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Trabalho abrangendo disciplina de modelagem
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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA DE MODELAGEM COMPUTACIONAL
DETERMINAÇÃO DE VARIANTES PARA O CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE
PISTA DE DECOLAGEM
ALESSANDRO DAL ZOTTO
Caxias do Sul
2015
2
RESUMO
Neste trabalho, apresenta-se uma proposta para determinar um modelo
analítico e numérico para se estimar o comprimento de pista necessário para a
decolagem de uma aeronave.
Palavras chave: Aeromodelismo, comprimento de pista.
3
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Forças atuantes no avião durante a decolagem...................... 8
Figura 2 - Diagrama de Corpo Livre .......................................................... 8
Figura 3 - Tabela de valores do coeficiente de atrito .............................. 10
Figura 4 - Curvas de Tração disponível para algumas hélices comercias
em função da velocidade............................................................................. 17
Figura 5 - Tração disponível para algumas velocidades........................... 17
Figura 6 - Curvas de variação do comprimento de pista em relação ao
Peso da
aeronave.................................................................................................... 21
4
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.............................................................................................. 5
2 MODELO MATEMÁTICO SEMELHANTE AO UTILIZADO PARA AVIÕES
CONVENCIONAIS COM PROPULSÃO A HÉLICE........................................ 6
2.1 FORÇAS ATUANTES NO AVIÃO............................................................. 7
2.2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES................................................ 8
2.2.1 FORÇA DE ATRITO (R)........................................................................ 8
2.2.2 CONSIDERAÇÕES PARA A DECOLAGEM......................................... 9
2.3 VELOCIDADE DE ESTOL........................................................................ 11
2.4 CONSIDERAÇÕES ESPECIAIS............................................................... 12
2.5 FORÇA DE ARRASTO (D) E FORÇA DE SUSTENTAÇÃO (L).............. 13
3 APLICANDO CONCEITOS.......................................................................... 15
3.1 CÁLCULO DE COMPRIMENTO DE PISTA............................................. 15
4 ANÁLISES IMPORTANTES........................................................................ 19
4.1 ANÁLISE EM FUNÇÃO DA ALTITUDE................................................... 21
4.2 ANÁLISE EM FUNÇÃO PESO DA AERONAVE..................................... 21
5 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO PARA UM BOEING 747.............................. 22
6 CONCLUSÃO.............................................................................................. 24
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................25
5
1 INTRODUÇÃO
Neste trabalho será avaliado diversas condições que podem influenciar no
cálculo do comprimento de pista para uma aeronave tais como os efeitos da
altitude, do peso, variação da tração. O equacionamento proposto é
fundamentado nas forças atuantes no avião durante a ação de decolagem,
seguindo o princípio fundamental da dinâmica.
6
2 MODELO MATEMÁTICO SEMELHANTE AO UTILIZADO PARA AVIÕES
CONVENCIONAIS COM PROPULSÃO A HÉLICE
Nesta etapa desenvolve-se as equações e as análises de um sistema
matemático para posteriormente aplica-las, para uma completa análise dos
parâmetros de desempenho de uma aeronave com o intuito de encontrar o
comprimento mínimo de uma pista de decolagem.
O princípio do método está baseado na seguinte equação, proveniente
do princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton):
F=m .a=m .∂ v∂t
Onde:
F: força (N)
m: massa (kg)
a: aceleração (m/s²)
1
7
2.1 FORÇAS ATUANTES NO AVIÃO
Abaixo está ilustrando-se as forças que o avião sofre e desenvolve
durante a ação de decolagem.
Figura 1: Forças atuantes no avião durante a decolagem.Fonte: Unesp, 2009
A seguir é ilustrado o diagrama de corpo livre das forças atuantes no
avião para posterior desenvolvimento das equações.
Figura 2: Diagrama de Corpo LivreFonte: Alessandro, 2015
L
TdR
DAVIÃO
Atrito
W
8
Onde:
L: Força de Sustentação;
T: Força de Tração;
W: Força Peso;
D: Força de Arrasto;
R: Força de Atrito.
OBS: As forças L e W variam de acordo com o aumento da velocidade. A
combinação das duas forças forma a Normal. Isso explica o fato de que com o
aumento da velocidade a força normal vai diminuir, uva vez que tende a não
encostar mais no solo. E ainda ocorrendo um aumento da força de
sustentação.
2.2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES
Para o desenvolvimento da fórmula que estima o comprimento de pista
de decolagem para um avião, devem ser consideradas diversas equações bem
como também relacioná-las para conseguir abranger todos os parâmetros
possíveis para a obtenção de um valor confiável.
