-
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания
к самостоятельной работе по математике
-
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
Заочный факультет Утверждаю Декан заочного факультета проф.
___________ В.И. Карагодин «___» __________ 2016 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания
к самостоятельной работе по математике
МОСКВА МАДИ 2016
-
УДК 517.912 ББК 22.193
Д503 Д503 Дифференциальные уравнения: методические указания
к
самостоятельной работе по математике / А.А. Зленко, Л.А.
Ма-лышева, М.А. Орлова, В.И. Тарасов. ‒ М.: МАДИ, 2016. ‒ 48 с.
Методические указания предназначены для самостоятельной
работы студентов второго курса, квалификации бакалавриата и
спе-циалитета, изучающих курс дифференциальных уравнений. Они
со-держат необходимые определения, теоремы, основные типы
диффе-ренциальных уравнений и методы их решения. Излагаемые
теорети-ческие сведения проиллюстрированы примерами с решениями. В
конце каждого раздела приведены упражнения для закрепления
тео-ретического материала от самых простых задач до среднего уровня
сложности. Методические указания окажут практическую помощь при
выполнении контрольных работ и для подготовки к экзаменам.
УДК 517.912 ББК 22.193
___________________________________________________________
Учебное издание
ЗЛЕНКО Александр Афанасьевич МАЛЫШЕВА Любовь Анатольевна
ОРЛОВА Марианна Андреевна ТАРАСОВ Василий Иванович
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Методические указания к самостоятельной работе по математике
Редактор Т.А. Феоктистова
Подписано в печать 23.08.2016 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,0. Тираж 515 экз. Заказ . Цена 105 руб. МАДИ,
125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.
© МАДИ, 2016
-
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данные методические указания предназначены для самостоя-тельной
работы студентов второго курса, квалификации бакалавриата и
специалитета, изучающих высшую математику, а именно курс
диф-ференциальных уравнений. В настоящее время существующий
мате-риал на эту тему не позволяет студентам сориентироваться в
огром-ном потоке информации. Поэтому целью данных методических
указа-ния служит изложение основного материала, соответствующего
про-граммному комплексу РПД3+. Они содержат необходимые
определе-ния, теоремы, основные типы дифференциальных уравнений и
мето-ды их решения. В каждом разделе приведены примеры с решениями,
иллюстрирующими применение теоретических сведений. Усвоение этого
курса базируется на знании основ математического анализа
(производной и неопределенного интеграла). В конце каждого раздела
приведены упражнения для закрепления теоретического материала от
самых простых задач до среднего уровня сложности. Методические
указания окажут практическую помощь при выполнении контрольных
работ и для подготовки к экзаменам.
Курс теории дифференциальных уравнений является основой для
успешного изучения на старших курсах специальных
инженерно-технических дисциплин, овладения принципами
математического мо-делирования сложных социально-технических систем
и, несомненно, поможет студенту стать в дальнейшем
высококвалифицированным специалистом.
Историческая справка
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце ХVII в. под
влиянием потребностей математики, механики и научно-технического
прогресса одновременно с дифференциальным и инте-гральным
исчислением. Но с задачами, относящимися к дифферен-циальным
уравнениям математики встретились уже на рубеже ХVI–ХVII вв.: Дж.
Непер (1550–1617) – при создании логарифмических таб-лиц; Г.
Галилей (1564–1642) – исследуя падение тел; Р. Декарт (1596–1650) –
изучая оптические явления. И. Ньютон (1643–1727) решал
дифференциальные уравнения (в частности, задачу двух тел) с
по-мощью синтетико-геометрических построений, которые впоследствии
не получили распространения. Г. Лейбниц (1646–1716) в 1676 г.
впер-вые ввел термин «дифференциальные уравнения», а Л. Эйлер
(1707–1783) впервые записал уравнения аналитически. Большую роль в
развитии теории и методов решения дифференциальных уравнений
сыграли французские ученые – Ж. Даламбер, О. Коши, Ж. Лагранж и
-
4
российские ученые – Н.Н. Лобачевский, М.В. Остроградский и др.
Ти-пы уравнений и методы, как правило, носят имена их создателей:
уравнение Бернулли, метод численного решения уравнений Эйлера и
т.д. Из теории дифференциальных уравнений отдельно выделились такие
разделы как уравнения в частных производных, уравнения
ма-тематической физики. В связи с появлением паровых машин было
по-лучено и решено уравнение теплопроводности. Д. Максвелл вывел
свои знаменитые уравнения электромагнитных колебаний. В наше время
большой вклад в технический прогресс внесли советские уче-ные А.Н.
Крылов, С.А. Чаплыгин, Н.Н. Моисеев, В.В. Степанов, М.А.
Лаврентьев, М.В. Келдыш. Ими были решены важнейшие инже-нерные
задачи с применением теории дифференциальных уравнений в таких
областях как авиация, судостроение, космонавтика, машино-строение
т.д.
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Общие определения
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнени-ем
называется уравнение вида ( )( , , ,..., ),nF x y y y′ (1.1)
связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее
производные ( ), ,..., ny y y′ , причем, функция ( )y y x= есть
функция только одной независимой переменной x.
Пример 1. 2 22( ) 7 .y y y x′′′ ′′− + =
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения на-зывается
порядок наивысшей, входящей в него производной.
В примере 1 приведено уравнение третьего порядка. Определение 3.
Решением дифференциального уравнения
(1.1) называется всякая функция, имеющая производные до n-го
по-рядка включительно и обращающая уравнение (1.1) в тождество.
Пример 2. Дано уравнение / .xdy dx e= Легко проверить, что
функция ( ) xy x e= ϕ = является его решением. Определение 4.
Интегральной кривой называется график ре-
шения дифференциального уравнения.
1.2. Задачи, приводящие к появлению дифференциальных
уравнений
Основной целью теории дифференциальных уравнений являет-ся
решение дифференциальных уравнений и изучение их свойств. В
-
5
нашем курсе мы будем изучать некоторые типы дифференциальных
уравнений и методы их решения.
Рассмотрим две простейшие задачи, приводящие к появлению
дифференциальных уравнений.
Задача 1. Материальная точка движется вдоль оси OX. В каж-дый
момент времени известна ее скорость ( )v t . Нужно найти закон
движения точки ( )x t , если 0x x= в момент (начальные
условия).
Решение. Составим дифференциальное уравнение, исходя из того,
что
производная пути по времени равна скорости:
( ).dx v tdt
=
Отсюда следует, что ( ) .dx v t dt=
Проинтегрируем это выражение от t0 до t:
0 0( ) .t tt tdx v t dt=∫ ∫
Левая часть есть интеграл от дифференциала и легко
интегри-руется:
0 0( ) ( ).t
tx x t x t= −
B итоге мы получаем искомое частное решение в квадратурах:
00( ) ( ) ( ) .ttx t x t v t dt= + ∫ (1.2)
Задача 2. Известно, что скорость распада радия прямо
пропор-циональна имеющемуся количеству радия. Пусть в момент 0t t=
име-ется m0 (кг) радия. Нужно определить количество радия в любой
мо-мент времени t.
Решение. Пусть коэффициент пропорциональности между скоростью
рас-
пада и количеством радия равен 0k > . Тогда мы можем
составить дифференциальное уравнение:
( ).dm km tdt
= − (1.3)
Знак минус «–« в этом выражении справа берется потому, что
количество радия уменьшается, то есть скорость распада радия
отри-цательна. Полученное уравнение преобразуем к виду:
.dm kdtm
= − (1.4)
Теперь это выражение проинтегрируем:
1,dm k dt Cm
= − +∫ ∫
где 1C – произвольная постоянная. Следовательно,
-
6
1ln .m kt C= − + Для того, чтобы это количество радия m было
удобно выразить
как функцию времени ( )m t , произвольную постоянную 1C
представим в виде:
1 ln ,C C= где 0.C > Тогда
ln ln .m kt C= − + (1.5) Отсюда, используя свойство логарифма,
преобразуем это выра-
жение:
ln ln , ln .mm C kt ktC
− = − = −
Пропотенцируем это выражение:
.ktm eC
−=
Отсюда получим общее решение поставленной задачи: .ktm Ce−=
(1.6)
Зная начальные данные, найдем константу C : 0 0
0 0, .kt ktm Ce C m e−= =
Подставив значение C в общее решение для m найдем частное
решение:
0 0 0( )0 0 0 .
kt kt kt k t tktm m e e m e m e− − −−= = = Ответ:
0( )0 .k t tm m e− −= (1.7)
Мы видим, что масса радиоактивного вещества убывает по
по-казательному закону. Таким образом, решив дифференциальное
уравнение, мы получили новое знание и можем теперь его применить,
чтобы рассчитать время, когда пребывание в зоне заражения уже
бу-дет безопасным.
