PORCENTAGEMigepp.com.br/.../igepp_-_raciocinio_logico_-_caderno_3.doc · Web viewObs.: problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos com o Princípio Fundamental da Contagem

RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo

CADERNO 3

1) ANÁLISE COMBINATÓRIA: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM, COMBINAÇÕES, ARRANJOS E PERMUTAÇÕES

1. Introdução

A Análise Combinatória nos ensina como contar a quantidade de agrupamentos feitos com os elementos de um conjunto.

Os agrupamentos podem diferenciar pela quantidade, ordem e pela natureza, e os elementos do agrupamento podem ser distintos ou repetidos.

2. Princípio fundamental da contagem (PFC)

Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de maneiras de realizar a ação, isto é, a primeira e a segunda etapa é m.n.

3. Princípio aditivo

Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de maneiras de realizar a primeira ou a segunda etapa é .

Repare a diferença:

Exemplos:

E.1) Se você tem quatro camisas e seis calças diferentes, então terá maneiras distintas de trajar-se, usando camisa e calça.

E.2) Se você tem quatro pares de sapatos e seis pares de tênis diferentes, então terá maneiras distintas de calçar-se, usando sapato ou tênis.

4. Arranjo Simples

São agrupamentos de elementos distintos que diferem entre si pela ordem ou pela natureza.

Representação:lê-se arranjo simples de n elementos p a p

Obs.: problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos com o Princípio Fundamental da Contagem.5. Permutações

São agrupamentos realizados com todos os elementos do conjunto. Se os elementos são distintos, então chamamos Permutação Simples, se existirem elementos repetidos no conjunto, então chamamos Permutação de Elementos Repetidos. Representação:

5.1. Permutações Simples

lê-se permutação de n elementos

Obs.: As permutações simples são casos particulares de arranjos simples quando n p, daí o

número de permutações simples de n elementos é

dado por .

5.2. Permutações de Elementos Repetidos

lê-se permutação de n elementos com a elementos iguais, b elementos iguais e c elementos iguais.

6. Combinação Simples

São agrupamentos de elementos distintos que diferem entre si pela natureza.

Representação:

lê-se combinação simples de n elementos p a p

Observação: É Arranjo ou Combinação?

___________________________________________________________________________________________________________________________Profs. Antônio Geraldo e José Carlos 1


Quando estamos resolvendo problema de análise combinatória devemos reconhecer quando envolve arranjos ou combinações. Vamos usar os seguintes passos:

a) escolher um agrupamento qualquer que satisfaça as condições do problema;

b) trocar as posições dos elementos desse agrupamento escolhido. Se o novo agrupamento for uma nova solução do problema, ou seja, se a ordem for importante, então trata-se de ARRANJO, caso contrário, trata-se de COMBINAÇÃO.

Exemplos:

E.1) Encontre todos os arranjos distintos dos objetos , e tomados 2 a 2.

Resolução:

Os arranjos de , , tomados 2 a 2 são:(, ), (, ), (, ), (, ), (, ) e (, ). Note que (, ) e (, ) diferem pela ordem de seus elementos, enquanto (, ) e (, ) diferem pela natureza de seus elementos. Está aí o porquê de dizermos que dois arranjos diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos.

E.2) Encontre todas as combinações distintas dos objetos , e tomados 2 a 2.

Resolução:

As combinações de , , tomados 2 a 2 são:

{, }, {, }, {, }. Note que cada combinação difere apenas pela natureza e nunca pela ordem de seus elementos.

E.3) Encontre todos os arranjos distintos dos objetos , e tomados 3 a 3.

Resolução:

Os arranjos de , , tomados 3 a 3 são:(, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ). Note que (, , ) e (, , ) diferem tão apenas pela ordem e nunca pela natureza de seus elementos.

Note ainda que o arranjo dos três objetos acima nada mais é que a permutação dos mesmos.

ILUSTRANDO A TEORIA

1. Calcular:

a)

Resolução: .

b)

Resolução:

c)

Resolução: .

2. De quantas maneiras diferentes se pode dispor as letras da palavra PERNAMBUCO?

Resolução:

Calcular o número de maneiras diferentes que se pode dispor as letras da referida palavra é o mesmo que calcular todos os anagramas dessa palavra. Nesse caso, há 10 letras distintas a serem trocadas (permutadas), e, portanto o número de anagramas será:

.

3. Com relação à questão anterior,

a) quantos anagramas iniciam pela letra E?

Resolução:

Ao se fixar a letra E, restam 9 letras distintas e livres para permutarem:

b) quantos anagramas iniciam por O e terminam por B?



