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IApresentação

1 - 1

Vitor Leitãovitor.leitao@tecnico.ulisboa.ptgabinete 2.34horário de dúvidas: quarta, 14h30-16h

Corpo DocenteManuel Ritto Correa (responsável)Carlos TiagoCarlos Sousa Oliveira

Nota: segue-se, extensivamente, a referência bibliográfica Beer

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IPrograma

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1. INTRODUÇÃO

2. EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA

3. SISTEMAS DE FORÇAS E CAMPOS DE MOMENTOS

4. EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO

5. ATRITO

6. ESTATIA

7. ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

8. CINEMÁTICA DA PARTÍCULA E DOS CORPOS RÍGIDOS

9. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

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IBibliografia

1 - 3

Vector Mechanics for Engineers: Statics & Dynamics, BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON Jr., E. Russel; MAZUREK, David F.; CORNWELL, Phillip J.; EISENBERG, Elliot R., 2010, ninth edition, Ed. Mc Graw-Hill

apoio - aulas em Powerpoint “vector mechanics for engineers statics ppt”

Teoria dos sistemas de vectores, CABRITA NEVES, I., 2002, Lisboa, Secção de Folhas da AEIST

Apontamentos sobre equilíbrio de estruturas, PEREIRA, E.; GUERREIRO, L., 2009/2010, Lisboa

O princípio dos Trabalhos Virtuais, CABRITA NEVES, I., 2002, Lisboa, Secção de Folhas da AEIST

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IAvaliação

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Exame final escrito complementado por avaliação contínua. Para classificação superior a 16 valores, o aluno deverá submeter-se a um exame oral.

• Exame final (0-20 valores);• Mini-testes - Ao longo do semestre realizam-se 3 mini-testes, nas aulas práticas, cada um com a classificação máxima de 0,5 valores;• Laboratórios - Ao longo do semestre realizam-se 2 sessões laboratoriais com elaboração de relatório, com a classificação total máxima de 0,5 valores*;• A classificação máxima no conjunto dos mini-testes e das sessões laboratoriais é de 2,0 valores;• A classificação final (NF) é obtida através da combinação da classificação obtida nos exames (NEx) com a dos mini-testes (NMT) e das sessões laboratoriais (NLab):NF = Max (NEx; 0.9 x NEx + NMT + NLab)

* são contabilizados os resultados das sessões laboratoriais realizadas no ano lectivo de 2013/2014.

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IMecânica, o que é?

1 - 5

• Descreve e prevê o comportamento dos corpos sob a acção de forças, isto é, se:– vão alterar o seu estado de repouso/movimento ou não;

– vão permanecer indeformados ou não.

Aplica-se a:- Corpos rígidos

- Estática- Cinemática- Dinâmica

- Corpos deformáveis- Fluidos

• A Mecânica é a base de vários ramos da Engenharia (Civil, Mecânica, Minas, Materiais, Aeroespacial, Naval, etc).

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IMecânica I, impacto noutras disciplinas

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A matéria dada em Mecânica I é um requisito fundamental para mais 7 disciplinas do tronco comum do curso.

• Mecânica II• Resistência de Materiais I• Resistência de Materiais II• Análise de Estruturas I• Estruturas de Betão I• Estruturas Metálicas• Dimensionamento de Estruturas

E, a menos que a área de especialização escolhida seja Hidráulica e Recursos Hídricos ou Urbanismo, Transportes e Sistemas, existirão entre 1 a 9 outras disciplinas em que esta matéria é utilizada.

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IConceitos fundamentais

1 - 7

• Espaço – referência geométrica da posição de um ponto e de um corpo (ligação a um sistema de coordenadas);

• Tempo – descrição do momento em que se dá um evento, descrição de uma sequência de eventos;

• Massa – característica física dos corpos que condiciona o seu comportamento mecânico.

• Força – interacção entre dois corpos que induz a alteração do estado de repouso ou de movimento dos corpos. A força pode ser induzida por contacto ou à distância (gravítica ou electromagnética).

Uma força é caracterizada por intensidade, direcção, sentido e ponto de aplicação

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IConceitos fundamentais

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• Partícula ou ponto material – uma certa quantidade de matéria que ocupa um espaço pontual.

• Corpo rígido – conjunto de partículas que mantêm uma posição relativa constante.

Na Mecânica Clássica (dita Newtoniana) o espaço, o tempo e a massa sãoconceitos absolutos, independentes entre si. A força não é independente, está relacionada com a massa do corpo e com a variação da velocidade no tempo.

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IPrincípios fundamentais

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• Terceira Lei de Newton ou Lei da Acção-Reacção: quando dois corpos A e B interagem as forças de interacção são iguais e opostas (princípio da acçãoreacção).

