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KL 120410 PROT: 3412

Relações Trigonométricas (Identidades Trigonométricas)

PROF: EQUIPE MATEMÁTICA

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1

05

2CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

IMPACTO: A Certeza de Vencer!!!

1. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. A secante de um arco x (sec x) é o inverso do cosseno deste mesmo arco e vice-versa. A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do seno deste mesmo arco e vice-versa. A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da tangente deste mesmo arco e vice-versa. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA: A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco qualquer é igual a 1 (um).

RELAÇÃO AUXILIAR 1: A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco. . RELAÇÃO AUXILIAR 2: A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco. . A tangente de um arco x é igual a quociente entre o seno e o cosseno deste mesmo arco. A cotangente de um arco x é igual ao quociente entre o cosseno e o seno deste mesmo arco. Exemplos:

01. (UNEB) Se x pertence ao intervalo 0,2

e

tg x 2 , então cos x vale:

a) 3

2 b)

2

2 c)

1

2 d)

5

5 e)

3

5

x

A

P

cosx

x

O

senx

1

1

– 1

– 1

cosx

senx 1

Aplicando o Teorema de Pitágoras: 2 2 2

2 2 2

2 2

a b c

1 sen x cos x

sen x cos x 1

DEMONSTRAÇÃO

Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO

FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 2 2sen x cos x 1 por

2cos x , temos:

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

sen x cos x 1 cos x

sen x cos x 1

cos x cos x cos x

sen x 11

cos x cos x

tg x 1 sec x

Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO

FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 2 2sen x cos x 1 por

2sen x , temos:

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

sen x cos x 1 sen x

sen x cos x 1

sen x sen x sen x

cos x 11

sen x sen x

1 cotg x cossec x

cotg x 1 cossec x

OBSERVAÇÕES

a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno; b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno; c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.

Grave a Frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA

U: todos são positivos; S: o seno e a cossecante são positivos; T: a tangente e a cotangente são positivas; C: o cosseno e a secante são positivos.

U S

C T

1sec x

cos x , com cos x 0

1cos x

sec x , com sec x 0

2 2sen x cos x 1

2 2tg x 1 sec x

2 2cotg x 1 cossec x

1cossec x

s en x , com sen x 0

1sen x

cossec x , com cossec x 0

1cotg x

tg x , com tg x 0

1tg x

cot g x , com cot g x 0

sen xtg x

cos x , com cos x 0

cos xcotg x

sen x , com sen x 0

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REVISÃO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!

Resolução: Como x é um arco do primeiro quadrante todas as razões trigonométricas são positivas. Calculamos a secante de x pela Relação Auxiliar 1:

2 2

2 2

2

tg x 1 sec x

2 1 sec x

sec x 5

sec x 5 sec x 5 1º quadrante

Calculamos o cosseno de x pela relação:

1cos x

sec x

. 51 5cos x cos x

55 . 5

ALTERNATIVA (D) 2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométricas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões. Exemplos:

02. (UCDB) Para todo x R tal que x k.2

,

k Z , expressão 2 2cos x . tg x 1 é igual a:

a) sen x

cos x c) 1

e) sen x cos x

b) 1 cos x d) 2sen x

Resolução:

Como 2 2tg x 1 sec x , temos:

2 2 2 2 22

1cos x . tg x 1 cos x.sec x cos x. 1

cos x

ALTERNATIVA (C) EXERCÍCIOS 01. (CEFET) Assinale a alternativa falsa:

a) 1

sec x3

c) 3

cos x4

e)

cos x 0,5

b) tg x 50000 d) sen x 1

02. (UCDB – MT) Simplificando-se a expressão

sen x 1 cos xy

1 cos x sen x

obtém-se:

a) y 2cotg x c) y 2cos x e)

y 2cossec x

b) y 2sen x d) y 2 tg x

03. (UCDB) Sabe-se que 24 tg x 9 e 5

x 32

.

Então a expressão E 4 sen x 6cos x cot g x vale:

a) 3

2 b)

3

2 c)

2

3 d)

2

3 e)

9

4

04. (UNIFOR) Para todo k.2

, k Z , a expressão

cossec cos

sec sen

é equivalente é:

a) tg c) cotg

e) sec . tg

b) tg d) cotg

05. (PUC) O arco que tem medida x em radianos é tal

que x2

e tg x 2 . O valor do seno de x é:

a) 3 b) 2 c) 3

3 d)

6

3 e)

2

2

06. (UAAM) Sabendo que 2

sen x3

e que x está no

1º quadrante, o valor de cotg x é:

a) 5

2 b)

1

3 c)

5

3 d)

5

3 e)

5

2

07. (CEFET-PR) Simplificando a expressão 1+sen x,

encontramos: sec+tgx a-) cos x b-)1-cos x c-) 1+cos x d-) 1___ cos x e-) 1___ 1-cos x 08. (FGV-SP) Se x é um arco do segundo quadrante e

sen x = 2

3 então:

a) tg x = 7

2 b) cotg x =

2

7

c) sec x = 53

5 d) cossec x =

1

2

e) cos x = 5

3