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TOPOGRAFIA
CÁLCULO DE ÁREAS
Fundamental para planejamentos de engenharia, agricultura, loteamentos, limites de preservação ambiental, levantamentos cadastrais para compra e venda, partilha, escrituras, etc.
AVALIAÇÃO DE ÁREAS
As áreas topográficassão projeções horizontais das obras projetadas e executadas pela engenharia.
� Analíticos;
� Computacionais;
Processos de Cálculo
AVALIAÇÃO DE ÁREAS
� Computacionais;
� Gráficos;
� Mecânicos;
� Mistos.
PROCESSOS ANALÍTICOS
Foram os primeiros métodosdesenvolvidos para o cálculo de área depoligonais. São baseados em fórmulasmatemáticas, limitantes da figura.
� Fórmula de Gauss
PROCESSOS ANALÍTICOS
� Fórmula de Gauss
� Método de Bezout
� Método de Poncelet
� Método de Simpson
(Áreas delimitadas por poligonais regulares: triângulos, trapézios, etc)
Basea-se na soma e subtração da área detrapézios formados pelos vértices e projeçõessobre os eixos N, E.
FÓRMULA DE GAUSS
sobre os eixos N, E.Essa operação pode ser expressa por
diferentes equações, como a equação a seguir,que utiliza a propriedade distributiva.
×−××= ∑ ∑= =
++
n
i
n
iiiii NEENS
1 1115,0
Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E”
1
23
FÓRMULA DE GAUSS
N
E
+ + - - =
1
4
5
S = 0,5 x [ (E2-E1) x (N1+N2) + (E3-E2) x (N3+N2) + (E4-E3) x (N4+N3)
Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E”
FÓRMULA DE GAUSS
N1
N1
N2
N2
N3
N3
N4
N4
N5
N5
E1-E5 (<0)
E2 –E1
E3-E2E4-E3
E5-E4 (<0)
+ (E4-E3) x (N4+N3) + (E5-E4) x (N5+N4)+ (E1-E5) x (N1+N5)]
(uma das formas da fórmula de Gauss)
1. Preencher a tabela (matriz), com os valores
das coordenadas adotando um sentido,
horário ou anti-horário.
FÓRMULA DE GAUSS - EXEMPLO
2. Proceder com a multiplicação N x E (X x Y)
da seguinte forma:
FÓRMULA DE GAUSS - EXEMPLO
Não esquecer de repetir o valor das coordenadas do primeiro ponto ao final da
tabela.
3. A área da figura do exemplo (triângulo), será
determinada pela equação de Gauss:
FÓRMULA DE GAUSS - EXEMPLO
( )XY-XY-XY-XY+XY+XY×0,5=S CABCABACCBBAABC
O valor da Área deve ser sempre positivo, se negativo, multiplique por -1.
( ) ( )2
2-1=Sou 2-1×0,5=S
XY-XY-XY-XY+XY+XY
ABCABC
2
CABCAB
1
ACCBBA
∑∑∑∑
∑∑
444 3444 21444 3444 21
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n qualquer (par ou ímpar) esse método
interpreta a curva com uma série de trapézios dealtura d.
MÉTODO DE BEZOUT
++×= ∑−
=
1
12
n
ii
no yyy
dS
d d d d d d d d
yo y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7yn
onde: ∑yi = y1 + y2 + y3 + ...+ yn – 1 (Internos)
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n par, interpreta a curva como uma série
de trapézios de altura 2d.
( ) +−+− )(1n yyyy
MÉTODO DE PONCELET
( )
+−++××= −−
=∑
4
)(2 11
1
1
nnon
ii
yyyyydS
onde: ∑yi = y1 + y3 + y5 + ...+ yn - 1 (Ímpares)
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n par, interpreta a curva como uma série
de trechos de parábola de base 2d, e calcula-se aárea por integração.
MÉTODO DE SIMPSON
onde: ∑yp= y2 + y4 + y6 + ...+ yn – 2 (pares)
∑yi= y1 + y3 + y5 + ...+ yn – 1 (Ímpares)
( )ipn0 y×4+y×2+y+y×
3
d=S ∑∑
MÉTODO DE SIMPSON
PROCESSOS COMPUTACIONAIS
A partir de uma mesa digitalizadora acoplada a um computador que disponha de um editor de desenho
PROCESSOS COMPUTACIONAIS
editor de desenho (AutoCAD ou similar), fornece-se as coordenadas (x,y) de pelo menos dois pontos. O cursor passa a fornecer coordenadas reais.
O programa utiliza a fórmula de Gauss, já que o contorno da figura é na realidade uma poligonal de muitos lados.
LENTE DE AUMENTO
PROCESSOS COMPUTACIONAIS
cursor
MIRA DO CURSOR
256.342, 651.976
PROCESSOS GRÁFICOS
� TRANSFORMAÇÃO GEOMÉTRICA
� FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA
PROCESSOS GRÁFICOS
� FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA
� DIVISÃO DE QUADRÍCULAS
� FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Consiste em transformar as poligonais regulares emum triângulo de área equivalente.
E
D
C
D
E
D
C
TRANSFORMAÇÃO GEOMÉTRICA
N A B M N MA B
Para recordar:Teorema de Heron para determinar a área de qualquertriângulo.
c)(p-×b)(p-×a)(p-p×=SΔ
onde:
a,b, c os catetos do triângulo2
cb+a+=p
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste em efetuar a divisão da figura em
faixas de espessura constante (e), medindo-se aslarguras (li) dessas faixas.
FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA
∑⋅=i
ileS
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste na contagem direta dos quadrados
mutiplicados pela área deles. Pode-se utilizarmilimetrado para facilitar a tarefa.
DIVISÃO EM QUADRÍCULAS
∑=i
iAS
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste em dividir a área em figuras
geométricas equivalentes: retângulos, triângulos etrapézios, de modo a compensar as áreas que ficaramdentro e fora da figura geométrica.
FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
24
∑=i
iAS
Para relembrar
FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
PROCESSO MECÂNICO
O planímetro é um equipamento que possui dois braços articulados com um pólo numa extremidade, que deve permanecer fixo, e um cursor na outra, devendo percorrer todo o contorno da área, retornando ao ponto inicial.
PLANÍMETRO
Um tambor giratório no mesmo braço do cursor, situado na extremidade oposta, faz girar um ponteiro sobre o círculo de leitura. Pode-se demonstrar que o giro do tambor, e portanto a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo contorno percorrido.
PLANÍMETRO
Esquema de operação
PLANÍMETRO
Esquema de operação
PLANÍMETRO
PLANÍMETRO
S – áreaLf – leitura finalLi – leitura inicialk – constante do aparelho
)L(Lk×=S if -
PLANÍMETRO
Para determinar o valor de k, sugere-se planimetrarn vezes uma área S conhecida.
++×= ∑−
=
1
12
n
ii
no yyy
dS
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