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Editora Filiada
Direção GeralJoaquim Carqueijó
Gestão de CanaisVanusa Batista e Wellington Oliveira
Gestão Administrativa FinanceiraElisiane Freitas, Vanessa Pereira, e Pedro Moura
Mídias DigitaisClausilene Lima e Sergio Laranjeira
PublisherJoaquim Carqueijó
Produção EditorialTami Oliveira
RedaçãoMatilde Freitas (MTB 67769/SP)
e Saula Lima (MTB 82535/SP)
Design Ligia Fagundes e Julio Cesar Prava
Imagens: Adobe Stock / Shutterstock
Distribuição em Bancas e LivrariasTotal Express Publicações (Grupo Abril)
EDICASE EUROPA
Sócia-gerente Adriana [email protected]
Atendimento ao LeitorRedaçã[email protected]
Edições Anterioreshttp://loja.caseeditorial.com.br
Vendas no Atacado(11) 3772-4303 - ramal [email protected]
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Editorial Matemática
Mais do que conhecimento sobre matemática, um examina-dor - seja de Vestibulares ou Concursos - quer que se utilize o raciocínio para traduzir o enunciado em um cálculo matemático e resolver o problema.
Desse modo, percebemos que é a interpretação do problema, e a tradução em linguagem matemática - que antecede a re-solução - que criam uma incógnita que se adequará ao seu conhecimento dos conteúdos matemáticos.
Algumas questões já apresentam uma equação à ser resolvida mas a grande maioria são constituídas por problemas com tex-to descritivo.
Para resolver qualquer problema:
- Leia atentamente o problema até o nal;- Separe os dados fornecidos;- Estabeleça qual é a incógnita;- Monte uma equação que traduza o texto;- Resolva a equação;- Verique se a alternativa é apresentada.
Separe as questões entre fáceis, médias e difíceis e resolva nesta ordem para não perder tempo em um assunto que não domina.
4
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Adição
Na operação de Adição juntamos quantidades, ordenando os números em unidades, dezenas, centenas, etc. Veja:
Usando o sinal + a Adição deve iniciar sempre da direita para a esquerda e os elementos devem estar alinhados: unidade sob unidade (U), dezena sob dezena (D) e centena sob centena (C).
C D U 2 1 4 — parcela+ 4 8 3 — parcela 6 9 7 — soma ou total
Usamos a Adição “com reserva” quando os números ultrapas-sam suas ordens, ou seja, o que era apenas unidade, somando-se, vira dezena e unidade. O mesmo ocorre para outras ordens.
C D U 1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela — soma ou total
Somando as unidades (U):
7 unidades + 4 unidades = 11 unidades, que corresponde a 1 dezena e 1 unidade.
5
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
1
1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela 1 — soma ou total
Escreve-se o primeiro 1 na ordem das dezenas e o outro 1 vai para a ordem das unidades.
O mesmo acontece com as dezenas (D). Soma-se as dezenas:
1 dezena + 9 dezenas + 8 dezenas = 18 dezenas, que correspon-de a: 1 centena e 8 dezenas.
1
1
1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela 8 1 — soma ou total
Escreve-se o 1 na ordem das centenas e o 8 vai para a ordem das dezenas.
Finalizando, soma-se a ordem das centenas (C):
1 centena + 1 centena + 3 centenas = 5 centenas
1
1
1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela 5 8 1 — soma ou total
6
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Subtração
Na operação de Subtração retiramos uma quantidade menor de outra maior, ordenando os números em unidades, dezenas, centenas, etc. Veja:
Usando o sinal – a Subtração deve iniciar sempre da direita para a esquerda e os elementos devem estar alinhados: unidade sob unidade (U), dezena sob dezena (D) e centena sob centena (C).
C D U 9 7 5 — minuendo- 3 6 1 — subtraendo 6 1 4 — resto ou diferença
Usamos a Subtração “com recurso” quando o minuendo é me-nor do que o subtraendo. Não se pode tirar 8 unidade de 3 uni-dades pois 8 é maior que 3, então pede-se 1 emprestado:
C D U 7 4 3 — minuendo- 3 6 8 — subtraendo 3 7 5 — resto ou diferença
Subtraindo as unidades (U):
3 unidades - 8 unidades não é possível pois 8 é maior que 3.
7
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
3
7 413 — minuendo- 3 6 8 — subtraendo 5 — resto ou diferença
Portando pede-se emprestando 1 dezena à ordem das dezenas.
Risca-se o 4 na ordem das dezenas (restando 3 dezenas) e em-presta 1 dezena que vai para a ordem das unidades.
Assim é possível subtrair na ordem das unidades (U):
13 unidades - 8 unidades = 5 unidades
O mesmo acontece com as dezenas (D).
Do 3 que restou - 6 não é possível, pois 6 é maior que 3.
6 13
7 413 — minuendo- 3 6 8 — subtraendo 7 5 — resto ou diferença
Portanto pede-se emprestado 1 centena à ordem das centenas.
Risca-se o 7 na ordem das centenas (restando 6 centenas) e empresta 1 centena que vai para a ordem das dezenas.
Assim é possível subtrair na ordem das dezenas (D):
8
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
13 dezenas - 6 dezenas = 7 dezenas
Finalizando, subtrai-se a ordem das centenas (C):
6 13
7 413 — minuendo+ 3 6 8 — subtraendo 3 7 5 — resto ou diferença
6 centenas - 3 centenas = 3 centenas
Multiplicação
A operação de Multiplicação é uma adição de parcelas iguais pois repete o primeiro número como parcela tantas vezes quan-tas forem as unidades do segundo e vice-versa.
Observe:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 5 x 3 = 15 ou 5 + 5 + 5 = 15 5 3
2 + 2 + 2 + 2 = 8 ou 4 x 2 = 8 ou 4 + 4 = 8 4 2
fatores
fatores
produto
produto
9
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
1º2º3º
É representada com o sinal “x” (vezes). O multiplicando e mul-tiplicador são chamados fatores, o resultado: produto.
Se multiplicarmos qualquer número por zero, seu produto será sempre zero:
9 x 0 = 0 ou 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Se multiplicarmos qualquer número por um, seu produto será ele mesmo:
9 x 1 = 9, 8 x 1 = 8, 7 x 1 = 7, 6 x 1 = 6, 5 x 1 = 5
A multiplicação ocorre na seguinte sequência: ordem das uni-dades (U); ordem das dezenas (D); ordem das centenas (C).
Da mesma maneira que na Adição, a Multiplicação é feita da direita para a esquerda, dasta vez multiplicando os ordens: uni-dade, dezena, centena, etc.
Veja:
C D U 3 1 2 — multiplicandox 3 6 3 — multiplicador 9 3 6 — produto
Usamos a Multiplicação “com reserva” quando os números ultrapassam suas ordens, ou seja, o que era apenas unidade,
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
1º2º3º
multiplicando-se, vira dezena e unidade. O mesmo ocorre para outras ordens.
3
2
1 9 7 — multiplicandox 3 6 4 — multiplicador 7 8 8 — produto
Multiplicando as unidades (U): 7 unidades x 4 = 28 unidades, que corresponde a 2 dezenas e 8 unidades.
Escreve-se primeiro o 2 na ordem das dezenas e o 8 vai para a ordem das unidades.
O mesmo acontece com as dezenas (D).
Multiplica-se a ordem das dezenas: 9 dezenas x 4 = 36 deze-nas.
Ainda temos que somar as 2 dezenas que sobraram da ordem das unidades, portanto 36 dezenas + 2 dezenas = 38 dezenas.
Escreve-se primeiro o 3 na ordem das centenas e o 8 vai para a ordem das dezenas.
Finalmente, a ordem das centenas (C):
1 centena x 4 = 4 centenas. Ainda temos que somar as 3 cente-
3
2
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
. . . Dica . . .
nas que sobraram da ordem das dezenas, portanto 4 centenas + 3 centenas = 7 centenas que é escrita na ordem das centenas.
Na multiplicação com mais de um multiplicador, achamos o 1º produto parcial pela multiplicação de 243 por 4 = 972.
Logo em seguida, achamos o 2º produto parcial pela multi-plicação de 243 por 1 = 243 e seu resultado é afastado uma casa para a esquerda alinhado abaixo de seu multiplicador.
Os dois produtos (1º e 2º) devem ser somados respeitan-do suas posições.
1
1
2 4 3 — multiplicandox 3 1 4 — multiplicador 9 7 2 — 1º produto+ 2 4 3 — 2º produto 3 4 0 2 — produto nal
Multiplicando as unidades (U):
3 unidades x 4 = 12 unidades, que corresponde a 1 dezena e 2 unidades.
1º2º3º
1
1
1
1
1
1
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Escreve-se primeiro o 1 na ordem das dezenas e o 2 vai para a ordem das unidades.
O mesmo acontece com as dezenas (D).
Multiplica-se a ordem das dezenas: 4 dezenas x 4 = 16 deze-nas.
