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Grécia
Europa
2014
História dos conceitos geométricos – linha do tempo
China/Japão
Egito
Árabes
Roma
3500 aC 500 1000 1500700 aC 11200 aC
Américas
Mesopotâmia
Índia
Grécia
Europa
2014
História dos conceitos geométricos – linha do tempo
China/Japão
Egito
Árabes
Roma
3500 aC 500 1000 1500700 aC 11200 aC
Américas
Mesopotâmia
Índia
Na matemática, os conceitos estão interligados.
Qual é a sua definição de matemática?
Logo, geometria não é apenas uma área a parte da matemática.
Sem geometria, não há:NúmerosÁlgebraTrigonometriaFunções…
Matemática é ciência dos Matemática é ciência dos padrões.padrões.
Com qual matemática você prefere trabalhar?
1. Experimentar2. Conjecturar3. Representar4. Comunicar5. Argumentar
Competências matemáticas no Competências matemáticas no ensino de geometriaensino de geometria
Matemática como ciência humana: história
Filósofo grego. Filósofo grego. Discípulo de Sócrates. Discípulo de Sócrates.
Platão era um apelido que, Platão era um apelido que, provavelmente, fazia provavelmente, fazia referência à sua referência à sua caracteristica física, como caracteristica física, como seus ombros largos.seus ombros largos.
Na Academia de Platão, se Na Academia de Platão, se dizia a quem entrava:dizia a quem entrava:““Quem não souber geometria Quem não souber geometria não entre aqui”não entre aqui”
Platão de AtenasPlatão de Atenas (428—347 a.C.)(428—347 a.C.)
Espaço sensível e espaço geométrico: conceitos platônicos
História das idéias geométricas
Simetrias
SIMETRIAS
• Os três conceitos da simetria:• Translação
• Reflexão
• Rotação
Conexões entre geometria, Conexões entre geometria, natureza e artenatureza e arte
Translação
Translação:
Atividades de translação envolvem:
• Sequencias geométricas:• Contagem;• Álgebra;• Arte matemática;• Funções e gráficos: coeficiente linear.
Reflexão
Reflexão:
Atividades de reflexão envolvem:
• Dobraduras;• Função módulo;• Funções e gráficos: funções inversas.
Rotação
Centro de rotação
Rotação:
Atividades de rotação envolvem:
• Ângulos, trigonometria;• Funções e gráficos: coeficientes
angulares.
Letras com Simetria por Reflexão
Simetria Rotacional com menos de 360º
Translação com reflexão
Técnicas de Translação
Simetria por Reflexão
Rotação de 90°
• Programa Tess• http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/
softw.htm
• Programa para desenhar com simetrias
AtividadeAtividade
Conexões entre geometria, Conexões entre geometria, natureza, arte e arquiteturanatureza, arte e arquitetura
1. Experimentar2. Conjecturar3. Representar4. Comunicar5. Argumentar
Esse programa permite Esse programa permite trabalhar quais competências trabalhar quais competências
matemáticas no ensino de matemáticas no ensino de geometria?geometria?
Translação Refletida na obra de M. C. Escher
• Ver outras obras de Escher, o artista das simetrias
Maurist Cornelis Escher (1898-1972)
Céu e Água I
Esboço para Répteis
Peixe e Barco
Dia e noite
Queda de água
Desenhando mãos
Faixa de Möebius II
Ciclo
O video arte matemática O video arte matemática mostra exemplos dos mostra exemplos dos conceitos da simetria.conceitos da simetria.
Sites utilizados:
http://www.tvcultura.com.br/Artematematica
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm
Geometria analítica, cônicas e outras curvas.
Os gregos antigos estudaram curvas
associadas ao cone fornecem formas
geométricas muito interessantes, e a matemática está
presente na vida e na natureza.
Podemos enxergar as cônicas observando o corte que o plano da
parede faz em um cone de luz emitido por uma
lanterna.
As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
As cônicas definidas por lugar geométrico
podem ser construídas a partir de suas
propriedades básicas, usando folhas apropriadas.
Dada uma reta l, chamada diretriz, e um ponto F que não está em l, chamado
foco, uma secção cônica é o lugar geométrico dos
pontos P para os quais a razão
distância de P a Fdistância de P a l
é constante.
Essa constante chama-se excentricidade da
cônica (e).
0<e<1 elipse (“falta”)
e=1 parábola (“comparação”)
e>1 hipérbole (“excesso”)
Temos três casos:
PO + PF = 2a2a = comprimento do fio
OF = 2c2c = distância focal
PO + PF = 2a2a = comprimento do fio
a = semi-eixo maiorOF = 2c
2c = distância focal
x2/a2 + y2/b2 = 1equação reduzida da
elípse
b2 - a2 = c2
e = c/a 0 < e < 1
(excentricidade)define o tipo da órbita
As órbitas dos planetas do sistema solar são elípses
com excentricidade pequena
As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses
com excentricidade pequena
Órbitas dos planetas externos
As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses
com excentricidade pequena
Órbitas dos planetas internos
Vejamos os valores das excentricidades das órbitas
IPO - PFI = 2a
OF = 2c
b2 + a2 = c2
e = c/a e > 1
(excentricidade)x2/a2 - y2/b2 = 1
equação reduzida da hipérbole
É interessante trabalhar as cônicas com programas de geometria dinâmica, como
o gratuito CAR.
Assim, a história da geometria se inicia com a
geometria dinâmica do pensamento grego e
termina com a geometria dinâmica do computador.
