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Transformada Inversa de Laplace
Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior
Controle de Sistemas Mecânicos 2
AGENDA
Transformada Inversa de Laplace Exercícios
3
Transformada Inversa de Laplace
Objetivo: O objetivo desta seção é fazer uma introdução à Transformada Inversa de Laplace e sua aplicação em engenharia.
Controle de Sistemas Mecânicos
4
Transformada Inversa de Laplace A transformada inversa de Laplace converte
equações em função da variável complexa s para equações em função do tempo t;
Usado em conjunto com a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais ordinárias, lineares e com coeficientes constantes.
Controle de Sistemas Mecânicos
5
Transformada Inversa de Laplace Definição da Transformada inversa de Laplace:
∫∞+
∞−
− ==jc
jc
ts dssFej
tfsFL )(.)()]([ .
π211
f(t) = função do tempo t, tal que f(t) = 0 para t<0;s = variável complexa ou freqüência (1/segundos);L-1 = operação de Transformação inversa de Laplace;F(s) = transformada de Laplace de f(t), é uma função complexa de números complexos;t é a variável tempo em segundos;Convenção: letras minúsculas denotam o sinal em função do tempo, letras maiúsculas denotam a transformada de Laplace do sinal.
Controle de Sistemas Mecânicos
6
Transformada Inversa de Laplace
Método de expansão em frações parciais A função F(s) apresenta a seguinte forma:
nnnn
mmmm
asasasabsbsbsb
sDsNsF
++++++++==
−−
−−
11
10
11
10
...
...)()()(
N(s) e D(s) são polinômios em s.
As raízes de numerador N(s) são os ZEROS da função F(s)
As raízes do denominador D(s) são os POLOS da função F(s)
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada Inversa de Laplace
[ ] [ ] [ ] [ ])(...)()()( sFLsFLsFLsFL n1
21
111 −−−− +++=
[ ] )(...)()()()( tftftftfsFL n+++==−21
1
E se as transformadas inversas de F1(s), F2(s),..., Fn(s) forem conhecidas (usando tabelas de transformadas), então:
Se F(s) puder ser decomposta em frações parciais:
)(...)()()( sFsFsFsF n+++= 21
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada Inversa de Laplace
Caso 1: F(s) contém somente pólos simples.
( )( ) ( )( )( ) ( )n
m
pspspszszszsK
sDsNsF
++++++==
......
)()()(
21
21
-p1, -p2, ... , -pn são os pólos de F(s) e são valores reais ou complexos distintos. Neste caso a expansão será:
com n>m
n
n
psA
psA
psA
sDsNsF
+++
++
+== ...
)()()(
2
2
1
1
Controle de Sistemas Mecânicos
9
Transformada Inversa de Laplace
A transformada inversa de F(s) será a função f(t):
[ ] tpn
tptp neAeAeAtfsFL −−−− +++== ...)()( 2121
1
Os coeficientes Ai são conhecidos como resíduos:
( )kps
kk pssDsNA
−=
+=
)()(
Controle de Sistemas Mecânicos
10
Transformada Inversa de Laplace
( ) ( )213
+++=ss
ssF )(
2121
++
+=
sA
sAsF )(
( )( ) ( )1
1 121
3
−=
+++
+=s
sss
sA
Exemplo 1: achar a transformada inversa de Laplace de:
A expansão de F(s) em frações parciais é:
Os resíduos são:
( )( ) ( )2
2 221
3
−=
+++
+=s
sss
sA
( ) 22131
23
1
=+−+−=
++=
−=sss
( ) 11232
13
2
−=+−+−=
++=
−=sss
Controle de Sistemas Mecânicos
11
Transformada Inversa de Laplace
Assim a transformada inversa é:
tt eetf 22 −− −=)(
21
12
+−+
+=
sssF )(
F(s) pode ser escrita como:
Controle de Sistemas Mecânicos
12
Transformada inversa de Laplace
Exemplo 2: achar a transformada inversa de:
52122
2 +++=ss
ssF )(
Pólos: -1-j2 e -1+j2
( )( ) 21212121122 21
jsA
jsA
jsjsssF
−++
++=
−++++=)(
F(s) pode ser decomposta como:
Controle de Sistemas Mecânicos
13
Transformada inversa de Laplace
Os resíduos são:
( )( ) ( )
5214
4102121
1242
2112221
2121122
21211
,jjj
jjj
jssjs
jsjssA
jsjs
+=−
−=−+−−
+−−=
−+
+=
++
−++++=
−−=−−=
Como A1 é complexo, A2 é o conjugado complexo de A1.
