LogaritmoPARTE 2 – Potências e Raízes

Um Pouco de História

Na ânsia de ajuntar dois grupos de mesmo objeto e saber a quantia total

dos dois grupos quando juntos, surgiu a primeira operação: ADIÇÃO.

Operação de Adição

01. 4 + 6 = 10;

02. 5 + 7 + 9 = 21

Cada um dos números participantes da soma é uma parcela.

Até que surgiu um tipo de soma especial: Soma em que todas as parcelas

fossem iguais, tal qual a ilustração:

7 + 7 + 7 + 7 + 7

Com o aparecimento de somas com parcelas iguais, a matemática criou

uma nova operação para este fim: A Multiplicação

Multiplicação

É a representação de uma soma em que todas as parcelas são iguais.

Ilustrando:

01. 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 x 7 (5 é o número de parcelas 7 é o valor de cada

parcela);

02. 13 + 13 + 13 + 13 = 4 x 13.

Passou a ter multiplicação com mais de duas parcelas tal qual:

01. 11 x 3 x 7 x 2.

Não podia ter sido diferente: Apareceram Multiplicações Com Parcelas

Iguais tal qual:

01. 9 x 9 x 9 x 9 x 9

02. 7 x 7 x 7

Com isto surgiu a: Potenciação para fazer a sua representação, assim:

Potencia

É a multiplicação de números em que todas as parcelas são iguais

Ilustrando:

01. 8 x 8 x 8 x 8 = 84

02. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26

Note que pela notação de potência criada pela matemática, Os números

ficaram em dois níveis diferentes, e assim foram batizados de:

a. O que fica no nível inferior é a: BASE:

b. O que fica no outro nível é o: EXPOENTE

Pela Ilustração citada tem:

01. 8 x 8 x 8 x 8 = 84 Base: 8 ; Expoente: 4

02. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 Base: 2 ; Expoente: 6

Pela ilustração percebe:

Base é o número que se Repete na multiplicação;

Expoente é o número de vezes que este número repete na multiplicação.

Seja a um número real qualquer e n um número natural. Denomina

Potência de a elevado ao expoente n ao número real dado por:

an = a x a x a x a x. . . x a (ao todo n parcelas)

Exemplo

Calcule o valor de:

01. M = 54

Solução

M = 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 Resposta: 625.

02. N = 36

Solução

N = 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729 Resposta: 729.

Sejam a e b números reais, m e n números naturais.

Para a Potência valem as seguintes propriedades :

Propriedade 1. Da multiplicação de Potências de Mesma Bases.

an x am = an+ m

Ou Seja: “Quando se tem o produto de potencias que possuem a mesma base, o

resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é a soma dos

expoentes das potencias que estavam sendo multiplicada.”

Ou ainda: “Para Multiplicar Potências de Mesma Base, conserva a Base e Soma os

Expoentes”

Demonstração

Esta propriedade pode ser ampliada quando se tem a multiplicação de 3 ; 4 etc

potências de mesma base, a saber:

a) an x am x ak = an+ m + k

b) an x am x ak x ar = an+ m+ k + r

c) etc.

a n x a m = ( a x a x a x . . . x a) x ( a x a x . . . x a)

(n parcelas) (m parcelas)

a n x a m = a x a x a x . . . x a x a x a x . . . x a = a n + m

(n + m parcelas)

Propriedade 2. Da Divisão de Potências de Mesma Bases.

a n : a m = a n - m

Ou Seja: “Quando se tem a divisão de potencias que possuem a mesma

base, o resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é a

diferença entre o expoente da potencia divisor e a da potência.”

Ou ainda: “Para Dividir Potências de Mesma Base, conserva a Base e

Subtrai os Expoentes”

Demonstração

Aplicando a definição de divisão e de potência, vem:

n parcelas

an : am = an

= a x a x a x . . . x a

am a x a x . . . x a m parcelas

Simplificando as frações: n parcelas

an : am = an

= a x a x a x . . . x a

am a x a x . . . x a m parcelas

Como n > m Serão cortadas m parcelas do Numerador e a mesma quantia do denominador, assim sobrarão:

• No Numerador: (n – m) parcelas de valor a e as demais de valor 1;

• No Denominador: Todas as m de valor 1 (unitário), com isto fica:

n – m parcelas

an : am = a x a x a x . . . x a

1 x 1 x . . . x 1

Logo an : am = an - m

Propriedade 3. De uma Potência elevada a outra Potência.