1.3. Дифференциальное уравнение 1-го порядка
Определение 5. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет
вид: ( , , ) 0.′ ′ =F x y y (1.8)
Если его можно разрешить относительно y ′ , то ( , )y f x y′ = .
(1.9)
Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения
(1.9). Если функция ( , )f x y и ее частная производная f y∂ ∂
непрерывны в некоторой области D на плоскости XOY, содержащей точку
0 0( , )x y , то существует единственное решение этого
уравнения
( )y x= ϕ , удовлетворяющее начальному условию 0 0( ).y x= ϕ
-
7
Из этой теоремы следует, что существует бесконечное множест-во
решений, проходящих через различные точки области D.
Определение 6. Общим решением дифференциального урав-нения
первого порядка называется функция ( , )y x C= ϕ , зависящая от
одной произвольной постоянной C и удовлетворяющая следующим
условиям.
1. Она является решением дифференциального уравнения для любого
конкретного значения постоянной C .
2. Для любой точки 0 0( , )x y , принадлежащей области D,
сущест-вует такое значение 0C C= , что 0 0 0( , )y x C= ϕ .
Примером общего решения служит формула (1.6) для массы радия. В
процессе решения дифференциального уравнения мы можем
прийти к соотношению ( , , ) 0,x y CΦ = (1.10) не разрешенному
относительно y .
Определение 7. Соотношение (1.10), неявно задающее общее решение
дифференциального уравнения, называется общим инте-гралом.
Примером общего интеграла служит формула (1.5), связываю-щая
воедино массу m, время t и произвольную постоянную C .
Определение 8. Частным решением дифференциального уравнения
называется функция 0( , )y x C= ϕ , которая получается из общего
решения, если в последнем произвольной постоянной дать конкретное
значение. Соответственно, соотношение 0( , , ) 0x y CΦ =
на-зывается частным интегралом дифференциального уравнения.
Примерами частных решений служат формулы (1.2) и (1.7), ра-нее
решенных задач.
Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение означает
следующее:
1) найти общее решение или общий интеграл (если начальные
условия не заданы);
2) найти частное решение или частный интеграл, который
удов-летворяет начальным условиям. Это означает, что нужно решить
за-дачу Коши.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ И РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
2.1. Определения и примеры
Это уравнения самого простого типа. Как правило, уравнения
других типов 1-го порядка сводятся к решению уравнений с
разде-ляющимися переменными.
-
8
Определение 9. Дифференциальным уравнением с разделен-ными
переменными называется уравнение вида ( , ) ( , ) 0.M x y dx N x y
dy+ = (2.1)
Его общий интеграл имеет вид: ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =∫
∫ . (2.2)
Для решения уравнения (2.1) нужно суметь проинтегрировать
выражение (2.2).
Определение 10. Дифференциальным уравнением с разде-ляющимися
переменными называется уравнение вида 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0.M x
N y dx M x N y dy+ = (2.3)
Покажем, как данное уравнение сводится к уравнению с
разде-ляющимися переменными. Разделив левую часть уравнения (2.1)
на
1 2( ) ( )N y M x , получим: 1 2
2 1
( ) ( ) 0.( ) ( )
M x N ydx dyM x N y
+ =
Отсюда следует общий интеграл 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) .M x M x dx
N y N y dy C+ =∫ ∫ (2.4)
Из рассмотренных выше задач уравнение (1.3) является уравне-нием
с разделяющимися переменными, а уравнение (1.4) – с
разде-ленными.
Примеры. 1. Решить уравнение Решение. Мы видим, что это
уравнение является уравнением с
разделенными переменными. Проинтегрируем его и найдем общий
интеграл.
32sin cos .
3yxdx y dy x C+ = − + =∫ ∫
2. Найти частное решение (частный интеграл) уравнения , (0) 0.x
yy e y+′ = =
Решение. Главное, нужно увидеть, что это уравнение с
разде-ляющимися переменными. Для этого преобразуем его.
.x ydyy e edx
′ = =
Вот теперь мы действительно видим, что это уравнение с
разде-ляющимися переменными. Разделим переменные.
.xydy e dxe
=
Проинтегрируем полученное выражение.
1.x x
y e dxdy e Ce
= = +∫∫
-
9
Рассмотрим отдельно левую часть этого выражения.
.yyedy dy
e−∫ = ∫
Это не табличный интеграл. Поэтому сделаем замену: , , .y t y t
dy dt− = = − = −
Тогда интеграл примет вид: 2 2.
y t t ye dy e dt e C e C− −= − = − + = − +∫ ∫ Отсюда
следует:
1 2 2 1, .x y x ye C e C e e C C C− −+ = − + + = − =
Так как разность двух произвольных постоянных есть произ-вольная
постоянная. Итак, мы получили общий интеграл
.x ye e C−+ = Подставим сюда начальные значения.
0 0 1 1 2 .e e C−+ = + = = Отсюда следует искомый частный
интеграл: 2.x ye e−+ = Поэтому мы делаем вывод, что основная
трудность при решении
такого типа уравнений заключается в умении интегрировать.
2.2. Упражнения
Решить уравнение в общем виде и найти частное решение (ча-стный
интеграл). 1. 2 3 / 0, (2) .dx dy y y e− = = 2. sin , (3) 0.y x x
y′ = = 3. ( 1) , (1) 4.y x x y′ = + = − 4. 2 2(2 ) (1 ), (1) 0.y y
x y′ = − + = 5. 2 2 1, ( 1) 2.y y y y′ = − + − = 6. 2cos , ( / 2)
1.y x y′ = π = − 7. 1, (3) 1/ 3.y x y′ = + = 8. / , ( 2) 3.y x y y′
= − = − 9. arctg , (0) 5.y x y′ = = 10. arctg2 , (0) 4.y x y′ =
=
11. 2 5 0, (2) ln5.dx x dy y− + = = 12. 3 0, ( 2) 1.x dy dx y+ =
− = − 13. arcsin , (0) 2.y x y′ = = − 14. ln , (1) 2.5.y x y′ = =
15. 2sin , ( ) 6.y x y′ = π = 16. , (4) 5.y x x y′ = = − 17. 1, (3)
2.y y y′ = + = − 18. , (9) 8.y y y y′ = = 19.
2(0) 1.5.xy xe y′ = = 20. ln , (1) 0.5.y x x y′ = =
21. ln / , (1) 2.5.y x x y′ = = 22. 1/ ( ln ), ( ) 4.y x x y e′
= = − 23. 3 0, (4) 0.yxdy e y− = = 24. 3 , ( 3) 1/ 2.y y y y′ = − −
= 25. 3 , (1) ln2.y y y y′ = + = − 26. sin cos 0, ( 2) 0.xdy ydx y−
= π = 27. (2 ) tg 0, (3 2) 2.y x y y′ + − = π = 28. 2(4 ) 0, (2)
4.y x y y′ + + = =
29. 4 ctg 0, ( ) 1.x y y y′ − = π = − 30. 24 1, ( 2) 2.x y y y′−
+ = − =
-
10
3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение 1. Функция одного или нескольких переменных 1 2( ,
,..., )kf x x x называется однородной степени n, если существует
та-
кое число n, что при любых значениях λ справедливо тождество: 1
2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )
nk kf x x x f x x xλ λ λ = λ . (3.1)
Пример 1. Функция 2( , )f x y xy x= + – однородная функция
степени 2, так как
( )λ λ λ λ λ λ2 2 , ( ) ( , ).f x y x y x f x y= + = Пример
2.
