Historia da Matematlca atraves de Projetos de Pesqulsa

Antonio Carlos Brolezzi

Departamento de Matematica -IME/USP

brolezzi@ime.usp.br

VV\VW .ime.usp.br/ -brolezziResumo

Este Mini-Curso apresentara exemplos de topicos doconteudo de Matematica elementar que podem serabordados em forma de mini-projetos de pesquisaenvolvendo 0 uso do Historia do Matematica. Pretende-sesugerir que 0 conteudo seja abordado levando-se emconta a 16gica do ciencio em construc;:ao. com 0

desenvolvimento do criatividocle e do habilidade de fazerconexoes. 0 uso de teenologias sera apresentado comoforma conveniente e interessonte de se trabalhar comprojetos de pesquisa. ainda que requeira cuidadosespeciais.

o uso de Historia do Matematica tern sido apontadocomo instrumento importante para 0 ensino de Maternaticaem todos os niveis (Baroni e Nobre. 1999). 0 valor desserecurso esta reconhecido em textos e programas oficiaisque afetam 0 ensino nacional (pCNs. PNLD. ENC) e estapresente em diretrizes dos cursos superiores de matematica.

Academicamente, esse instrumento foi apresentadocomo fator decisivo para a aprendizagem significativa doMatematica (Brolezzi. 19911. Tem-se indicado suaimportancia para mostrar 0 carater dinamico doMatematica. em que do uso passa-se 6 descoberta. depois6 explorac;:ao/desenvolvimento e por fim 6 definic;:ao(Davitt. 20001. Tambem aponta-se para a ajuda quesignifica para os alunos fazerem conexoes entre as ideiasestudadas (Wilsone Chauvot. 2000).

EsteMini-Curso pretende sugerir exemplos de topicosdo conteudo de Matem6tico do Ensino Fundamental eMedio que podem ser olJordados em forma de mini-projetos de pesquisa envolvendo 0 usa do Historia doMatematica. Particularmente. pretende-se sugerir que 0conteudo seja abordado levando-se em canto a logica dociencia em construc;:ao. Com isso. espera-se que as alunosfac;:am conexoes entre os topicos do Matematica e outrasdisciplinas e contextos. de modo que relacionem aMatematica com as eta pas de desenvolvimento dohumanidade (pCN-EMI.

Tanto para a realizaC;:(Jodas pesquisas quanta paraa apresentac;:ao dos seus resultados. a uso de tecnologiassera apresentado como forma conveniente e interessantede se trabalhar com Hisloria do Matematica. A Internetcomo fonte de pesquisa permite transcender a Iinearidadedos textos. e propicia importantes discussoes sobre ascuidados especiais com 0 Internet. a validade efidedignidade das fontes de pesquisa historica (Brolezz!.20011·

A construc;:ao de paginas do Internet seraapresentada como forma de organizar e socializar 0processo de aprendizado e a divulgac;:oo dos resultadosdesse processo (Levy. 2001).

A criatividade e uma caracteristica muito importantena atividade do professor de Matematica. Parece haveruma exigencia maior de criatividade em certas profissoesque ofere cern urn contato frequente corn urn mesmopublico. Por outro lado. naG se pode inventor demo is. sobpena de perda de identidade e objetividade do que seesta querendo desenvotver. Saber combinar uma certadose de repetic;:'ao com uma continua arte de inovar 13 urndos grandes segredos do sucesso ern tarefas que Iidamcontinuamente corn urn mesmo publico.

A profissao de professor supoem urn con toto rotineirocom urn determinado grupo de pessoas: os alunos.Convivemos com uma classe 6s vezes mais tempo quepessoas das familias dos alunos. E importonte descobrir achave de ser constantes e repetir continuamente certaspraticas de sucesso.00 mesmo tempo em que inovamos devez em quando.

Quando entramos em sola para mais umo aula.temos sobre nos a atenc;:ao de uma quantidade de pessoasdiferentes. com olhares distintos. Todos os olhares recaemsobre nos. no esperanc;:a de que apresentemos umonovidade. Ha pessoas das quais nao se espera qualqueralterac;:ao de comportamento - sac sempre as mesmas. Aestabilidade 13 caracteristica das pessoas confiaveis.serenos. maduras. Mas tambem dos previsiveis. daquelesque noo oferecern novidade alguma. Uma parte de nosnoo deve mudar nunca. nosso carater. nossapersonalidade. Mas alguma coisa poderia mudar 6s vezes.

No que se refere 6 percepc;:ao que os alunos terndos professores. podemos dizer que, em geral. os alunosreparam em tudo 0 que aparentamos e ate no que naogostariamos que transparecesse. Sabem se usamos sempreas mesmos sapatos. se mudamos a marco do perfume. seassistimos novelas. Melhor que alguns membros de nossapropria familia. podem dizer rapidamente se dormimosbem. se estamos desesperados. se temos urn novo amor. Setentarmos dissimular uma trisleza. por exemplo. 0 maximoque conseguiremos 13 que os alunos percebam que. alemde estarmos tristes. estamos tambem tentando esconder atristeza. Portanto. naG ha a que [azer, senao deixar-seconhecer pelos alunos. Ter uma atitude dissimuloda diantedos alunos 13 inutil.

o que podemos fazer 13 tentm ser melhoressinceramente. Como ninguem da 0 que naG tern. e precisocrescer por dentro para que as alunos percebam quetemos novidades. Nao adianta enganar. fazer de contaque agora tudo sera diferente. A criatividade deve vir dedentro. de urn espfrito interessante. nao de uma pr6teseartificial.

Estamos propondo que, para ser criativo. e preciseuma grande dose de estudo e de cultura profissional. Parainventar. 13 preciso estudar mais.

A c1assica afirmac;:ao sobre 0 trabalho dos cientisfasde que serio constituido de 99% de transpirac;:ao e 1% deinspirac;:ao. pode ser aplicada ao trabalho do professortambem. Podemos dizer que com mais cultura motematica.cqm mais recursos previamente (e 6s vezes arduamentelarmazenados. 0 professor pode fieor mais tranquilo e nahora do aula essa prepara<;:ao remota pode dar espar;opara maiscriatividade. Ou seja. como a frabalho ja foiantecipado. planejado. preparado. quando chegar a horade encontror os alunos. as coisas fluem e se abre espac;:opara a espontaneidade.

o que 13 essa cullura matematica de que falamos?Aqui estamos utilizondo a term a cultura matematico parareferir-se aquele conhecimento que engloba e transcendeo conhecimento matematico. Ou seja. alem de sabermatematica. a professor deve conheeer llist(Jria do

motematico, deve saber usor computodores no ensino. usare criar materiais didaticos diversos, conhecer aplica<;:<5esdomate matico, problemas interessantes e noo-ratineiros, jog os.curiosidades,

Mas ha uma grande lorc;:a latente nas escolas, quepode contribuir decisivamente para a construc;:oo de aulasde mate matico criativas. Falo dos alunos; de suaspeculiaridades, de suas diliculdades e problemas, de suadiversidade. do pluralidade de seusolhares e modes de ser.

