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RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO INTEIRO
Prof. Materaldo
www.matemateens.com.br
CEMCENTRO DE ESTUDOS MATEMÁTICOS
MAIS DO QUE CÁLCULOS...
AULA 127º ANO
22
RAIZ QUADRA DE UM NÚMERO INTEIRO
AULA 12
O que vimos até aqui?
01 – Sistema de numeração egípcio
02 – Sistema de numeração romano
03 – Sistema de numeração binário
04 – Números inteiros(positivos e negativos)
05 – Adição de números inteiros
( + ) + ( + ) = +
( – ) + ( – ) = –
( + ) + ( – ) = + ou –
06 – Subtração de números inteiros
Somar o primeiro com o oposto do segundo
07 – Multiplicação de números inteiros
( + ) · ( + ) = ( + )( – ) · ( – ) = ( + )( + ) · ( – ) = ( – )( – ) · ( + ) = ( – )
08 – Divisão de números inteiros
( + ) : ( + ) = ( + )
( – ) : ( – ) = ( + )
( – ) : ( + ) = ( – )
( + ) : ( – ) = ( – )
09 – Expressões NuméricasNas expressões numéricas em que
aparecem as operações adição, subtração,multiplicação e divisãodevemos efetuá-las nesta ordem:
1º) multiplicações e divisões;2º) adições algébricas.
Sempre na ordem em que aparecem na expressão.
10 – Par ordenado de números inteiros
Como um par ordenado indica a localização de determinado
ponto, ele também é chamado de coordenadas desse ponto.
As retas vermelha e verde são chamadas de eixos.
11 – Potenciação de números inteiros
Potenciação é o produto de fatores iguais, obedecendo às regras de sinais da
multiplicação.•Quando a base é positiva, a potência é
sempre positiva• Quando a base é negativa e o expoente
é par, a potência é positiva.•Quando a base é negativa e o expoente
é ímpar, a potência é negativa.
TUNEL DO TEMPO
√162
= 4
índice
raiz
radicandoradical raiz quadrada de 16
é igual a 4
9
3
32
= 9
64
8
82
= 64
25
5
52
= 25
121
11
112
= 121
36
6
62
= 36
49
7
72
= 49
144
12
122
= 144
81
9
92
= 81
4
2
22
= 4
100
10
102
= 100
Dados os números naturais a e b tais que b² = a, dizemos que b é raiz quadrada de a, ou
seja:√a = b porque b² = a
Raiz quadrada de um número inteiro
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo que
elevado ao quadrado tem como resultado a.
100
10 ou (– 10) ?
Embora haja dois números que elevados ao quadrado
resultam 100, (+10)² = 100 e (– 10)² = 100, a raiz
quadrada de 100 é única: √100 = + 10
Nem todo número inteiro tem como raiz quadrada um
número inteiro.
18
Não existe nenhum número inteiro que
elevado ao quadrado resulta em 18
46
Não existe nenhum número inteiro que
elevado ao quadrado resulta em 18
8
Não existe nenhum número inteiro que
elevado ao quadrado resulta em 18
Para que a raiz quadrada de um número inteiro a resulte em um número inteiro, é preciso que a
seja um quadrado perfeito.
a
Quadrados perfeitos
4 9
16 25 36
49 64 81
QUADRADO PERFEITO OU NÚMEROS QUADRADOS,
são aqueles que são o quadrado, ou segunda
potência, de um número positivo.
apresenta
JORNAL AMAZONÁTICAUm telejornal em defesa do nosso planeta
RECOMPENSA ECOLÓGICA
ACERTANDO O ALVO - 45Raiz quadrada de um
número inteiro
A NOSSA DIVERSÃO É A MATEMÁTICA
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individual
4
2
4
– 2
42
36
6
43
36
– 6
44
–25
Não existe nenhum número inteiro que seja raiz quadrada de – 25
45
81
– 9
46
9
3
47
– 9
Não existe nenhum número inteiro que seja
raiz quadrada de – 9
4848
– 16
Não existe nenhum número inteiro que seja raiz quadrada de – 16
4949
16
– 4
505050
1
– 1
515151
100
10
525252
81
9
535353
64
– 8
545454
49
7
555555
25
– 5
565656
169
13
Matema
57
Tube
A HISTÓRIA DO NÚMERO UMParte 5
O Canal de Vídeos da Matemática
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CALCULANDO 26Raiz quadrada de
um número inteiro
duplas
Quais são os números compreendidos entre – 20 e 20, cuja raiz quadrada é
um número inteiro?