Функция ( , ) x yf x yx+
= – однородная функция нулевой степени,
так как λ λ 0( , ) ( , ) ( , ).x y x yf x y f x y f x yx x
λ + λ += = = λ =
λ
Определение 2. Уравнение вида: ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =
(3.2) является однородным, если функции ( , )M x y и ( , )N x y
являются од-нородными функциями одной степени.
Следствие. Уравнение (3.2) может быть представлено в виде:
dy yfdx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. (3.3)
Действительно, преобразовав уравнение (3.2), получим: ( , )( ,
)
dy M x ydx N x y
= − .
Пусть 1 xλ = . Тогда ( , ) (1/ ) ( , ) (1, )( , ) (1, )(1/ ) ( ,
)
n
ndy M x y x M x y M y x yfdx N x y N y x xx N x y
⎛ ⎞= − = − = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
,
где yfx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
– однородная функция нулевой степени.
Уравнения (3.2) и (3.3) приводятся к уравнениям с
разделяющи-мися переменными при помощи подстановки y = t x, где (
)t t x= , отку-да y′ = t′ x + t или в дифференциалах dy = tdx +
xdt.
Пример 1. Решить уравнение: y' = y/x + (y/x)3. Решение. Применим
подстановку: y = t x, y′ = t′ x + t. Тогда t′ x + t = t + t3, t′ x
= t3, x dt/dx = t3. Получили уравнение с разделяющимися
переменными, относи-
тельно неизвестной функции t. Решаем уравнение, разделяя
переменные: dt / t3 = dx / x.
-
11
Интегрируем dtt3
= dxx
, 12t2
= lnx + c.
Подставляя t = y / x, получаем общий интеграл: – x2
2y2 = lnx + c.
Пример 2. Решить уравнение: (x + y)dx – xdy = 0. Решение. Мы
видим, что x + y и x – однородные функции первой
степени. Применим подстановку: y = tx, dy = tdx + xdt. Тогда: (x
+ tx)dx – x(tdx + xdt) = 0,
(1 + t)dx – tdx –xdt = 0, dx + tdx – tdx – xdt = 0, dx –xdt = 0.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем
переменные и решаем уравнение: dx/x = dt. Интегрируя, получаем:
ln x t c= + , ln yx cx
= + – общий интеграл.
(ln x c)y x= − – общее решение.
3.1. Упражнения
Решить уравнение в общем виде и найти частное решение (ча-стный
интеграл). 1. (y2 – 3xy)dx + x2 dy = 0. 2. y2 +7 x2y' = xyy'. 3. (x
– y)dx + (x + y)dy = 0. 4. y' = y/(x – 2y). 5. (x + 2y)dx – xdy =
0. 6. y2 + x2y' = xyy'. 7. (x – 3y)y' = y. 8. y' – xy/(x2 – 3y2) =
0. 9. (y2 – 5xy)dx + x2dy = 0. 10. y' = y/(x – 5y), y(1) = 1. 11.
xyy' = y2 + x2y'. 12. xy' = y – 2xey/x, y(1) = 0. 13. y2 = xyy' –
5x2y'. 14. 3x2y' + y2 = xyy'. 15. xy' = 3y+ y2/x.
16. xyy' = y2 + 4x2y'. 17. (y2 – 2xy)dx + x2dy = 0. 18. y2 +
2x2y' = xyy'. 19. y' = xy/(x2 – y2), y(1) = 1. 20. (x + 2y)dx =
xdy. 21. xy' = 5y+ y2/x. 22. xy' = y – xey/x, y(1) = 0. 23. y' =
y/(x – 2y). 24. (x + 3y)dx – xdy = 0. 25. y' = y/(x + 7y). 26. x2y'
+ y2 = xyy'. 27. (x + 8y)dx – xdy = 0. 28. xy' = 2y+ y2/x. 29. (x +
5y)dx – xdy = 0. 30. y2 + 5x2y' = xyy'.
4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение. Линейным дифференциальным уравнением пер-вого
порядка называется уравнение, линейное относительно неиз-вестной
функции и её производной. Оно имеет вид: y' + P(x)y = Q(x), (4.1)
где P(x) и Q(X) – заданные непрерывные функции от x.
http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/102/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/101/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/120/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/120/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/120/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/103/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/103/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/103/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/103/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/103/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/104/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/124/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/108/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/108/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/108/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/122/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/127/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/129/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/129/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/129/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�
-
12
Будем искать решение уравнения (4.1) в виде произведения двух
функций u = u(x) и v = v(x): y = u v, (4.2) тогда: y' = u'v + uv',
(4.3)
Подставив (4.2) и (4.3) в уравнение (4.1), будем иметь: u'v +
uv' + P(x)uv = Q(x),
u'v + u(v' + P(x)v) = Q(x), (4.4) Функцию v выберем так, чтобы
v' + P(x)v = 0, решая это уравне-
ние с разделяющимися переменными, получаем: dv/dx = –P(x)v, dv/v
= –P(x)dx, ln v = – P(x)dx + ln C , откуда:
v = – ( ) P x dxce ∫ . Нам достаточно какого-нибудь одного,
частного, отличного от
нуля решения, v = – ( )dx P xe ∫ .
Из уравнения (4.4) получим: u'v = Q(x).
Разделяя переменные, найдем u = ( )Q x dxv
⎛ ⎞∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠
+ С1.
Подставляя u и v в (4.2), получаем общее решение уравнения:
y = vu = v ( ( )Q x dxv
⎛ ⎞∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠
+ С1).
Пример. Решить уравнение: y' – ctg x y = cos x. Решение.
Подставляя y = uv, y' = u'v + uv' в уравнение, получим:
u'v + uv' – ctg x uv = cos x, u'v + u(v' – ctg x v) = cos x.
Решая уравнение: v' – ctg x v = 0, находим v = sin x. Из
уравнения u' sin x = cos x, разделяя переменные, находим:
u = ln sin x + c. Таким образом, общее решение уравнения будет
иметь вид:
y = sinx (ln sin x + c).
4.1. Упражнения
Решить уравнение в общем виде и найти частное решение (ча-стный
интеграл): 1. xy' – 2y = 2x4. 2.1 y' – y/x = x cosx. 3. xy' + 3y –
x2 = 0. 4.2 y' + y = 2x, y(0) = 1. 5. x2y' + xy + 1 = 0. 6. y' –
y/x = x sinx. 7.2 xy' – 5y = 3x4.
8. y' = x2 + 7x + y/x. 9. y' – y/x = x2 + 3x, y(0) = 1. 10. y' =
y/x + x cos2x. 11. xy' – 3y = x5, y(0) = 2. 12. y' – y/x = x cosx
sinx. 13. y' – y = x + 3, y(0) = 1. 14. y' – y/x = x
cosx/sin3x.
http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/136/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/136/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/138/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/105/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/140/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/140/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/140/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/141/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/120/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/120/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/143/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/143/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/143/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/136/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/136/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/147/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/149/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/149/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/149/�
-
13
15. y' – y/x = x cos2x. 16. y' + 2y = ex, y(0) = 1. 17. xy' – 3y
– x3 = 0. 18. y' – y/x = x sin2x. 19. y' – y/x = 5 x cos3x. 20. x2
y' + xy + 3 = 0. 21. y' + y = x, у(1) = 1. 22. xy' + 3y – x4 =
0.
23. y' – y/x = x cosx. 24. xy' – 6y = x5. 25. y' + y = 3ex, y(0)
= 1. 26. y' – y/x = x tgx. 27. y' – y = x2 – x + 1. 28. x2 y' = xy
+ 1. 29. y' + y – 5ex = 0. 30. y' – y = x3 + 5x + 2.
5. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Определение. Уравнение вида: y' + P(x)y = Q(x)yn,
где P(x) и Q(x) – непрерывные функции от х, n ≠ 0, n ≠ 1,
называется уравнением Бернулли.
