Álgebra linear [com minha participação]

ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEARAPLICAÇÕES À ÓPTICAAPLICAÇÕES À ÓPTICA

Luis Felipe de Araújo e Sousa Luis Felipe de Araújo e Sousa

Elton Ribeiro da CruzElton Ribeiro da Cruz

Leis da ReflexãoLeis da Reflexão

Espelhos PlanosEspelhos Planos Comportamento da LuzComportamento da Luz Incidência e ReflexãoIncidência e Reflexão Como descrever matematicamente?Como descrever matematicamente?

Situação simplesSituação simples

Seja um feixe de raios paralelos (direção Seja um feixe de raios paralelos (direção dada por um vetor) que se reflete em dada por um vetor) que se reflete em espelhos planos espelhos planos — a propagação se dá — a propagação se dá no Rno R²²

Em que direção o raio está sendo Em que direção o raio está sendo refletidorefletido??

Leis da ReflexãoLeis da Reflexão

Transformações LinearesTransformações Lineares

Interpretação geométrica da luzInterpretação geométrica da luz Espaços Vetoriais – propriedadesEspaços Vetoriais – propriedades Aplicações à ópticaAplicações à óptica

Transformações LinearesTransformações Lineares

Transformações Lineares F: Transformações Lineares F: RR²² R R²² Reflexão em torno do eixo-xReflexão em torno do eixo-x

F: F: RR² ² RR² ; (x,y) (x,-y)² ; (x,y) (x,-y)

x x 1 0 xx x 1 0 x

y -y 0 -1 y y -y 0 -1 y =

Transformações LinearesTransformações Lineares

vF

F(v)

AplicaçõesAplicações

(c,d)

(a,b)

Espelho

Assim: a=c e d= -b

AplicaçõesAplicações

Sendo assim, podemos aplicar a Sendo assim, podemos aplicar a transformação linear de reflexão em torno transformação linear de reflexão em torno do eixo X para verificar a direção da luz do eixo X para verificar a direção da luz após a reflexão no espelho.após a reflexão no espelho.

c 1 0 a c 1 0 a

d 0 -1 bd 0 -1 b=

Caso Geral ReflexãoCaso Geral Reflexão

y’

x’

y

x

φ

φ

θ

(c,d)

(a,b)

Espelho

AplicaçõesAplicações

Qual a matriz associada ao um espelho Qual a matriz associada ao um espelho numa posição mais geral?numa posição mais geral?

Pode-se usar a transformação linear da Pode-se usar a transformação linear da rotação de um espelhorotação de um espelho, formando um , formando um ângulo ângulo θθ com o eixo x! com o eixo x!

AplicaçõesAplicações

Tomemos a base Tomemos a base ββ = { = {ee11, , ee22}, onde }, onde ee11 = =

(cos (cos θθ, sen , sen θθ) e ) e ee22 = (-sen = (-sen θθ, cos, cos θ θ))

Em relação à esta base, a transformação Em relação à esta base, a transformação E é dada por:E é dada por:

[E][E]ββββ==

1 01 00 -10 -1

Portanto, em relação à base canônica temos:Portanto, em relação à base canônica temos:

[E][E]cancancancan = [I] = [I]ββ

can can [E][E]ββββ [I][I]cancan

ββ = =

cos 2cos 2θθ sen 2sen 2θθ

sen 2sen 2θθ -cos 2 -cos 2θθ

=c c dd

a a bb

cos 2cos 2θθ sensen 22θθsen 2sen 2θθ -cos 2 -cos 2θθ

E, portanto:

Obrigado!!!Obrigado!!!Boas FériasBoas Férias