Se me lor permitida uma breve digressoo. you contaruma reminiscencia pessoal noo muito transcendente masque me traz sempre inspira<;:oo, Quando comecei a fazerLicenciatura em Matematica, tinha que dar aulas parasobreviver (sobreviver e 0 que significa habitar 0 CRUSPI.Minha timidez era pavorosa, Sem ter nenhuma prepara<;:ooprevia de didatica (a disciplina de Pratica de Ensino 56apareceria no ultimo ano), lembro que lie avo ensaiandoaulas novas em uma sola do IME-USP.Quanto nao ensinei6quelas carteiras solidarias! 0 problema e que. 00 chegar 6sola de aula real, as carteiras surpreendentemente nooestavam vazias. mas ocupadas por seres inquietos e dedilicil abordagem, Aqueles alunos ali sentados noo estavamno programa. Chegava. em minha obtusidade, a ter queimaginar as carteiras vazias para poder dar aulas!

Uma reac;:oo que five ante essa situac;:oo loi a debuscar a tal "cultura matematica" para poder ter acesso6queles alunos que teimavam em noo en tender umapalavra do que eu dizia. 0 lato de eles naG entenderemminha lingua (que dileren<;:a das carteiras lazias, toocompreensivas!l e que me fez procurar melhorar minhaspr6prias concepc;:6es. Se tivesse dado certo meu esquemade dar aulas para carteiras vazias. ate hoje estaria dandoaulas para carteiras vazias.

Sorte minha que deu tudo errado, Mal come<;:ava alalar e vinha uma duvida: "para que estudar isso?", "paraque tenho que saber uma coisa too chota?".

Olhando para os alunos, e noo para as carteiras,podemos perceber coisas inferessanlissimas. Em geral. creioque as duvidas dos alunos sabre as aulas de mate matico500 de dois tipos. Perguntas visando 0 esclarecimento decomo e mesmo que se faz determinada coisa, como parexemplo como e mesmo que se laz para achar a equa<;:oode uma reta dodos dois ponfos, E perguntas visandodescobrir, afinal, por que temos que aprender como se fazisso.

As perguntas do primeiro tipo soo respondidasexplicando melhor a mesma coisa ou procurando variar aexplica<;:ao. inclusive mostrando que ha varios metodospara lazer isso, e 0 aluno podera escolher 0 metodo quemelhor for compativel com seu signo. Ja as perguntas dosegundo tipo exigem sair lora do matematica. Noo bastamexplica<;:<5esdo tipo: "Olha, cai no provo, e por isso quevoce tem que aprender isso" ou ainda "Voce precisa sabercomo encontrar a equac;:ao do reta dodos dois pontos parao caso de voce ter dais pontos e entao se voce quiserencontrar a equa<;:ao do reta que passa por eles, como vaifazer? Par isso tem que saber isso".

Em geral. pontualmente, nenhum resultado dematematica elementar (aquela que vai ate 0 linal doEnsino Mediol serve realmente para grande coisa. Essaafirmo<;;60 categorica pode chocar aqueles que gostamde pensar que "Existe Matematica em tudo 0 que noscerca". E vem aqueles exemplos arlificiois de usa domatematica, que acabarn par reduzir. 00 inves deaumentar,o valor do disciplina.

Quando 0 aluno pergunla para que serve algumacoisa pontual. como por que tem que saber como obter aequa<;:ao do reta dodos dois pontos. em geral e porque 0curso nao esta estruturado de modo a garantir que osalunos saibam 0 tempo todo por que eslOo estudando

matematica. ou no coso geometrio analilica. Voce s6 lazperguntas do tipo "Mas que diabos eu estou lazendoaqui?" quando voce esta em um camping onde chove 0tempo todo, ou em uma festa regada a cerveja quente. 0aluno so pergunta "para que serve" quando 0 conteudoesta sem grac;:a, lora do contexto.

Mais uma reminiscencia, se lor permitida. Dei aulasalguns anos em uma escola dirigida por psic610gas. Foiminha verdadeira escola. Ate hoje 56 tenho leito aplicar edesenvolver 0 que aprendi la. Tinhamos duas horas dereuniao par semana, todos os professores falando sobre suasaulas, seus alunos. Aprendiamos a "Ier" 0 que 0 aluno quermanifestar quando faz ou diz alguma coisa. Em geral, aaluno naG quer dizer 0 que diz. mas algo dilerente daquiloque disse ou lez. Havia alunos daqueles geralmentechamados de problematicos. Por exemplo, um aluno jogouuma cadeira em minha cabec;:a enquanto eu estavasentado em minha mesa muito satisleito com a seguran<;:ade minha suprema autoridade. Fiquei muito surpreso, poisera um aluno de quinta serie muito franzino, e a cadeira erapeso do. Em conversas com as psic610gas do escola,procurei refletir sobre 0 acontecimento. 0 que aquele alunoestaria querendo me comunicar? Quais os seussentirnentos? 0 que ele quis dizer que 56 poderia ser ditoassim. atraves do gesto extremo de atirar uma cadeira nocabec;:a do prolessor de matemafica? Creio (esperoj queos problemas daquele oIuno devem ter sido estudados eresolvidos opos todos esses anos. Aparentemente, ele nooestava revoltado especilicamente comigo ou com amatemalica, mas com aquela atmosfera asfixiante, caldode cultura de lodas as neuroses, em que tende a setransformar uma aula tenso e recheada de ressentimentos ehumilhac;:<5es.

Considero-me uma pessoa de sorte, nao so pelo latode a cadeira nao ter me atingido em cheio, mas pelo latode poder ler aprendido com experiencias assim tao c1arasedidaticas. Por vezes, em uma aula em que 0 trabalho estejase desenvolvendo com certa supressao de coisas ocultas,com violencia dissimulada. imagino uma cadeira voadora,e pronto. ja estou de volta 00 mundo dos humanos. E sinto apremencia de ser crialivo e interessante, e lazer minhasaulas criativas e interessantes. As vezes. sinto tanto vontadede ser mais humane que ate suspiro sozinho. Precisoreencontrar minhas amigas psicologas.

Mas sera que existe criatividade? Um lilosolo quedividia uma mesa de debales comigo alirmava: nao existecriatividade. Deu argumentos pesados, cilando os gregos. aorigem latina das palavras, falou muito bem. Me senli meioridiculo, mas como ele nao para va mais de lalar, pude tertempo de me recompor e observar sua performance. 0li/osolo elaborou um discurso cheio de crialividade, paratentar mostrar que a criatividode nao existia. Fiqueiconvencido de que tinha razao. Pensei: "Eis ai um homernbem eriativo. " Percebi enlao que, mesmo que a palavracriatividade fosse, como ele dizia, "datada". e que para 0bem dos povos deveriamos evitar falar em criatividade, jaque nao criamos mesmo nado, no sentido grego do termo(ou sera latino?), mesmo assim se eu quisesse descreveraquilo que normal mente chamamos de criatividade, e quetodo mundo sabe 0 que e, como deveria lalar? Enquantoaguardo para saber a resposta a essa pergunta, continuareia usar a palavra criatividade mesmo.