Как и в случае с линейными уравнениями, решение уравнения
Бернулли можно искать в виде: y = uv, (5.1) тогда y' = u'v + uv'.
(5.2)
Пример. Решить уравнение: y' + y/x = y2 lnx. Решение. Применяя
формулы (5.1) и (5.2), получаем:
u'v + uv' + uv/x = (uv)2 lnx, u'v + u(v' + v/x) = (uv)2 lnx,
v' + v/x = 0, v' = –v/x, dv/v = –dx/x, интегрируя уравнение,
находим ln v = –ln x , v = 1/x.
Для нахождения функции u решаем уравнение:
u'v = (uv)2 lnx, u' = u2v lnx, 2
2ln ln , .du u x du xdx
dx x xu= =
Интегрируя уравнение, находим:
–u–1 = 0,5 ln2x + c, u = 21 .
0,5 ln x c−
+
Таким образом, решение уравнения будет иметь вид:
y = 21 .
(0,5 ln )x x c−
+
5.1. Упражнения
Решить уравнение в общем виде и найти частное решение (ча-стный
интеграл). 1. y' – y/x = y2cosx. 2. xy' – y = xу2(x + 1). 3. y' –
y/x = xy2. 4. xy' – 2y = у3(x + 5).
5. y' = y+ 3у2, у(1) = 1. 6. y' – y/x = y2sinx. 7. y' =
–y2cos2x+ y/x. 8. y' – y/x = y2/x, y(1) = 1.
http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/150/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/153/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/153/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/153/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/156/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/152/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�http://решу.рф/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF%D0%BE%D0%B2/151/�
-
14
9. xy' – y = у3(x + 1). 10. y' = y + у3, y(0) = 2. 11. y' – y/x
= 3y2cos2x. 12. y' = y4cosx + ytgx. 13. y' = y + у2x, y(0) = 1. 14.
y' – y/x = xy5. 15. xy' – 3y = xу2(x + 2). 16. y' = y + у4. 17. y'
– y/x = y2cos5x. 18. xy' = y + xу3(x + 4). 19. y' – y = xу2.
20. y' = y2sinx + ytgx. 21. xy' – y = у2(x + 1). 22. y' – y/x =
3y2cosx. 23. y' = y2cosx + ytgx. 24. y' – y = 2у2/x. 25. y' – y/x =
y2(x+3). 26. xy' – 2y = xу3. 27. y' – y = 2у2, y(0) = 1. 28. y' =
y/x + y2cos6x. 29. y' = y + у2. 30. xy' – y = (x + 5)у3.
6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Определение. Дифференциальное уравнение
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = (6.1) называется уравнением в
полных дифференциалах, если левая часть уравнения (6.1)
представляет собой полный дифференциал некото-рой функции ( , )U x
y , т.е.
( , ) ( , ) 0( , ) .P x y dx Q x y ddU x y y= + = Отсюда
получается сразу общий интеграл уравнения (6.1):
( , ) .U x y С= (6.2) Необходимые и достаточные условия
существования такой
функции ( , )U x y дает следующая теорема. Теорема. Пусть
функции ( , )P x y и ( , )Q x y непрерывны вместе
со своими частными производными Py
∂∂
и Qx
∂∂
в области ( , )D x y . Тогда
для того, чтобы левая часть уравнения (6.1) была полным
дифферен-циалом некоторой функции ( , )U x y необходимо и
достаточно выпол-нение следующего условия:
Py
∂∂
= Qx
∂∂
. (6.3)
Укажем два способа нахождения ( , )U x y . Первый способ. Так
как
,U UdU dx dyx y
∂ ∂= +∂ ∂
то
( , ) ( , ) .U UP x y dx Q x y dy dx dyx y
∂ ∂+ = +
∂ ∂
-
15
Так как dx и dy произвольны, то получаем
( , )
.( , )
U P x yxU Q x yy
∂⎧ =⎪ ∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩
(6.4)
Интегрируя по x при фиксированном y первое уравнение из (6.4),
находим ( , )U x y : (( ), ,) P x y dU x y x= + ϕ∫ , (6.5) причем
здесь ϕ уже является не произвольной постоянной, а произ-вольной
функцией, зависящей от y , т.е. ( )yϕ = ϕ .
Выражение (6.5) для ( , )U x y подставляем во второе уравнение
(6.4):
( )( , ) ( ) ( , ).P x y dx y Q x yy∂ ′+ ϕ =∫∂
Можно показать, что при выполнении условия (6.3) полученное
выражение зависит только от y . Из него находим ( )y′ϕ .
Интегрируем по y и находим ( )yϕ . Подставляем результат в (6.5) и
получаем об-щий интеграл (6.2) уравнения (6.1)
( ,( , )) ) (P x y yx dx СU y + ϕ= =∫ . Вместо интегрирования
первого уравнения из (6.4) по x можно
интегрировать второе уравнение по y и добавить произвольную
функ-цию ( )xϕ . Схема вычисления общего интеграла остается такой
же.
Пример 1. Решить уравнение 2(2 sin ) (cos ) 0xy x dx y x dy− − −
= . Решение. Из (6.1) следует
2( , ) 2 sin , ( , ) cosP x y xy x Q x y y x= − = − + ,
тогда
2 ,P xy
∂=
∂ 2 ,Q x
x∂
=∂
т.е. P Qy x
∂ ∂=
∂ ∂.
Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифферен-циал
неизвестной функции ( , )U x y . Находим эту функцию.
2 2( , ) ( ) ( cos ) ( ) si( , n) ( )Q x y dy x x y dyU x y x x
y y x= + ϕ = − + ϕ = − + ϕ∫ ∫ . Подставляем ( , )U x y в первое
уравнение системы (6.4):
( , ) 2 sin ,U P x y xy xx
∂= = −
∂
2 ( ) 2 sin ,xy x xy x′+ ϕ = − ( ) sin ,x x′ϕ = − ( ) cosx xϕ =
+ c . Функция ( , )U x y определяется выражением
2 sin( , c s) o .x y yU Cx y x= − + = Второй способ нахождения
функции ( , )U x y .
-
16
Условия (6.3) является необходимым и достаточным условием для
того, чтобы криволинейный интеграл
( , ) ( , )LP x y dx Q x y dy+∫
по любой линии L, лежащей в области ( , )D x y и соединяющей две
точки, не зависел от пути L, а зависел бы только от начальной и
ко-нечной точек. Поэтому данный интеграл можно записать так:
1 1
0 0
( , )
( , )( , ) ( , ) ,
x y
x yP x y dx Q x y dy+∫
где 0 0( , )x y – начальная точка линии интегрирования, а 1 1( ,
)x y – ее ко-нечная точка. Для нахождения функции ( , )U x y
возьмем конечной точ-кой интегрирования переменную точку ( ,x y
).
Тогда
0 0
( , )
0 0( , )
( , ) ( ),( , ) ( , ) ,x y
x yP x y dx Q x y dyy xU x U y+= +∫
а величина 0 0( ),U x y играет роль произвольной постоянной.
Теперь выберем наиболее удобный путь интегрирования
(рис. 1). Будем интегрировать по ломаной АСВ, звенья которой
па-раллельны осям координат.
