Trigonometria Seno e Cosseno

1

Trigonometria

Prof. Gustavo Costa2

Ângulo central determina arco

Radiano (rad): arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. C(arco) = R.a

Arcos e ângulos

Prof. Gustavo Costa3

Ciclo ou Círculo Trigonométrico Centro na origem Raio = 1

Pode ser qualquer, mas facilita com R=1 Eixo x: eixo dos cossenos Eixo y: eixo dos senos Sentido Anti-Horário: >0 Sentido Horário: <0

Trigonometria na Circunferência

Prof. Gustavo Costa4

Cada número real está associado a um ponto do ciclo

Os pontos do círculo correspondem aos arcos/ângulos centrais na circunferência

As coordenadas cartesianas dos pontos correspondem aos valores de cosseno e seno, respectivamente

Ciclo Trigonométrico

Prof. Gustavo Costa5

Cada ponto do ciclo está associado a mais de um (infinitos) valor de ângulos Côngruos

São arcos que estão representados no mesmo ponto do círculo, mas que possuem valores diferentes

Identificamos pela diferença no número de voltas Ex.: 60º 420º = 60º + 360º Ex.: 30º –330º = 30º – 360º

1ª Determinação Principal (1ª DP) 0º < 360º

Exercícios Obtenha a 1ª DP de:

1200º

-800º

Arcos Côngruos

Prof. Gustavo Costa6

Ciclo Trigonométrico

0

/2

3/2

2

Prof. Gustavo Costa7

Ciclo Trigonométrico

cos(x)

sen(x)

(cos(x),sen(x))

Prof. Gustavo Costa8

Ciclo Trigonométrico

cos(x)

sen(x)

(cos(x),sen(x))

Prof. Gustavo Costa9

Observe que, para todo ponto do círculo, vale a relação:

Fórmula Mãe

cos(x)

sen(x)R=1

2 2cos (x) sen (x) 1

Prof. Gustavo Costa10

Calcular, a partir do ciclo, trigonométrico os valores de cos(q) e sen(q) para os seguintes arcos

0, /2, , 3/2, 2. –/2, –, –3/2, –2.

Cálculo de Senos e Cossenos

Prof. Gustavo Costa11

Análise Sinal Crescimento Variação (limites) Período Gráfico

Quadrantes (sentido anti-horário) IQ – (0,/2) IIQ – (/2,) IIIQ – (,3/2) IVQ – (3/2,2)

Estudo das razões trigonométricas

Prof. Gustavo Costa12

Sinal

IQ

IIQ

IIIQ

IVQ

Cosseno

+–

– +

Prof. Gustavo Costa13

Crescimento / Variação

IQ

IIQ

IIIQ

IVQ

Cosseno

Prof. Gustavo Costa14

Período

T= 2

cos(mx)

Período T=2/|m|

Cosseno

Prof. Gustavo Costa15

Gráfico

Cosseno f(x)=cos(x)

-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ

Prof. Gustavo Costa16

Calcule o valor dos cossenos a seguir:a) cos(210º)b) cos(315º)c) cos(120º)d) cos(330º)

Determine período e imagem das funções abaixo:

a) f(x) = 1 + 2cos(2x)b) y = -3cos(x/2 + ) – 1c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)

Exercícios

Prof. Gustavo Costa17

a) cos(210º) Identifique a posição do ângulo Localize o quadrante: 3º Verifique quanto se afasta da

horizontal: 180º + 30º Usaremos então o ângulo de 30º

para comparar o valor do cosseno

cos(30º) = Como o cosseno é negativo no

3ºQ cos(210º) = –cos(30º) = –

Resolução

x

y

+–

30º

210º

Prof. Gustavo Costa18

a) f(x) = 1 + 2cos(2x) Calculando o período (T):

Identifique o valor de m. m é o coeficiente de x ‘dentro’ do cosseno, o número que multiplica x: m=2

Aplica a fórmula: T = 2/|m| = 2/|2| T = Para calcular a imagem, usamos os valores

máximo e mínimo do cosseno e substituímos na expressão da função:

Mín.: cos(2x) = –1 fmín. = 1 + 2(– 1) = 1 – 2 = –1

Máx.: cos(2x) = 1 fmáx. = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3

Im(f) = [–1,3]

Resolução

Prof. Gustavo Costa19

Calcule o valor dos cossenos a seguir:a) cos(210º) – resolvido no exemplob) cos(315º)c) cos(120º)d) cos(330º)

Determine período e imagem das funções abaixo:

a) f(x) = 1 + 2cos(2x) – resolvido no exemplob) y = -3cos(x/2 + ) – 1c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)

Exercícios

Prof. Gustavo Costa20

Sinal

IQ

IIQ

IIIQ

IVQ

Seno

+

+

–

–

Prof. Gustavo Costa21

Crescimento / Variação

IQ

IIQ

IIIQ

IVQ

Seno

Prof. Gustavo Costa22

Período

T=

sen(mx)

Período T=

Seno

Prof. Gustavo Costa23

Gráfico

Seno f(x)=sen(x)

-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