5212 ,jA −=
Controle de Sistemas Mecânicos
14
Transformada inversa de Laplace
Assim F(s) pode ser reescrita como:
21521
21521
jsj
jsjsF
−+−+
+++= ,,)(
E a transformada inversa será:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) tjtj ejejtfsFL 21211 521521 −−+−− −++== ,,)()(
Controle de Sistemas Mecânicos
15
Transformada inversa de Laplace
( ) ( ) ( ) ( ) tjtj ejejtf 2121 521521 −−+− −++= ,,)(
Lembrando algumas identidades trigonométricas[ ][ ]
=+=+=+
−=−+++=−++
−−−+−
−+−−−
qparctgqprcomAsenrsenAqAp
tysenbtyaeebjaebjatysenbtyaeebjaebja
txtyjxtyjx
txtyjxtyjx
θθ ,:),(..cos.
).(.).cos(..)..()..().(.).cos(..)..()..(
.).().(
.).().(
22
22
Lembrando f(t):
( ) ( )[ ]ttetf t 25222 sin,cos)( += −Resulta em:
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
Caso 2: existem r pólos iguais, neste caso F(s) é:
)())(()()(
)()()(
211 nrrr pspspsps
sNsDsNsF
++++==
++
A função F(s) pode ser reescrita como:
)()()()()()()(
1
1
11
1
12
1
2
1
1
n
n
r
rr
rr
r
psA
psA
psB
psB
psB
psBsF
+++
++
++
+++
++
+=
+
+−
−
Os resíduos Ai para pólos distintos são calculados como visto anteriormente.
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
( )
( )
( )
( )1
1
1
1
)()(
)!1(1
)()(
!1
)()(
)()(
11
1
1
1
11
1
ps
rr
r
ps
rl
l
lr
ps
rr
ps
rr
sDsNps
dsd
rB
sDsNps
dsd
lB
sDsNps
dsdB
sDsNpsB
−=−
−
−=
−
−=
−
−=
+
−=
+=
+=
+=
Os resíduos Bi dos pólos múltiplos são calculados por:
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
( ) 3
2
132
+++=
ssssF )(
( ) ( ) 33
221
111 ++
++
+==
sB
sB
sB
sDsNsF)()()(
Exemplo 1 - calcular a transformada inversa de:
Expansão por frações parciais:
( ) ( ) [ ] 23211
321
2
1
33
2
3 =++=
+
+++= −=
−=
ss
ssssssBResíduo:
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
( ) ( ) [ ]1
2
1
33
2
2 3211
32
−=−=
++=
+
+++=
ss
ssdsds
sss
dsdB { } 022 1 =+= −=ss
( ) ( ) [ ]1
22
2
1
33
2
2
2
1 32211
132
21
−=−=
++=
+
+++=
ss
ssdsds
sss
dsdB
!!
Resíduo:
{ } 1222
21
1 === −=s!