Рис. 1. Путь интегрирования
Так как на участке АС 0y y= и 0dy = , а на участке СВ x –
по-стоянная и 0dx = , то, следовательно,
0 00 0 0, ( , ) ( .,) ()( , )
yx
x yx y P x y dx Q x y dy xU yU + +∫ ∫=
Тогда общий интеграл уравнения (6.1) имеет вид:
0 00, ( , ) .) ( , )(
yx
x yx y P x y dxU Q x y dy C+ =∫ ∫=
Пример 2. Решить уравнение ( ) ( 2 ) 0.y ye x dx xe y dy+ + − =
Решение. Из (6.1) следует, что
( , ) ,yP x y e x= + ( , ) 2 ,yQ x y xe y= −
,yP ey
∂=
∂ ,yQ e
x∂
=∂
P Qy x
∂ ∂=
∂ ∂
Y
X
y
x A(x0,y0)
B(x,y)
C(x,y0) y0 x0
-
17
и левая часть уравнения является полным дифференциалом функции (
, )U x y :
0
0 0
, () ) ( 2 ) .(yx
y y
x yx y e x dx xe y dU y= + + −∫ ∫
Заметим, что во втором интеграле x считается постоянной
ве-личиной в процессе интегрирования. Интегрируя, получаем
0
0
2
( ), ( )2
xy
x
xx y xeU = + + 0
2( )yyy
xe y− =
= 0 0 022 2
2 2 200 0 ,2 2 2
y y yy yxx xxe x e xe y xe y xe y c+ − − + − − + = + − +
где 0
220
0 0 .2y xc x e y= − − +
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид:
2
2, .2
( ) yU xx y xe y С+ − ==
6.1. Упражнения
Найти общий или частный интеграл дифференциальных
урав-нений.
1. 2 33 ( 1) 0.y yx e dx x e dy+ − =
2. 2 22 2 2 2(3 cos ) cos 0.x x xx dx dyy y yy
+ − =
3. 2 2(3 4 ) (8 ) 0,yx y dx xy e dy+ + + = (0) 1.y =
4. 21(2 1 ) (2 ) 0.yx dx y dyxx
− − − − =
5. 2 2( ) (2 tg ) 0.cosyy dx xy x dy
x+ − − =
6. 2 3 2(3 2 3) ( 2 3 ) 0,x y y dx x x y dy+ + + + + = (1) 2.y =
7. (sin2 2cos( )) 2cos( ) 0.x x y dx x y dy− + − + =
8. 2
2 22 3( ) ( ) 0.
x xxy dx x y dyy y
+ + − =
9. 2 2 3(2 9 ) (4 6 ) ,xy xdx y x ydy− + − ( 1) 3.y − = 10. 2 22
( ) 0.xydx x y dy+ − = 11. (2 ) 0.y ye dx y xe dy− −− + =
12. 3( ln ) 0,y dx y x dyx
+ + = (1) 1.y =
-
18
13. 2 2 3
2 33 2 5 0.x y x ydx dy
y y+ +
− =
14. 2 22 (1 ) 0.x x y dx x ydy+ − − − =
15. 2 2(1 sin2 ) 2 cos 0,y x dx y xdy+ − = ( ) 1.4
y π =
16. 3
23 (1 ln ) (2 ) .xx y dx y dyy
+ = −
17. ( sin ) ( cos sin ) 0.x y dx x y y dy+ + + =
18. ( sin ) ( cos ) 0,x xy e y dx x e y dy+ + + = ( ) 1.3
y π = −
19. 2( sin ) (0,5 cos ) 0.xy y dx x x y dy+ + + = 20. 2 2( ) (2
) 0.yx y y dx xy x e dy+ + + + + = 21. 2( sin ) (1 cos ) 0,x y x y
dy+ + + = ( ) 1.y π = 22. ( ) 0.x xye dx y e dy+ + = 23. ( sin ) (
cos ) 0.x xe y x dx e y y dy+ + + =
24. 2(ln 5 sin5 ) ( 2 cos5 ) 0,xy y x dx y x dyy
− + + = ( ) 1.y π =
25. 2 3(3 sin ) ( cos ) 0.x y x dx x y dy+ + − = 26. 2 3( 3 ) (
4 ) 0.x y x ye x dx e y dy+ ++ + + =
27. 2
( ln ) ( 1) 0,2xy x y dx x dyy
+ + + + = ( ) 2.y e =
28. (2 1) (2 1) 0.x y dx y x dy− + + − − = 29. 2 2 3 2 3(3x 4 )
( 4 12 ) 0.y xy dx x x y y dy− + − + = 30. 2(5 3 ) (8 3 ) 0,x y dx
x dy+ − − = ( 3) 2.y − =
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
7.1. Уравнения вида y(n) = f(x)
Решение таких уравнений находят n-кратным интегрированием.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
46 cos .y xx
′′′ = +
Решение. 4
4
3
1 13
6 cos 6 cos
2 ; 6 sin sin3
y dx dx x dx dxxx x C x C
x
−
−
′′ = + = + =∫ ∫ ∫ ∫
= + + = − + +−
-
19
13
23
1 2 1 2
1 22
2 sin
2 cos 2 cos2
1 cos ;
dxy dx C dxx
xx dx x C x C x C x C
x C x Cx
−−
′ = − + + =∫ ∫ ∫
= − − + + = − − + +∫−
= − + +
=
21 2
2 21
1 2 3 1 2 3
cos
1sin s2
.in2
y x dx x C xdx C dx
x xx x C C x C x C C Cx
−
−
= − + + =∫ ∫ ∫ ∫
= − − + + + = − − + + +
7.1.1. Упражнения
Найти общее решение дифференциального уравнения. 1. 6 cos 2 1.y
x′′′ = +
2. 2
525 .2 3
x xy e′′ = +
3. 27 sin 3 6 .y x x′′′ = − 4. 15 cos 3 .xy x e′′′ = + 5. 312 4
.xy e x′′ = + 6. 16 sin 4 12.y x′′′ = − 7. 2 sin 4 cos .y x x′′′ =
−
8. 24 .
1 2xyx
′′ =+
9. 21 2 5.4
xy ′′′ = +
10. 216 3 4.
cosy x
x′′ = + −
11. .xy xe−′′ = 12. 22cos .y x′′ = 13. sin .y x x′′ = 14. 22sin
cos .y x x′′ = 15. 315sin 2 .y x x′′ = +
16. 2 .y x′′ =
17. 36sin .cos
xyx
′′ =
18. 2 24(3 )ln 3.xy′′ = 19. 24 sin 5 .y x x′′ = −
20. 2
21 .xy
x+′′ =
21. 3 6.x y′′ = 22. 21 2 .y x x′′ = − −
23. 2
3 .1
yx
′′ =−
24. 27 cos sin .y x x′′ = ⋅ 25. 9 sin3 6 cos .y x x′′ = − 26. 4
cos2 4 . xy x e′′ = + 27. .2x xy e e−′′ = +
28. 33 2 1.2
y x x′′ = + +
29. 34 .2( )y x′′ = −
30. 3 21 2.3
y x′′ = +
7.2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно у
Это уравнения типа: ( , , ) 0F x y y′ ′′ = (уравнение 2-го
порядка).
-
20
Решается оно заменой ( )y P x′ = , тогда ( )y P x′′ ′= и
получаем уравнение ( , , ) 0,F x P P ′ = т.е. уравнение 1-го
порядка.
Пример. Дано уравнение lny x x y′′ ′= с начальными условиями ( )
4, y e =
( ) 1.y e′ = Найти частное решение дифференциального уравнения.