Ainda me interessa saber como ser mois criafivo (sejala 0 que isso for!). David Perkins, doulor em matematicapelo MIL outar de "A bQnheira de Arquimedes - como asgrandes cientistas usaram a criatividade e como voce podedesenvo/ver a sua" (2002), elaborou uma interessanteanalogia para tentar descrever a arte do pensamentocriativo. Contou a historia do corrida do aura no Alaska em1897. Tudo come<;:ou com a noticia de que havia sidoencontrado Duro no regiao chamada Klondike, uma regiaodesertica e inospita. A existencia de uma planicie sem pistas

oferecendo uma imensidoo das possibilidades para seprocurar ouro foi a met6fora da qual Perkins extrai muitasanalogias que utiliza para explicar como ser mais criativo.Para ele. 0 espa<;:o de possibilidades. ou espa<;:oklondikeano. serve de pano de fundo para ele explicar asquatro opera<;6es fundamentais do pensamento criativo:perambular. detectar. reenquadrar e descentralizar.

Perambular. andar por aqui e aiL deixar 0

pensamento solto. Detector algumas pistas sutis. elaboraralgumas hipoteses. Olhar 0 problema de outra forma,inverier as perspectivas. Sair do estreito mundo dascondic;:oes pre-esiabelecidas. olhar para alem do nossohorizonte estreito.

Noo falei 0 suticiente para explicar as ideias dePerkins. explicitadas com exemplos interessantes em seuIivro. Mas para nos aqui acho que j6 deu para entenderque a cultura matem6tica de que falava e um espac;:oklondikeano. e que nossa otividade de pesquisa e comoexplorar uma Serra Pelada em busca de ouro. e que acriatividode e uma atividade de busca 6s vezes 6rdua.

au seja. para criatividode. estudo. Um otimo compode esiudos e a historio do maiem6tico. Issosupoe interessar-se pelo historio universal dos povos. e tambem pelaaventura humono. pela questoo mais iranscendente sobreo sentido da vida.

Algumas pessoas noo gostom disso. Sentem vertigel1}quando propomos perambulor. transcender Iimites, invertero sentido dos problemas. opostor em pistas improvaveis.Mas issonoo e too estranho. quondo pensamos na pesquisasobre a Historia da Matem6tico. par que sempre estamos nonosso planeta. no que cllornomos de lar. Como diziaGusdorf. em "Professores para que?". cada um de nos trazdentro de si uma voca<;:oo para a humonidode. Por isso eprecise redescobrir 0 valor e 0 gosto pelo condi<;:oohumana. pela historio. para quem quer ampliar sua culturamatem6tica e ensinar de modo mois criativo. Noo d6 paraticar dando aulas somenie para as carteiras. Existempessoas seniadas aiL Ecuidado com as codeiras voadoras.

Um olhar atento sobre os alunos, revela todo umuniverso de muiios mundos a conhecer e buscar mantercanto to. A comunico<;:oo corn os alunos comec;:a quandoprestamos atenc;:oo no que eles estoo querendo saber.

Quando 0 aluno pergunta "para que serve". erngeral e sinal de que e preciso reestruturar 0 curso para queo ensino ienha significado. E isso pode ser feito com umborn estudo de Historia do Matematica. A historia noomostra por que cada coisa foi criada. Muitas vezes. 0 que esurpreendente para 0 professor. a matematica sedesenvolveu sem muito sentido proiico. E uma grandefalsidade pensar que a Matem6iica nasceu dasneeessidades pr6ticas do dia-a-dia. A maiem6tica eabstrata. esse e seu grande valor. Noo serve para nada. Eao mesmo tempo serve para iudo. Toda a tecnologia atualest6 embasada ern muiia matem6tica. Mas noo que amatematiea sirva isso ou aquilo.

Eis um paradoxo inieressante. as gregospereeberam isso. e par isso foram too longe. Aristoielescomenta que Tales anclava olhando para cima. emprofunda meditQ(;oo, e caiu ern uma po<;:a d'agua. Suacriada. que 0 observava do balcoo. exprimiu todo 0 sentidodesse paradoxo do aplica<;:oo cientifica: "6 grande Tales.0senhor anda com a eabec;:a nos estrelas. e noo sabe ondepoe os pes". E isso.Tales pensava ern coisas sem aplicac;:oopr6iiea imediata. Para isso tinha que iirar 0 olhar do choo.

elevar sua mente. Depois. sua matematica teve enormesaplicac;:oes pr6iicas. Diz-seque ele mesmo teria enriquecidoprevendo astronomicamente uma super safra de azeitonas.Noo se sabe ao certo. Mas 0 modo grego de ver as coisasficou para sempre definido no espiriio cientifico: conhecerpor conhecer. Todo homem por natureza ama 0conhecimento.

au seja. se a matem6iica tem que servir paraalguma coisa, fa<;:amos como Euclides (tambem se contaessa hist6ria de ouiras pessoasl que ofereceu uma moeda aum aluno para coda ieorema que aprendia. a aluno tinhaperguntado: "0 que yOU ganhar com isso?" Ganhou suasmoedas. e se foi inieligente deve ter percebido aos poueoso valor daquilo que aprendia. Que bom serio seconseguissemos mostrar para os alunos que a matem6ticae too interessante e tem tanto valor em si que nooimportasse saber para que serve coda coisinha queaprendemos.

Issosignifica trabalhar com projetos. Exisiem esiudosacademicos sobre como e porque irabalhar com projeiosem sala de aula. De um modo mais profundo e abrangente.Machado (1997) desenvolveu a rela<;:oo ente projetos eeduca<;:oo que transcendem a mera iecnicidade de umametodologia pedagogica. Projetos soo a essencia doeducac;:oo. na medida em que soo a perspectiva de umfuturo a se consiruir. envolvendo a no<;oo fundamental devalores. au seja. os projeios noo soo apenas um meio de sebuscar a educa<;:oo. Na verdade. a educa<;:oo e que fariaparte de urn projeto maior. a vida a construir. Por isso.irabalhar com projeios na escola seria 0 mesmo que trazera educac;:oo para um lugar mais transcendente. que e a demeio de atingir a propria essencia do vida.

Em "Sobre a ideja de projeto", Machado (1997)relaciona projetos com voca<;:oo. e nessa perspectiva. aideia de projeto ocupa 0 popel de fio condutor para aorganiza<;:oo das a<;oes. Ha uma relac;:oo forte entreprojetos de vida dos alunos e projetos pedagogicos doescola, "A propria organizac;:oo des afividades did6ficasdeve ser encarada a partir da perspectiva do trabalho comproietos (...). A justificativa dos conteudos disciplinares aserem estudados deve fundar-se em elementos maissignificativos para os estudantes. e nada e mais adequadopara isso do que a referencia aos projetos de vida de cadaum deles. integrados simbioticamente em sua realizac;:ooaos projetos pedag6gicos das unidades escolares", Essesentido mais transcendente da ideia de projetos deveria seruma conseqOencia necessaria do trabalho do professor dematem6tiea que quer ser criativo e, na tentativa de secomunicar com os alunos reais que esioo a sua frenie.estudar mais e trabalhar a matematica em seu contextoamplo. cultural e hisiorico.

Traia-se de desenvolver 0 conteudo no perspectivados alunos que querem 0 tempo todo saber "para queservem" as coisas que esiao aprendendo. as projeios, oquieniendidos como uma organiza<;:oo de uma busca ouinvesiiga<;:oo que uma coisa que se quer conhecer melhor.seriam criados em conjunto com os alunos. em aiem;:aocom 0 que eles manifesiam que querem saber.

