Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações

Matemática ITópico 04– Funções (equações e

Inequações)

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA

FACULDADE DE ECONOMIA

2.1.1) Conceito: Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y (ou conjuntos A e B) tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado a um e somente um valor para y.

As variáveis x e y são conhecidas também como variável dependente (y) e independente (x).

A relação entre x e y é expressa por: y=f(x).

2.1.2) Domínio de uma função: O domínio da função são todos os valores encontrados no conjunto de dados de x, ou conjunto A.

2.2.3) Contradomínio e imagem: O contradomínio é a representação de todos os elementos que temos no conjunto B, enquanto que a imagem são todos os elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem alguma correspondência com o domínio (conjunto A)

FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem

Representando através de um diagrama teremos:

FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem

Vamos observar o seguinte exemplo para fixarmos a ideia de domínio, contradomínio e imagem de uma função:

Dada a seguinte função f(x)=x+1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Então pelo diagrama de flechas teremos:

FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem

Quais dos gráficos abaixo podemos classificar como função:

FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem

Uma função pode ser definida algebricamente por meio da regra (ou lei) em termos da variável x do domínio. A regra, no entanto, não nos fornece todas as informações sem que seja definido o domínio.

Por exemplo, podemos definir o volume de uma esfera como uma função do seu raio, pela fórmula:

Outra forma algébrica de representar uma função seria:

Como poderíamos representar o gráfico dessa função, para a positivo e a negativo?

FUNÇÕESDeterminação do domínio de funções algébricas.

Alguns conceitos importantes Continuidade de uma função:

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

Funções Constantes crescentes e decrescentes.

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

Funções limitadas: Uma função f é limitada inferiormente se existe algum número b que seja menor ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número b este é chamado de limite inferior de f.

Uma função f é limitada superiormente se existe algum número B que seja maior ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número B, este é chamado de limite superior de f.

Uma função f é limitada se é limitada das duas formas, superior e inferiormente.

Graficamente é fácil visualizar isso:

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

Extremo Local e Absoluto: Um máximo local de uma função f é o valor f (c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é maior ou igual a todos os valores da imagem de f então f (c) é o valor máximo (ou máximo absoluto) de f.

Um mínimo local de uma função f é o valor f (c) que é menor ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valores

da imagem de f então f(c) é o valor mínimo (ou mínimo absoluto) de f.

Extremos locais são chamados também de extremos relativos.Vejamos o gráfico

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

A Função: Afim (1º Grau)

3.1.1) Definição: Toda função do tipo f(x) = ax + b com {a, b} R e a0 é denominada função do 1º grau ou função afim.

Exemplos:a) b) c)

O domínio da função afim será todos os valores da variável x, sua imagem correspondente serão todos os resultados de y obtidos a partir do domínio x.

A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

O gráfico de uma função do 1º grauPor definição o gráfico de uma função do 1º grau de R em R é

uma reta.Suponha que tenhamos o seguintes valores de :E que são gerados o seguintes pares ordenadosO gráfico da respectiva função então será:

A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

Agora se mudarmos a função para teremos:

A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

3.2.1) Equação da reta:Imagine que nosso coeficiente angular a passe a ser denominado

por m, então: .O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa pelos

pontos () e () é dado por

A equação da reta que passa pelo ponto e tem coeficiente angular m é . Essa é a equação geral da reta.

Retas verticais não são gráficos de funções porque elas falham no teste da linha vertical. Uma reta no plano cartesiano é o gráfico de uma função do primeiro grau se, e somente se, ela é uma reta inclinada ou uma reta horizontal.

Exemplo: Encontre a lei para a função do primeiro grau f tal que e

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

Solução Algébrica: Queremos encontrar uma reta que passa pelos pontos (-1, 2) e (3, -2). O coeficiente angular é

Usando este valor m e as coordenadas de (- l, 2), a equação é dada por:

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

Convertendo para a notação de função, temos a lei procurada teremos:

Portanto, graficamente poderíamos representar a função por:

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

3.2.2) Retas paralelas e perpendiculares: conceitualmente ambas são bem simples:

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

As retas e são paralelas.Graficamente temos:

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1

Por exemplo, y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k’=5 e k’’=(-1/5) e k’k’’=-1.