Ainda temos que somar as 1 dezena que sobrou da ordem das unidades, portanto 16 dezenas + 1 dezenas = 17 dezenas.
Escreve-se primeiro o 1 na ordem das centenas e o 7 vai para a ordem das dezenas.
Finalmente, a ordem das centenas (C):
2 centenas x 4 = 8 centenas. Ainda temos que somar 1 centena que sobrou da ordem das dezenas, portanto 8 centenas + 1 centena = 9 centenas que é escrita na ordem das centenas.
Com isso temos o 1º produto parcial = 972
Repetindo o processo para o 2º multiplicador (1), sempre da direita para a esquerda, temos o 2º produto parcial = 243 que deve ser posicionado afastado uma casa para a esquerda e so-mado com o 1º produto parcial na posição que se encontra.
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
. . . Dica . . .
O produto nal é a adição do 1º e 2º produtos. Se não há núme-ro para somar (espaços vazios), basta repetir o número.
Multiplicando um número por 10,acrescente um zero à direta desse número, veja:
9 x 10 = 90, 5 x 10 = 50, 15 x 10 = 150, 140 x 10 = 1.400
Multiplicando um número por 100,acrescente dois zeros à direta desse número, veja:
7 x 100 = 700, 3 x 100 = 300, 22 x 100 = 2.200, 120 x 100 = 12.000
Multiplicando um número por 1000,acrescente três zeros à direta desse número, veja:
8 x 1.000 = 8.000, 4 x 1.000 = 4.000,16 x 1.000 = 16.000, 160 x 1.000 = 160.000
Portanto para multiplicar um número por um número decimal (10, 100, 1000...) basta acrescentar a quantida-
de de “zeros” à direita do número.
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Divisão
A operação de divisão é quando separamos uma quantidade em partes iguais. O sinal que representa a divisão é o “ ÷ ”.
A forma mais tradicional da divisão é colocar os números em uma “chave” que separa os elementos da divisão, veja:
Dividindo 6 ÷ 2 descobrimos primeiro qual número que, multi-plicado por 2, tem resultado igual a 6.
Para ter a certeza deste quociente, escrevemos o produto da mutiplicação 2 x 3 abaixo do Dividendo para então realizar uma subtração.
Se o resultado da subtração é igual a zero (resto = 0) signica que é uma divisão exata. Podemos dizer que 6 é divisível por 2.
Veja outro exemplo de divisão exata:
6 6 66
660
Dr
--x2 2
323
23
dq
dividendoresto
divisorquociente
ou D = d x q + r
resto
6 ÷ 2
15
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
9 9 99
990
--x3 3
333
33
9 ÷ 3
Veja um exemplo de divisão inexata ou aproximada:
Dividindo 9 ÷ 2 descobrimos primeiro qual número que, mul-tiplicado por 2, tem resultado igual ou próximo (porém nunca maior) a 9.
Para ter a certeza deste quociente, escrevemos o produto da mutiplicação 2 x 4 abaixo do Dividendo para então realizar uma subtração.
Veja que o resultado da subtração 9 -- 8 foi 1, portanto restou 1 tornando a divisão inexata. 9 não é divisível por 2 pois gera resto diferente de zero.
Vejamos um número maior, com mais casas decimais:
resto
9 9 98
981
--x2 2
424
24
9 ÷ 2
x25964 34 25964 347
25964238
347
25964 ÷ 34
16
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Perceba que, com mais algarismos no dividendo, temos que agrupar uma quantidade mínima de casas decimais (da esquer-da para a direita) compatíveis com a quantidade de algarismos do divisor.
No caso, não poderíamos agrupar 25 (25964) pois é menor que o divisor (34), portanto agrupamos 259 (25964) que permite a multiplicação 34 x 7 = 238.
Continuando:
Após fazer a subtração de 259 - 238 = 21 deve-se “abaixar”o pró-ximo algarismo em sua posição junto ao resto para realizar nova divisão pelo divisor, permitindo a multiplicação 34 x 6 = 204.
-- -- --x x x25964
238021
259642380216
2596423802160204
347
347
3476
3476--
x25964238021602040012
--
--x25964
2380216020400124
3476
--
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
--x25964
238021602040012400102
34763
--
--x25964
23802160204001240010200022
34763
----
Após fazer a subtração de 216 - 204 = 12 deve-se “abaixar” o próximo algarismo em sua posição para realizar nova divisão pelo divisor.
O que permite a multiplicação 34 x 3 = 102.
Não havendo mais algarismos para “abaixar” o quociente da divisão 25964 ÷ 34 = 763 com resto = 22. Potanto, é uma divi-são inexata.
Existe uma série de regras práticas para vericar se um número é ou não múltiplo de outro, sem precisar efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente no caso de números grandes como o exemplo anterior.
Serve para a divisão exata, ou seja, o resto é zero. Veja os crité-rios de divisibilidade mais comuns:
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Um número é divisível por 2Quando ele é par
Um número é divisível por 3Quando a soma de seus algarismos é divisível por 3
Um número é divisível por 4Quando termina em dois zeros ou quando o número formado
pelos dois algarismos da direita forem divisíveis por 4
Um número é divisível por 5Quando termina em 0 ou 5
Um número é divisível por 6Quando é divisível por 2 “e” por 3
Um número é divisível por 8Quando os três últimos algarismos formam número divisível por 8
Um número é divisível por 9Quando a soma de seus algarismos forma número divisível por 9
Um número é divisível por 10Quando termina em 0
Um número é divisível por 16Quando termina em quatro zeros ou quando o número forma-do pelos quatro últimos algarismos da direita é múltiplo de 16
Um número é divisível por 25Quando ternina em dois zeros ou quando o número formado
pelos dois últimos algarismos da direita é múltiplo de 25
19
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Os Números e suas Denições
Número ParÉ aquele que, quando dividido por 2, tem como resto “zero”
Exemplo:0, 2, 4, 6, 8 ou números terminados por eles.
Número ImparÉ aquele que, quando dividido por 2, tem como resto “um”
Exemplo:1, 3, 5, 7, 9 ou números terminados por eles.
Número NaturalÉ aquele proveniente do processo de contagem.
Exemplo:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Número InteiroÉ o número natural e seu oposto, reunido ao zero.O conjunto de números inteiros é chamado de Z
Exemplo:..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Número OrdinalÉ aquele que indica ordem, posição ou lugar em uma sequência
Exemplo:1º, 7º, 23º, ...
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Número PrimoÉ um número inteiro que só pode ser dividido
por ele mesmo e pela unidade (1)Exemplo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...
Número FracionárioÉ aquele formado por uma ou várias partes de um número inteiro
Exemplo:1 , 2 , 9 , 6 , ... 4 3 3 2
Número DecimalÉ aquele formado por uma parte inteira (antes da vírgula) e
uma parte decimal (depois da vírgula)Exemplo:
0,9 , 2,5 , 3,158
Número MistoÉ aquele que possui uma parte inteira e uma fracionária
Exemplo:1 2 , ...
3
Cada classe, as ordens dividem-se: Unidades, Dezenas e Centenas:
nidades de Milhão
ezenas de Milhão
entenas de Milhão
nidades de Bilhão
ezenas de Bilhão
. . .
entenas de Milhar
ezenas de Milhar
nidades de Milhar
entenas Simples
ezenas Simples
nidades Simples
4D
1D
1 C
3U
7U
8C
6D
4U
1C
7D
9U
21
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Adição e Subtração
Para o conjunto de números inteiros a regra é simples:
• Sinais iguais = somar os valores e atribuir mesmo sinal
Exemplos: -- 4 -- 6 = -- 10 / -- 2 -- 3 = -- 5 / + 1 + 8 = + 9
• Sinais diferentes = subtrair os valores absolutos e atribuir o sinal do número de maior valor
Exemplos: + 7 -- 10 = -- 3 / -- 5 + 9 = + 4 / -- 6 + 2 = -- 4
Com mais números, agrupe os sinais aos números:
Exemplos: -- 2 + 5 -- 7 = ? / + 5 -- 4 -- 3 + 2 + 6 -- 8 = ?
+ 3 -- 7 = -- 4 / + 13 -- 15 = -- 2
. . . Dica . . .
Podemos realizar as adições e subtrações na sequência que aparecem como no 1º caso ou agrupar os positivos (e so-mar) e os negativos (somar e deixar o sinal negativo para o resultado) como no 2º caso respeitando as regras anteriores.
22
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Multiplicação e Divisão
Para o conjunto de números inteiros a regra é:
• Sinais iguais = resultado positivo (+)
Exemplos:
+ 3 x + 5 = + 15 / -- 9 : -- 3 = + 3 / -- 5 x -- 2 = + 10
• Sinais diferentes = resultado negativo (-)
Exemplos:
-- 8 : + 2 = -- 4 / 7 x -- 4 = -- 28 / -- 6 : + 2 = -- 3
Com mais números, faça a regra de sinais na sequência:
Exemplos: -- 3 x -- 4 x -- 2 = ? / -- 20 : -- 4 : + 5 = ?