2.2.1 FORÇA DE ATRITO (R)
A força de atrito está presente durante a corrida de decolagem entre as
rodas e o solo, dada pela seguinte equação:
R=μ . N
Onde:
μ: coeficiente de atrito.
N: força normal.
9
O valor do coeficiente de atrito é dado por Roskman (2001), através da tabela a seguir:
Figura 3: Tabela de valores do coeficiente de atrito.Fonte: Roskman, 2001
No entanto como a força Normal varia de acordo com o aumento da velocidade utiliza-se a equação a seguir:
R=μ . (W−L)
Onde:
(W - L) = representa a força Normal durante a decolagem.
2.2.2 CONSIDERAÇÕES PARA A DECOLAGEM
Considerando que a aeronave parte de repouso e vai sendo acelerada até a velocidade de decolagem temos as seguintes considerações:
Condições:
Iniciais Finais
So= 0 S= Sf
Vo= 0 v= vf Momento da Decolagem
to= 0 t= tf
Utilizando a equação 1, e integrando ela nos limites iniciais e finais
temos a seguinte equação:
Fm
=dvdt∫0
tfFmdt=∫
0
vf
dv tf=¿ vf .mF
¿
2
3
10
Assim temos a equação do tempo. Para calcular o comprimento de pista necessário para decolagem temos de integrar a fórmula da velocidade a seguir.
vf=dsdt∫
0
tf
vfdt=∫0
sf
ds
Substituindo a equação 4 em 3 temos:
∫0
tf
(F . tm )dt=∫
0
sf
dS Sf =Ft ²2m
Relacionando a equação 3 e 5 temos:
Sf=F .( vf .mF )
2
2mSf= v f 2 .m
2. F
Através do diagrama de corpo livre é possível visualizar as forças atuante no avião e assim chegar a seguinte equação:
F=m .dvdt
T−D−R=m .dvdt
Substituindo as forças resultante na equação 6, temos:
Sf= v f 2 .m2. (T−D−R )
Para a equação acima será considerado m= Wgravidade
, e substituindo a
força de atrito R pela equação 2, temos:
4
5
6
11
Sf= v f 2 .W
2.g . {T−[D+μ (W−L ) ] }
Com está equação já é possível descobrir o tamanho de pista de
decolagem para um avião, porém muitos parâmetros ainda não estão
incorporados e assim a precisão ainda é muito pequena.
2.3 VELOCIDADE DE ESTOL
A velocidade de estol é defina como a mínima velocidade em que a asa
pode produzir sustentação suficiente para suportar a aeronave.
É ilustrada pela formula a seguir:
Vestol=√ 2.Wρ. S .CLmáx
Onde temos,
W: Peso (N).
ρ : Densidade do ar.
S: Área da asa.
CL: Coeficiente de Sustentação.
OBS: Para a decolagem a velocidade deve ser 20% maior que a velocidade de estol.
2.4 CONSIDERAÇÕES ESPECIAIS
Segundo a norma FAR-Part 23 [FAR – Federal Aviation Regulation] para
se manter a segurança durante o período de decolagem, a velocidade de
decolagem não deve ser inferior a 20% da velocidade de Estol, ou seja,
vf = 1,2 Vestol.
7
12
Assim substituindo esta relação de vf² por (1,2 Vestol)² na equação 7,
temos a equação final para o comprimento de pista de decolagem.
Sf= 1,44W ²
g .ρ .S .Clmáx . {T− [D+μ . (W−L ) ] }
Onde:
Sf: Comprimento de pista (m)
W: Força Peso (N)
g: gravidade (m/s²)
s: área da asa
ρ: densidade do ar
Clmáx: coeficiente de sustentação
T: Força de Tração (N)
D: Força de Arrasto (N)
L: Força de Sustentação (N)
μ: coeficiente de atrito com o solo
2.5 FORÇA DE ARRASTO (D) E FORÇA DE SUSTENTAÇÃO (L)
Algumas considerações devem ser feitas com essas duas forças já que elas variam em função do aumento da velocidade e dessa forma afim de simplificar a solução é realizada uma aproximação para uma força requerida média obtida em 70% da velocidade de decolagem. Então para efeitos de cálculos será utilizado V= 0,7 vf.