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
1
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
– 20 – 1 ...
0 1 2 3 4 5
... 9 16
0 1 4 9 16
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso). Justifique.
A raiz quadrada de 4 é igual a – 2.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
2
FALSO
A raiz quadrada de 4 é igual a 2
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso). Justifique.
A raiz quadrada de um número inteiro é sempre um número inteiro.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
3
FALSO
Nem todo número inteiro tem como raiz quadrada um número inteiro.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso). Justifique.
A raiz quadrada de 25 é igual a + 5 ou – 5, pois (+ 5)² = (–5)² = 25.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
4
FALSO
A raiz quadrada de 25 é igual a 5.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Cinco cartas estão dispostas no quadro a seguir. Sabendo que os
produtos dos números que estão nas diagonais são iguais, determine o
número que está no verso da carta de símbolo *.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
5
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
(– 3)³
(– 1)⁵
*
(– 1)¹⁰
2
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
(– 3)³
– 54
2
(– 1)¹⁰2 · ·· – 27 · 1
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
(– 3)³
– 54
– 1
*(– 1)⁵ · ·· – 27 · *
2
Observe a potência. (– 4) .ͯPara qual valor de x a potência é igual
a – 64?
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
6
Para x = 3
(– 4)³ = (– 4) · (– 4) · (– 4) = – 64
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Observe a potência. (– 4) .ͯPara qual valor de x a potência é igual
a + 256?
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
7
Para x = 4
(– 4)⁴ = (– 4) · (– 4) · (– 4) · (– 4) = 256
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Observe e responda.
√n
Para qual valor de n a raiz é igual a 8?
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
8
Para n = 64
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Observe e responda.
√n
Para qual valor de n a raiz é igual a 20?
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
9
Para n = 400
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
Observe e responda.
√n
Existe algum valor de n, para que a raiz seja negativa?
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
10
Não. A raiz quadrada de n sempre será positiva.
CALCULANDO 26 – Raiz quadrada de um número inteiro
BOLETEENSInformativo do
Clube Matemateens
Internet dos carros promete fim da irritação no trânsito
Imagine um trânsito onde todos cooperam e ninguém precisa ficar irritado. E, mais do que isso, um
trânsito no qual um sistema computadorizado inteligente impede
o "efeito manada", virtualmente acabando com os famosos
"congestionamentos por excesso de veículos".
Engenheiros acreditam que isto não apenas é possível, como já está ao alcance da tecnologia.
Tudo o que é necessário fazer é criar a "internet dos carros".
Embora não possa controlar diretamente a irritação dos
motoristas, a internet dos carros promete um sistema viário
projetado a partir de tecnologias cooperativas, permitindo que cada elemento do sistema de trânsito -
carros, motoristas, semáforos, placas de sinalização - coopere proativamente para criar um trânsito mais eficiente e mais
seguro.
Tudo pode começar antes de você pegar o carro pela manhã, com seu
celular acordando-o 10 minutos mais cedo porque a chuva está tornando o trânsito mais lento.
Indo para o trabalho, antes que você esteja vendo ou ouvindo qualquer sirene, o painel de
instrumentos do seu carro começa a emitir um aviso: "Veículo de emergência de passagem no
próximo cruzamento!"
Você imediatamente tira o pé do acelerador, porque o semáforo à sua frente muda a programação, passa
para o amarelo e, em seguida, para o vermelho. O carro de bombeiros passa
velozmente porque sabe que encontrará uma sequência de sinais
verdes à sua frente até chegar ao local do acidente.
Mas você também não fica na mão: antes mesmo que o semáforo
passe para o verde, o navegador do seu carro sugere um desvio para evitar a área do acidente, fugindo de qualquer risco de
congestionamento.