Exemplos: +12 x -- 2 = -- 24 / + 5 : + 5 = + 1
. . . Dica . . .
Acostume-se a agrupar o sinal ao número para não se con-fundir e siga as regras de sinais para cada caso. Se o número não possui sinal signica que ele é positivo (+).
23
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O MMC de vários números é o menor número que é divisível por eles ao mesmo tempo. Exemplo:
Calcule o MMC de 10 e 20:
Números que podem ser divididos por 10: 0, 10, 20, 30, 40...Números que podem ser divididos por 20: 0, 20, 20, 60, 40...
Veja que o menor múltiplo comum (MMC) entre 10 e 20 é o 20.
Agora um processo mais usado. Calcule o MMC de 8, 10 e 4:
8, 10, 4
8, 10, 4 24, 5, 2
Colocamos os números à serem calcula-dos na sequência e uma barra vertical in-dicando que haverá uma divisão. Os va-lores são divididos pelo mesmo divisor e seu resultado vão abaixo de cada número.
O processo que ocorre é uma divisão simultânea. O menor divisor de 8, 10 e 4 é o número primo “2”. Fazendo a divisão independente: (8 : 2 = 4), (10 : 2 = 5) e (4 : 2 = 2). Note que os resul-tados são colocados abaixo.
24
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
8, 10, 4 24, 5, 2 22, 5, 1
Com nova divisão simultânea pelo me-nor divisor de 4, 5 e 2 que ainda é o número primo “2”. Fazemos a divisão independente: (4 : 2 = 2), (5 : 2 = não é possível) e (2 : 2 = 1). Para o número que não foi dividido, repete como está.
8, 10, 4 24, 5, 2 22, 5, 2 21, 5, 1 51, 1, 1
8, 10, 4 24, 5, 2 22, 5, 1 21, 5, 1
Com nova divisão simultânea pelo me-nor divisor de 2, 5 e 1 (ainda é o “2”). Fazemos a divisão independente: (2 : 2 = 1), (5 : 2 = não é possível) e (1 : 2 = não é mais necessário).
Finalmente, um divisão simultânea pelo menor divisor de 1, 5 e 1, que agora é o número primo “5”. Fazemos a divisão independente: (1 : 5 = não é mais ne-cessário), (5 : 5 = 1) e (1 : 5 = não é mais necessário). Chegamos ao nal das divi-sões pelos números primos: 2, 2, 2 e 5.
O resultado obtido (lado direito da barra) pode ser escrito:
MMC (8, 10, 4) = 2 x 2 x 2 x 5 = 40 ou 23 x 5 = 40
Portanto o MMC de (8, 10, 4) é 40.
25
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Conra pelo outro modo, qual o mínimo múltiplo comum:
Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48...Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, 40, 50...
Expressões Aritméticas
Uma vez compreendido as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, podemos aplicá-las em conjunto em uma expressão aritmética. Veja:
12 + 10 5 - 2 x 3 = ?
12 + 2 - 6 = 8
Em primeiro lugar, devemos resolver as multiplicações e as divisões. Achado o resultado, devemos resolver as adições e subtrações na ordem que apa-recem.
. . . Dica . . .
O processo de decomposição de um número em um produ-to de fatores primos é conhecido como FATORAÇÃO.
26
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Veja um caso com potências:
53 x 2 - 32 = ?
125 x 2 - 9 = ?
250 - 9 = 241
Veja um caso com parênteses:
3 x ( 4 + 5 ) - 10 : ( 1 + 4 ) = ?
3 x 9 - 10 : 5 = ?
27 - 2 = 25
Quando aparece parênteses em uma expressão, eles devem ser resolvidos em primeiro lugar. Depois seguimos como indicado acima: resolver multiplicações, divisões e depois adições e subtrações.
Quando em uma expressão aritmética aparecem potências, elas devem ser resolvidas primeiro. Depois seguimos resol-vendo as multiplicações, divisões e, por último, as adições e subtrações. Obs: sempre escreva linha a linha para não se perder nos cálculos.
Em expressões matemáticas é comum usar o ponto (.) no lugar do “x” para representar a multiplicação e dois pontos (:) no lugar do “÷” para representar a divisão.
27
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Questões
1 - (ENEM - 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é:
a) 21b) 24 Xc) 26d) 28e) 31
2 - (CESGRANRIO - 2010 - Técnico de Contabilidade) Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os es-tados brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de Janeiro. Juntos, esses dois estados produzem, anual-mente, 64.573 mil barris. Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de barris de petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo?
28
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
a) 20.716b) 22.332c) 31.075d) 36.086e) 42.241 X
3 - (FCC - 2011 - Escriturário) Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é ímpar, considere as seguintes armações:
I. x + y é ímpar.II. x - 2y é ímpar. III. (3x) . (5y) é impar.
É correto armar que
a) I, II e III são verdadeirasb) I, II e III são falsasc) apenas I é verdadeira Xd) apenas I e II são verdadeirase) apenas II e III são verdadeiras
4 - (ENEM - 2012) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimen-to ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o es-paço vazio é o do algarismo que João não entendeu.
29
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo al-garismo que falta no número de protocolo é a de
a) centenab) dezena de milharc) centena de milhar Xd) milhãoe) centena de milhão
5 - (FUMARC - 2010 - Técnico Administrativo) Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus alga-rismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos seus algarismos é 18.
a) 36 Xb) 29c) 63d) 92
6 - (VUNESP - 2011 - Escrevente Técnico Judiciário) Em um trei-namento, o piloto A deu mais voltas completas na pista de tes-tes que seu companheiro de equipe, o piloto B, sendo que a soma do número de voltas dadas por A e por B foi igual a 100. Se dividirmos o número de voltas dadas por A pelo número de voltas dadas por B, o quociente será 5 e teremos um resto igual a 10. Pode-se concluir, então, que a diferença entre o número de voltas dadas por A e por B, nessa ordem, é igual a:
30
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a) 85b) 80c) 70 Xd) 65e) 60
7 - (ENEM - 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exem-plo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitá-rias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da subs-tituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litrosb) 36 litros Xc) 40 litrosd) 42 litrose) 50 litros
8 - (ENEM - 2012) Uma mãe recorreu à bula para vericar a do-sagem de um remédio que precisava dar a seu lho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.
31
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu lho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
a) 12 kg Xb) 16 kgc) 24 kgd) 36 kge) 75 kg
9 - (UFLA - 2013 - Administrador) Em uma repartição com cinco funcionários, um deles cometeu um erro grave. Todos eles sa-bem quem foi o autor desse erro. Esses funcionários têm uma característica muito interessante: quatro deles sempre falam a verdade em qualquer situação, e um deles, às vezes, mente. Um auditor, ao interrogá-los, obteve as seguintes respostas:
Funcionário 1: “sou inocente”Funcionário 2: “o funcionário 3 mentiu”Funcionário 3: “o funcionário 4 é o culpado”Funcionário 4: “o funcionário 2 é o culpado”Funcionário 5: “o funcionário 1 disse a verdade”
É CORRETO armar que o culpado é o:
a) funcionário 1b) funcionário 2 Xc) funcionário 3d) funcionário 4
32
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10 - (ENEM - 2011) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de m de ano:
• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa. • Um copo americano cheio de arroz rende o suciente para quatro pessoas. • Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado. • Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. • Uma garrafa de cerveja serve duas. • Uma garrafa de espumante serve três convidados.
Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.
Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje. 17 dez. 2010 (adaptado).
Um antrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para re-ceber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o antrião deverá dispor de
a) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.b) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.
33
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
c) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.e) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. X
11 - (PUC-PR - 2012 - Técnico Administração) Assinale a alter-nativa correspondente à resolução da seguinte expressão nu-mérica: 15 – {–10 – [–8 + ( 5 – 12 )] – 20}:
a) 20b) 10c) 25d) 15e) 30 X
12 - (CESGRANRIO - 2012 - Técnico de Exploração de Petróleo Júnior) Ao serem divididos por 5, dois números inteiros, x e y, deixam restos iguais a 3 e 4, respectivamente. Qual é o resto da divisão de x . y por 5?
a) 4b) 3c) 2 Xd) 1e) 0
34
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13 - (FCC - 2011 - Técnico Judiciário) Considere o número in-teiro e positivo X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 31.692 : (X1Y) = 76, então a soma X + Y é um número:
a) quadrado perfeito.b) menor que 10.c) primo. Xd) divisível por 6.e) múltiplo de 4.