FINAL
13
A força de sustentação é dada pela seguinte equação:
L=12ρ . (0.7vf )2 . S .Cl
E a força de Arrasto é dada pela seguinte equação:
D=12. ρ . (0.7 . vf )2 .Cd
Onde:
Cd: Coeficiente polar de arrasto
Cd=(Cdo+∅ . K .Cl ² )
∅ : fator de efeito solo que atua na decolagem dada pela equação:
∅=(16.h/b ) ²
1+(16.h/b ) ²
h: altura da asa em relação ao solo
b: envergadura da asa
K: fator obtido experimentalmente ou através da seguinte formula:
K= 1π . eo . AR
eo: coeficiente de oswald
AR: alongamento representado pela equação a seguir:
14
AR=b2
S
E para finalizar o coeficiente de sustentação ideal para decolagem (CL)
é dado pela seguinte equação:
CL=(π . eo . AR. µ )
2.∅
3 APLICANDO CONCEITOS
Nesta etapa serão aplicados alguns conceitos e empregado dados
técnicos para a resolução de um exemplo, referente ao desenvolvimento dos
cálculos.
Para o desenvolvimento das equações, foi utilizado um software de
Cálculo Numérico chamado Matlab.
15
3.1 CÁLCULO DE COMPRIMENTO DE PISTA
A seguir estará sendo resolvido os cálculos para a seguinte situação
proposta:
Obs: A aplicação e feita proporcionalmente a uma aeronave destinada a
competições de aeromodelismo, onde a mesma necessita decolar com o
menor comprimento de pista possível de acordo com o seu peso.
Dados da Aeronave e do ambiente:
W = 144 % Peso total da Aeronave (N)
ρ= 1,225 % Densidade do Ar (kg/m3)
g = 9,81 % Gravidade (m/s²)
S = 0,9 % área da asa (m²)
µ = 0,03 % coeficiente de atrito com o solo
Clmax = 1,65 % coeficiente de sustentação máximo
b = 2,48 % Envergadura (m)
h = 0,35 % Altura em relação ao solo (m)
Td = 33,207 % Tração disponível (N)
k = 0,065 % Fator K (proveniente da equação polar)
Cdo = 0,022 % Coeficiente de Arrasto Inicial
16
O valor da tração requerida é graficamente representado de acordo com
o modelo de hélice, onde nesse exemplo é utilizada APC 13”x4” com a
equação polar de arrasto dada por Cd = 0,022 + 0,065 Cl².
Figura 4: Curvas de Tração disponível para algumas hélices comercias em função da velocidade.Fonte: Fundamentos da Engenharia Aeronáutica, 2011
Figura 5: Tração disponível para algumas velocidades.
17
Fonte: Fundamentos da Engenharia Aeronáutica, 2011
Para a resolução do exemplo foi utilizado a seguinte programação:
clear allclcclf%%%% Trabalho de Modelagem Computacional%%%% Método Numérico para Determinação do Comprimento de Pista de um Avião % Dados:W =150 % Peso total da Aeronave (N) ro =1.225 % Densidade do Ar (kg/m3)g =9.81 % Gravidade (m/s2)S =0.9 % área da asa (m2)Mi =0.03 % coeficiente de atrito com o solo Clmax =1.65 % coeficiente de sustentação máximob =2.48 % Envergadura (m)h =0.35 % Altura em relação ao solo (m)Td =33.207 % Tração disponível (N)k =0.065 % Fator K (proveniente da equação polar)Cdo =0.022 % Coeficiente de Arrasto Inicial %%%% Desenvolvimento de cálculos para o comprimento de Pista % Cálculo do Fator de Efeito do Solo Fi = (16*(h/b))^2/(1+(16*(h/b))^2) % Cálculo do Alongamento AR = b^2/S % Calculo do Coeficiente de Oswald Eo = 1/(pi*k*AR) % Cálculo do Coeficiente de Sustentação Ideal para Decolagem Cl = (pi*Eo*AR*Mi)/(2*Fi) % Cálculo do Coeficiente de Arrasto Cd = Cdo + (Fi*k*(Cl^2)) % Cálculo da velocidade de Estol vestol = sqrt((2*W)/(ro*S*Clmax)) vf= 1.2 * vestol % Cálculo da Força de Sustentação L = 0.5*ro*[0.7*vf^2]*S*Cl % Cálculo da Força de Arrasto D = 0.5*ro*[0.7*vf^2]*S*Cd
18
% Cálculo do Comprimento de Pista Sf = (1.44*W^2)/(g*ro*S*Clmax*(Td-(D+Mi*(W-L))))
Colocando os dados inicias, pode-se resolver o problema encontrado
assim o comprimento de pista mínimo necessário para a decolagem da
aeronave em questão.
Fi = 0.8360
R = 6.8338
Eo = 0.7166
Cl = 0.2760
Cd = 0.0261
vestol = 12.8419
vf = 15.4103
L = 25.2942
D = 2.3954
Sf = 67.0685
Então para a aeronave em questão e os valores utilizados conclui-se
que o avião de aeromodelo necessita de aproximadamente 67 metros de pista
para conseguir realizar a decolagem.