Como fa lam os desde 0 inlclo. entendemos que acriatividade do professor deve ser alimeniada com maiscUltura. e situamos 0 conhecimento historico como parteessencial dessa cultura.

Mas essa busca do professor noo costuma ser (1

parte do seu trabalho pedagogico. V6rias razoes levam 00fato de que 0 professor de matem6tica noo possui. 00termino do seu curso de Licenciatura. a cultura necess6riaque possa fazer com que consiga rechear as aulas doriqueza oriunda do esiudo do Historia do Matem6tica.Entretanto, isso noo esta sendo aqui c%cado como umproblema. mas sim como uma circunsiancia que iem seulade altamenie positivo.

Uma observa<;ao paralela: naG pretendemos que 0

professor sejo culto e criativo e com isso humilhe e sesobreponha aos seus alunos reduzidos agora a duplosignorante. de matematica e tombem de historia e outrascontextualiza<;6es da matematica. Seria muito triste queconstruissemos 0 conhecimento de historia da matem6tica.motivados a meter-se nesso area por raz6es pedogogicas.para depois fazer dela outro corpo de conhecimentoshermeticos e por-se a aterrorizar os alunos nao apenas coma classica e temida matematico, mas agora com algoainda mais dificil que e a historia da matematica.

o uso direto. ou seja. contar a historia damote matico, e tolvez 0 tipo de utiliza<;ao da Historia menosinteressante e necessario. Propomos que e imprescindivelconhecer a historia para poder rechear 0 ensino deligo<;6es entre os conceitos. de exemplos de aplica<;ao. dediferentes modos de pensar. de diferentes Iinguagens, deproblemas interessantes. de jogos e de toda a culturomatematica fornecida pelo estudo do historia. Pesquisa.projetos. e disso que 0 ensino de matematica carece paraser mais interessante para 0 aluno. Quem perguntara "paraque serve?" seremos nos. Os alunos iraQ nos responder. Ounao.

A carEmcia de conhecimentos historicos por partedo professor de matemetica pode ser otima oportunidadede colocar-se mais proximo dos alunos e trabalhar emforma de projetos. Vamos aprender juntos com os alunos. 0criterio dos professores. em geral mais maduro e menosimpressionavel, sera 0 guia para a pesquisa que os .alunos -e tambem 0 professor! - iraQ empreender.

Onde isso nos levare? A cumplicidade entre osprofessores e os alunos so pode trazer beneficios, no medidaem que 0 que se busca sobrefudo e a constru<;ao de umombiente em que 0 aluno nao fique sempre com cipergunta "para que serve" na ponto do lingua, enquanto 0professor fique com a receio de que 0 oluno fa<;a apergunta fatal. Nao, aqui os alunos iraQ saber que as coisasnao estao todas escritas e que ha muito mais misterio navida que respostas prontas.

Estamos defendendo que um curso de mate maticoem qualquer nivel pode ser feito por meio da constru<;ao deprojetos. Essesprojetos sac geralmente de pesquisa. Podemser projetos de constru<;ao de materiais, mas envolveriamsempre algumo pesquisa. Aqui falaremos da pesquisa em si.Pensomos que pesquisa sejo umo investiga<;ao sobre algoque se quer saber. sempre relativa 00 sujeito da pesquisa ouao seu ambiente.

Em geral. para se fozer uma pesquisa e precisoplanejar 0 que se pretende fozer. Mas nem sempre isso epossivel. Ha assuntos ainda tao pouco claros que eimpossivel planejar como pesquisa-Ios. ja que nem ha aindaclareza quanto 00 objeto da pesquisa.

Seja como for. ojuda tentar identificar partes doprojeto de pesquisa. Isso e particularmente util para que setenha uma ideia do espirito do que e uma pesquisa.

Em primeiro lugar, vern a pergunta, ou problema depesquisa. Algo que nos inquiete. cujo resposta nao sabemosmas temos inten<;ao de investigar. No nosso caso, pareceque a pergunto inicial e sempre "Para que serve isso?"relotiva a olgum topico de matern6tico. Muito bem, ja euma pergunta. Para que servem Numeros Complexos,C6nicos, Fun<;6esTrigonometricas etc.

Mais para a frente, podernos identificar e especificarmelhor 0 nosso problema de pesquisa. Mas POI' enquanto

ele surge naturalmente como uma duvido, um interesse dac1assepor saber mais sobre um determinado assunto.

Em seguida vem 0 levantamento de hipoteses.Tratam-se de primeiras respostas ao problema dado,respostas que achamos plausiveis mas ainda passiveis demelhores explica<;6es e verifica<;6es. POI' exemplo, se aquestao e "Para que servem numeros complexos?", umprofessor poderia sugerir como hipotese: "Os numeroscomplexos surgiram no contexto do busco POl' soiu<;6es dasequa<;6es olgebricas do terceiro grau. mas hoje em dioservem, entre outras coisas, para entender 0 funcionamentodos circuitos eletronicos".

As hipoteses podem ser refutadas ao longo dapesquisa, mas a principio escolhermos alguma quepretendemos comprovar. Oai vem 0 objetivo da pesquisa,que se resume a tentar comprovar a hipotese. No casoconsiderado, 0 objetivo principal e "Verificar se os numeroscomplexos servem para entender 0 funcionamento doscircuitos eletronicos, e se teriarn surgido quando 5eprocuravam 501u<;6espara equa<;6es do terceiro grau".

Dos objetivos passamos 6 metodologia. 0 quefaremos para atingir 0 objetivo? Ha muitos caminhos. Pode-se adotar algo facil, como "Consul tar 0 livre didatico". Masisso nem sempre de resultado. Uma possibilidade simples nonosso caso seria "Olhar os Iivros de Historia da Matem6tica eentrevisfar 0 professor de fisica para ver se ele sabe ouindica alguma bibliografia que permita verificar esseassunto dos circuitos eletronicos".

Bem, entao e preciso ver se h6 Iivros de Historia daMatematica na escola, e tambem algum Iivro dos indicodospelo professor de fisica. Surge a bibliografia do projelo:nome do autor. tftulo. numero da edi<;ao, cidade daedi<;ao, editora. ana de publica<;ao. Caso foremconsultadas paginas na Internet - sempre com a supervisaodo professor para evitar a prolifera<;ao de concep<;6essuperficiais ou mesmo err6neas -. e preciso colocar. alem doendere<;o da pagina con5ultada. tambem a data e horarioem que se deu a consulta. E que 0 conteudo do Internet etoo dinamico que as "edi<;6es" do conteudo sac bem maisfreqOentes que as edi<;6es dos Iivros.

Realizada a pesquisa, devem surgir conclusoes. Asvezes a conclusao e que a escola precisa melhorar suabiblioteca, ou que esse tema e muito dificil. ou que nao foipossivel encontrar nada muito conclusivo a respeito. Tudobem, estamos garimpando, 6s vezes nao se encontra ouro.Mas a vantogem e a seguran<;a que temos e que, 5eencontrarmos um problema realmente difici!, issoja tern umvalor incrivel. Pode ser um lema para uma tese dedoutorado, quem sabe. Nesse jogo, mesrno perdendo agente ganha. Ocorre que a descoberta de um problemanovo e um valor imenso. Perkins (20021 mostra como adescoberla de um problema esta diretamente ligada 6criatividade. Menciona as ideias de Einstein, para quem"Ievanlar novas questc5es. novas possibilidades, encarar asvelhas perguntas de um novo ongulo - 500 coisas querequerem imoginoC;ao criotivo e assinalam um avanc;o realno ciencia". Ou seja, se a conclusoo da pesquisa for que enecessaria outra pesquisa, isso nao represenla um fracasso.