14 - (FUMARC - 2010 - Técnico Administrativo) No produto: A8 × 3B = 3080 as letras A e B representam dois algarismos diferen-tes situados na seqüência de 1 a 9. Logo, A + B é igual a:
a) 8b) 11c) 13 Xd) 14
Gabarito das Questões
1 B 6 C 11 E
2 E 7 B 12 C
3 C 8 A 13 C
4 C 9 B 14 C
5 A 10 E
35
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Potenciação
A potenciação é formada por uma base e um expoente. Nada mais é do que um algarismo (base) multiplicado pelo número de vezes iguais de seu próprio algarismo (expoente), veja:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
expoente
expoente
base
base
3
4
Expoente par, o resultado será sempre positivo
Expoente ímpar, o sinal do resultado será igual ao da base
(-2)2 = + 4 Obs.: expoente par, resultado positivo
(-3)0 = + 1 Obs.: expoente zero, resultado +1
(-2)3 = - 8 Obs.: expoente ímpar, sinal da base
(-4)1 = - 4 Obs.: expoente um, resultado é a base
(-2)2 = + 4 Obs.: expoente par, resultado positivo
(+2)3 = + 8 Obs.: expoente ímpar, sinal da base
(+2)2 = + 4 Obs.: expoente par, resultado positivo
36
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(-4)-8 : (-4)-5 = ? (-4)-8 - (-5) = ? (-4)-8 + 5 = ? (-4)-3
43 x 4-3 = ? 43 + (-3) = ? 43 - 3 = ? 40
Potências de mesma base
Para multiplicação de potências de mesma base o produto é obtido da soma dos expoentes conservando-se a base.
Veja:
55 x 54 = ? 55 + 4 = ? 59
(-2)4 x (-2)3 = ? (-2)4 + 3 = ? (-2)7
3-4 x 36 = ? 3-4 + 6 = ? 32
Para divisão de potências de mesma base o quociente é obtido da subtração dos expoentes conservando-se a base.
Veja:
55 : 53 = ? 55 - 3 = ? 52
2-2 : 25 = ? 2-2 - 5 = ? 2-7
34 : 38 = ? 34 - 8 = ? 3-4
37
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Potência de Potência de mesma base
Para potências de potências de mesma base o produto é obtido da multiplicação dos expoentes conservando-se a base.
Veja:
(72)3 = ? 72 . 3 = ? 76 e [(-4)3]-2 = ? (-4)3 . (-2) = ? (-4)-6
Transformação de Potências de expoente negativo
Como existem muitas maneiras (de igualdade) para se escrever um número, veja como cam as potências de expoentes nega-tivos escritos sob outra forma.
Se o expoente de uma potência for negativo devemos inverter a base (não nula) e trocar o sinal do expoente.
Exemplos:
131
13
33
127
3-3 = ?3
= ? = ?
inverter a base
trocar o sinal
( )
38
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31
13
-2 2
= ?= ? 9
inverter a base
trocar o sinal
12
1
13
23
18
(-2)-3 = ?3
= ?- - -= ?
inverter a base
trocar o sinal
13
1
14
24
116
(-3)-4 = ?4
= ?- - = ?
inverter a base
trocar o sinal
( )
( )
. . . Importante . . .
Lembre-se sempre das regras de sinais para os expoentes (página 3 desta edição):
Quando o expoente for par o resultado será sempre posi-tivo. Quando o expoente for ímpar o sinal do resultado será igual ao da base.
39
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. . . Observação . . .
Quando o índice (n) não aparece no radical ( ) signica que n = 2 (raiz quadrada). Fica subentendido: 2
Radiciação
Em uma Radiciação, que nada mais é do que a operação oposta à potenciação, devemos conhecer suas partes:
am/n = n am
n an é o índicea é o radicando é o radical
Assim, uma potência de expoente racional pode ser escrita da seguinte forma:
Para nos livrarmos do radical ( ), pode-mos escrever de outra forma (potenciação):
n a = x xn = a
40
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Potências em Radicais
Radicais em Potências
A base da potência passa a ser o radicando;O demoninador do expoente passa a ser o índice;O numerador do expoente passa a ser o expoente do radicando.
52/3 = ?3 52 = ?
32/6 = ?6 32 = ? 31/3 = ?
36/2 = ?2 36 = ? 33 = ? 27
45/2 = ? 2 45 = ? 2 45 = ?
23/2 = ? 2 23 = ? 2 23 = ? 8
Com essa igualdade podemos transformar potências em radi-cais e (operação oposta) radicais em potências. Exemplos:
A condição para as transformações é que a base seja não nula, ou seja, maior que zero.
41
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Concluimos que pode ser escrito:120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 ou 23 x 31 x 51
250 = 2 x 5 x 5 x 5 ou 21 x 53
Máximo Divisor Comum (MDC)
O MDC de vários números é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Exemplo:
Calcule o MDC de 120 e 250:
120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1
250 2 125 5 25 5 5 5 1
Por FATORAÇÃO decompomos os números em fa-tores primos como segue abaixo, veja:
O MDC é formado tomando-se os fatores comuns sempre com o menor expoente.
Portanto concluimos que:
MDC (120, 250) = 21 x 51 = 10. O MDC (120, 250) é 10
42
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
O MDC é semelhante ao MMC porém,o resultado é o maior divisor comum.
Fração
Nos NÚMEROS RACIONAIS o número é escrito da forma “ ” onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero.
A Fração é uma ou várias partes de um inteiro dividido em par-tes iguais. Veja o exemplo:
ba
1 parte
1 Inteiro dividido em 3 partes iguais
. . . Observação . . .
Quando um número não possui expoente, podemos ima-ginar o expoente “1” pois qualquer número multiplicado por 1 tem resultado igual a ele mesmo.
43
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
O número é escrito da forma: 1 3
NumeradorDenominador
Neste caso, lê-se “um terço” ou “um sobre três”
2248
448
35
Adição e Subtração de Frações
Para somar ou subtrair frações de mesmo denominador basta manter o denominador e fazer a adição ou subtração, veja:
Realizar a adição dos numeradores (3 + 6)Repete o denominador (5)
Realizar a subtração dos numeradores (22 - 4)Repete o denominador (48)
65
95
1848
+
-
=
=
O denominador determina em quantas partes iguais foi dividi-do o inteiro e o numerador determina quantas dessas partes foram consideradas.
No exemplo acima o inteiro foi dividido em 3 partes iguais e foi considerada 1 parte: 1 3
44
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Para reduzir o denominador devemos encontrar o MMC (pág. 13) entre eles, então: MMC (3, 5, 6)
Para somar ou subtrair frações de denominadores diferentes basta reduzi-las ao mesmo denominador e aí realizar a adição ou subtração, veja:
23
45
56
+ - = ?
MMC dos denominadores (3, 5, 6) = ?
Dividir por “2”
Dividir por “3”
1848
924
38
Simplificar uma fração significa reduzi-la a um me-nor número, dividindo simultaneamente por um mes-mo divisor, sem alterar seus termos.
Podemos dividir o numerador e o denominador de uma fração até não ser mais possível a simplificação. Veja:
45
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
3, 5, 6 23, 5, 3 31, 5, 1 51, 1, 1
MMC (3, 5, 6) = 2 x 3 x 5 = 30
Portanto o MMC de (3, 5, 6) é 30.
230
430
530
+ - =
x x x
(30 ÷ 3) . 2 = 20
(30 ÷ 5) . 4 = 24
(30 ÷ 6) . 5 = 25
?
Com os novos numeradores realize normalmen-te a adição/subtração para eles (20 + 24 - 25)
2030
2430
2530
1930
+ - =
Achado o novo denominador através do MMC, calculare-mos os novos numeradores, separadamente, com a se-guinte regra abaixo descrita:
x =NumeradorNovo
denominadorNovo
numeradorAntigo
denominador
46
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Multiplicação e Divisão de Frações
Para multiplicar uma ou mais frações é bem simples, basta multiplicar os numeradores e denominadores separadamente (em linha). Veja:
63
42
35
x x = ?
x
Simplicando
63
7230
42
35
x = 3615
125
Multiplicando a 1ª linha (numeradores), temos 6 x 4 x 3 = 72. Multiplicando a 2ª linha (dos deno-minadores) temos 3 x 2 x 5 = 30.
. . . Observação . . .
Quando uma fração não possui denominador, podemos imaginar o denominador “1” pois qualquer número divi-dido por 1 tem resultado igual a ele mesmo.
47
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Para dividir mais de duas frações, repetimos a primeira fração e invertemos todas as outras para assim multiplicar em linha. Veja:
SimplicandoInversão
21
21
64
43
34
x= =32
21
43
= ?
Para dividir uma fração, basta inverter a segunda fração e mul-tiplicar os numeradores e denominadores. Veja:
Invertendo a segunda fração podemos multiplicar como no caso anterior (em linha) os numerado-res (2 x 3 = 6) e os denominadores (1 x 4 = 4). Sempre que possível, simplique.
SimplicandoInversão
34
56
32
34
5440
23
65
xx == 2720
34
56
23
= ?
48
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
x +25
125
25
125
2 x 5 + 2 = 122 2116
116
13
13
+
+
+
+
=
=
=?
? Agora, só com frações, calcular o MMC
Transformar Número Misto em Fração
É comum aparecer número misto em uma expressão com fra-ções, portanto saiba transformá-la em uma fração para conti-nuar com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja:
Para transformar o número misto (parte inteira e fração) em uma fração, multiplicamos a parte inteira (2) pelo de-nominador (5) e somamos ao numerador (2) para achar o novo numerador. O denominador continua o mesmo. Aí continuamos:
. . . Observação . . .
