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LogaritmoPARTE 2 – Potências e Raízes
Um Pouco de História
Na ânsia de ajuntar dois grupos de mesmo objeto e saber a quantia total
dos dois grupos quando juntos, surgiu a primeira operação: ADIÇÃO.
Operação de Adição
01. 4 + 6 = 10;
02. 5 + 7 + 9 = 21
Cada um dos números participantes da soma é uma parcela.
Até que surgiu um tipo de soma especial: Soma em que todas as parcelas
fossem iguais, tal qual a ilustração:
7 + 7 + 7 + 7 + 7
Com o aparecimento de somas com parcelas iguais, a matemática criou
uma nova operação para este fim: A Multiplicação
Multiplicação
É a representação de uma soma em que todas as parcelas são iguais.
Ilustrando:
01. 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 x 7 (5 é o número de parcelas 7 é o valor de cada
parcela);
02. 13 + 13 + 13 + 13 = 4 x 13.
Passou a ter multiplicação com mais de duas parcelas tal qual:
01. 11 x 3 x 7 x 2.
Não podia ter sido diferente: Apareceram Multiplicações Com Parcelas
Iguais tal qual:
01. 9 x 9 x 9 x 9 x 9
02. 7 x 7 x 7
Com isto surgiu a: Potenciação para fazer a sua representação, assim:
Potencia
É a multiplicação de números em que todas as parcelas são iguais
Ilustrando:
01. 8 x 8 x 8 x 8 = 84
02. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
Note que pela notação de potência criada pela matemática, Os números
ficaram em dois níveis diferentes, e assim foram batizados de:
a. O que fica no nível inferior é a: BASE:
b. O que fica no outro nível é o: EXPOENTE
Pela Ilustração citada tem:
01. 8 x 8 x 8 x 8 = 84 Base: 8 ; Expoente: 4
02. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 Base: 2 ; Expoente: 6
Pela ilustração percebe:
Base é o número que se Repete na multiplicação;
Expoente é o número de vezes que este número repete na multiplicação.
Seja a um número real qualquer e n um número natural. Denomina
Potência de a elevado ao expoente n ao número real dado por:
an = a x a x a x a x. . . x a (ao todo n parcelas)
Exemplo
Calcule o valor de:
01. M = 54
Solução
M = 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 Resposta: 625.
02. N = 36
Solução
N = 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729 Resposta: 729.
Sejam a e b números reais, m e n números naturais.
Para a Potência valem as seguintes propriedades :
Propriedade 1. Da multiplicação de Potências de Mesma Bases.
an x am = an+ m
Ou Seja: “Quando se tem o produto de potencias que possuem a mesma base, o
resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é a soma dos
expoentes das potencias que estavam sendo multiplicada.”
Ou ainda: “Para Multiplicar Potências de Mesma Base, conserva a Base e Soma os
Expoentes”
Demonstração
Esta propriedade pode ser ampliada quando se tem a multiplicação de 3 ; 4 etc
potências de mesma base, a saber:
a) an x am x ak = an+ m + k
b) an x am x ak x ar = an+ m+ k + r
c) etc.
a n x a m = ( a x a x a x . . . x a) x ( a x a x . . . x a)
(n parcelas) (m parcelas)
a n x a m = a x a x a x . . . x a x a x a x . . . x a = a n + m
(n + m parcelas)
Propriedade 2. Da Divisão de Potências de Mesma Bases.
a n : a m = a n - m
Ou Seja: “Quando se tem a divisão de potencias que possuem a mesma
base, o resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é a
diferença entre o expoente da potencia divisor e a da potência.”
Ou ainda: “Para Dividir Potências de Mesma Base, conserva a Base e
Subtrai os Expoentes”
Demonstração
Aplicando a definição de divisão e de potência, vem:
n parcelas
an : am = an
= a x a x a x . . . x a
am a x a x . . . x a m parcelas
Simplificando as frações: n parcelas
an : am = an
= a x a x a x . . . x a
am a x a x . . . x a m parcelas
Como n > m Serão cortadas m parcelas do Numerador e a mesma quantia do denominador, assim sobrarão:
• No Numerador: (n – m) parcelas de valor a e as demais de valor 1;
• No Denominador: Todas as m de valor 1 (unitário), com isto fica:
n – m parcelas
an : am = a x a x a x . . . x a
1 x 1 x . . . x 1
Logo an : am = an - m
Propriedade 3. De uma Potência elevada a outra Potência.
