fisbio.biof.ufrj.brfisbio.biof.ufrj.br/bmw115/exercicios_e_provas/lista... · Web viewGabarito da lista de exercícios Opere: Prove que mas Então na expressão , m=3 Reescrevendo

UF R J - INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHOMÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA -2013/1

Revisão - 1ª Lista

POTENCIAÇÃO

DefiniçãoA operação de Potenciação, em realidade, é uma operação de multiplicação (ou produto) especial. Esta especialidade reside no fato de que todos os fatores da multiplicação requerida são iguais. Por exemplo:

A Potenciação é representada na forma (denominada potência) e consiste na multiplicação da quantidade “a”, denominada base da potência, por ela mesma, tantas vezes quanto estiver indicado pela quantidade “n’, denominada expoente da potência.

Assim, nos exemplos acima, podemos simbolizar tais multiplicações, simplesmente, por

nvezes

Em face da definição da operação, algumas propriedades importantes podem ser conseguidas quando potências estão envolvidas em outras operações.

A seguir derivamos algumas que são mais importantes.

Propriedades relativas a potências

1. Potências envolvidas em operações de multiplicação (ou produto).

Quando potências de mesma base são envolvidas em uma multiplicação, por exemplo , temos pela definição:

nvezes mvezes (n+m)vezes

Conclusão: na multiplicação entre potências de mesma base, mantêm-se a base e somam-se os expoentes.

2. Potências envolvidas na divisão (ou quociente).


Quando potências de mesma base são envolvidas em uma divisão, por exemplo, ,

temos pela definição, levando em conta a simplificação dos fatores no numerador e no denominador

n

m

Conclusões: 1) na divisão entre potências de mesma base, mantêm-se a base e subtraem-se os expoentes.

2)considerando a expressão acima que

vemos que . Ou seja, uma potencia de expoente negativo corresponde

a uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador a potência com o expoente positivo. Em outras palavras, toda potência com expoente negativo corresponde ao inverso da potência que tem a mesma base elevada ao expoente positivo.

3. Potências envolvidas em potenciação

Quando uma potência está envolvida em uma potenciação, por exemplo, , também chamada potência de potência,, temos pela definição

n n n

m

Conclusão: na potenciação de uma potência, mantêm-se a base e multiplicam-se os expoentes.

RADICIAÇÃO

Definição

A Radiciação é uma operação associada à potenciação, realizada na perspectiva inversa com foco na base de uma potência.


A Radiciação, simbolizada por , enunciada como raiz n-ésima de a, consiste na

determinação de uma quantidade , tal que satisfaça a condição . Ou seja,

consiste na busca de uma quantidade, , a qual, elevada à potência , seja igual à

quantidade :

sendo tal que

Considerando a expressão,

Podemos escrever

Concluímos então, considerando a operação vista acima de potenciação de uma potência, que, da expressão , a única possibilidade que temos do lado

esquerdo produzir o direito é que tenhamos Pois somente assim, pela propriedade referida,

Conclusão: a operação radiciação pode ser incluída simbolicamente na operação potenciação desde que o expoente da potência seja uma fração, cujo denominador seja igual ao índice da raiz em questão.

A noção de potencia pode então ser generalizada para se levar em conta as possibilidades de natureza de seu expoente: inteiro positivo, inteiro negativo e fracionário. Lembrando que cada uma destas possibilidades corresponde a (envolve) operações distintas: potenciação, radiciação e divisão de 1 por uma potencia.

LOGARITMO

A operação de determinação do logaritmo de uma quantidade, assim como a radiciação, tem por fundamento a potência. Mas diferentemente daquela na qual o foco se situa na base da potência, nesta nova operação o foco se situa no expoente, como veremos aqui.


Para arrumar as idéias vamos considerar a operação potencia e fazer-nos a seguinte pergunta: é possível expressar uma quantidade na forma de potência? Por exemplo, é possível expressar a quantidade 25 por potências diversas? Ou, em outras palavras, é possível expressar 25 em potências de 2, de 3, de 4, etc? Simbolicamente teríamos:

?

De imediato, responderíamos as duas últimas questões: u=1 e t=2. Para responder a primeira, pensemos que e . Mas . Então, se x existir,

ele estará entre 4 e 5; logo . Se fizermos igual raciocínio para

as expressões que faltam, verificamos que ; E para

z, teremos

Veja então o que conseguimos! Conseguimos outra forma de nos referirmos à quantidade 25. Em potência de (base) 2, 25 é representado por “4,algumacoisa”; em potência de 3, 25 é representado por “2,algumacoisa”; em potência de 4, 25 é representado por “2,algumacoisa”; em potência de 5, 25 é representado por”2”, etc. É como se falássemos “25” em várias “línguas”: na língua do 2, na do 3, etc.