As simplicações podem ser feitas em qualquer fração (des-de que possível) mesmo antes da adição, subtração, multipli-cação ou divisão. Melhor calcular com números pequenos.
49
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5, 6, 3 25, 3, 3 35, 1, 1 51, 1, 1
MMC (5, 6, 3) = 2 x 3 x 5 = 30
Portanto o MMC de (5, 6, 3) é 30.
MMC (5, 6, 3) = ?
7230
5530
1030
11730
+ - =
1230
1130
130
+ - =
x x x
.
.
.
?
Com os novos numeradores realize normalmente a adição/subtração para eles (72 + 55 -- 10)
Achado o novo denominador através do MMC, calculare-mos os novos numeradores, separadamente, com a se-guinte regra abaixo descrita:
x =NumeradorNovo
denominadorNovo
numeradorAntigo
denominador
50
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As Classicações das Frações
FRAÇ
ÃO
PrópriaÉ aquela que o nume-rador é menor que o denominador
Exemplo:1, 2, 3, 4, ...2, 4, 9, 5, ...
ImprópriaÉ aquela que o numera-dor é maior que o deno-minador
Exemplo:5, 3, 6, 8, ...4, 2, 3, 6, ...
AparenteÉ aquela que o numera-dor é múltiplo do deno-minador
Exemplo:8, 9, 8, 20, ...2, 3, 4, 10, ...
Irredutível
É aquela em que o nume-rador e o denominador são primos entre si. Não pode ser simplificada.
Exemplo:2, 3, 7, 5, ...3, 5, 11, 4, ...
Equivalentes
É aquela em que o nume-rador e o denominador representam a mesma quantidade.
Exemplo:2, 3, 6, 9, ...2, 3, 6, 9, ...
DecimalÉ aquela em que o deno-minador é uma potência de 10.
Exemplo: 5, 3, 6, 8, ...10, 10, 100, 1000, ...
Mista ouNúmeroMisto
É aquele que possui uma parte inteira e uma fra-cionária
Exemplo:1 , 2 , ... 4 , 3 , ...
51
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Adição/Subtração de Numeros Decimais
Para somar números decimais seguimos as regras:
6,01 + 5,981 = ?
65
,,+09
18
01
11 ,9 9 1
Os numerais decimais que serão somados pos-suem diferentes casas decimais após a vírgula.
O primeiro passo é colocar os números alinhados vírgula debaixo de vírgula.
Igualar o número de casas decimais acrescentando “Zeros” para os espaços vazios e realizar a soma.
6,01 + 5,981 = 11,991
Para subtrair números decimais segue do mesmo modo:
29,8 -- 17,498 = ?
52
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Multiplicação de Numerais Decimais
Para multiplicar números decimais, momentaneamente ignora-mos a vírgula e multiplicamos como um número natural:
52,48 x 2,3 = ?
97
21
,,-84
09
08
21 ,3 0 2
29,8 - 17,498 = 12,302
Igualar o número de casas decimais acrescentando “Zeros” para os espaços vazios e realizar a sutração.
Os numerais decimais que serão subtraidos pos-suem diferentes casas decimais após a vírgula.
O primeiro passo é colocar os números alinhados vírgula debaixo de vírgula.
53
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2 ,,
5x
42
83
751 4 4
4
401+ 9 6
021 7 0
Multiplique como se não houvessem vírgulas. Contamos as casas decimais após a virgula dos números envolvidos e acrescentamos, da direita para a esquerda ao produto.
2 ,,
5x
42
83
751 4 4
4
401+ 9 6
0 ,21 7 0
+ =
Veja como é simples aplicar a vírgula na multiplicação:
52,48 x 2,3 = 120,704
2 casasdecimais
3 casasdecimais
1 casadecimal
Para aplicar a vírgula no produto nal, contamos o número de algarismos depois da vírgula para cada fator e o resultado deve ter o mesmo número de casas decimais. No caso, 3 casas.
54
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-
5850328270150150000
00031950
-
-
Portanto, concluimos que 5,85 : 0,003 = 1950
Aí é só dividir como um número natural ignorando a vírgula pois as casas decimais foram igualadas.
Os numerais decimais que serão divididos pos-suem diferentes casas decimais após a vírgula.O primeiro passo é igualar as casas decimais de divisor e dividendo acrescentando “zeros”.
5,850 : 0,003 = ?
Divisão de Numerais Decimais
Na divisão de números decimais precisamos igualar as casas decimais (assim como na adição, Pág. 19) antes de dividir:
5,85 : 0,003 = ?
55
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Transformação de Numeral Decimal em Fração Decimal e vice-versa
Para transformar um número decimal em uma fração decimal:
4,257 = ? 4257 346 0,346 1000 1000
= ?
= ?
Processo
inverso
Dízima Periódica
Uma Dízima Periódica são decimais não exatos que se formam de frações geratrizes com denominador múltiplo de 3.
O período é formado pelos números que se repetem. Veja:
O nº de casas decimais de-pois da vírgula será o nº de “zeros” no denominador.
O nº de “zeros” no deno-minador será o nº de casas decimais depois da vírgula.
0,0089 = ? 00089 64782 647,82 10000 100
56
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Transformar Dízima Periódica em Fração Geratriz
Para transformar uma Dízima Periódica Simples em fração:
O período será transformado no numerador e a quantidade de algarismos do período substitui-dos pela mesma quantidade de “noves”.
Dízima periódica: 0,333333... Período: 3Dízima periódica: 0,323232... Período: 32
Dízima periódica simples: logo depois da vírgula começa o pe-ríodo.
Exemplo: 0,454545... Período: 45
Dízima periódica composta: um dos algarismos depois da vírgu-la não faz parte do período.
Exemplo: 1,73424242... Período: 42.
Os algarismos 7 e 3 não fazem parte do período.
57
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Dízima periódica: 0,323232... Período: 323299
2 algarismos se repetem = “2” algarismos 9
Dízima periódica: 1,253253253... Período: 253253999
1+
3 algarismos se repetem = “3” algarismos 9
Para transformar uma Dízima Periódica Composta em fração:
2,896666... Período: 6896 -- 89
9002+ 2+ 807
9002607900
1 algarismo se repete = “1” algarismo 9
2 algarismos no antiperíodo = “2” algarismos 0
antiperíodo = 89
0,73424242... Período: 427342 -- 73
990072699900
24233300
2 algarismos se repetem = “2” algarismos 9
2 algarismos no antiperíodo = “2” algarismos 0
antiperíodo = 73
O numerador da fração será composto do antiperíodo se-guido do período menos o antiperíodo. O denominador será composto pela mesma quantidade de algarismos do perío-do substituidos por “noves” e seguidos pela mesma quanti-dade de algarismos do atiperíodo substituidos por “zeros”.
58
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Questões
1 - (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Técnico Administrativo) Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12.
Então, a soma dos algarismos do número x é:
a) 3 Xb) 5c) 9d) 16e) 21
2 - (CESPE - 2011 - Correios - Carteiro) Das correspondências que deveria entregar, o carteiro Carlos passou 7/10 delas para o car-teiro Jorge; dessas, Jorge repassou 3/5 para o carteiro Marcos.
Nesse caso, com relação à quantidade de correspondências que Carlos deveria entregar, a quantidade que coube a Marcos é igual a:
a) 3/10b) 2/5c) 21/50 Xd) 10/15e) 1/10
59
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3 - (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Sabendo-se que o conjunto X é dado por
X = {x R, x2 – 9 = 0 ou 2x – 1 = 9}
e o que o conjunto Y é dado por
Y = {y R, 2y + 1 = 0 e 2y2 – y – 1 = 0},
onde R é o conjunto dos números reais, então pode-se armar que:
a) X Y = {-3; -0,5; 1; 3; 5}b) X - Y = {-3; 3}c) X Y = {-3; -0,5; 3; 5} xd) Y = {-0,5; 1}e) Y = {-1}
4 - (FCC - 2011 - Analista Judiciário) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão (0,6192 - 0,5992) . 0,75 é:
a) 0,0018b) 0,015c) 0,018 Xd) 0,15e) 0,18
60
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5 - (FCC - 2013 - DPE-SP - Ocial de Defensoria Pública) Escrever um número na notação cientíca signica expressá-lo como o produto de dois números reais x e y, tais que: 1 x < 10 e y é uma potência de 10.
Assim, por exemplo, as respectivas expressões dos números 0,0021 e 376,4, na notação cientíca, são 2,1 x 10-3 e 3,764 x 102.
