Aula 22 probabilidade - parte 1

AULA 22ESTATÍSTICA

Professor: João Alessandro

PROBABILIDADE

PARTE 1

PROBABILIDADE

PROBABILIDADEINTRODUÇÃO

• A palavra probabilidade deriva do Latim probare

(provar ou testar).

• Informalmente, provável é uma das muitas palavras

utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo

também substituída por algumas palavras como

“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,

dependendo do contexto.

1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO

1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO - EXEMPLOS

2. CONCEITOS ESSENCIAIS2.1 Espaço Amostral

Consideremos uma experiência onde pode ocorrer n resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis será chamado ponto amostral, e o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os pontos amostrais será chamado espaço amostral da experiência.

PROBABILIDADE 2.1 Espaço Amostral (continuação)

Exemplo 1: Lançamento de uma moeda: Existem dois resultados possíveis, portanto S = {“cara”, “coroa”}

PROBABILIDADE2.1 Espaço Amostral (continuação)

Exemplo 2: Lançamento de um dado:Existem 6 resultados possíveis, portanto: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. DEFINIÇÕES

PROBABILIDADE3.1 Evento

Chama-se evento qualquer subconjunto A do espaço amostral S.

A está contido em S.

PROBABILIDADE3.1 Evento (continuação)

A está contido em S.

Exemplo 1: No lançamento de um dado, o evento “número ímpar” é A = { 1; 3; 5} 

PROBABILIDADE3.1.1 Evento Impossível:

O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento;  o conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre.

Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível.

ou

6} 5, 4, 3, 2, {1, S

AA

PROBABILIDADE3.1.2 Evento Certo:

O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece.

Exemplo: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo.

6} 5, 4, 3, 2, {1,

6} 5, 4, 3, 2, {1, S

A

PROBABILIDADE3.1.3 Eventos Complementares:

– A.S = A que tal A evento ao

S, amostral espaço num A evento um de

arcomplement evento de se-Chama

Exemplo:No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”.

6} 4, {2, =A

5} 3, 1, { =A

PROBABILIDADE3.1.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:

vazio) conjunto a igual B e A :se-(lê

B A quando

exclusivos mutuamente são B e A eventos Dois

Exemplo: No lançamento de um dado: A: Sair número par.

B: Sair número ímpar.

versa.-vice e ímpar número um sair

como há não par número um sair se Pois

B A

PROBABILIDADE4. Probabilidade de Um Evento: É calculada pela fórmula:

)(

)()(

Sn

AnAP

S evento do elementos de número o é n(S)

Aevento do elementos de número o é n(A)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é)(

:

AP

Onde

Exercícios

Probabilidade de um Evento

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

a) A: um número primo.

Resolução:

A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.

n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.

n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.

%,)(

)(

)()(

50502

1

6

3

ouAP

Sn

AnAP

b) B: um número múltiplo de 3.

Resolução:

B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.

n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.

n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.

%,,)(

)(

)()(

3333303

1

6

2

ouAP

Sn

BnBP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

Resolução:

A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3 retirados de S.

n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.

n(S) = 18

%,...,)(

)(

)()(

333333303

1

18

6

ouAP

Sn

AnAP

PROBABILIDADE3. Soma de Probabilidades: É calculada pela fórmula:

)()()()( BAPBPAPBAP

B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é B) P(A

B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)

B ou A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (

:

AP

Onde

Dica esperta: Em problemas de “soma de probabilidades”

sempre encontramos a

palavra OU.

Exercícios

SOMA DE PROBABILIDADES

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:

amostral. espaço do elementos de número )(

A.evento do elementos de número o é 3 n(A)

S. retirados pares números os são 6} 4, 2, { A

:par número um retirado ser : Aevento o Sendo

P(A). Calculando :1 Passo

:partes por fazer Vamos

:Resolução

oéSn 6

2

1

6

3

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

2

1)(AP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

amostral. espaço do elementos de número )(

B. evento do elementos de número o é 2 n(B)

S. de retirados 3 de múltiplos números os são 6} 3, { B

:3 de múltiplo número um retirado ser :B evento o Sendo

P(B). Calculando :2 Passo

oéSn 6

3

1

6

2

)(

)(

)()(

BP

Sn

BnBP

3

1)(BP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

amostral. espaço do elementos de número )(

B. Aevento do elementos de número o é 1 B)n(A

S. de retirado 3 de múltiplo e par número o é 6} { B A

:3 de múltiplo e par número um retirado ser :B A evento o Sendo

B). P(A Calculando :3 Passo

oéSn 6

6

1

)(

)(

)()(

BAP

Sn

BAnBAP

6

1 )( BAP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

B). P(A Calculando :(FINAL) 4 Passo

6

13

1

)(

)(

2

1 P(A)

:

BAP

BP

Sendo

%,...,)(

)(

:temos operações as

fazendo e resdenominado dos mmc o tirando

)(

)()()()(

:adesprobabilid das soma a Calculando

6766666603

2

6

46

123

6

1

3

1

2

1

ouBAP

BAP

BAP

BAPBPAPBAP

PROBABILIDADE4.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:

Multiplicação das probabilidades.Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:  

)/()()( ABPxAPBAP

Aevento o

ocorrido tendo B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B/A)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)

B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (

:

AP

Onde

Dica esperta: Em problemas

de “multiplicação de

probabilidades”sempre

encontramos a vogal E, escrita

ou subentendida.

Exercício

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.

A.evento do elementos de número o é 6 n(A)

S. de retiradas serem de possíveis amarelas bolas as são amarelas} bolas 6 { A

amarela bola uma retirado ser : Aevento o Sendo

amostral. espaço do elementos de número )(

brancas} bolas 9 amarelas, bolas {6 S

P(A). Calculando :1 Passo

:partes por fazer Vamos

:Resolução

oéSn 15

5

2

15

6

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

5

2)(AP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

A.evento do elementos de número o é 9 n(B/A)

S. de retiradas serem de possíveis brancas bolas as são brancas} bolas 9 { B/A

amostral. espaço do elementos de número )(

amarela! bola uma retirada foi pois

,modificado foi amostral espaço o , brancas} bolas 9 amarelas, bolas {5 S

:iaConsequênc

amarela. 1ª a

retirada tendo branca, bola 2ª a retirar :B/A evento o Sendo

P(B/A). Calculando :2 Passo

oéSn 14

14

9

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

14

9)/( ABP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

B). P(A Calculando :(FINAL) 3 Passo

14

9

)/(

5

2 P(A)

:

ABP

Sendo

%,,)(

:

)(

)(

)/()()(

:adesprobabilid das

çãomultiplica a Calculando

71252571035

9

70

1814

9

5

2

ouBAP

temosfraçãoandoSimplifica

BAP

xBAP

ABPxAPBAP

DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br

jalmat@hotmail.com