• Segunda Lei de Newton ou Lei do Movimento:Sob a acção de uma força, uma partícula adquirirá uma aceleração tal que:

amFrr

=

• Lei de Newton da Gravitação Universal: Quaisquer dois corpos atraem-se proporcionalmente ao produto das respectivas massas e inversamente à distância com forças iguais e opostas tal que,

22,

R

GMgmgW

r

MmGF ===

Os princípios fundamentais são as leis de Newton:

• Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia:se a força resultante que actuanuma partícula for nula, esta manter-se-á em repouso ou em movimento uniforme e rectilíneo;

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ISistema de unidades

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As unidades básicas do Sistema Internacional que interessam à Mecânica são:Massa – kilograma – kg,Tempo – segundo – sDistância/comprimento – metro – m

A força é uma unidade derivada:

Outras unidades derivadas são:Medida de ângulos – radianos – rad.Área – metro quadrado - m2

Volume – metro cúbico - m3

Velocidade – metro por segundo – ms-1

Velocidade angular – radiano por segundo – rad s-1

Aceleração – metro por segundo quadrado – ms-2

Aceleração angular – radiano por segundo quadrado – rads-2

Massa específica – kilograma por metro cúbico – kg m-3

Momento – Newton metro – N mEnergia – Joule – J (N m)Trabalho – Joule – J (N m)

( )

=

=

2s

m1kg1N1

maF

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IMúltiplos/sub-múltiplos, precisão

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Múltiplosk – kilo - 103

M – Mega – 106

G – Giga – 109

T – Tera – 1012

Sub-múltiplosm – mili - 10-3

m – micro – 10-6

n – nano – 10-9

p – pico – 10-12

f – fentoa - ato

PrecisãoEvitar a utilização de número excessivo de algarismos significativos. Em geral não apresentar mais algarismos significativos na resposta do que os fornecidos nos dados.

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IMétodo de análise de problemas da Mecânica

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• Definição do problema: Inclui dados, aquilo que se pretendeobter e, na grande maioria dos casos, uma figura.

• Diagramas de corpo livre:Devem ser criados diagramas para cada um dos corpos livres em análisecom a indicação de todas as forçasenvolvidas.

• Princípios fundamentais:Devem ser aplicadas as leis fundamentais que definem o estadode repouso ou movimento de cada um dos corpos. As equações daíresultantes são resolvidas com recurso à álgebra.

• Verificação dos resultados:- É fundamental verificar se as unidadesestão correctas;- devem ser sempre substituídos osresultados nalguma equação nãoutilizada anteriormente para verificaçãode erros de cálculo:- deve sempre ser aplicada a experiênciaou “intuição” para detectar resultadosque estão para além dos limites do razoável.

2014-2015 Mecânica Iunidades...

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ITrigonometria – revisões

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Alguns resultados básicos.

( ) ( ) 1cossen 22 =α+α

)(sen)cos()cos()(sen)(sen βα+βα=β+α

)(sen)(sen)cos()cos()cos( βα−βα=β+α

a

c

b

α

γβ

Lei dos senos :

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ITrigonometria – revisões

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Lei dos cossenos :

Semelhança de triângulos

a

c

b

α

γβ

A

C

B

α

γ

Cc

Bb

Aa ==

�� = �� + �� − 2�� cos �

�� = �� + �� − 2�� cos

�� = �� + �� − 2�� cos �

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IVectores – revisões

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Vectores – são entidades geométricas caracterizadas por direcção, sentido e

intensidade ou módulo. São normalmente dados em função de componentes e de

uma base:

�� = ����� + ����� + �����

As operações mais usuais são:

• multiplicação por escalar �� = �� = � ��

�

• soma �� = � + �

• produto interno �� = �. � = � � cos �

• produto externo �� � � � � � � � sin � �

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IVectores - revisões

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• Vector: entidades geométricas caracterizadas por direcção, sentido e intensidade ou módulo. Por vezes também têmponto de aplicação pré-definido.

Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações, forças, etc.

• Os vectores podem ser:- fixosquando o ponto de aplicação está definido.- livresquando podem mover-se livremente no espaço

desde que mantenham intensidade, direcção e sentido.- deslizantesquando se podem mover ao longo da sua

“linha de acção”, um eixo que passa num determinadoponto de aplicação.

• Dois vectores são iguaisse tiverem a mesma intensidadedirecção e sentido

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ISoma de dois vectores

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• Sejam os vectoresP e Q.

• R é o vector resultante da soma dos doisvectores.

• O vector resultante pode ser visto como sendo a diagonal do paralelogramocujos lados coincidentes são as parcelas, isto é, os vectoresP e Q.

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ISoma de vectores (2)

1 - 19

• regra dos trapézios para a soma de vectores

• regra dos triângulos para a soma de vectores

B

B

C

C

QPRBPQQPR

rrr+=

−+= cos2222

• Lei dos cossenos,

• Lei dos senos,

A

C

R

B

Q

A sinsinsin ==

• A soma de vectores é comutativa:

PQQPrrrr

+=+

• Subtracção

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ISoma de vectores (3)

1 - 20

• Soma de 3 ou mais vectores por aplicaçãosucessiva da regra do triângulo

• Regra do polígono para somar 3 ou maisvectores

• A soma de vectores é uma operação associativa,

( ) ( )SQPSQPSQPrrrrrrrrr

++=++=++

• Multiplicação de um vector por um escalar

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IResultante de vectores concorrentes num ponto

1 - 21

• Vectores concorrentes: diz-se de conjuntosde vectores que passam todos por um mesmo ponto.