Resumindo. e isso um exemplo de micro-projeto depesqui5a tal como 0 concebemos para uso ern aulas dematematica de Ensino Fundamental e Medio.

o que vai acontecer se os alunos corne<;arem apesquisar 0 conteudo de Matematica da escola?Entendemos que isso gera conex6es entre os conceitos. 0simples uso de Historia da Malematica gera conex6es.Segundo Wilson e Chauvot (2000), "incorporar historia nasaulas de matematica po de oj udal' os alunos a fazerconexc5es e muito mais (...J. A historia e repleta de conexc5es

matematicas - conexoes entre topicos de matematica,conexoes entre matematica e aplicac;oes, conexoes entrematematica e outros disciplinas (".J. Um perspectivahistorica po de ajudar os a/unos a ver a matematica comopoderosa, acessivel, conectada e em desenvolvimento".

5e 0 ensino puder mostrar a matematica como umcorpo de conhecimentos conectados, isso e de grandeimportancia para a educa<;oo. No verdade, 0 que secoloca e que conhecer e enredar-se, em uma alusoo aideia de conhecimento como rede de significados, Essaideia, que Machado (1995) expoe em "Conhecimentocomo rede: a metafora como paradigma e comoprocesso", implica em que quando conhecemos algumacoisa realmente, 0 que estamos fazendo e estabelecerrela<;6es entre 0 conhecimento novo e outros que jatinhamos ou estamos tendo. "Apreender 0 significado deum objeto ou de um acontecimento e ve-Io em suosre/ac;6es com ou/ros objetos e acontecimentos".

Haylock (1991 ), 00 falar sobre 0 ensino dematematica para crionc;as de 8 a 12 anos que possuemdificuldade em aprencJer, afirma que a maior parte dasotisfac;ao inerente na aprendizagem do matematica vemda possibilidade de compreensao: "fazer conexoes,re/acionar os simbolos do matematica com situac;oes reais,ver como os coisos se encoixom umos os outros, e articularos padroes e reloc;oes que sac fundomentais para nossosistema numerico e operoc;:6es numericos".

Ao concebermos a matemolica conectada, aperspectiva historica mostra que as redes de significadoestaa ern permanente estodo de metamorfose. Isso implicaern mudan<;as no emina, como afirma Machado -(1995):"Especia/mente no que se refere 00 p/anejamento dasatividades didoticos, a concepc;ao de conhecimento comouma teia acentrada de nos e re/ac;oes significativas, empermanente transformac;oo e atualizac;60, conduz a umaradical mudanc;a de perspectivas e expectativas". Para ja,essa mudanc;a implica em uma mudan<;a no perspectivado ordem e linearidode das apresenta<;6es do conteudo,Por isso a ideia de utilizar projetos de pesquisa, 00 rompercom a Iinearidade, ocupa outro espa<;o no organiza<;aoescolar,

Muda, ossim,0 sontido das avalia<;6es. Coma avaliarse 0 que pretendemos e a descentraliza<;ao das ideias, aassocia<;ao entre os temos diversos, a busca do problemamais que a busca das respostos pre-estabelecidas?

Muda tambem a fonte das informac;6es. Qual 0papel do livro didalico nesse contexto? Ele e uma boa fontede pesquisa? 0 papel do Iivro didatico precisa serrepensado. Machado (1997) prop6e que "0 livro didaticoprecisa ter seu papel redimensionado, diminuindo-se suaimportdncia re/ativamenle a outros instrumentos dido ticos,como 0 cademo, seu par complementar, e outros materiais,de um amp/o espectro que inc/ui textos paradidaticos, noo-didoticos, jornais, revistos. redes informocionois etc, "

As redes informacionais. Para alem do livro didatico,temos a biblioteca fisico, e tambem as diversas midias e agrande biblioteca que e a Internet. Uma das diferen<;asimportantes e que as bibliotecas, e em menor grau osjornais e revistas, trozem informa<;6es de alguma formaselecionadas. Jo a Internet nao tem controle algum.Qualquer pessoa pode disponibilizar conteudo na rede. Issorequer a habilidade do pensamento crialivo que devedetectar pistas falsos, selecionar os caminhos. Novashabilidades, que os alunos devem desenvolver junto aosprofessores. Se antes boslava abrir uma enciclopedia paraobter dodos sobre um topico considerado, agora e precisover se 0 que lemos e vemos tem realmente valor, lo,Jessesentido, 0 uso de projetos de pesquisa no educa<;aoadquire mais essa func;:iJo,a de preparar 0 aluno para 0exercicio do selec;:ao (ias informa<;6es, uma habilidadenecessaria para °cidadoo de hoje,

Conectividade, associa<;6es importantes ou banais,relac;:6esfalsas entre conceitos. No pesquisa, 0 computadorira mudar a forma de trabalhar em sola de aula.

Ao aproximar 0 professor das novas midias, abrem-senovas possibilidades. A visao dinamiea do conhecimentomate matico, uma das consequencias importantes do usodo Historia, e tfpico do uso das novas midias. Proximidadedas mudanc;as e facilidade de acesso sac indicadas porBorba (1999). Ao escrever sobre ''Tecn%gias informoticasno Educ0900 Motemotica e reorganizoc;oo dopensamento", afirma que:

"As midias, vistas como tecnicas, permitem que"mudanc;os ou progressos do conhecimento"sejam vistoscomo mudanc;as paradigmoticos impregnados dediferentes tecnicas desenvolvidos 00 longo do historia. Eneste sentido que no atual mornento do Educac;60Matematica devemos testar essas metaforas teoricasgeradas por diferentes pesquisas, para que consigamosdesenvolver novas praticas pedagogicas que permitamque mais estudantes tenham acesso a estudar matematiea(...)".

Assim, estudar matematica passa a ser estudarmatematica 6 luz de sua construc;ao historieo via novastecnologias, As inforrna<;6es disponiveis no rede mundial decomputadores, em diversas Ifnguas, estao dispostas demodo a possibilitar um uso mais versotil do vasto mundo doHistoria do Matemotica. As multiplas rela<;6es que 0hipertexto permite - mapas, figuras, jog os, problemas,testes, textos, som e imagem em movimento - comp6emestruturas possiveis para 0 acesso e uso do Historia,transcendendo a Iinearidade dos textos.

Essa novidode e assinalada por Penteada, quepesquisou a presenc;a de computadores no escola. Atirmaem "Novos atores, novos cenorios: discutindo a inserc;:aodoscomputadores no profissoo docente":

"Um novo cendrio afeta a forma como os a/unos eprofessor se compor/am no solo de aula e a forma como secomunicam entre si, 0 professor se ve dionte de situac;oesnovas (os alunos tambemJ em relac;oo 00 que usualmenteesta acostumado a enfrentar, exigindo esfrategiasdiferentes. Essa nova organizoc;oo do espac;o Fisico nooprecise estar necessariamente vinculada 00 usa decompufadores, mos um tal uso parece implicar umamudanc;a no disfribuic;:oo dos alunos e dos demaiscomponentes presentes no sala de aula."