(a n ) m = a n . m
Ou Seja: “Quando se tem uma potencia elevada a outra Potência , o
resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é o produto
entre os expoentes das Potências.”
Ou ainda: “Para elevar uma Potência a outra potência, conserva a Base e
Multiplica os Expoentes”
DemonstraçãoPara a sua demonstração basta aplicar a Propriedade da Multiplicação
uma sucessiva vezes.
Propriedade 4. De Potência de um Produto.
( a x b ) m = a m x b m
Ou Seja: “Quando se tem uma Potência de um produto , o resultado é o
produto da Potência do primeiro número elevado a este expoente pelo outro
número também elevado a este mesmo expoente.”
Ou ainda: “Para elevar um produto a uma potencia, eleva a cada fator do
produto a esta Potência.”
Demonstração
Demonstração( a x b ) m = (a x b )x(a x b )x(a x b)x . . . x (a xb ) Ao Todo m- parenteses
Ao qual o único operador. Aplicando as Propriedades Comutativa e
Associativa da Multiplicação, vem:( a x b ) m = (a x a x a x . . . x a )x(b x b x bx . . . x b ) Em cada Parênteses tem m Parcelas, aplicando a definição:
Chega a:
( a x b ) m = a m x b m
Propriedade 5. De Potência de uma Divisão.
( a : b ) m = a m : b m
Ou Seja: “Quando se tem uma Potência de uma Divisão , o resultado é a
Divisão da Potência do Dividendo elevado a este expoente pelo divisor
também elevado a este mesmo expoente.”
Ou ainda: “Para elevar uma Divisão a uma potencia, eleva a cada fator da
Divisão a esta Potência.”
Demonstração
Demonstração
Transformando a Divisão em fração e desenvolvendo:
Multiplicando as frações fica:
b
a...
b
a
b
a
b
a
b
a)b:a(
mm ××××=
=
mmm
mm ba
b
a
b...bbb
a...aaa)b:a( ÷==
×××××××=
Caso 1. De uma Potência de Expoente Zero.
a 0 = 1
Demonstração.
a 0 = a 1 -1 = a 1 : a 1 = a / a = 1
Caso 2. De uma Potência de Expoente negativo.
Demonstração.
nn
a
1a =−
nnnn0
n
0
n a
1a:assimaa
a
a
a
1 ==== −−−
Caso 3.1. De uma Potência de Expoente Fracionário.
Demonstração
nn
1
aa =
nn
1
nn nn
1
nn
1nn
1
n
n
aa:ologa)a(
:ezimanRaizAplicando
a)a(ou)a(aa
==
−
===
Caso 3.2. De uma Potência de Expoente Fracionário.
Demonstração
Similar ao Caso 3.1
Esta propriedade diz:
“ A Raiz de uma Potência é uma outra Potência em que o Expoente é uma
fração onde: Numerador é o Expoente da Potencia do Radical e o
Denominador é o Índice da Raiz”
n mn
m
aa =
nmnm aaa +=×
nmnm aa:a −=
nmnm a)a( ×=
1a0 =
n mn
m
aa =
nn
a
1a =−
mmm ba)ba( ×=×
mmm ba)b:a( ÷=
Simplifique cada operação abaixo, usando propriedades da Potência 01. 54 x 53 x 56
Trata-se de Multiplicação de Potências de Mesma Base, assim:
54 x 53 x 56 = 54 + 3 + 6 = 513 Resposta: 513
02. 76 : 72
Trata-se de Divisão de Potências de Mesma Base, logo:
76 : 72 = 76 – 2 = 74 Resposta: 74
03. ( 112 )5
É o caso de Potencia de Potência portando:
( 112 )5 = 112x5 = 1110 Resposta: 1110
Calcule o valor de:
01. 22 x 23 x 22
Solução 1: 22 x 23 x 22 = (2x2)x(2x2x2)x(2x2) = 4 x 8 x 8 = 256
Solução 2: 22 x 23 x 22 = 22+3+2 =27 = 2x2x2x2x2x2x2 = 256
Resposta: 256
02. 911 : 97
Devido à grandeza dos números, é preferível aplicar propriedade para facilitar seus cálculos, assim:
911 : 97= 911 - 7 = 94 = 9 x 9 x 9 x 9 =6 561
Resposta: 6561
PARTE 2 – Potência e Raízes
FIMProf. Gercino Monteiro Filho
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