Решение. Вводим новую переменную , .y P y P′ ′′ ′= = Получим
уравнение: ln ,P x x P′ = т.е. уравнение 1-го порядка с
разделяющими-
ся переменными: .ln
dP dxP x x
=
Интегрируем: ; ln ln | ln | ln ;ln
dP dx P x CP x x
= = +∫ ∫ или, потенци-
руя: ln ,P C x= т.е. ln .y C x′ = Подставим начальное условие:
1( ) ,y e′ = и тогда 1 ln ,C e= и 1.C = Далее интегрируем
уравнение: lny x′ = или ln .dy xdx=∫ ∫ Как известно ln xdx∫ берется
по частям:
1ln
n n .ln l ldxx u du xdxxdx x x x x x Cx
xdx dv v x
= == = − = − +∫ ∫
= =
И тогда: 1n .ly x x x C= − + Из начального условия ( ) 4y e =
получим 14 lne e e C= − + и 1 4.C = Ответ: ln 4.y x x x= − +
7.2.1. Упражнения
Найти частное решение дифференциального уравнения:
1. 2.xy y x′′ ′= + 1(1) .3
y = 0.(1)y ′ =
2. ( 2 ) .x y xy′ ′′+ = (0) 1.y = (0) 1.y ′ = 3. 2 2( ) .x y y′′
′= (1) 2.y = (1) 1.y ′ = 4. 3 0.xy y x′′ ′+ − = (1) 1.y = 0.(1)y ′
=
5. ln( ).yxy yx′
′′ ′= (1) 2.y = − .( )1y e′ =
6. ( 1).1
yy x xx′
′′ − = −−
(2) 1.y = (2) 1.y ′ = −
7. 2(1 ) 2.x y xy′′ ′− − = (0) 1.y = 0.(0)y ′ = 8. ( 1) 0.y x
y′′ ′− − = (2) 1.y = 1.(2)y ′ = 9. tg tg .y y x x′′ ′+ = (0) 1.y =
1.(0)y ′ = 10. 4 3 .xy y x′′ ′− = (1) 2.y = (1) 1.y ′ = −
-
21
11. 36 .3y y x′′ ′+ = 3(1) .4
y = 2.(1)y ′ =
12. 2 .xy y x′′ ′− = (1) 2.y = 1.(1)y ′ = 13. cos sin sin 2 .y x
y x x′′ ′− = ( ) 1.y π = .( ) 0y ′ π =
14. (1 ln ).yxy yx′
′′ ′= + (1) 1.y = 1.(1)y ′ =
15. 2 .xy x y′′ ′+ = (1) 1.y = 1.(1)y ′ = 16. 22 ( ) 0.y x y′′
′+ = (1) 1.y = (1) 0,5.y ′ = 17. 2( 1) 2 0.xx y e y′′ ′− − = (0)
3.y = 1.(0)y ′ = 18. (1 ) 2 0.x xe y e y′′ ′+ − = (0) 1.y = 2.(0)y
′ = 19. 1 ) .( 2x x xe y e y e′′ ′+ − = (0) 3.y = 2.(0)y ′ =
20. 3 2(1 ) 3 1.x y x y′′ ′− − = (0) .6y π= (0) 1.y ′ = −
21. 2 2( ) .x y y′′ ′= (1) 4.y = 1.(1)y ′ =
22. 2( 1)ctg .y y x′′ ′= − .6
y π⎛ ⎞ = π⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2
1.y π′ =
23. 3( 4)tg 0.y y x′′ ′+ − = (0) 1.y = 5.(0)y ′ = 24. ln .xy y
y′′ ′ ′= (1) .y e= .(1)y е′ = 25. 2( ) 0.xy y y′′ ′ ′+ − = (1)
0,5.y = 1.(1)y ′ =
26. 44 .yy xx′
′′ − = 5(1) .6
y = − 1.(1)y ′ =
27. 3 .yy e ′−′′ = (0) ln3.y = 3.(0)y ′ =
28. 22 .
1y xy x′′=
′ + (0) 1.y = 1.(0)y ′ =
29. cos sin 0.xy y y′′ ′ ′− = (0) 2.y = 1.(0)y ′ = 30. 2( 4) 2 (
4) 0.x y x y′′ ′+ − + = (0) 1.y = 0.(0)y ′ =
7.3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно x
В общий вид уравнения 2-го порядка, не содержащего x: ( , , )
0.F y y y′ ′′ = (7.1)
Подстановкой
( )( ), dq y dq dyy q y y q qdx dy dx
′ ′′ ′= = = ⋅ = (7.2)
уравнение (7.1) сводится к уравнению ( , , ) 0,F y q q′ =
которое является уравнением 1-го порядка одного из известных нам
типов и решается соответствующим способом.
-
22
Пример. Найти частное решение уравнения 22 1y y y′′ ′⋅ = + с
на-чальными условиями: (1) 1, (1) 2.y y′ = =
Решение. Применяя замену (7.2), получаем уравнение 2yq q′⋅ = 21
q= + с разделяющимися переменными.
Разделим переменные: 22 .1q dq dy
yq⋅
=+
Проинтегрируем: 222 ; ln 1 ln ln | | .1
qdq dy q y Cyq
= + = +∫ ∫+
Потенцируем: 21 .q yC+ = Из начальных условий получим: 1 1 2 ,
1.C C+ = = Тогда: 21 ( ) ,y y′+ = и 1.y y′ = −
Снова разделим переменные: .1
dy dxy
=−
Интегрируем: 12 ,1y x C− = + так как (1) 2,y = то: 12 2 1 1 C− =
+ и 1 1.C =
Ответ: 2 1 1y x− = + или 21( ) 1.2
xy += +
7.3.1. Упражнения
Найти частное решение дифференциального уравнения.
1. .y y′′ ′= (0) 1.y = (0) 2.y ′ = 2. 2 .y yy′′ ′= (0) 0.y = (0)
0.y ′ = 3. 2 .y yy′′ ′= (0) 1.y = (0) 1.y ′ =
4. 2( ) 0.yy y′′ ′+ = (0) 1.y = (0) 1.y ′ =
5. 3( ) .yy y′′ ′= (1) 1.y = (1) 1.y ′ = −
6. 22( ) 0.yy y′′ ′− = (0) 1.y = (0) 0.y ′ =
7. 2tg ( ) 0.y y y′′ ′− = ( ) .2 2
y π π= ( ) .2 2
y π π′ =
8. 13 ( ) .y y −′′ ′= (0) 0.y = (0) 0.y ′ = 9. 5 0.y y′′ ′+ =
(1) 1.y = (1) 5.y ′ =
10. 2 sin .y y y′′ ′= (1) .2
y π= (1) 0.y ′ =
11. 22 ( ) 4.yy y′′ ′− = (0) 4.y = (0) 0.y ′ =
12. 25( ) .y y′′ ′= (0) 0.y = (0) 1.y ′ =
-
23
13. 22 ( ) 4.yy y′′ ′= + (0) 9.y = (0) 5.y ′ =
14. 2tg 2( ) .y y y′′ ′= (1) .2
y π= (1) 1.y ′ =
15. 2( 1) 2( ) .y y y′′ ′− = (0) 2.y = (1) 1.y ′ =
16. 22 3 .y y′′ = (2) 1.y = (2) 1.y ′ =
17. 2( 1) 2 0.xx y e y′′ ′− − = (0) 3.y = (0) 1.y ′ =
18. 4 3 8.y y y ′′− ⋅ = (0) 1.y = (0) 3.y ′ =
19. 4 .yy e′′ = (0) 0.y = 1(0) .2
y′ =
20. 22( ) .1
yyy
′′′ =
− ( 1) 2.y − = ( 1) 1.y ′ − =
21. 22 9.y y y′′ = + (0) 3.y = (0) 2.y ′ =
22. 3 81 0.y y′′ + = (0) 9.y = (0) 1.y ′ =
23. 2 22 .( )yy y y′′ ′= + (1) 2.y = (1) 2.y ′ =
24. 2 2.( )yy y y′′ ′+ = (0) 1.y = (0) 0.y ′ =
25. 2cos ( ) sin .y y y y y′′ ′ ′+ = (0) .3
y π= 3(0) .2
y ′ =
26. 2 3( ) .( )yy y y′′ ′ ′= − (1) 1.y = (1) 2.y ′ =
27. 21 ( ) .yy y′′ ′+ = ( 1) 1.y − = ( 1) 1.y ′ − =
28. 2( ) .2 yy y e−′′ ′+ = (1) 0.y = (1) 2.y ′ =
29. 34 .y y′′ = (0) 1.y = (0) 2.y′ = 30. 2 22 3( ) .4yy y y′′ ′−
= (0) 1.y = (0) 2.y ′ =
8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Под этим понимаются уравнения вида (n) ( 1) ( 2)1 2 1... (
),
n nn ny a y a y a y a y f x
− −− ′+ + + + + = (8.1)
где все аi, ( 1,2,... )i n= – постоянные величины, n ,
означающее поря-док старшей производной, называют порядком
дифференциального уравнения. Под соответствующим ему однородным
уравнением по-нимается уравнение с нулевой правой частью (n) ( 1) (
2)1 2 1... 0.
n nn ny a y a y a y a y
− −− ′+ + + + + = (8.2)
Общее решение уравнения (8.1) ищется в виде суммы y y Y= + где y
– общее решение (8.2), а Y – частное решение (8.1).