Isto e, as novas tecnologias noo sac apenas uteis emsi mesmas, mas enquanto provocadoras de uma atividademais criativa, que tem efeito principalmente no mudan<;ade atitude do professor. 0 formato da sala de aula sealtera. Levy, em entrevista 00 programa Roda Vivo do TVCultura em 8 de janeiro de 2001. destaca a liberdade deexpressao e 0 intercambio de conhecimentos que acorreno usa didatico do Internet:

"Noo devemos limitar os processos de aprendizodo acafegorias estaticas, a program as de estudo pre-moldados,mas deixar 0 oprendizado se desenvolver como umprocesso natural e organico. E permitir que as pessoasexpressem tudo 0 que sabem e tudo 0 que aprenderam.

E podemos fazer isso hoje. Justamente. . . Porexemp/o, permitir que hoje as pessoos fac;am suas 'homepages' e muito mois importante que submete-/os a exomes.

Ensina-Ios a se inserir no processo de intercdmbiode conhecimentos, sendo originois e ojudondo outros a seorientarem, propondo Iigac;6es interessantes a outros sites, emais importante do que conferir se aprenderom umprograma criodo por um professor. "

Evidentemente. como em qualquer Qutramodalidade pedagogica, 0 professor precisa saber utilizar-se dela criticamente, Para que 0 computador permita esseaumento do interac;ao e da troca de experiencias, 0professor deve saber ele mesmo interogir com a maquinade forma criativa, Assim, Penteado (1999) chama aatenc;:ao para a necessidade de forma<;ao do professor:

"E preciso que 0 professor, desde sua formar;ooinicial, tanto nos Licenciaturas quanto nos cursos deMagisterio. tenha a possibilidade de interagir com 0

computador de forma diversificada e. tambem, de discutircriticamente questc5esrelacionadas com os transformar;c5esinfluenciados pelo Informatica, sobretudo nos estilos deconhecimento e nos padrc5esde interar;oo social."

Conscientes dessa car€mcia de forma<;:oo. estamoso tempo todo propondo que 0 trabalho com projetos noo eapenas uma outra forma de trabalhar com os alunos. mas etambem uma forma que os professores tem de atualizac;:oo.de continua formac;:oo. Noo sei se os alunos aprenderooalguma coisa. mas certamente n6s professores aprendemosmuito quando trabalhamos com pesquisa. Queremosprofessores de matematica criat/vos diante do computador.

Concluindo. estamos propondo que 0 professor dematematica. junto aos seus alunos. proponha-se falerpesquisas sobre temas de matematica das suas aulas, quepartindo do pergunta mais comum "Para que serve isso?".ou outras que aparecerem, desenvolva um projetinhovisando a obtenc;:oo do resposta a essa pergunta. Para isso.pode faler uso do biblioteca. do Internet e outras fontesinformacionais. desde que tornados alguns cuidados desaber que nem tudo 0 que esta 10 pode ser confiavel. afinal desse trabalho pode ser disponibilizado tambem napagina do Internet do escola. se houver. ou na pagina doprofessor. au pode resultar em um produto virtual. como umcd-rom elaborado pela c1asse. A avaliac;:oo do trabalhodeve levar em conta 0 nivel de interatividade alcanc;:adopelos alunos. se eles se conectaram. se perambularam eredefiniram seusconceitos inciais.

Mas ... e 0 conteudo que socialmente temos quecobrir? Noo estamos negando nada disso. emborapudessemos questionar a pertinencia de topicas doconteudo. Noo se trata disso agora. Estamos propondo quea pesquisa porta desses t6picos. aprofundando neles.falendo conex6es entre eles. dando sentido a eles. Por issoachamos importante que uma base para a escolha dostemas de pesquisa seja um belo programa de mate maticoelaborado pela escola e que fac;:a parte do projetopedag6gico da mesma, Como noo temos isso aquidisponivel (cremos que 0 projeto pedag6gico deva serelaborado por coda escola). iremos tomar como referenciao programa comentado do FUVEST2003. disponivel noInternet.

Podemos tom a a lista de assuntos cobrados novestibular do USPem 2003 para utiliza-Ia como fonte detopicos do ensino Fundamental e Medio para pesquisar.Embora issocontrarie de algurna forma nosso principio (quee de que os alunos e os professores devem escolher seustemas de interesse. quaisquer que sejam). 0 programa dematematica do FUVEST2003 esta bem abrangente eoferece varios temas para pesquisa sobre a hisf6ria e asaplicac;:6es daqueles t6picos. Por isso resolvemos coloca-Ioaqui na integra. Inclusive ele traz comentarios valiosos sobrea natureza eos fins do conhecimento matematico. aindaque sucintos. mas contribuem para mostrar 0 valor doacesso 6 Hist6ria do Matem6tica.

PROGRAMA FUVEST 2003(texto integral do manual do candidato. disponivel emhttp://www.fuvest.br/Yes t2Q03/manual/ma nua I.stm,acessado no dia 09/03/2003)

MATEMATICA

Conhecimentos mate maticos soo aplicados nointerpretac;:oo de fenomenos. em diferentes areas dociencia. nas atividades tecnol6gicas e cotidianas. acidadoa necessita da capacidade de leitura einterpretac;:oo de informa<;:6espor graficos ou outras formasde Iinguagem mate matico. de percepc;:oo do coerencia ounoo de uma argumentac;:oo. bem como do competenciapara formular suas pr6prias idelas de forma consistent'?,para uma inserc;:oo critica e autonoma no sociedadecontemparonea. Dentro deste espirito. espera-se que 0candidato demonstre possuir dominio do Iinguagem basicae compreensoo dos conceitos fundamentais daMatematica, tratados no ensino fundamental e medio. deforma a saber aplica-Ios em situac;:6esdiversas e relaciona-los entre si e com outras areas do conhecimento. Ele devesaber reconhecer representac;:oes equivalentes de ummesmo conceito, relacionar procedimentos associados 6sdiferentes areas. analisar e valorizar informac;:oesprovenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentasmatematicas para formar uma opinioo pr6pria que Ihepermita expressar-se criticamente sobre problemas doMatematica. das outras areas do conhecimento e dorealidade. Sera priorizada a avaliac;:oo do capacldade deraciocinio. sem dar enfase 6 memorizac;:oo de f6rmulas. 6mecanizac;:oo de tecnicas ou a calculos excessivos,desvinculados de contexto significativo ou de aplicac;:oesrelevantes, dentro ou fora do Matematica.

Na 1 a fase do vestibular. 0 objetivo e avo liar 0candidato quanto 00 dominio e utilizac;:oo do Iinguagem equanto 6 compreensoo de conceitos e procedimentos domatematica elementar. bem como quanto 6 capacidadede aplica-los no resoluc;:oode problemas.

No 2 a fase. alem destes aspectos. pretende-setambem avaliar 0 candidato quanto 00 dominio deconceitos, ferramentas e procedimentos matematicosnecessarios para 0 aprofundamento de estudos em areasde ciencias exatas. bem como quanta 6 capacidade deutiliza-Ios em situac;:oes-problema mais abstratas.