Resolução:

Ao se fixar as letras O e B, restam 8 letras distintas e livres para permutarem:

c) quantos anagramas terminam pelas letras NAMB, em qualquer ordem?

Resolução:

Ao se fixar a terminação NAMB, restam 6 letras distintas e livres para permutarem. Ao se dizer que as letras da terminação NAMB estão em qualquer ordem, infere-se que essas estão livres para permutarem entre si:

d) quantos anagramas apresentam as letras PERN juntas, em qualquer ordem?

Resolução:

Ao se formar o bloco PERN, infere-se que esse pode estar no início, no fim, no meio, enfim, em qualquer posição, ou seja, que o bloco pode permutar com as outras 6 letras que restam (totalizando 7 elementos diferentes para permutarem). Ao se dizer que as letras da terminação PERN estão em qualquer ordem, infere-se que essas estão livres para permutarem entre si:

4. Quantos anagramas apresenta a palavra MATEMATICA?

Resolução:

Neste caso, não se pode empregar a fórmula de permutação simples, já que aparece, nessa palavra, letras repetidas (2 M’s, 3 A’s e 2 T’s). Deve-se, assim, usar a fórmula de permutação com repetição:

5. Em um tabuleiro quadrado, de 5x5, mostrado na figura a seguir, deseja-se ir do quadrado

esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI).

ES

DI

Somente são permitidos os movimentos horizontal (H) e vertical (V)

(H) (V)

Calcule o número de percursos possíveis.

Resolução:

Em questões desse tipo, observa-se no mapa o ponto de partida (ES) e o ponto de chegada (DI). Traça-se um caminho qualquer partindo de ES e chegando em DI. "Traduz" esse caminho para uma palavra (cada movimento horizontal, traduz para H e cada movimento vertical, traduz para V). Observa-se que cada anagrama dessa palavra é um caminho diferente, e, portanto, o total de caminhos diferentes é o total de anagramas dessa palavra. Nessa questão um possível caminho (ou palavra) é HHHHVVVV. O número de percursos possíveis será dado por:

6. Quantos números com 3 algarismos distintos, podemos formar, empregando, os caracteres 1, 3, 5, 6, 8, 9?

Resolução:

Cada número conterá três algarismos distintos e a ordem dos mesmos conduzirá a números distintos. Ou seja, esse é um problema de arranjo. Assim,

EXERCICIOS DE SALA



1. Calcular:

a)

b)

c)

d)

2. Observe:

O número de ligações distintas entre X e Z é:a) 39 b) 41 c) 35 d) 45

3. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.

Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus para ir de sua casa até o terminal de ônibus no centro da cidade e, a partir daí, ele dispõe de 5 linhas de ônibus para chegar ao seu local de trabalho. Nessa situação, considerando-se que o trabalhador possua as mesmas opções para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de ida e volta ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus — de sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do trabalho ao centro e do centro de volta para casa —, então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 escolhas distintas para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho.

4. (CESPE) Para ir de um acampamento A para um acampamento B, um escoteiro dispõe de 4 trilhas diferentes, enquanto que, para ir de B ao acampamento C

existem 6 trilhas distintas (qualquer trajeto de A até C, ou vice-versa, necessariamente passa por B. Com base nisto, julgue os itens abaixo.

1. Se um escoteiro pretende ir de A até C e voltar a A sem utilizar, no percurso de volta, qualquer trecho do trajeto utilizado na ida, então ele dispõe de 360 maneiras distintas de fazer esse percurso.

2. Se o escoteiro deseja fazer de ida e de volta de A a C, podendo repetir na volta a mesma trilha entre B e C usada na ida, mas não a trilha para ir de A a B, então o número possível de tais trajetos é 576.

3. Admitindo que as trilhas de B a C estejam numeradas de 1 a 6 e que o escoteiro pretende fazer o percurso de A até C e voltar até B, sem repetir na volta a paridade da trilha de B a C usada na ida, então o número de trajetos é 72.

5. Com base nos princípios de contagem, responda:

1. Quantos são os números com 3 algarismos diferentes que poderemos formar, empregando os caracteres {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

2. Quantos números naturais de 3 algarismos existem, no total, no sistema decimal de numeração?

3. Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem, no total, no sistema decimal de numeração?

6. Na cidade de Brasília (DF) os telefones são identificados por um número constituído de oito algarismos. Os quatro primeiros algarismos constituem um número denominado prefixo. Na região próxima a este curso o prefixo é 3231. Nessa região:

O número máximo possível de telefones é igual a .

O número máximo de telefones que terminam por um algarismo par é 3600.

O número máximo de telefones que, exceto o prefixo, têm todos os algarismos distintos é 5040.