-
24
Если правая часть неоднородного уравнения (8.1) состоит из
не-скольких слагаемых, то следует найти частные решения,
соответст-вующие каждому из этих слагаемых в отдельности, и сумма
этих част-ных решений будет частным решением неоднородного
уравнения (8.1).
Поскольку в инженерной практике встречаются, главным обра-зом,
дифференциальные уравнения, в которых n ≤ 4, то мы в сле-дующих
параграфах ограничимся рассмотрением уравнений не выше четвертого
порядка.
8.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
Рассмотрим решение однородного уравнения 1 2 3 4 0.
IVy a y a y a y a y′′′ ′′ ′+ + + + = (8.3) Его решение ищется в
виде
.rxy e= (8.4) Тогда 2 3 4, , , .rx rx rx rxy re y r e y r e y r
e′ ′′ ′′′ ′′′′= = = = Потребуем, чтобы
(8.4) удовлетворяло уравнению (8.3), и получим уравнение,
которому должно удовлетворять r :
4 3 21 2 3 4( ) 0.
rxe r a r a r a r a+ + + + = 4 3 21 2 3 4 0.r a r a r a r a+ + +
+ = (8.5)
Уравнение (8.4) называется характеристическим уравнением, а его
решения характеристическим корнями. Корни характеристиче-ского
уравнения (8.5) могут быть следующих типов:
а) все действительные, причем различные; б) действительные,
среди которых имеются кратные; в) среди корней имеются комплексные.
Рассмотрим далее построение общего решения для каждого из
указанных выше типов. Тип а): характеристические корни (
1,2,3,4)ir i = действительные
и различные. Каждому корню ir соответствует частное решение .ir
xiy e= Тогда общее решение уравнения (8.3) имеет вид
31 2 41 2 3 4 .
r xr x r x r xy C e C e C e C e= + + + Пример 1. Найти общее
решение однородного уравнения
13 36 0.IVy y y′′− + = Решение. Определяем корни
характеристического уравнения
4 213 36 0:r r− + = все корни действительные и различные, это
тип а): 1 2 3 42, 2, 3, 3.r r r r= = − = = −
-
25
Частные решения данного однородного уравнения: 21 ,xy e=
2 3 32 3 4, , ,
x x xy e y e y e− −= = = а его общее решение является суммой
этих решений, умноженных на произвольные постоянные.
2 2 3 31 2 3 4 .
x x x xy C e C e C e C e− −= + + + Тип б): в этом типе
рассмотрим четыре различных вида корней: б1): корни 1 2,r r –
действительные и различные, а 3 4r r= имеют
кратность два. Корню кратности два соответствуют частные решения
вида 3 33 4, .
r x r xy e y xe= = Таким образом, общее решение однородного
уравнения (8.3) записывается в виде 3 31 21 2 3 4 .
r x r xr x r xy C e C e C e C xe= + + + Пример 2. Найти общее
решение однородного уравнения
3 2 0IVy y y′′′ ′′− + = . Решение. Характеристическое уравнение
4 3 23 2 0r r r− + = име-
ет корни 1 2 3 40, 1, 2r r r r= = = = и соответствующие им
частные реше-ния однородного уравнения 21 2 3 41, , , .
x xy y x y e y e= = = = Тогда об-щее решение уравнения имеет
вид: 21 2 3 4 ;
x xy C C x C e C e= + + + б2): характеристическое уравнение
имеет две пары кратных кор-
ней 1 2 3 4, .r r r r= = Каждой паре кратных корней
соответствует своя па-ра частных решений 1 11 2,
r x r xy e y xe= = и 3 33 4, .r x r xy e y xe= = Общее
решение уравнения (8.3) записывается аналогично случаям б1) и
б2) 3 31 1
1 2 3 4 ;r x r xr x r xy C e C xe C e C xe= + + +
б3): кратность одного из корней равна трем 1 2 3 4, .r r r r= =
В этом случае частные решения имеют вид 1 11 2, ,
r x r xy e y xe= =1 42
3 4,r x r xy x e y e= = , а общее решение однородного уравнения
(8.3):
1 1 1 421 2 3 4 .
r x r x r x r xy C e C xe C x e C e= + + + Пример 3. Найти общее
решение однородного уравнения
2 0.IVy y′′′− = Решение. Характеристическое уравнение 4 32 0r r−
= имеет
корни 1 2 3 40, 2,r r r r= = = = и соответствующие им частные
решения данного уравнения имеют вид 2 21 2 3 41, , , .
xy y x y x y e= = = = Общее решение уравнения:
2 21 2 3 4 ;
xy C C x C x C e= + + + б4): 1 2 3 4r r r r= = = (кратность
корня равна четырем). Им соответ-
ствуют частные решения: 1 1 1 12 31 2 3 4, , , ,r x r x r x r xy
e y xe y x e y x e= = = = а
общее решение уравнения (8.3) имеет вид: 1 1 1 12 3
1 2 3 4 .r x r x r x r xy C e C xe C x e C x e= + + +
-
26
Пример 4. Найти общее решение однородного уравнения 0IVy = .
Решение. Характеристическое уравнение 4 0r = имеет четыре корня
1 2 3 4 0.r r r r= = = = Тогда
2 31 2 3 41, , ,y y x y x y x= = = = – частные
решения этого уравнения. Общее решение данного уравнения име-ет
вид:
2 31 2 3 4 .y C C x C x C x= + + +
Тип в): в этом типе рассмотрим три различных вида корней: в1):
характеристическое уравнение, кроме действительных, име-
ет комплексно сопряженные корни 1 2 3,4, , ,r r r i= α ± β где
1i = − – мни-мая единица. Соответствующие частные решения
однородного урав-нения имеют вид: 1 21 2 3 4, , cos , sin ,
r x r x x xy e y e y e x y e xα α= = = β = β а общее решение
уравнения (8.3) записывается следующим образом:
1 21 2 3 4cos sin .
r x r x x xy C e C e C e x C e xα α= + + β + β Пример 5. Найти
общее решение уравнения
4 4 4 5 0.IVy y y y y′′′ ′′ ′− + + − = Решение. Как и всегда,
начинаем с нахождения корней характе-
ристического уравнения 4 3 24 4 4 5 0.r r r r− + + − = При
отыскании корней полезно помнить следующий математи-
ческий факт: известный как теорема Виета многочлен, имеющий
корни 1 2 3 4, , , ,r r r r можно преобразовать к виду 1 2 3 4( )(
)( )( ).r r r r r r r r− − − − От-сюда следует, что он делится без
остатка на ( )ir r− для всех
1,2,3,4,i = а также видно (если раскрыть скобки), что
произведение корней 1 2 3 4, , ,r r r r равно свободному члену
уравнения.
Это свойство свободного члена уравнения часто удается
ис-пользовать в учебных примерах и находить корни путем подбора, в
данном случае это 1 21, 1.r r= = −
Затем делим многочлен 4 3 24 4 4 5r r r r− + + − на 2( 1)r − и
полу-чаем уравнение
2( 1)( 1)( 4 5) 0,r r r r− + − + = решение которого сводится к
решению квадратного уравнения
23,44 5 0, 2 4 5 2 .r r r i− + = = ± − = ±
Частные решения данного уравнения имеют вид: 1 ,xy e=
2 22 3 4, cos , sin ,
x x xy e y e x y e x−= = = откуда получаем общее решение
исходного уравнения:
2 21 2 3 4cos sin ;
x x x xy C e C e C e x C e x−= + + + в2): корни
характеристического уравнения 1 2 3,4, .r r r i= = α ± β
-
27
Частные решения, отвечающие этому типу корней, имеют вид: 1
1
1 2 3 4, , cos , sin ,r x r x x xy e y xe y e x y e xα α= = = β
= β а общее решение
уравнения (8.3) является их линейной комбинацией с
неопределен-ными коэффициентами:
1 11 2 3 4cos sin .