PROGRAMA1. CONCEITOS E RELA<;:OES NUMERICAS BAslCAS E

APLICA<;:OESConhecer os problemas nodais que impulsionaram

a necessldade de ampliac;:oo dos campos numericos edominar os conceitos basicos que deles surglram.proporciona, 00 individuo. uma inserc;:oomais completa nocultura universal desenvolvida por homens e mulheres 00longo do Hist6ria. a cidadoo freqQentemente necessitalidar com dividas au erediarios, interpretar descontos.en tender reajustes salariais. escolher aplicac;:6es financeiras.etc. Dai a importoncia do Matematica Flnanceira com suasaplicac;:6es praticas. Sistemas Iineares e matrizes sooinstrumentos do Iinguagem matematica no modelac;:oo desituac;:oes-problema. alem de representarern tecnicas degrande utilidade para outros dominios do matem6tica denivel superior.

T6PICOS1. 1.Numeros inteiros: compreensoo dos algoritmos

das quatro operac;:6es fundamentais no sistema decimal denumerac;:oo, divisibilidade e a decomposic;:oo em fatoresprimos.

1. 2. Insuficiencia dos numeros inteiros para acomparac;:oo de grandezas e para medir partes de umtodo: razoes e proporc;:oes:os numeros racionais: operac;:oes

- e a relac;:oo de ordem entre numeros racionais:representoc;:oo decimal dos numeros racionais e suarelac;:oo com PG.

1.3. Insuficienda dos numeros racionais para medirsegmentos a partir de uma unidade fixoda: 0 conceito denumero irracional e a representac;:oo decimal dos numerosreais.

1.4. Insuficiencia dos numeros reais para aresoluc;:oo de equac;:6es algebricas de 2 a e 3 0 graus: 0conceito de numero complexo e sum representac;:6es -geometrica. algebrica e trigonometrica: interpretac;:oo

algebrica e geomelrica das opera<;:6es e das raizes denumeros complexos -raizes da unidade.

1.5.Matem6tica financeira como inslrumento paraa resolu<;:ao de problemas: os conceitos de porcentagem.juro simples e juro composto e sua rela<;:ao com PA e PG.respectivamente.

1.6.Sistemas lineares e matrizes como organizac;:aoe sistematiza<;:ao de informac;:6es: discussao e resoluc;:aodesistemas lineares (de ate 4 equa<;:6es e ate 4 incognitas) porescalonamento ou por substituic;:oode vari6veis.

2. GEOMETRIAA utilizac;:ao de conhecimentos geometricos para

leitura. compreensoo e ac;:ao sobre a realidade lem longatradic;:oo na historia da humanidade. E ineg6vel aimport6ncia de saber carac1erizar as diferentes form asgeometricas e espaciais. presentes na natureza ouimaginadas. atraves de seus elementos e propriedades.bem como de poder represenla-Ias por meio de desenhogeometrico. Na resoluc;:oo de diferentes situac;:oes-problema. seguramente se faz necessaria uma boacapacidade de visao geometrico-espacial. 0 dominio dasideias de proporcionalidade e semeihanc;:a. a compreensaodos conceitos de comprimento. area e volume. bem comosaber calcuI6-los. Deve-se salientar que a semelhan<;:a detri6ngulos permitiu 0 desenvolvimento da trigonometria dotriongulo retOngulo. criada para solucionar problemaspr6ticos de c61culo de dist6ncias inacessiveis. Por outrolado. as no<;oes de semelhan<;a e congruencia nosremetem tambem aos fundamentos da propria Geometria.Saber utilizar as coordenadas cartesianas de ponlos noespa<;:o possibilila a descri<;ao de objetos geom.etricosnuma Iinguagem algebrica. ampliando consideravelmenteos horizontes da mode lag em e da resolu<;ao de' problemasgeometricos. por meio do intera<;oo entre essasduas areasda matem6tica.

r6Plcos2. 1.Caracteristicas. elementos e propriedadesgeometricas {Iais que: vertices. arestas. lados.

alturas. ongulos focos. diretrizes. convexidode. numero dediagonais .... )dos seguintes figuras planas e espaciais:poligonos. cfrculos. setores circulares. elipses. par6bolas.hiperboles. prismas. pirumides. esfera. cilindros. cones etroncos.

2. 2. Congruencia e Semelhan<;a de figuras planase espaciais. Razoes entre comprimentos. areas e volumesde figuras semelhantes. Teorema de Tales e aplicac;:oes:problemas envolvendo semelhan<;a. somas dos ongulosinternos e externos de poligonos. Casos de semelhan<;a econgruencia de triongulos e aplica<;oes. Trigonometria dotri6ngulo retongulo como instrumento para a resolu<;oo deproblemas: seno. cosseno e tangente de ongulos agudoscomo razoo de semelhan<;a nos triongulos retongulos.

2. 3. Eixose pianos de sirnetrias de figuras planas ouespaciais. Reconhecimento das sec<;oes planas de cones eas defini<;oes de elipse. parabola e hiperbole como lugorgeometrico. Aplica<;oes.

2. 4. Rela<;oes metricas nos figuras geometricasplanas e espaciais. 0 teorema de Pit6goras: lei dos senos ecossenos. aplica<;6es em problemas bi e tridimensionais taisque: c61culo de diagonais. alturas. raios. etc. Comprimentos(ou perimetros). (!reas Iou superficies de s6lidosle volumes.

2. 5. Constru<;6es com regua e compasso noplano: retas perpendiculares e paralelas: mediatriz desegmento; divisao de segmentos em partes proporcionais;bisse<;oo de angulos; poligonos regulares (inscritos ecircunscritosl: triongulos quaisquer (com a determina<;oo deseus elementos). Problemas de tangencia. envolvendocircunferEmcias.

2. 6. Geometria Analitica: coordenadascartesianas de pontos no plano e no espac;:o. Distonciaentre pontos no plano e no espa<;o e problemas bi etridimensionais simples envolvendo esses conceitos.Equa<;oes de retas no plano: significado dos coeficientes naequa<;oo normal. paralelismo e perpendicularismo;distancia de ponto a reta. Equa<;oes de circunferencias no

plano: reconhecimento do centro. raio. retas secantes etangentes. Aplica<;oes. Equa<;6es e inequac;:oes a duasinc6gnitas corno representa<;ao algebrica de LugaresGeometricos no plano.

3. FUNGOESMais recentes na Historia da Matem6tica do que

os Nurneros. a Geometria ou a Algebra. as fun<;oes tem umpapel de grande destaque no interior daquela disciplinapor serem instrumentos eficazes na modelagem deproblemas reais ou imaginados e por fornecerem formaseficientes de estud6-los. Assim. por exemplo. e irnportanteentender que fenomenos peri6dicos soo descritosprincipalmente com fun<;oes trigonometricas; que certassitua<;oes de erescimento ou decrescimento r6pido podemser representadas por fun<;oes exponenciais; que distonciaspodem ser expressas utilizondo a fun<;ao modulo e que afun<;:oo logaritmo surgiu para permitir simplifica<;oes noc61culo de produtos ou potencias dos numeros com muitosdigitos que astronomos ou navegadores necessitavammanipular. no seculo XVI. A linguagem grafica. sob v6riasapresenta<;oes. por sua cornunica<;oo direta e global.ganha cada vez mais destaque na era da comunicac;:oo.Ganham. assirn. relev6ncia especial naG s6 a capacidadede leitura e interpreta<;ao de graficos funcionais. conferindosignificado as varia<;oes das grandezas envolvidas. mastambem a competencia de saber analisa-Ios para estimarresultados e fazer previs6es. Por outro lado. no que tange aintera<;oo entre diferentes 6reas da propria Matematica. osgr6ficos funcionais sac ferramentas importantes para tornarmais significativas as resolu<;oes de equa<;oes e inequa<;oesalgebricas.