Com base nessas informações, a expressão do número
N = na notação cientíca é:
a) 3,75 x 10²b) 7,5 x 10²c) 3,75 x 10³ Cd) 7,5 x 10³e) 3,75 x 104
6 - (FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário) Qual das expres-sões seguintes NÃO é equivalente a 0,0000000625?
a) 5/16 x 10-6 Xb) 5/8 x 10-7
c) 25/4 x 10-8
d) 125/2 x 10-9
e) 625 x 10-10
1,2 . 0,0540,64 . 0,000027
61
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7 - (ESPP - 2013 - Técnico Administrativo) Sejam as arma-ções:
I. A raíz quarta de um número inteiro não-negativo é um núme-ro inteiro não-negativo.
II. Toda dízima é um número irracional.
III. A notação cientíca do número 235000000 é igual a 23,5.107.
IV. 2 = 2 2
Pode-se dizer que são corretas:
a) I, II e IV, somente.b) III e IV, somente.c) Somente uma delas. Xd) II e III, somente.
8 - (ENEM - 2012) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimen-to ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o es-paço vazio é o do algarismo que João não entendeu.
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De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo al-garismo que falta no número de protocolo é a de:
a) centena.b) dezena de milhar.c) centena de milhar. Xd) milhão.e) centena de milhão.
9 - (VUNESP - 2013 - SEJUS-ES - Agente Penitenciário) Em uma população carcerária de 14 400 presos, há 1 mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das mulheres, 2/5 estão em regime provisório, correspondendo a:
a) 840 mulheres.b) 480 mulheres. Bc) 1 200 mulheres.d) 640 mulheres.e) 450 mulheres.
10 - (FCC - 2013 - DPE-SP - Agente de Defensoria - Programa-dor) O total de frações entre 3/7 e 9/19 com numerador par e denominador 133 é igual a:
a) 7b) 4c) 5d) 6e) 3 X
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11 - (ESPP - 2013 - COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Admi-nistrativo) Sejam as armações:
I. A soma entre dois números irracionais é sempre um número irracional.
II. Toda dízima periódica pode ser escrita com uma fração de denominador e numerador inteiros.
III. 7 > 11 4 2
Pode-se dizer que:
a) São corretas somente I e II.b) Todas são corretas.c) Somente uma delas é correta. Xd) São corretas somente II e III.
12 - (FUNCAB - 2012 - Soldado da Polícia Militar) Sabendo que o cobrador de um ônibus arrecadou a quantia de R$ 42,55 após ter cobrado 23 passagens, quanto ele terá ar recadado após cobrar 117 passagens?
a) R$ 216,45 Xb) R$ 217,15c) R$ 215,85d) R$ 215,05e) R$ 215,95
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13 - (CESGRANRIO - 2012 - Banco do Brasil - Escriturário) No Brasil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de la-tas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas.
De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio?
a) 23,15b) 23,98c) 28,80d) 28,96e) 30,40 X
14 - (FCC - 2012 - TRF - Técnico Judiciário) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas informações, pode-se concluir cor-retamente que o total de pessoas que visitaram tal empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a:
a) 56b) 112c) 144 Xd) 168e) 280
65
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15 - (FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário) O esquema abai-xo apresenta a subtração de dois nú- meros inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.
A15B- 2CD3 4218
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que
a) A < B < C < Db) B < A < D < Cc) B < D < A < C Xd) D < A < C < Be) D < A < B < C
16 - (FUMARC - 2011 - BDMG - Analista de Desenvolvimento) Um googol é a denominação dada para o número 10100. Seja k o menor inteiro positivo tal que 10100/2k < 3. É CORRETO armar que:
a) 10100/2k = 3/2 Xb) 10100/2k < 1c) 10100/2k < 3/2d) 10100/2(k+1) = 3/2
66
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17 - (CEPERJ - 2012 - DEGASE - Psicólogo) Uma quantidade X é dada pela expressão:
x = 0,0233 + 3 . 2,9772 . 0,023 + 3 . 2,977 . 0,0232 + 2,9773
Desse modo, X é igual a:
a) 25,2527456b) 26,3939392c) 27,0000000 Xd) 36,0000000e) 36,3020293
18 - (FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário) O valor da expressão
, para A = 2 e B = -1, é um número compreendido entre:
a) -2 e 1b) 1 e 4 Xc) 4 e 7d) 7 e 9e) 9 e 10
A2 - B3
AB + BA
Gabarito das Questões
1 A 4 C 7 C 10 E 13 E 16 A
2 C 5 C 8 C 11 C 14 C 17 C
3 C 6 A 9 B 12 A 15 C 18 B
67
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Simplicação de Radicais
Podemos simplicar (dividindo) o índice (n) do radical ( ) e o expoente (m) do radicando por um mesmo número sem alterar o valor de uma raiz aritmética. Veja:
n am 6 54
9 26
4 36
9 418
3 52
3 22
2 33
1 42 42 16
6:2 54:2
9:3 26:3
4:2 36:2
3:3 46:39:3 418:3
Exemplo:
. . . Observação . . .
Podemos fazer mais de uma simplicação. Observe que quando o índice da raiz resultar em 1 signica que a base perdeu o radical. A raiz foi eliminada.
68
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Exemplo: 196
Raiz de um produto
O produto das raízes aritméticas dos fatores é igual à raiz arit-mética de um produto. Veja:
Novamente, a condição para as transformações é que os radi-candos sejam não nulos, ou seja, maiores que zero.
Primeiramente, dividimos a base pelo menor divisor (número primo) até que reste 1 (fatoração).
2.2.7.7
n a.b = n a . n b
196 2 98 2 49 7 7 7 1
Fatoração:
Colocamos os números dentro da raiz e transformamos em po-tência.
69
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
22 . 72 2 22 .2 72 2 . 7 14
n a.b = n a . n b
2 22 2 72
. . . Observação . . .
Observe que quando o índice é igual ao expoente do radi-cando (no caso, 2 oculto) podemos eliminar ambos.
81 32 . 32 2 32 .2 32 3.3 93.3.3.3 81 3 27 3 9 3 3 3 1
2 2 2 2
Deste modo (e neste caso), eliminamos completamente os radicais (raizes) chegando à um resultado inteiro. Veja outros casos:
50 2 . 52 2 2 . 5 2 22 522.5.5 50 2 25 5 5 5 1
.2 52
Observe que nem sempre conseguimos eliminar os radicais.
70
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
3 81 3 3 . 33 3 3 .3 33 3 3 33 3.3.3.3 81 3 27 3 9 3 3 3 1
3 3
O objetivo é simplicar os produtos das raízes e tentar eliminar os radicais.
180 22.32.5 2 22. 2 5 6 52 32.2.2.3.3.5 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1
2 22 2 32
mesmos radicais = adição ou subtração
Adição e Subtração de Radicais
O passo anterior nos mostrou como simplicar um radical para facilitar operações como a Adição e Subtração. A regra para es-tas duas operações é: simplicar os radicais (quando possível à um mesmo radicando) e realizar a adição ou subtração:
2 5 7 5 9 5+ = ?
71
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64 36- = ?
simplificar por fatoração
eliminar os radicais
22. 22. 22 22. 32-
2 . 2 . 2 - 2 . 3
8 6- = 2
1 2 3+
2 3+
45 + 5 20 = ? 8 3 27 4 4+ - = ?
22.2 3 33 4 22+ -
2 2 3 4:2 22:2+ -
2 2 3 1 2+ -
32.5 5 22.5+
3 5 5.2 5+
3 5 10 5+
13 5
Multiplicação de Radicais
Podemos realizar a multiplicação de Radicais pela igualdade da fórmula apresentada desde que a e b sejam maiores que zero:
n a . n b = n a.b
72
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
2 3 5 2 6. . = ?
2.5.1 3.2.6
10 36
10 22.32
10 . 2 . 3
60
5 3 155.3. = ?
. . . Observação . . .
Observe que esta igualdade é a mesma apresentada na página 4 - “Raiz de um produto”.
. . . Conclusão . . .
Na multiplicação de Radicais (com índice igual) devemos juntar o que é radical, juntar o que não é, simplicar o radicando por fatoração e tentar eliminar os radicais.
73
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Esta igualdade é a mesma apresentada no item anterior, mas com sinal de divisão.
6015
6015
60 15: = ?
n a : n b = n a:b
4 22 2
3 15 3 3 3 53 15:3: = ?
resolver os radicandos
eliminar os radicais
. . . Conclusão . . .
Na divisão de Radicais (com índice igual) devemos juntar os radicandos sob raiz de mesmo índice, resolver ou sim-plicar o radicando e tentar eliminar os radicais.
Divisão de Radicais
Do mesmo modo da multiplicação de Radicais pela igualdade, a divisão também se aplica pelo mesmo raciocínio:
74
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Raiz de Raiz
A raiz de uma raiz se dá pela multiplicação de seus índices:
3 = ? 5 8 = ?
3 5 = ? 3 = ?
2.2 3 2.5 8
2.3.2 5 2.2.2 3
4 3 10 8
12 5 8 3
(3 5 )4 = ? (5 2 )2 = ?
( 7 )3 = ? (4 6 )-3 = ?