(a n ) m = a n . m

Ou Seja: “Quando se tem uma potencia elevada a outra Potência , o

resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é o produto

entre os expoentes das Potências.”

Ou ainda: “Para elevar uma Potência a outra potência, conserva a Base e

Multiplica os Expoentes”

DemonstraçãoPara a sua demonstração basta aplicar a Propriedade da Multiplicação

uma sucessiva vezes.

Propriedade 4. De Potência de um Produto.

( a x b ) m = a m x b m

Ou Seja: “Quando se tem uma Potência de um produto , o resultado é o

produto da Potência do primeiro número elevado a este expoente pelo outro

número também elevado a este mesmo expoente.”

Ou ainda: “Para elevar um produto a uma potencia, eleva a cada fator do

produto a esta Potência.”

Demonstração

Demonstração( a x b ) m = (a x b )x(a x b )x(a x b)x . . . x (a xb ) Ao Todo m- parenteses

Ao qual o único operador. Aplicando as Propriedades Comutativa e

Associativa da Multiplicação, vem:( a x b ) m = (a x a x a x . . . x a )x(b x b x bx . . . x b ) Em cada Parênteses tem m Parcelas, aplicando a definição:

Chega a:

( a x b ) m = a m x b m

Propriedade 5. De Potência de uma Divisão.

( a : b ) m = a m : b m

Ou Seja: “Quando se tem uma Potência de uma Divisão , o resultado é a

Divisão da Potência do Dividendo elevado a este expoente pelo divisor

também elevado a este mesmo expoente.”

Ou ainda: “Para elevar uma Divisão a uma potencia, eleva a cada fator da

Divisão a esta Potência.”

Demonstração

Demonstração

Transformando a Divisão em fração e desenvolvendo:

Multiplicando as frações fica:

b

a...

b

a

b

a

b

a

b

a)b:a(

mm ××××=

=

mmm

mm ba

b

a

b...bbb

a...aaa)b:a( ÷==

×××××××=

Caso 1. De uma Potência de Expoente Zero.

a 0 = 1

Demonstração.

a 0 = a 1 -1 = a 1 : a 1 = a / a = 1

Caso 2. De uma Potência de Expoente negativo.

Demonstração.

nn

a

1a =−

nnnn0

n

0

n a

1a:assimaa

a

a

a

1 ==== −−−

Caso 3.1. De uma Potência de Expoente Fracionário.

Demonstração

nn

1

aa =

nn

1

nn nn

1

nn

1nn

1

n

n

aa:ologa)a(

:ezimanRaizAplicando

a)a(ou)a(aa

==

−

===

Caso 3.2. De uma Potência de Expoente Fracionário.

Demonstração

Similar ao Caso 3.1

Esta propriedade diz:

“ A Raiz de uma Potência é uma outra Potência em que o Expoente é uma

fração onde: Numerador é o Expoente da Potencia do Radical e o

Denominador é o Índice da Raiz”

n mn

m

aa =

nmnm aaa +=×

nmnm aa:a −=

nmnm a)a( ×=

1a0 =

n mn

m

aa =

nn

a

1a =−

mmm ba)ba( ×=×

mmm ba)b:a( ÷=

Simplifique cada operação abaixo, usando propriedades da Potência 01. 54 x 53 x 56

Trata-se de Multiplicação de Potências de Mesma Base, assim:

54 x 53 x 56 = 54 + 3 + 6 = 513 Resposta: 513

02. 76 : 72

Trata-se de Divisão de Potências de Mesma Base, logo:

76 : 72 = 76 – 2 = 74 Resposta: 74

03. ( 112 )5

É o caso de Potencia de Potência portando:

( 112 )5 = 112x5 = 1110 Resposta: 1110

Calcule o valor de:

01. 22 x 23 x 22

Solução 1: 22 x 23 x 22 = (2x2)x(2x2x2)x(2x2) = 4 x 8 x 8 = 256

Solução 2: 22 x 23 x 22 = 22+3+2 =27 = 2x2x2x2x2x2x2 = 256

Resposta: 256

02. 911 : 97

Devido à grandeza dos números, é preferível aplicar propriedade para facilitar seus cálculos, assim:

911 : 97= 911 - 7 = 94 = 9 x 9 x 9 x 9 =6 561

Resposta: 6561

PARTE 2 – Potência e Raízes

FIMProf. Gercino Monteiro Filho