É possível ter 1680 telefones que não possuem o algarismo zero.

É possível ter 1000 (mil) telefones que, exceto o prefixo, têm o número com o primeiro algarismo igual a 2 e o último algarismo par.

7. Os ramais de telefone em uma repartição têm 4 dígitos, formatados com os algarismos 0, 1, ..., 9. Se esses números possuem pelo menos um dígito repetido, então a quantidade



de números de ramais que é possível formar é superior a 4.000.

8. Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a

A) 26³ × 10 × 9 × 8.B) 26³ × 10³.C) 26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8.D) 26 × 25 × 24 × 10³.

9. Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.

1. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000.

2. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.

3. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.

10. Considera-se um conjunto de 4 rapazes e 7 moças. Responda:

a) Quantas comissões de 4 elementos podem ser formadas?

b) Quantas destas comissões conterão 2 rapazes e 2 moças?

11. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. O número de comissões em que participa o aluno X e não participa a aluna Y é:

a) 1260b) 2100c) 840

d) 504e) 336

12. Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.

1. Se essa equipe for formada com a restrição de não ter empregado de nível superior, então essa equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas.

2. Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 40 maneiras distintas.

3. Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.

13. (CESPE)

Dentro da estrutura organizacional do TCU, o colegiado mais importante é o Plenário, que é composto por 9 ministros, 2 auditores e 7 procuradores. A ele, seguem-se as 1ª , e 2ª ,Câmaras, compostas, respectivamente , por 3 ministros, 1 auditor e 1 procurador, escolhidos entre os membros que compõe o Plenário do TCU, sendo que as duas câmaras não tem membros em comum. Considerando que, para a composição das duas câmaras, todos os ministros, auditores e procuradores que compõem o Plenário possam ser escolhidos,e que a escolha seja feita de maneira aleatória, julgue os itens seguintes.

1. O número de escolhas diferentes de auditores e procuradores para a formação da 1ª Câmara é igual a 9.

2. Considere que, para a formação das duas Câmaras, inicialmente são escolhidos os três ministros que



comporão a 1ª Câmara e, em seguida, os três ministros que comporão a 2ª Câmara. Nessa situação, o número de escolhas diferentes de ministros para a formação das duas câmaras é superior a 1.600.

3. Uma vez que a 1ª Câmara já tenha sido formada, o número de escolhas diferentes de ministros, auditores e procuradores, para a formação da 2ª Câmara, será inferior a 130.

14. Considere a palavra VESTIBULAR

a) quantos anagramas podem ser formados?b) quantos anagramas iniciam pela letra E?c) quantos anagramas terminam por R?d) quantos anagramas iniciam por T e terminam por B?e) quantos anagramas começam pelas letras ATB, nessa

ordem?f) quantos anagramas terminam pelas letras BAR, em

qualquer ordem?g) quantos anagramas apresentam as letras LAR, juntas

nessa ordem?h) quantos anagramas apresentam as letras EST juntas,

em qualquer ordem?

15. (CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes.

O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a .

O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a .

O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a .

O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a .

16. Quantos anagramas apresenta a palavra MATEMATICA?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nas questões de 1 a 4 calcule o que se pede.



1. (UFPA) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L?

a) 24b) 120c) 720d) 240e) 1.440

2. Quantas são as permutações distintas das letras da palavra ARARUTA?

3. Encontrar o número de números diferentes que obteremos permutando os algarismos do número 2.718.281.828.

4. Quantos números diferentes acharemos, permutando de todos os modos possíveis, os algarismos do número 37.774.373?

5. Quantos números com 5 algarismos poderemos formar empregando os algarismos ímpares 1, 3, 5, 7 e 9? Em quantos aparecem os algarismos 5 e 7 juntos? Em quantos deles comparece o agrupamento 357, nessa ordem?

6. De quantos modos podemos sentar-se 6 pessoas em linha, admitindo-se que dois indivíduos A e B estejam sempre juntos?

7. Num determinado setor de um hospital trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?

a) 210b) 1.050c) 5.050d) 10.080e) 25.200

8. (VUNESP) Um certo número de garrafas distinguíveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as maneiras possíveis. O número desses arranjos foi 120. Então, o número de garrafas era:

a) 12b) 10c) 6d) 5e) 4

9. (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:

a) 24b) 48c) 96d) 120e) 144

10. (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é:

a) 10b) 24c) 30d) 60e) 120

11. Dadas as letras A, B, C, p, q e r determinar o número de permutações das mesmas que:

a) começam por maiúscula;b) começam e finalizam por maiúscula.