T6PICOS3. 1. A no<;ao de func;:ao como instrumento para

Iidar com varia<;ao de grandezas. Os conceitos de dominioe imagem. Caraclerizo<;oes e representa<;oes gr6ficas ealgebricas das seguintes func;:oes: fun<;6es modulo.polinomiais de 10 e 20 graus. raiz quadrada. f(xl=xn • f(x)= 1Ix.f(x)=1Ix'. fun<;oes exponenciais e logaritmicas (calculo devalores aproximados em casos de expoentes irracionaisj eas func;:oes seno. cosseno e tangente (defini<;oesgeometricas no cicio trigonometrico e valores nos orcosnot6veis) e suas transladadas. Aplica<;oes.

3. 2. Reconhecimento e interpretac;:ao de gr6ficosde fun<;oes: dominio. imagem. valores destacados nogr6fico (m6ximos. minimos. zeros). biunivocidade.periodicidade. simetrias. intervalos de crescimento edecrescimento. analise da variac;:ao da func;:ao. Aplica<;oesem situa<;oes-problerna de contexto variado. incluindoestirnativas ou previsoes de valores. Equa<;6es e inequac;:oesenvolvendo fun<;6es: resolu<;oes graficas e algebricas.Identidades funcionais importantes: principio de identidadepolinornial. produtos notaveis e fatora<;ao de polinomios.principais identidades trigonometricos. propriedadesbasicas de logaritmos e exponenciais. DesigualdadetriangUlar para m6dulos. Aplicac;:oes em situa<;oes-problema.

4. COMBINAT6RIA. PROBABILIDADE ESTATISTICAo desenvolvimento do espirito critico. da

capacidade de analisar e de tomar decisoes. diante devarias tipos de situa<;6es da vida em sociedade. exige docidadoo que seja bern informado. Estatfsticas eprobabilidades estao cada vez rnais presenles nos meios decomunica<;oes como forma de apresenta<;ao deinformac;:oes. Pesquisas de opinioo. pesquisas sobre pre<;os.sobre epidemias e outros temas de interesse social.ambiental ou economico soo noticiadas h-eqOenternente.sempre permeados de porcentagens ou outros indicadores.de graficos. tabelas e. nao raro. inferindo consequenciasprovaveis e fo~ando opinioes. Para poder interpretar deforma autonoma e critiea tais informa<;oes. 0 indivfduo deveser capaz de compreender bem a linguagern pictoqrafica.compreender a importoncia do amostra para asconclusoes de uma pesquisa e ter claro que a atribui<;ao deprobabilidades e. sobretudo. uma forma de quantificar aincerteza quanto ao resultado a ser obtido. Em diferentes

areas e alividades profissionais. sac de grande utilidade ascapacidades de reconhecer 0 carater aleat6rio defenomenos. utilizor processos de contagem em situOl;:6es-problema. representar freqOencias relativas. construirespa<;:os amostrais e calcuiar probabilidades. Ressaltamosque, no resolu<;:ao de problemas de contagem. 0importante e a habilidade de raciocfnio combinat6rio. Efundamental valorizar 0 desenvolvimento do capacidadede formular estrategias para a organiza<;:ao dos dodos emagrupamentos que possam ser contados corretamente.tendo em vista que a mera aplica<;:ao de formulas nao nospermite resolver a maior parte dos problemas de contagem.

T6PICOS4. 1. Problemas de contagem: 0 princfpio

fundamental do con tag em. 0 princfpio aditivo. a divisaocomo um processo de redu<;:ao de agrupamentosrepetidos. Resolver problemas envolvendo a contagem dediferentes tipos de agrupamentos. Binomio de Newton.

4. 2. Probabilidade de um even to num espa<;:oequiprovavel: constru<;:ao de espa<;:os amostrais finitos erepresenta<;:ao atraves de freqOencias relativas.Probabilidade do uniao e do interse<;:ao de eventos.Eventos disjuntos. 0 conceito de independencia deeventos. Probabilidade condicional. Aplica<;:ao deprobabilidade em situa<;:6es-problema.

4. 3. Popula<;:ao e amostra. Estatfstica descritiva:tratamento do informa<;:ao obtida com a organizo<;:ao einterpreta<;:ao de dodos em tabelas e graficos. Significado eaplica<;:ao de medidas de tendencia central (mediamediana e modale de dispersao (desvio- medio. desvio-padrao e variancia).

A lista comentada de conteudos indicada para ascandidatos 00 vestibular organizado pela Fuvest naG e umamodelo de programa para 0 ensino fundamental e medio.mas e um contra ponto para esse programa. que deve serparte viva do projeto pedagogico do escola. Um professorde mate matico crialivo ira olhar para esse programa comoum artista olha para seus instrumentos de trabalho. Umpintor olhar a tela em bronco. seus pinceis e tintas. e pensa:"Vamos come<;:ar". Artistas todos somos. ja quesobrevivemos ate aqui.

A vantagem de adotar uma postura investigativaem sola de aula. a vanlagem de ser um professor reflexivo eque 0 trabalho pode se tomar mais dinamico ecompensador do ponlo de vista de realiza<;:ao pessoal. Amatem6tica e rica em conteudo. extenso. mutavel. util ebonita. 0 estudo de suo historia revela que foi objeto depaixao de inumeros cientistas. e muitos deles nao sedenominavam mate maticos. Mas sobretudo foi e continuasendo uma forma de expressao do espirito humano. demexer com a inteligencia e a criatividade das pessoascomuns. Co be 00 professor de matematica a nobre tarefade tomar-se via de acesso para um mundo de belezo eharmonia, 00 inves de servir de impedimento para 0 acessoa esse mundo. Muitos aeham a tarefa dificil. quaseimpossivel. Como ensinar matematica para quem nao queraprender matematica? Como fazer os alunos gostar dematematiea?

Esse verdadeiro no do educa<;:aa matemalicalembra a lenda grega do no amarrado pelo rei do Frfgiachamado Gordio. que era um pescador antes de se tom orrei por interven<;:ao dos deuses. Um oraculo tinha previsloque quem desatasse 0 no gordio iria dominor todo a Asia.Alexandre Magno viu seu destino naquela profecia. Comonao podia desatar 0 no. puxou a espada e cortou-o.seguindo adiante ern sum conquistas. Talvez seja 0 coso debuscar urna solu<;:ooalternativo para 0 problema do ensinode maternatica. Perkins (2002) afirrna que Alexandre viuaquela velha questoo sob novo angulo. Mesrnoenganando. tolvez. os deuses do Olirnpo. 0 fato e que

conquistou a Asia e rnuito rnais. Creio que ten homos todosuma tarefa educacional gigante ern nosso pais. Sejarnoscapazes de desatar os nos que nos arnarrarn a velhasf6rmulas. e sejarnos urn pouquinho eriativos tambem. Sernperder a referenda da nossa rnilenar Maternalica.

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