Graficamente teríamos:

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

3.2.3) Intersecção de retas: Quando temos um intersecção de retas, verifica-se um ponto em comum entre elas, nesse caso temos retas concorrentes.

Na economia, essas retas devem ser concorrentes nos eixos positivos tanto de y como de x do plano cartesiano, esse intersecção é conhecida na economia como o ponto de equilíbrio.

Nesse caso nossas equações lineares representam preço (x) e quantidade (y).

O modelo com inclinação negativa é conhecido como demanda, e com inclinação positiva é conhecido como oferta, assim temos:

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

e Quais seriam os preços e quantidades de equilíbrio?

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

A Função Quadrática(2º Grau)

4.1.1) Definição: Uma função do segundo grau (também conhecida como função quadrática) é uma função polinomial de grau 2 da forma , onde a, b e c são constantes reais e a 0.

Veremos que o gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo. Isto porque o gráfico de qualquer função do segundo grau pode ser obtido do gráfico da função por uma sequência de translações, reflexões, “esticamentos” e “encolhimentos”.

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

Sabemos que o gráfico f(x) = x2 tem a seguinte representação gráfica:

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

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O gráfico de , com a > 0, é uma parábola com concavidade para cima. Quando a < 0, o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. Independentemente do sinal de a, o eixo vertical y é a reta de simetria para o gráfico de . A reta de simetria para uma parábola é seu eixo de simetria. O ponto sobre a parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da parábola. Pelo fato de uma função do segundo grau ser sempre uma parábola com concavidade para cima ou para baixo, seu vértice é sempre o ponto mais baixo ou o ponto mais alto da parábola.

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

A forma canônica de uma função de segundo grauExpandindo f (x) = a(x - h)2 + k e comparando os coeficientes

resultantes com a forma quadrática padrão ax2 + bx + c, onde os expoentes de x são organizados em ordem decrescente, podemos obter fórmula para h e k.

Como e na última linha desenvolvida anteriormente, temos que

e . Usando essas fórmulas, então qualquer função do segundo grau pode ser reescrita na forma

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

O gráfico de f é uma parábola com vértice (h, k) e eixo de simetria x - h, onde e . Se , então a parábola tem concavidade para cima; se a < 0, então a parábola tem concavidade para baixo:

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

Observe que o valor de k pode ser visto como: k

Exemplo:Use a forma canónica de uma função do segundo grau para

encontrar o vértice e o eixo de simetria do gráfico de . Reescreva a equação na forma canónica

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

A forma polinomial padrão de f é Assim, a=-3, b=6, e c=-5, e as coordenadas do vértice são:

e

, pois é a coordenada de um ponto cuja primeira coordenada é h. A equação do eixo de simetria é x=1, o vértice é (1,-2) e a forma canônica de f é

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

Agora vamos abrir espaço para verificar algumas aplicações das funções no Geogebra, Octave e no Calc.

- Geogebra. Clicke aqui para ir direto ao link

- Octave. Clique aqui para ir direto ao link

- Calc. Clique aqui para ir direto ao link

No Slideshare você poderá ver na sequência os três vídeos acima.

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que <: menor que ≥: maior ou igual ≤: menor ou igual ≠: diferentecom {a, b, c} As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de

Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

O gráfico da equação será então:

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Assim o conjunto solução será:S = {x | -7/3 < x < -1}

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Agora resolvendo o exemplo, a inequação é responder a pergunta: “existe x real tal que seja positiva”

A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de , podemos ter uma das respostas seguintes:

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Vamos agora resolver em R a inequação

A melhor forma de se resolver tal equação e verificar o comportamento do sinal de cada uma das equações, vamos denominar a primeira parte de f(x)= e a segunda parte de

As raízes de f serão

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Graficamente temos

O ponto de variação do sinal seria:

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Já para as raízes de g teríamos:

O gráfico seria

E a variação do sinal seria

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Representando no eixo real a variação de sinal de f e g e fg, temos:

Assim nosso conjunto solução seria:

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Como ficaria a solução para a seguinte inequação:

Analisando os sinais do numerador e denominador temos:

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

2( ) 2 1f x x x

2( ) 2g x x x

Fazendo o quadro quociente, tem-se

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

2( ) 2 1f x x x

2( ) 2g x x x

( )

( )

f x

g g