Controle de Sistemas Mecânicos
20
Transformada inversa de Laplace
( ) ( ) 32 12
10
11
++
++
+==
ssssDsNsF)()()(Assim:
A transformada inversa:
( ) ( ) nL
atn
aset
n +⇔
−−− 1
11 1
!Lembrando a tabela de Laplace
L−1 [F s]= f t =e−t012t 2e−t
Controle de Sistemas Mecânicos
21
Transformada inversa de Laplace
)(. tuVvdtdv
dtvd
inCCC 1000010000402
2
=++
[ ]sVsVvssVvsvsVs in
CCCCCC 1000010000040002 =+−+′−− )()()()()()(
[ ] [ ])(tuLVvLdtdvL
dtvdL inC
CC 1000010000402
2
=+
+
Exemplo de aplicação - resolver a equação diferencial:
Passo 1: aplicar a transformada de Laplace em todos elementos da EDO. Supondo condições iniciais nulas.
sVsVssVsVs inCCC
11000010000402 =++ )()()(
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
( )s
VsVss inC11000010000402 =++ )(
( )100004010000
2 ++=
sssVsV in
C )(
( ) ( ) 982098209820982010000 321
jsA
jsA
sA
jsjssVsV in
C −++
+++=
−+++=)(
Isolando VC(s) da equação:
Pólos de VC(s): 0, -20+j98, -20–j98
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
( )( ) ( )( ) inin
s
in Vjj
Vsjsjss
VA =−+
=
−+++
== 98209820
1000098209820
10000
01
( )( ) ( )
( )( ) ( ) inin
js
in
Vjjjj
V
jsjsjss
VA
⋅−−=−+−−−−
=
=
++
−+++=
−−=
1050982098209820
10000
982098209820
10000
98202
,,
Resíduos:
( ) inVjA ⋅+−= 10503 ,,
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
( ) ( )98201050
98201050
jsVj
jsVj
sVsV ininin
C −++−+
++−−+= ,,,,)(
( ) ( ) tjin
tjininC ejVejVVtv )()( ,,,,)( 98209820 10501050 −−+− +−+−−+=
[ ][ ]
=+=+=+
−=−+++=−++
−−−+−
−+−−−
qparctgqprcomAsenrsenAqAp
tysenbtyaeebjaebjatysenbtyaeebjaebja
txtyjxtyjx
txtyjxtyjx
θθ ,:),(..cos.
).(.).cos(..)..()..().(.).cos(..)..()..(
.).().(
.).().(
22
22
( )[ ]tteVVtv tininC 981098502 20 sin,cos,)( −−+= −
VC(s) pode ser reescrita como:
Aplicando a transformada inversa em cada termo de VC(s):
Lembrando:
Resulta em: teVteVVtv t
int
ininC 982098 2020 sin,cos)( −− −−=
Controle de Sistemas Mecânicos
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Transformada inversa de Laplace
vin=10;t=0:.00001:0.5;vc=vin-vin*exp(-20.*t).*cos(98.*t)-0.2.*vin.*exp(-20.*t).*sin(98.*t);plot(t,vc);xlabel('Tempo(s)');ylabel('Tensão de Entrada (V)');title('Excitação ao Degrau ');
Controle de Sistemas Mecânicos
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Exercícios 1) Calcular a transformada inversa de Laplace:
)3)(1(2)(
+++=sss
ssF ( ) )3(21)( 3 ++
=ss
sF
( ) )2(2561)( 2 +++
=sss
sF20020
200)( 2 ++=
sssF
F s= 15s−3s−2 ² s1
F s= 2s3s² s4s2
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Exercícios
( ) ( )0fssFtfdtdL −=
)( ( ) ( ) ( )002
2
2
ffssFstfdtdL ′−⋅−=
)(
[ ] ( ) [ ]0
1=∫∫ +=t
dttfss
sFdttfL )()(
2) Resolva as equações diferenciais usando Laplace:v
dtdvRCvi +=
LLi vdtvLRv += ∫
∫++= vdtLRv
dtdvRCvi
vdtvdLC
dtdvRCvi ++= 2
2
com RC =1, e vi = degrau unitário
com R/L = 10, vi = degrau unitário
com RC = 1, LC = 2, vi = degrau unitário
com R/L = 10 e RC = 1, vi = degrau unitárioCondições iniciais nulas para todos
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28
FIM
Muito Obrigado!
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