Um conjunto de vectores concorrentes podeser substituído pelo vector resultante (soma dos vectores).

A partir de agora os vectores que iremos utilizar representam todos alguma entidade física, força, velocidade, aceleração, etc.

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IProblema 2.1 (Beer)

1 - 22

Considere as duas forças queactuam no pregoA. Determine a sua resultante.

SOLUÇÃO:

• gráfica – construir, à escala, o paralelogramocom lados adjacentesP e Q. A resultantecorresponde à diagonal do paralelogramo.

Em alternativa somar um vector no fim do primeiro. Unir o início do primeiro vector aofim do ultimo. O terceiro lado do triângulo é a resultante.

• trigonométrica – usar as regras de soma de triângulos, a lei dos senos e a dos cossenos.

• vectorial analítica – definir os vectores numreferencial apropriado em função dos versores da base.

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IProblema 2.1 (Beer)

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• Graficamente, paralelogramo

°== 35N 98 αR

• Graficamente, triângulo,

°== 35N 98 αR

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IProblema 2.1 (Beer)

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• Via trigonométrica

Pela lei dos cossenos,

( ) ( ) ( )( ) °−+=−+=

155cosN60N402N60N40

cos222

222 BPQQPR

AA

R

QBA

R

B

Q

A

+°=°=

°=

=

=

2004.15

N73.97N60

155sin

sinsin

sinsin

α

N73.97=R

Da lei dos senos,

°= 04.35α

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IProblema 2.1 (Beer)

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• Via vectorial analítica

� � 60 cos(45°)��& + 60 sin(45°)��'

( = 40 cos(20°)��& + 40 sin(20°)��'

) � 80 ��& + 56,11 ��'

) � 80� + 56,11�=97,72N

� � tan/�(56,11/80) =35,04º

Notar que desta forma o que se faz é encontrar para cada força que se soma os lados do paralelogramo rectangular que a define.

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IComponentes rectangulares: vectores unitários (versores)

1 - 26

• As componentes segundo cada eixo são as projecçõesda força segundo esses eixos (isto é, resultam da aplicação do produto interno com os versores):

Fx eFy são então os escalares que definem o tamanhode segundo cada eixo.

jFiFF yxrrr

+=

Fr

• Decompor a força em duas componentesperpendiculares por forma a obter um paralelogramorectangular.

yx FFFrrr

+=yx FFrr

,

• Definir vectores unitários perpendiculares entre si (istoé, versores) paralelos aos eixosx e y.ji

rr e

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IResultante de forças por soma das componentes

1 - 27

SQPRrrrr

++=

• Sejam 3 ou mais forças concorrentes,

( ) ( ) jSQPiSQP

jSiSjQiQjPiPjRiR

yyyxxx

yxyxyxyxrr

rrrrrrrr

+++++=+++++=+

• Decompor cada uma delas nas suas componentes cartesianas (rectangulares)

∑=++=

x

xxxxF

SQPR

∑=++=

y

yyyy

F

SQPR

x

yyx R

RRRR 122 tan−=+= θ

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IEquilíbrio da partícula

1 - 28

• Quando a resultante de todas as forças aplicadas sobre a partícula é zero, a partícula está em equilíbrio.

• Pela 1ª Lei de Newton: Quando a resultante é nula a partícula permanece em repouso ou movimento rectilíneo uniforme.

• Partícula sujeita a duas forças:

- de igual magnitude

- igual linha de acção

- sentidos opostos

• Partícula sujeita a 3 ou mais forças:

- graficamente a solução é um polígono fechado

- algebricamente tem-se:

00

0

====

∑∑

∑

yx FF

FRrr

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IProblema EP3 (2.62 Beer)

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IProblemas adicionais 2.2 e 2.3 (Beer)

1 - 30

Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5000N dirigida segundo o eixo da barcaça, determine:a) a força de tracção em cada cabo

para α = 45o;b) o valor deα para o qual a tracção

no cabo 2 é minima.

Determine a resultante das 4 forças indicadas.

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IProblemas adicionais 2.4a e 2.4b (Beer)

1 - 31

Determine as forças de tracção nos cabos sabendo que a massa da caixa é de 130kg.

Determine as forças de tracção nos cabos sabendo que a massa do carro é de 1600kg.

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IProblema adicional 2.6 (Beer)

1 - 32

Um protótipo está a ser analisado. Para uma determinada velocidade de escoamento as forças de tracção nos cabos são de 40N no cabo AB e de 60N no cabo AE. Determine a força exercida no protótipo e a força de tracção no cabo AC.

(a unidade de comprimento no desenho é em pés (ft) mas, para os fins em vista, podemos assumir que são metros)