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LOTOMÁTICA 76RAIZ QUADRADA DENÚMEROS INTEIROS
individual
939393
CORREÇÃO
LOTOMÁTICA 76RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS INTEIROS
94
– (√16)
JOGO 1 COLUNA DOIS
– 4
95
√16 + √9 JOGO 2 COLUNA DO
MEIO
4 + 37
96
√16 + 9 JOGO 3 COLUNA DO
MEIO
5√25
97
√36 + 64 JOGO 4 COLUNA UM
10√100
98
√(– 9) · (– 9) JOGO 5 COLUNA
DOIS
9√81
99
√2³ + 1 JOGO 6 COLUNA UM
3√8 + 1 = √9
100
– √16 – √9 JOGO 7 COLUNA DO
MEIO
– 4 – 3– 7
101
√3³ – 2 JOGO 8 COLUNA
DOIS
5√27 – 2 = √25
102
– (√100)
JOGO 9 COLUNA UM
– 10
103
(√25 – √49)² JOGO 10 COLUNA
DOIS
(5 – 7)²(– 2)² 4
104
– (√16 + √4 ) JOGO 11 COLUNA DO
MEIO
– (4 + 2)– ( 6 ) – 6
105
√64 · √36 JOGO 12 COLUNA UM
8 · 648
106
A nossa diversão é a matemática
CRUZADINHA MATEMÁTICA - 01
A NOSSA DIVERSÃO É A MATEMÁTICA
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PENTAGONO
L O S A N G OSLITRO
A N O
T R I
RASO
Horizontal1 - Polígono de 4 lados2 – Prefixo que indica
três3 – Medida de tempo
Vertical 1 – Unidade de medida
de capacidade2 – Polígono de 5 lados3 – Ângulo que mede
180º
1
Horizontal 1 – Número que admite
apenas dois divisores2 – Resultado da adição
3 - Tipo de grandeza que pode ser medida em minuto, hora,
dia, etc.Vertical
1 – Resultado da multiplicação
2 – Representação gráfica de uma região, cidade, bairro
3 – Ângulo equivalente a um giro maior do que 0° e menor
que 90°
PRODUTO
P R I M OMAP
T O T A LAGUDOT E M P O 2
A
Horizontal1 – Segunda letra do
alfabeto grego2 – Região plana delimitada
por duas semirretas de mesma origem
3 – Um dos termos da multiplicação
Vertical1 – Segmento de reta
comum a duas faces de um poliedro
2 – Polígono de 8 lados3 – Ângulo equivalente a 90°
OCTOGONO
A N G U L O
B E T ARET
ARESTAF A T O R 3
EA
4
Horizontal1 – Unidade de medida de ângulo2 – Segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer da
circunferência3 – Figura geométrica espacial,
cujas faces são quadradasVertical
1 – Figura geométrica espacial, cujos pontos da superfície estão
a uma mesma distância do centro.
2 – Símbolo usado para representar número
3 – Indica quantas partes foram consideradas
LGARISMOC U B
R A
A
U
R O
N
MERADOR
SFE
A
AUTO AVALIAÇÃO
O DECIMAL - 02Contando a História da Matemática
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O DECIMAL
Números negativos
O DECIMAL
Muito tempo se passou até que a noção de número
negativo surgisse na história da Matemática.
O DECIMAL
Povos responsáveis por muitas realizações matemáticas
importantes, como egípcios, babilônios e gregos, não
trabalharam com esse tipo de número.
O DECIMAL
Até onde se sabe, os números negativos surgiram
inicialmente na China, há pouco mais de dois milênios.
O DECIMAL
Entre outros fatores, foi a dificuldade de comunicação
entre povos distantes que, na época, impediu que essa
contribuição dos chineses chegasse logo ao Ocidente.
O DECIMAL
Na obra mais influente da Matemática chinesa da
Antiguidade – Os nove capítulos da
arte da Matemática ( século III a.C.) – já se encontram enunciadas as regras de sinais para a adição e
a subtração.
O DECIMAL
Para a subtração, com os mesmos sinais, tire um do outro; tirar positivo do nada dá
negativo; tirar negativo do nada dá positivo. Para a adição, com sinais
diferentes, tire um do outro; com os mesmos sinais, acrescente um ao outro; positivo com nada dá positivo; negativo
com nada dá negativo.
O DECIMAL
No entanto, não há registro na Matemática chinesa do uso da regra de sinais da multiplicação e da divisão anterior ao século
XIII.
O DECIMAL
Os chineses desenvolveram a prática de operar com números
inteiros usando barras de bambu estendidas sobre um
tabuleiro.