Assim, qualquer quantidade N pode ser representada em uma dada base pelo expoente a que esta base deve ser elevada para fornecer a quantidade N. A determinação, ou busca, deste expoente é a operação denominada Logaritmo. Simbolicamente a operação é designada por:

sendo tal que tenhamos

Que fique claro que para falar do logaritmo de uma quantidade é imprescindível fazer referência à base em que se quer determiná-lo.

Existem particularmente duas bases de interesse para os cálculos matemáticos: a base 10 e a base . A base 10 pela facilidade em se calcular as suas potencias. E a


base , o número de Euler, que vale , cuja importância aprenderemos no Cálculo diferencial e integral.

Propriedades relativas ao logaritmo

1) Logaritmo envolvendo a operação produto.

Suponhamos que a quantidade cujo logaritmo queremos calcular seja o produto de duas outras quantidade:

Sejam

Destas expressões, pela definição de logaritmo podemos, podemos escrever

.

Seja, por outro lado, .

Então podemos escrever que

.

Porem, das expressões acima para A e para B, teremos

.

Como o nesta expressão temos a igualdade entre potencias de mesma base, podemos escrever para seus expoente

Porém, . e . Então a expressão acima torna-se

Conclusão: o logaritmo do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos dos respectivos números.


2) Logaritmo envolvendo a operação quociente.

Suponhamos que a quantidade cujo logaritmo queremos calcular seja o quociente entre duas outras quantidade:

Sejam


.

Seja, por outro lado,

.


.

Porem, das expressões acima para A e para B, teremos

.

Como o nesta expressão temos a igualdade entre potencias de mesma base, podemos escrever para seus expoentes

Mas , e . Então a expressão acima torna-se

Conclusão: o logaritmo do quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos dos respectivos números.

3) Logaritmo envolvendo a operação potencia


Suponhamos que a quantidade cujo logaritmo queremos calcular seja uma potencia

Sejam


.

Seja, por outro lado, .


Porem, da expressão acima para A, teremos

.

Como o nesta expressão temos a igualdade entre potencias de mesma base, podemos escrever para seus expoentes

Mas e . Então a expressão acima torna-se

Conclusão: o logaritmo de uma potencia é igual ao expoente da potencia multiplicado pelo logaritmo da base da potência.

4) Mudança de base de logaritmos de uma quantidade.

Como vimos no início, uma mesma quantidade N pode ser representada por diversos logaritmos em distintas bases. Importa, portanto, saber relacionar os logaritmos de N em bases distintas entre si.

Sejam


.

Podemos então escrever destas duas expressões:

.

Logo temos

Se agora calculamos o logaritmo na base b desta última expressão, teremos

Gabarito da lista de exercícios1) Opere:

(a)

(b)

(c)

(d)

2) Prove que

(a)

mas

Então


(b) na expressão , m=3

Reescrevendo a expressão em potências de 3

ou

(c) se , e , então

Então

3) Escreva as expressões na forma de potênciaa) log4 x = 3

b) log2 y = 5

c) log5 y = 2

4) Escreva as expressões abaixo na forma de logaritmo(a) y =

(b)

(c)

(d)

5) Prove que:

a)Seja

,então, por definição,

.

Usando ai o fato que , então

b)Seja

Então, podemos escrever pela definição de ln

mas, pela propriedade de logaritmo, o lado esquerdo da equação acima, escreve-se


Então

c)

6) Calcule o nos casos abaixo

(a)

(b)

(c)

7) Mostre que

Seja

Então, pela definição do logaritmo, temos

Logo

Ou

substituindo na hipótese acima, temos

8) Mostre que

Seja(1)

então (2)

Calculando o na expressão (2), temos

(3)ou ainda,

(4)


Usando as equações (1) e (4), temos que

(5)

ou

(6)

Resta-nos, portanto, saber quem é !Seja

(7)De (7), podemos escrever

(8)

Aplicando o à expressão (8), temos

Logo.

(9)

Combinando as expressões (6), (7) e (9), temos

9) Resolva as seguintes equações

(a)

(b)

(c)

(d)


10) A população de bactérias estreptococos N em um tempo t (em meses) é dada por

sendo a população inicial das bactérias. Qual o tempo decorrido para que a população alcance um milhão de bactérias?

Pela definição de logaritmo, podemos escrever

11) Durante um terremoto a energia (em joules) liberada é dada pela fórmula

Onde M é a magnitude do terremoto, medida na escala Richter. (a) Em 1989 o terremoto em Newcastle atingiu a magnitude 5 na escala Richter. Quantos joules de energia foram então liberados? (b) O terremoto ocorrido em 1900 em San Francisco liberou o dobro da energia daquele de Newcastle. Qual foi a magnitude deste terremoto na escala Richter?

a)

b)

Documents

fisbio.biof.ufrj.brfisbio.biof.ufrj.br/bmw115/exercicios_e_provas/lista... · Web viewGabarito da lista de exercícios Opere: Prove que mas Então na expressão , m=3 Reescrevendo