4 ANÁLISES IMPORTANTES
19
Buscando evidenciar duas análise muito importantes, utilizaremos da
relação entre o peso da aeronave e o comprimento de pista necessário para a
decolagem, em diferentes altitudes.
Valores obtidos pela manipulação da programação anterior no matlab,
em função da altitude em relação ao nível do mar:
Para h=0m Nível do mar
Para h=1500m
Para h=1500m
W (N)
Sf (m)
70 11,85680 15,83590 20,502100 25,901110 32,087120 39,122130 47,046140 55,945143 58,813143,25 59,056
W (N) Sf (m)
70 16,291
80 21,848
90 28,403
100 36,037
110 44,858
120 54,942
123,7 59,022
20
Para os valores anteriores podemos plotar o seguinte gráfico para a
variação das três altitudes:
Figura 6: Curvas de variação do comprimento de pista em relação ao Peso da aeronave.Fonte: Alessandro, 2015
O gráfico no eixo vertical está representado pelo Peso Total da aeronave
em (N), enquanto no eixo horizontal pelo Comprimento de Pista para
Decolagem (m). A cor verde representa a altitude de 0m, a vermelha de 1500m
e a azul de 3000m.
4.1 ANÁLISE EM FUNÇÃO DA ALTITUDE
W (N)
Sf (m)
70 22,736
80 30,646
90 40,064
100 51,124
106,3
59,024
21
Ao observarmos os valores obtidos nas tabelas, e verificando os gráficos
pode-se constatar que o comprimento de pista aumenta conforme a densidade
do ar diminui, ou seja, quanto maior for a altitude pior é a condição de
decolagem. Dessa forma é necessário que a aeronave percorra mais pista
para conseguir alçar vô.
4.2 ANÁLISE EM FUNÇÃO PESO DA AERONAVE
Ao analisar os valores obtidos na tabela de altitude h=0, pode-se
observar que o peso foi sendo aumentado até duplicar seu valor, desta forma
com base nos comprimentos de pista obtidos para essa altitude e na equação
do cálculo do seu comprimento podemos verificar o seguinte:
Sf= 1,44W 2
g .ρ .S .Clmáx . {T− [D+μ . (W−L ) ] }
O comprimento de pista para a decolagem é diretamente afetado pelo
aumento do peso da aeronave, com uma variação do quadrado do peso, ou
seja, duplicando-se o peso da aeronave quadruplica-se o comprimento de pista
necessário para decolar o avião.
5 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO PARA UM BOEING 747
22
Nesta etapa foi aplicada a equação desenvolvida para determinar o
comprimento de pista para um avião comercial modelo Boeing 747. Da mesma
forma como foi aplicada anteriormente, os dados iniciais são conhecidos, e
então aplicados ao programa desenvolvido no matlab, temos os seguintes
resultados:
23
Temos uma tração requerida de 250000 N para cada motor, aplicando
esses dados fornecidos pelo fabricante temos o seguinte resultado:
Fi = 0.9536
AR = 9.1825
Eo = 0.5333
Cl = 0.2420
Cd = 0.0256
vestol = 91.6305
vf = 109.9566
L = 6.4106e+005
D = 6.7892e+004
Sf = 3.2535e+003
Tem-se para os dados do fabricante um comprimento mínimo de 3,09
km para a decolagem, e utilizando o método numérico desenvolvido 3,25 km.
Isso demostra que a equação pode ser utilizada no cálculo do comprimento
mínimo de pista de decolagem para quase todos os tipos de aeronave.
24
6 CONCLUSÃO
Neste trabalho foi possível determinar matematicamente uma equação
para calcular o comprimento de pista para diferentes tipos de aeronaves.
Através da programação do modelo numérico foi possível calcular esses
valores com maior facilidade e exatidão. A utilização no mesmo proporcionou
também análises importantes em relação ao peso e altitude da aeronave. Por
fim foi possível provar a equação utilizando dados de um avião comercial,
calculando seu comprimento de pista e comparando com as informações
disponibilizadas pelo fabricante.
25
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
RESENDE, Marcos. Saiba tudo sobre o Boeing 747. 2000. Folha online. Disponível
em: <http://www1.folha.uol.com.br/folha/mundo/ult94u11587.shtml>. Acesso em: 22
maio 2015.
RODRIGUES, Luiz Eduardo Miranda José. AeroDesign. Aerodesign, São Paulo, v. 1,
n. 3, p.1-6, fev. 2009
D., John; ANDERSON JUNIOR,. Fundamentos de Engenharia Aeronáutica. 7. ed.
Porto Alegre: Veronica de Abreu Amaral, 2010. 886 p.
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