O DECIMAL
Para distinguir número positivo de número negativo, adotaram a seguinte convenção: barras
vermelhas indicavam números positivos, e barras pretas,
números negativos.
O DECIMAL
Depois dos chineses, acredita-se que os hindus foram o primeiro povo a trabalhar
consistentemente com números negativos.
O DECIMAL
A finalidade inicial era indicar dívidas.
O DECIMAL
Entre os matemáticos hindus, o primeiro a discorrer sobre os
números negativos foi Brahmagupta (século VII), que enunciou até a regra de sinais
para a multiplicação.
O DECIMAL
Os árabes, com o objetivo de disseminar o islamismo (a
religião fundada por Maomé, em torno do ano 620),
dominaram vários povos, construindo um grande
império que se estendia da ...
O DECIMAL
... Índia à península Ibérica, passando pelo norte da África. Dessa forma, a soberania sobre
os hindus proporcionou-lhes tomar conhecimento das
realizações matemáticas desse povo.
O DECIMAL
Entre elas está o nosso sistema de numeração, criado e
desenvolvido na Índia, entre os séculos III e IX.
O DECIMAL
Como os árabes o difundiram por todo o seu império, ele é
chamado sistema de numeração indo-arábico.
O DECIMAL
A ideia de número negativo também foi absorvida pelos árabes,mas com restrições.
O DECIMAL
Por exemplo, o grande matemático persa
al-Khowarizmi (século IX) não se ocupava de problemas que
tinham como resposta números negativos.
O DECIMAL
Tanto o sistema de numeração indo-arábico como os números
negativos não foram aceitos sem resistência no Ocidente.
O DECIMAL
O sistema de numeração indo-arábico somente se impôs ao
sistema romano, apesar de sua notória superioridade , no
início do século XVI, embora um tratado de al-Khowarizmi sobre o assunto já tivesse ...
O DECIMAL
... sido traduzido para o latim no século XII. Quanto aos
números negativos , as dificuldades foram muito
maiores.
O DECIMAL
Essa rejeição é bem ilustrada pelo conteúdo da obra Liber
Abaci (“Livro dos Cálculos”, de 1202), a mais importante de
Fibonacci (1180-1250), considerado o maior
matemático da Idade Média.
O DECIMAL
O tratado de aritmética, álgebra e geometria – com
ênfase no ensino do sistema de numeração indo-arábico –
nada incluía sobre números negativos, embora estes já
fossem conhecidos pelo autor.
O DECIMAL
Na verdade, os números negativos foram evitados ou
rejeitados pelos matemáticos ocidentais até por volta do
século XVII.
O DECIMAL
Por exemplo, no século XV, o francês N. Chuquet (1450-1500) e, no século XVI, o
alemão M. Stifel referiam-se ao números negativos com
números absurdos.
O DECIMAL
O maior matemático francês do século XVI, F. Viète (1540-1630), ignorou-os totalmente
em sua obra.
O DECIMAL
Blaise Pascal (1623-1662), um dos maiores matemáticos de
todos os tempos, escreveu em sua obra filosófica
Pensamentos:
O DECIMAL
“Conhecia pessoas incapazes de entender que quando se
tira quatro de zero o que resta é nada”.
Fonte: Livro Matemática Realidade – 7º ano – pág. 61 – Atual Editora
143143
TV MÁTICAO Canal da Matemática
Informação é nosso cálculoapresenta
144144
O PODER DO CÉREBRO
GRAFICOLÂNDIA - 1A FUGA DE CHUTEIRAS
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Jogadores transferidos pela CBF para o exteriorFonte: CBF
136 137
205
321
207254
381
556530
658701
736
665
858 857
804851
1085
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
SUGESTÃO DE LEITURA
BIBLIOMÁTICAA BIBLIOTECA DA MATEMÁTICA
PARA ENTENDER O MUNDO: OS GRANDES DESAFIOS DE
HOJE E DE AMANHÃde Odile GandonSÃO PAULO: SM.
SIMULÁTICA - 3 O SIMULADO DA
MATEMÁTICA
AULA 09 – EXPRESSÕES NUMÉRICASAULA 10 – PAR ORDENADO DE NÚMEROS INTEIROSAULA 11 – POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
AULA 12 – RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS INTEIROS
Uma carta para...149
ATIVIDADE EXTRA CLASSE
150
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