perfeitos R 11314,8 KJmol

b) A energia interna de um dado sistema apenas funo da sua temperatura absoluta,

como se viu ( ) nCvdTTdU = . No caso dele ser constitudo por molculas monoatmicas ( ) TNKTU B2

3= , N o n de molculas e KB a constante de Boltzmann. Determine Cv e Cp para um gs monoatmico.

1147,12314,823

23

23

23

23 ====== KJmolRCvnR

NRNnCvdTNKnCvdT

AB

1179,20314,825

25

23 ===+=+= KJmolRRRRCvCp

c) Sendo C a quantidade de energia (calor) fornecida a uma mol de gs para que a sua

temperatura aumente 1K, se a transformao se der a volume constante toda a energia

disponibilizada se converte em energia interna (que faz aumentar a temperatura do gs

pois U(T) ), ao passo que se a transformao se der a presso constante, uma parte do

calor perdido para fazer expandir o gs. Assim, para o mesmo aumento de temperatura,

preciso fornecer mais energia quando a presso constante, logo Cp>Cv.


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2. Gases perfeitos transformaes isobricas (presso constante)

a) A temperatura de um gs perfeito duplica durante uma transformao isobrica.

Sendo 320cmVi = determine o seu volume no final da expanso. Qual foi o trabalho realizado se atmP 100= ?

b) Uma amostra de 10g de ar, que se pode considerar um gs perfeito diatmico encontra-se temperatura ambiente de 20C. O gs comprimido a presso

constante at o seu volume diminuir 5%. Obter a temperatura final do sistema, o

calor transferido e o trabalho realizado. 111005 = KgJKCp

Resoluo:

a) nRTPV = Como P constante podemos escrever:

==== 3402

20 cmVT

VTT

VTV

fi

f

if

f

i

i 35104 mx

( ) JxxxxVPW VfVi 20010210410100 555 ===

b) cteTV =

( ) KTTT

VVTV

TV

TV

iff

ii

i

i

f

f

i

i 2782027395,095,005,0 =+====

( ) JTmCpQ 151293278100501,0 ===

TCpQnTnCpQ

==

JCp

RCpQ

CvCp

QQWWTCvTCp

QWTnCvQWUQ

12,01005

314,810051151 =

=

=

==+=+=+=


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3. Gases perfeitos transformaes isotrmicas (temperatura constante)

a) Calcular o trabalho realizado durante um processo isotrmico de um gs perfeito. b) Considere a compresso isotrmica de 0,10 mol de um gs perfeito a 0C. A presso

inicial de 1 atm e o volume final 51 do inicial. Determine o trabalho realizado e o

calor transferido.

c) Um gs ideal ocupa um volume de 30,8 m a uma presso de 4 atm e a uma

temperatura de 300K. Expande-se o gs at presso final de 1 atm. Calcular o

volume e temperatura finais, o trabalho realizado, o calor absorvido e a variao de

energia interna para uma expanso isotrmica.

Resoluo:

a) Pela definio de trabalho de um gs perfeito = fi

V

VVfViPdVW e, da equao de

estado nRTPV = temos V

nRTP 1= . Substituindo no integral acima:

=

==

f

iVf

Vii

fVfVi V

VnRTVV

nRTdVV

nRTW lnln1

b) Usando a expresso obtida anteriormente JW 3,3655ln273314,810,0 == 3,365== TnCvWUQ A temperatura constante logo JQ 3,365= .

c) ctePV = 3321

0,84 mVVPVP fffii ===

KTT if 300== molxnnRTVP ii 1283300314,80,8104 5 =

==

JxVVnRTW

f

iVfVi

6104,432

0,8ln300314,81283ln =

=

=

JxWQ 6104,4== 0=U


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4. Transformaes adiabticas (sem trocas de calor)

a) 5 mol de non gasoso a 2 atm e a 27C so comprimidas adiabaticamente para um tero do volume inicial. Determine a presso final e o trabalho realizado sobre o gs.

35==

CvCp

b) Um gs ideal expande-se adiabaticamente at um volume triplo do seu volume original. Ao faz-lo, o gs realiza um trabalho de 720J. Quanto calor sai do gs?

Qual a alterao da energia interna do gs? A temperatura aumenta ou diminui?

Resoluo:

a) ctePV = uma relao vlida para qualquer processo adiabtico.

( ) PaxxVVPVVPPVPVP ffifiifffii 6355 103,131023 ===== ( ) 3

5 06,010227327314,85 m

xVi =+= 183906,0102 3

55 == xk

302,0306,0

3m

VV if ===

Jx

VVkdVkVPdVW fi

Vf

Vi

Vf

ViVfVi

4

1351

35

11

109,11

35

02,006,01839

1

=

+=

=

+===

++

++

b) No sai calor nenhum do gs, j que essa a definio de processo adiabtico (sem

trocas de calor). JUUW 720== A energia interna do gs diminui 720J. A temperatura diminui pois TnCvU = .


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5. Nave espacial

Uma nave espacial atravessa a cintura de asterides. Tem uma massa de ar interior m0

ocupando um volume V temperatura T. A certa altura um asteride colide com a nave,

fazendo um buraco de rea A no casco. O ar comea a sair da nave.

Sabendo que os tripulantes s podero sobreviver enquanto houver pelo menos metade

da massa de ar inicial, quanto tempo tero eles para repararem a nave?

Resoluo:

Comeando pela equao de estado RTMVmPRT

MmnRTPV === onde M a

massa molecular mdia do ar.

Por outro lado podemos aplicar a equao de Bernoulli entre um ponto no interior da

nave e o ponto exterior a esta por onde o ar est a sair, sendo a a presso nula.

MRT

MVmmRTVPvvP 222

21 2 ====

Atravs de anlise dimensional podemos escrever a taxa de perda de massa de ar por

unidade de tempo como,

mMRTA

VmAv

dtdm === 2 ,

MRT

VA 2= que facilmente se verifica pelas suas

dimenses. Para resolver esta equao diferencial de 1ordem consideremos que a

soluo genrica do tipo ( ) tetm = , sendo uma constante arbitrria a ser determinada pelas condies iniciais. Substituindo na equao ficar

( ) === tttt eeeedtd

( ) tetm = ( ) 000 mmm == Vem finalmente ( ) temtm = 0 , M

RTVA 2=

E, quando a massa de ar se reduz a metade,

2ln2

2ln121ln

2 %50%5000

MRTA

Vtttemm t ==

==

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