3 54 5 22
73 4 6-3
(n a )m = n am
m n a = m.n a
Potenciação de Radicais
Raízes com potência podem ser escritas com a seguinte igual-dade:
75
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
= = = = =13
26
39
412
515
721
Grandeza Diretamente Proporcional
Duas ou mais grandezas são Diretamente Proporcionais quando a Razão entre seus valores é sempre constante. Veja:
Todas essas Razões, simplificando, resultam em 1/3 ou um terço
= =112
26
34
Grandeza Inversamente Proporcional
Duas ou mais grandezas são Inversamente Proporcionais quan-do o produto entre seus valores é sempre constante. Veja:
O produto destas Razões (1.12) = (2.6) = (3.4) resulta sempre em 12, portanto são Razões inversamente proporcionais
76
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Simplicando, podemos dizer que o carro percorre 2 quilômetros em 1 minuto.
3015
21
÷15
÷15kmmin
kmmin
Razão
Chamamos de Razão quando um número está para outro, ou seja, a razão entre dois números a e b (sendo b diferente de 0) é o quociente de a por b. É a relação de comparação entre duas grandezas.
Exemplo:
A razão de 24 para 4 é . Lê-se que 24(a) está para 4(b):
É comum aparecerem questões sobre razão que devem ser in-terpretadas como a relação de comparação entre grandezas:
Um carro percorre 30 km em 15 minutos. A razão entre o espa-ço percorrido e o tempo gasto é 30 para 15 ou:
a b
antecedente consequente
244
ab
77
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Simplicando, podemos dizer que de cada 7 candi-datos inscritos, 1 foi aprovado.
A razão entre 2 m de um barbante e 5 m de um outro é:
Dos 1610 inscritos no exame passaram apenas 230 candidatos. A razão entre os candidatos aprovados e o número de inscritos no exame é:
25
0,4
2301610
17
÷230
÷230
A palavra razão vem do latim (ratio) e signica divisão.
Proporção
Chamamos de Proporção a relação de igualdade entre duas Ra-zões. É exemplicada pela igualdade a seguir (sendo todos os números diferentes de zero):
78
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
4 . x = 3 . 20
12 . x = 4 . 9
b . c = a . d
d . a = b . c
4x = 60
12x = 36
x = 60:4
x = 36:12
x = 15
x = 3
34
x20
=
x4
912
=
Exemplo 1:
Exemplo 2:
ab
cd
ab
cd
=Diz-se que a está para b (razão) assim como (proporção) c está para d (razão).
O produto das meios é igual ao produto dos extremos: a . d = b . c
Os números a e d são chamados “extremos” enquanto os núme-ros b e c são chamados “meios”. Com isso, vale a propriedade:
=
Portanto, quando se pede para determinar o valor de “x” em uma proporção temos por exemplo:
79
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
3 . 9 = 4 . 6a . d = b . c
27 = 24
Não é proporção, pois não há igualdade.
34
69
=Exemplo 2:
Escala
Chamamos de Escala a Razão entre um comprimento no de-senho (ou mapa/carta geográca) e o comprimento real cor-respondente, medidos na mesma unidade de comprimento. A Escala é usada na ampliação ou redução, veja abaixo:
1 1
1 2 3 4 5
1
6
2
7
3
8
4
2 2
3 3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8
123456
80
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Em exemplo mais prático: qual é a escala do desenho em que um comprimento real de 300 cm está representado por um comprimento no desenho de 3 cm?
Base do barco maior: 8 unidadesBase do barco menor: 4 unidadesAltura do barco maior: 6 unidadesAltura do barco menor: 3 unidades
É proporção, pois há igualdade.48
36
=12
12
=
O barco menor corresponde ao tamanho no desenho enquanto que o barco maior corresponde ao tamanho real. Diz-se que o desenho foi reduzido à metade (1/2), na mesma proporção.
Comprimento no desenhoComprimento real
Escala =
Comprimento no desenhoComprimento real
Escala =
Escala = ou 1:1003
3001
100
÷3
÷3
81
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Exemplo de desenho de arquitetura: na planta de uma casa foi usada a escala 1:100. Vericando que o comprimento de uma sala é 7,3 cm, qual o comprimento real da sala?
Exemplo de carta geográca: em uma mapa do estado de Goiás cuja escala é 1:10.000.000, a distância entre Goiás e Anápolis é marcada como 1,5 cm. Qual a distância real em km entre Goiás e Anápolis?
Proporcionalmente
1 . x = 100 . 7,3
1 . x = 10.000.000 . 1,5
x = 730 cm ou 7,30 metros
x = 15.000.000 cm ou 150 quilômetros
1100
7,3x
=
Proporcionalmente1
10.000.0001,5x
=
. . . Importante . . .
Perceba que uma série de unidades de medidas são utiliza-das. Tome cuidado para calcular ou responder com as mes-mas unidades. Veja essa conversão no próximo assunto.
82
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Portanto, para fazer qualquer relação com as medidas de compri-mento basta ter em mente a tabela acima. Colocaremos o valor partindo se sua própria célula, extendendo-se à esquerda. Por exemplo, no caso da transformação de 15.000.000 cm em km:
km hm dam m dm cm mm
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
múltiplos fundamental submúltiplos
1,
1 0, 1
1 0 0, 0 1
1 0 0 0, 0 0 1
Conversão de Medidas
Quase todas as conversões de medidas seguem um mesmo padrão de múltiplos e submúltiplos. É fundamental saber quais são as principais pois são exigidas em questões de todo tipo.
Medidas de Comprimento
Metro é a unidade fundamental das medidas de comprimento. As medidas maiores que o metro são os múltiplos do metro, as medidas menores que o metro são os submúltiplos do metro.
83
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
kl hl dal l dl cl ml
quilolitro hectolitro decalitro metro decilitro centilitro mililitro
múltiplos fundamental submúltiplos
1,
1 0, 1
1 0 0, 0 1
1 0 0 0, 0 0 1
km hm dam m dm cm mm
1 5 0 0 0 0 0 0
Visualize somente a casa do “km” 15.000.000 cm = 150 km
Visualizando outras casas: 1.500 hm ou 150.000 m
Medidas de Capacidade
Da mesma maneira que o Metro, Litro é a unidade fundamental das medidas de capacidade. A tabela é a mesma, só mudam os nomes.
O que queremos transformar é 15.000.000 cm. Distribua o valor partindo da célula da unidade (cm) sentido à esquerda.
15.000.000 cm
84
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Medidas de Massa
Da mesma maneira que o Metro, Grama é a unidade funda-mental das medidas de massa. Novamente, a tabela é a mes-ma, só mudam os nomes.
kg hg dag g dg cg mg
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
múltiplos fundamental submúltiplos
1,
1 0, 1
1 0 0, 0 1
1 0 0 0, 0 0 1
Regra de Três Simples
A Regra de Três Simples é o tipo de problema que envolve duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais (página 11).
A primeira coisa a fazer é descobrir se as grandezas são di-retamente ou inversamente proporcionais. Veja os seguintes casos:
85
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
1º - Uma torneira, completamente aberta, leva 33 segundos para encher um balde de 20 litros. Quanto tempo seria neces-sário para essa mesma torneira encher uma piscina de 1240 litros?
Nesse problema aparecem duas grandezas: tempo para encher e capacidade de um recipiente. É fácil perceber que, se aumen-ta a capacidade do recipiente (balde/piscina), aumenta o tem-po que a torneira leva para enchê-lo. Portanto são grandezas diretamente proporcionais (uma grandeza aumenta à propor-ção que a outra também aumenta). Portanto:
33 segundosx segundos
é o tempo para encheré o tempo para encher
20 litros1240 litros
33 segundosx
20 litros1240 litros
multiplicando em cruz...=
a.d = b.cab
cd
Quando as grandezas são direta-mente proporcionais, multiplica-
mos as frações em cruz:
Resposta: serão necessários 2046 segundos para a torneira en-cher a piscina de 1240 litros.
33.124020
4092020
x.20 = 33.1240 x = x = x = 2046
=
86
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
a.c = b.dab
ab
cd
dc
= =
Observe que, quan-do as grandezas
são inversamente proporcionais, in-
vertemos umadas razões:
2º - Um carro, à velocidade constante de 50 km/h, vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em 8 horas. Se o mesmo carro desen-volvesse a velocidade constante de 80 km/h, em quanto tem-po faria o mesmo percurso?
Nesse problema aparecem duas grandezas: velocidade do carro e tempo de percurso. É fácil perceber que, se aumenta a veloci-dade do carro, diminui o tempo do percurso. Portanto são gran-dezas inversamente proporcionais (uma grandeza aumenta à proporção que a outra diminui). Portanto:
50 km/h80 km/h
o percurso é percorrido emo percurso é percorrido em
ÀÀ
8 horasx horas
DiretamenteProporcionais
InversamenteProporcionais
50 km/h80 km/h
50 km/h80 km/h
8 horasx horas
x horas8 horas
80.x = 50.8multiplicando em cruz...
Inversamente proporcionais
= =
87
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
50 . 880
40080
x = x = x = 5
Resposta: o carro faria o percurso em 5 horas.
