Um pouco de história da Geometria Antonio Carlos Brolezzi IME-USP brolezzi brolezzi@usp.br

Um pouco de história da Geometria

Antonio Carlos BrolezziIME-USP

www.ime.usp.br/~brolezzibrolezzi@usp.br

Grécia

Europa

2014

História dos conceitos geométricos – linha do tempo

China/Japão

Egito

Árabes

Roma

3500 aC 500 1000 1500700 aC 11200 aC

Américas

Mesopotâmia

Índia

Grécia

Europa

2014

História dos conceitos geométricos – linha do tempo

China/Japão

Egito

Árabes

Roma

3500 aC 500 1000 1500700 aC 11200 aC

Américas

Mesopotâmia

Índia

Na matemática, os conceitos estão interligados.

Qual é a sua definição de matemática?

Logo, geometria não é apenas uma área a parte da matemática.

Sem geometria, não há:NúmerosÁlgebraTrigonometriaFunções…

Matemática é ciência dos Matemática é ciência dos padrões.padrões.

Com qual matemática você prefere trabalhar?

1. Experimentar2. Conjecturar3. Representar4. Comunicar5. Argumentar

Competências matemáticas no Competências matemáticas no ensino de geometriaensino de geometria

Matemática como ciência humana: história

Filósofo grego. Filósofo grego. Discípulo de Sócrates. Discípulo de Sócrates.

Platão era um apelido que, Platão era um apelido que, provavelmente, fazia provavelmente, fazia referência à sua referência à sua caracteristica física, como caracteristica física, como seus ombros largos.seus ombros largos.

Na Academia de Platão, se Na Academia de Platão, se dizia a quem entrava:dizia a quem entrava:““Quem não souber geometria Quem não souber geometria não entre aqui”não entre aqui”

Platão de AtenasPlatão de Atenas (428—347 a.C.)(428—347 a.C.)

Espaço sensível e espaço geométrico: conceitos platônicos

História das idéias geométricas

Simetrias

SIMETRIAS

• Os três conceitos da simetria:• Translação

• Reflexão

• Rotação

Conexões entre geometria, Conexões entre geometria, natureza e artenatureza e arte

Translação

Translação:

Atividades de translação envolvem:

• Sequencias geométricas:• Contagem;• Álgebra;• Arte matemática;• Funções e gráficos: coeficiente linear.

Reflexão

Reflexão:

Atividades de reflexão envolvem:

• Dobraduras;• Função módulo;• Funções e gráficos: funções inversas.

Rotação

Centro de rotação

Rotação:

Atividades de rotação envolvem:

• Ângulos, trigonometria;• Funções e gráficos: coeficientes

angulares.

Letras com Simetria por Reflexão

Simetria Rotacional com menos de 360º

Translação com reflexão

Técnicas de Translação

Simetria por Reflexão

Rotação de 90°

• Programa Tess• http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/

softw.htm

• Programa para desenhar com simetrias

AtividadeAtividade

Conexões entre geometria, Conexões entre geometria, natureza, arte e arquiteturanatureza, arte e arquitetura

1. Experimentar2. Conjecturar3. Representar4. Comunicar5. Argumentar

Esse programa permite Esse programa permite trabalhar quais competências trabalhar quais competências

matemáticas no ensino de matemáticas no ensino de geometria?geometria?

Translação Refletida na obra de M. C. Escher

• Ver outras obras de Escher, o artista das simetrias

Maurist Cornelis Escher (1898-1972)

Céu e Água I

Esboço para Répteis

Peixe e Barco

Dia e noite

Queda de água

Desenhando mãos

Faixa de Möebius II

Ciclo

O video arte matemática O video arte matemática mostra exemplos dos mostra exemplos dos conceitos da simetria.conceitos da simetria.

Sites utilizados:

http://www.tvcultura.com.br/Artematematica

http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm

Geometria analítica, cônicas e outras curvas.

Os gregos antigos estudaram curvas

associadas ao cone fornecem formas

geométricas muito interessantes, e a matemática está

presente na vida e na natureza.

Podemos enxergar as cônicas observando o corte que o plano da

parede faz em um cone de luz emitido por uma

lanterna.

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em

340 aC e depois estudadas por Apolônio

(262-200 aC).

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em

340 aC e depois estudadas por Apolônio

(262-200 aC).

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em

340 aC e depois estudadas por Apolônio

(262-200 aC).

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em

340 aC e depois estudadas por Apolônio

(262-200 aC).

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que

explicam os movimentos dos

planetas.

Agora, vamos construir as cônicas usando

modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando

modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando

modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando

modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando

modelos obtidos por dobradura.

As cônicas definidas por lugar geométrico

podem ser construídas a partir de suas

propriedades básicas, usando folhas apropriadas.

Dada uma reta l, chamada diretriz, e um ponto F que não está em l, chamado

foco, uma secção cônica é o lugar geométrico dos

pontos P para os quais a razão

distância de P a Fdistância de P a l

é constante.

Essa constante chama-se excentricidade da

cônica (e).

0<e<1 elipse (“falta”)

e=1 parábola (“comparação”)

e>1 hipérbole (“excesso”)

Temos três casos:

PO + PF = 2a2a = comprimento do fio

OF = 2c2c = distância focal

PO + PF = 2a2a = comprimento do fio

a = semi-eixo maiorOF = 2c

2c = distância focal

x2/a2 + y2/b2 = 1equação reduzida da

elípse

b2 - a2 = c2

e = c/a 0 < e < 1

(excentricidade)define o tipo da órbita

As órbitas dos planetas do sistema solar são elípses

com excentricidade pequena

As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses

com excentricidade pequena

Órbitas dos planetas externos

As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses

com excentricidade pequena

Órbitas dos planetas internos

Vejamos os valores das excentricidades das órbitas

IPO - PFI = 2a

OF = 2c

b2 + a2 = c2

e = c/a e > 1

(excentricidade)x2/a2 - y2/b2 = 1

equação reduzida da hipérbole

É interessante trabalhar as cônicas com programas de geometria dinâmica, como

o gratuito CAR.

Assim, a história da geometria se inicia com a

geometria dinâmica do pensamento grego e

termina com a geometria dinâmica do computador.