r x r ч x xy C e C xe C e x C e xα α= + + β + β Пример 6. Найти
общее решение однородного уравнения
2 10 0.IVy y y′′′ ′′− + = Решение. Характеристическое уравнение
4 3 22 10 0,r r r− + =
2 21 2 3 4( 2 10) 0, 0, 1 3 , 1 3 .r r r r r r i r i− + = = = =
+ = −
Получаем частные решения исходного уравнения, соответст-вующие
найденным характеристическим корням: 1 21, ,y y x= =
3 4cos3 , sin3x xy e x y e x= = и общее решение исходного
уравнения в
виде их линейной комбинации: 1 2 3 4cos3 sin3 ;
x xy C C x C e x C e x= + + + в3): рассмотрим сочетание корней
характеристического уравне-
ния типа 1,2 1 1 3,4 2 2, .r i r i= α ± β = α ± β Частные
решения, соответствующие этому типу корней, имеют
вид: 1 1 2 21 1 2 1 3 2 4 2cos , sin , cos , sin ,x x x xy e x y
e x y e x y e xα α α α= β = β = β = β а
общее решение уравнения (8.3) является их линейной комбинацией с
неопределенными коэффициентами:
1 1 2 21 1 2 1 3 2 4 2cos sin cos sin .
x x x xy C e x C e x C e x C e xα α α α= β + β + β + β Пример 7.
Найти общее решение однородного уравнения
iv 5 4 0.y y y′′+ + = Решение. Решим характеристическое
уравнение: r4 + 5r2 + 4 = 0.
Оно представляет собой типичное биквадратное уравнение. Заменой
неизвестного оно сводится к квадратному 2 5 4 0.z z+ + =
Корни этого уравнения 1 21, 4,z z= − = − откуда получаем две
па-ры комплексно сопряженных корней 1 2 3 4, ; 2 , 2 .r i r i r i r
i= = − = = − Со-ответствующие им частные решения имеют вид 1 2cos ,
sin ,y x y x= =
3 4cos2 , sin2 ,y x y x= = а общее решение является их линейной
ком-бинацией с неопределенными коэффициентами
1 2 3 4cos sin cos2 sin2 .y C x C x C x C x= + + +
8.1.1. Упражнения
Найти общее решение дифференциального уравнения. 1. 2 0.y y y′′′
′′ ′+ + = 2. 2 5 0.IVy y y′′′ ′′− + =
-
28
3. 0.IVy y− = 4. 4 4 0.y y y y′′′ ′′ ′+ + + = 5. 9 9 0.y y y
y′′′ ′′ ′− − + = 6. 2 3 4 3 2 0.IVy y y y y′′′ ′′ ′+ − − + = 7. 2 5
4 5 2 0.IVy y y y y′′′ ′′ ′+ + + + = 8. 0.IVy y′′′− = 9. 4 6 0.y y
y y′′′ ′′ ′+ + − = 10. 5 4 0.IVy y y′′− + = 11. 30 0.y y y′′′ ′′ ′−
− = 12. 4 5 0.IVy y y′′′ ′− + = 13. 16 0.IVy y− = 14. 16 16 0.y y y
y′′′ ′′ ′+ + + = 15. 25 25 0.y y y y′′′ ′′ ′− − + = 16. 4 2 4 4
0.IVy y y y′′′ ′′ ′+ − − + = 17. 5 4 10 4 5 0.IVy y y y y′′′ ′′ ′+
+ + + = 18. 5 0.IVy y ′′′− = 19. 2 2 0.y y y′′′ ′′ ′− − + = 20. 10
9 0.IVy y′′+ + = 21. 30 0.y y y′′′ ′′ ′− − = 22. 10 26 0.IVy y y′′′
′− + = 23. 81 0.IVy y− = 24. 49 49 0.y y y y′′′ ′′ ′− − + = 25. 36
36 0.y y y y′′′ ′′ ′+ + + = 26. 6 5 12 5 6 0.IVy y y y y′′′ ′′ ′+ −
− + = 27. 5 6 10 6 5 0.IVy y y y y′′′ ′′ ′+ + + + = 28. 3 0.IVy
y′′′+ = 29. 4 4 16 0.y y y y′′′ ′′ ′− − + = 30. 17 16 0.IVy y y′′+
+ =
8.2. Метод неопределенных коэффициентов
В разделе 8.1 рассказано, как находить общее решение уравне-ния
(8.2). Для отыскания частного решения неоднородного уравнения (8.1)
рассмотрим метод неопределенных коэффициентов.
Этот метод применяется к уравнениям с правой частью ( )f x трех
типов, каждый из этих типов рассматривается в двух вариантах.
-
29
Тип 1. ( ) ( ),f x P x= где ( )P x – полином n-й степени (а в
частно-сти, число, отличное от нуля).
1 а) корень характеристического уравнения отличен от нуля, то (
),Y Q x= где ( )Q x – полином n-й степени с неопределенными
коэф-
фициентами; 1 б) корень характеристического уравнения есть ноль
кратности
,k то ( ),kY x Q x= где ( )Q x – полином n-й степени с
неопределенными коэффициентами.
Тип 2. ( ) ( )xf x e P xα= и ( )P x – полином n-й степени. 2 а)
α не является корнем характеристического уравнения, то
( );xY e Q xα= 2 б) α – корень кратности k характеристического
уравнения, то
частное решение ищется в виде ( ) ,k xY x Q x eα= ( )Q x –
полином с не-определенными коэффициентами той же степени, что и (
).P x
Тип 3. [ ]1 2( ) ( )cos ( )sin ,xf x e P x x P x xα= β + β где
1( )P x и 2( )P x – по-линомы, а m – наивысшая степень этих
полиномов (они могут быть числами и один из них может быть равен
нулю).
3 а) iα ± β не являются характеристическими корнями, то [ ]1 2(
)cos ( )sin ,xY e Q x x Q x xα= β + β где 1( )Q x и 2( )Q x –
полиномы сте-
пени m с неопределенными коэффициентами; 3б) iα ±β –
характеристические корни кратности ,k то
[ ]1 2( )cos ( )sin .k xY x e Q x x Q x xα= β + β Таким образом,
искомая форма частного решения целиком за-
висит от характеристических корней, их кратности и степени
полино-мов правой части.
Далее при рассмотрении примеров, будем использовать симво-лы ,n
,k ,m ,α β и придавать им такой же смысл.
Пример 3. Написать общий вид частного решения уравнения 2 24 5
sin2 3 12,x xy y xe x x e′′ + = − − + не находя числовых значений
не-
определенных коэффициентов. Решение. Однородное уравнение,
соответствующее данному,
имеет вид 4 0,y y′′ + = а его характеристическое уравнение
соответст-венно 2 4 0,r + = с корнями 1,2 2 .r i= ±
Правая часть представляет собой сумму функций: 1 2 3( ) ( ) ( )
( ),f x f x f x f x= + +
рассмотрим эти слагаемые. 2 2
1( ) 3x xf x xe e= − – тип 2а, ( ) ( ) ,xf x P x eα= 1,n = 2,α =
0.β =
Вывод: 21 ( ) .xY Ax B e= +
-
30
2( ) 5 sin2f x x x= − – тип 3б, [ ]1 2( ) ( )cos ( )sin ,k xf x
x e Q x x Q x xα= β + β 1,n = 0,α = 2,β = 1.k = Вывод: [ ]2 1 1 2
2( )cos2 ( )sin2 .Y A x B x A x B x x= + + +
3( ) 12f x = – тип 1а, ( ) ( ), 0, 0, 0.f x P x n= = α = β =
Вывод: 3 .Y C= Итак, частное решение исходного уравнения найдено: 1
2 3Y Y Y Y= + + =
2( ) xAx B e+ + [ ]1 1 2 2( )cos2 ( )sin2 .A x B x A x B x x C+
+ + + Пример 4. Решить уравнение 2 .x xy y e e x′′ ′− = + +
Решение. Его однородному уравнению 0,y y′′ ′− = соответствует
характеристическое уравнение 2 0,r r− = с корнями 1 20, 1,r r= =
а общее решение однородного уравнения имеет вид