3º - Três torneiras iguais, completamente abertas, enchem um tanque em 2 horas e 24 minutos. Se, ao invés de 3 torneiras usássemos 5 torneiras, em quanto tempo o mesmo tanque -caria cheio?
Mesmo raciocínio para perceber duas grandezas: número de tor-neiras e tempo para encher o tanque. É fácil perceber que se aumentar o número de torneiras, diminui o tempo para encher o tanque. Portanto são grandezas inversamente proporcionais (uma grandeza aumenta à proporção que a outra diminui). Portanto:
3 torneiras5 torneiras
enchem o tanque emenchem o tanque em
144 minutosx minutos
3 torneiras5 torneiras
3 torneiras5 torneiras
144 minx min
x min144 min
Inversamente proporcionais
= =
3 . 1445
4325
5.x = 3.144
x = x = x = 86,4
multiplicando em cruz...
88
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Resposta: serão necessários 86 minutos e 24 segundos para as 5 torneiras encherem o tanque.
x = 86 minutos e 24 segundos
Para continuar esta divisão devemos transformar os 2 minutos (resto) em segundos pois não são
divisíveis por 5.
Multiplicamos o resto por 60.
2 minutos . 60 segundos = 120 segundos
43240032030002
586
minutos
minutos
minutos
12010020020000
524
segu
ndos
segundos
. . . Importante . . .
Muito cuidado para que, na divisão “432:5” com resto, você não forneça o resultado “86,4” pois tratam-se de minutos (86 inteiros) e segundos (resto em segundos)
89
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Questões Clássicas sobre Proporção
1º - Divida o número 80 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
a) - Temos que determinar três números que chamaremos x, y e z.
b) - A soma destes três números é 80, então: x +
y +
z = 80
c) - A divisão será em partes proporcionais, logo: x = y = z
d) - Para calcularmos x, y e z, acharemos o coeciente de pro-porcionalidade, então:
= =x2
8010
x + y + z2 + 3 + 5
y3
z5
8
2 3 5
O número 8 é o coeciente de proporcionalidade.
e) - Agora determinamos os valores x, y e z igualando as razões ao coeciente de proporcionalidade, independentemente:
= x = 16x2
81
1 . x = 2 . 8x
90
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Resposta: x = 16, y = 24 e z = 40
z = 40= 1 . z = 5 . 8z5
81
2º - Divida o número 52 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.
a) Temos que determinar três números que chamaremos x, y e z.
b) A soma destes três números é 52, então: x + y + z = 52
c) Desta vez, a divisão será em partes inversamente proporcio-nais, logo x, y e z são proporcionais ao inverso dos números 2, 3 e 4.
12
1 + 1 + 12 + 3 + 4
13
14
x x + y + zy z
+= =
+
z
y = 24=y3
81
1 . y = 3 . 8y
. . . Importante . . .
Aqui precisamos relembrar as propriedades do MMC.
91
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6+4+312
(12:2)+(12:3)+(12:4)12
52521 + 1 + 12 + 3 + 4
x + y + z
+ +
MMC
2, 3, 4 21, 3, 2 21, 3, 1 31, 1, 1
Na soma ou subtração de denomina-dores diferentes reduzimos com MMC:
MMC dos denominadores (2, 3, 4) = ?MMC (2, 3, 4) = 2 . 2 . 3 = 12
2.2.3
1312
52
d) Sendo assim, acharemos o coeciente de proporcionalidade:
e) Agora, determinamos os valores x, y e z igualando as razões ao coeciente de proporcionalidade, independentemente:
1213
521
62413
52 . 121 . 13
48
Na divisão de frações, invertemos a segunda fração e multiplicamos em linha.
92
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
= = =x6
y3
z9
w15
3º - Determine os números x, y, z e w, diretamente proporcio-nais a 6, 3, 9 e 15, sabendo que x + 3y + 4z + 5w = 252.
a) Primeiramente temos que determinar quatro números já de-terminados x, y, z e w, diretamente proporcionais. Então:
Resposta: x = 24, y = 16 e z = 12
=
2
1 . x = 1 . 48481
x = 24x = 4821
2
xx
=
3
1 . y = 1 . 4881
y = 16y = 4831
3
yy
=4
1 . z = 1 . 4881
z = 12z = 4841
4
zz
b) Sabemos que 1x + 3y + 4z + 5w = 252, portanto, temos que multiplicar antecedente e consequente de cada razão pelo seu correspondente múltiplo, então:
93
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
= = = =
=
=
= =
=
=
x6
x6
x6
.1
.1.3.3
.5
.5.4.4
y3
y3
z9
z9
w15
w15
x6
3y9
3y9
5w75
5w75
2252126
x + 3y + 4z + 5w6 + 9 + 36 + 75
4z36
4z36
Desta forma podemos achar o coeciente de proporcionalidade:
1x + 3y + 4z + 5w = 252
x
y
O número 2 é o coeciente de proporcionalidade.
c) Agora determinamos os valores x, y, z e w igualando as ra-zões ao coeciente de proporcionalidade, independentemente:
=x6
21
1 . x = 6 . 2 x = 12
=21
y3
1 . y = 3 . 2 y = 6
94
. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Resposta: x = 12, y = 6, z = 18 e w = 30.
=21
z9
1 . z = 9 . 2 z = 18z
=21
w15
1 . w = 15 . 2 w = 30w
. . . Conversão de Medidas de Tempo . . .
Quando alguém diz duas horas e meia entendemos que quer dizer 2 horas e meia hora ou 2 horas e 30 minutos, portanto, em Matemática não podemos escrever 2,5 ho-ras que seria o resultado de 5 horas dividido por 2.
Convenção para exames: 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
Divisão do Tempo Símbolo Equivalência 1 Dia
Hora h 1 h 24 hs
Minuto min 60 min 1.440 min
Segundo s 3.600 s 86.400 s
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
Questões
1 - (VUNESP - 2013 - Engenheiro de Segurança) A razão entre a medida do lado de um quadrado e a medida do maior lado de um retângulo é 4:5. A razão entre a medida do lado desse qua-drado e a medida do menor lado desse retângulo é 7:5. A razão entre a área desse quadrado para a área desse retângulo vale:
a) 14:15b) 14:25c) 25:28d) 25:14e) 28:25 X
2 - (VUNESP - 2014 - Ocial Administrativo) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário do-ente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposen-tou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será:
a) 29b) 30 Xc) 33d) 28e) 31
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
3 - (CESGRANRIO - 2012 - Assistente Técnico Administrativo) Em um supermercado, a carne é acondicionada em embalagens com uma etiqueta contendo o preço unitário (o preço de 1 kg de carne), o peso líquido (a quantidade de carne contida na embalagem) e o total a ser pago. Certo dia, a balança eletrôni-ca apresentou problemas e algumas etiquetas foram impressas com defeito, sendo omitidas algumas informações.
As Figuras I e II representam as etiquetas de duas embalagens do mesmo tipo de carne, com defeitos de impressão.
O peso líquido, em kg, registrado na etiqueta representada na Figura II é:
a) 0,305b) 0,394c) 3,94d) 0,35e) 0,42 X
4 - (FGV - 2014 - Assistente Administrativo) Um escritor pediu que Ana, Bruno e seus auxiliares, lessem um roteiro que tinha
Preço de 1 kg: ######
Peso líquido: 0,65 kg
Total: R$ 9,75
Figura I
Preço de 1 kg: ######
Peso líquido: ######
Total: R$ 6,30
Figura II
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
escrito. Ana leu 16 páginas por dia, levou 15 dias para terminar a leitura, e Bruno leu apenas 10 páginas por dia.
Para fazer a leitura do roteiro, Bruno gastou a mais do que Ana:
a) 6 diasb) 8 dias c) 9 dias Xd) 10 dias e) 12 dias
5 - (CESGRANRIO - 2014 - Apoio administrativo) Um menino es-tava parado no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente.
A quantos degraus do topo da escada ele parou?
a) 8b) 10c) 11d) 15e) 19 X
6 - (CESGRANRIO - 2012 - Banco do Brasil - Escriturário) No Bra-sil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de latas
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. . . Guia Aprenda Matemática . . .
usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas.
De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio?
a) 23,15b) 23,98c) 28,80d) 28,96e) 30,40 X
7 - (VUNESP - 2013 - Agente Penitenciário) Os 250 trabalhado-res de uma instituição serão distribuídos em frentes de traba-lho, em 3 grupos de x, y e z pessoas. O número de trabalhado-res x, y e z desses grupos será diretamente proporcional a 10, 15 e 25. Nesse caso, a diferença entre a frente com maior e a frente com menor número de trabalhadores será:
a) 50b) 100c) 75 Xd) 45e) 25
Gabarito das Questões
1 E 2 B 3 E 4 C 5 E 6 E 7 C
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Utilize o raciocínio para traduzir o enunciadoem um cálculomatemático:resolva oproblema.Matéria obrigatória para todos os exames, explicada de uma maneira resumida para vestibulares e concursos.
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