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Faz parte do curso NTEM - disciplina História da Matemática Através da Problemas
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Aparecimento dos números complexos e equações do 4o grau
métodos e história
Fonte: Aulas do professorJoão Carlos Vieira Sampaio - UFSCar
Um aparente paradoxo
x0 = 4 é uma raiz
1 -150 -4
4 1
+4 1 0(algoritmo de Briot-Ruffini)
Portanto, a equação tem três raízes reais e distintas
Mas !!!
Rafael Bombelli (L’Algebra, 1572)
A fórmula de Cardano “esconde” raízes racionais
x0 = 1 é uma raiz
é raiz da equação
Buscando as demais raízes:
Aplicando Cardano:
Portanto,
François Viète, advogado francês (1540-1603)
Guerra contra a Espanha, século 16:Viète serviu ao rei francês Henri IV
1591: desenvolveu um método para calcular as três raízes reais da cúbica
quando o discriminante
é negativo
Decifrou o código usado pelos espanhóisem suas correspondências militares
O método de Viète para o caso indesejável de Cardano
será uma solução se tivermos
e
O método de Viète funciona se D < 0:
e
Obteremos k e satisfazendo
se tivermos
ou seja,
As três raízes da cúbica pelo método de Viète
e
Um exemplo
O conselho de Euler (Elementos de Álgebra, 1770)
são todas da forma p/q, sendo q um divisor de an e p um divisor de a0
o denominador q divide o coeficiente dominante, e o numerador p divide o coeficiente constante !
As raízes racionais de um polinômio de grau n, n 1, de coeficientes inteiros,
Procure primeiramente por raízes racionais!
Exemplo.
As raízes racionais só podem ser inteiros, divisores de -4.
Descobrimos então que
x0 = -2 é uma raiz:
o denominador q divide o coeficiente dominante, e o numerador p divide o coeficiente constante
Demais raízes:
1 -60 -4
-2 1 +-2 -2 0(algoritmo de Briot-Ruffini)
Raízes racionais de
As únicas possibilidades são: 1, 2, 4
O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica
Um exemplo
se
o discriminante do segundo membro é
O discriminante do segundo membro é
é equivalente à equação
Quando temos e a equação torna-se
Temos então duas equações do 2o grau, dando asquatro raízes
e
O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica
O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica
O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica
O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica
Calculamos t de modo a ter no segundo membro
Isto nos dará uma equação cúbica em t, da qual precisamos somente de uma raiz
O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica
Calculando-se t de modo a ter no segundo membro
chegaremos a uma equação
Natureza das raízes da cúbica
r é real ou
com
(P e Q reais)
Natureza das raízes da cúbica
r é real ou
com
(P e Q reais)
duas ou todas as raízes são coincidentes, sendo todas reais com
as três raízes são reais e distintas entre si
Equações do quinto grau e além
Nos 250 anos que se seguiram, todos os esforços para resolver algebricamente a equação geral de 5o grau falharam.
Em 1786, E.S. Bring mostrou que a equação geral do 5o grau (equação quíntica) pode ser reduzida, por transformações algébricas, à equação
x5 - x - A = 0
Paolo Ruffini mostrou, em 1799, que uma solução geral da equação quíntica, por radicais, é impossível.
Em 1826, Niels Abel publicou uma prova satisfatória do teorema de Ruffini
fato repetido com a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois, em 1831.
Toda equação polinomial de grau n, n 1, com coeficientes reais ou complexos, possui uma raiz complexa.
O Teorema Fundamental da Álgebra
Enunciado, sem demonstração, por Albert Girard em 1629.
Jean D'Alembert, em 1746, e Carl Friedrich Gauss, em 1799, publicaram demonstrações deste teorema.
Aparecimento dos números complexos e equações do 4o grau
métodos e história
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