12. (FGV) Um viajante, partindo da cidade A, deve chegar à cidade D, passando obrigatoriamente pelas cidades B e C.Para viajar de A e B existem 3 meios de transporte: avião, navio e trem; de B para C, 2 meios; táxi e ônibus; e de C para D, 3 meios: carroça, moto e bicicleta.Quantas maneiras diferentes existem para viajar de A para D?

a) 8b) 3c) mais de 15d) menos de 10e) n.r.a

13. (PUC) Com os algarismos do sistema decimal formam-se todos os números de 4 algarismos distintos, sendo que “x” deles possuem um algarismo ímpar na ordem das centenas. O Valor de “x” é:

a) 336b) 567c) 2.240d) 3.335e) 3.40314. (UFRN) A quantidade de números pares de 5

algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:

a) 720___________________________________________________________________________________________________________________________Profs. Antônio Geraldo e José Carlos 7


b) 1.440c) 2.160d) 2.880e) 3.600

15. (MACK) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, e sem repeti-los, podemos formar:

a) 1.080 números pares;b) 2.160 números pares;c) 2.520 números pares;d) 5.040 números pares;e) 360 números pares.

16. Um grupo de 10 pessoas revolve jogar na MEGA SENA, formando todos os cartões possíveis, cada um com seis dezenas, usando 10 dezenas distintas, previamente escolhidas pelos mesmos. Depois de efetuado o jogo, dividiu-se o número de cartões igualmente pelo jogadores. Quantos cartões coube a cada um deles?

17. De quantas formas diversas podemos escolher um romance, uma revista e um jornal entre 7 romances, 5 revistas e 10 jornais?

18. (FGV) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

a) 120b) 144c) 14d) 60e) 12

19. (CESPE) Uma pessoa faz uma relação de nomes de 9 pessoas amigas. De quantas maneiras distintas ela poderá convidar 5 dessas pessoas, sabendo que na relação há um único casal inseparável?

20. (PUC) O número de anagramas da palavra ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética é:

a) 20b) 30c) 60d) 80e) 100

21. (FGV) As placas de automóveis constam de duas letras e quatro algarismos. O número de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 é:

a) 2.412b) 2.304c) 144d) 216e) 1.536

22. (CESPE) Em uma empresa existem 9 diretores, sendo 3 desses de uma mesma família. Quantas comissões de 3 diretores podem ser formadas contendo cada uma, no máximo, 2 diretores da mesma família?

23. (CESPE) Sete pessoas trabalham num setor de uma fábrica que funciona em três turnos diários. No primeiro turno trabalham 2 pessoas, no segundo trabalham 2 e no terceiro 3. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer a escala do dia, sabendo-se que as duas únicas mulheres da equipe não podem trabalhar no terceiro turno.

24. (CESPE) Ao final de uma festa, ocorrem 28 apertos de mão para as despedidas. Considere que cada participante despediu-se de todos os demais. Calcule o número de pessoas que estavam presentes.

25. (FAG) Com base nos princípios de contagem e lógicos, julgue os itens que se seguem.

1. Uma proposição composta por 2 variáveis proposicionais simples apresenta uma tabela-verdade com 4 linhas.

2. O número de valorações possíveis para é inferior a 9.

3. O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.

GABARITO

1. a2. 4203. 12.600



4. 2805. 120, 48 e 66. 2407. b8. c9. b10. c11. 360 e 14412. c13. c14. b15. a16. 2117. 35018. a19. 5620. a21. b22. 8323. 6024. 825. CCC

GABARITO COMENTADO

01.São 6 letras distintas e duas destas estão presas em certas posições, então sobram 4 letras livres para trocarem (permutação simples)

Letra A

02.ARARUTA

03.O raciocínio dessa questão é idêntico ao de se perguntar: Quantos anagramas tem a palavra ARARA? Só que nesta questão ao invés de letras na composição da palavra, temos algarismos na composição do número. E como os elementos (algarismos) repetem, trata-se de uma permutação com repetição:

04. 37.774.373 (mesmo raciocínio da anterior)

05.Observe que são pedidas 3 coisas:(1ª Parte) Cada troca entre algarismos na composição do número, forma-se um novo número. Como é pedido o total de números, então tem de se fazer o total de trocas (permutações):

(2ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra (f). Entende-se 5 e 7 como um único algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, então, 4 algarismos para permutar (permutação externa). Lembrando também que eles podem trocar entre si (permutação interna).

(3ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra (e). Entende-se 3, 5 e 7 como um único algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, então, 3 algarismos para permutar (permutação externa). Nesse caso esses 3 algarismos não podem trocar entre si, pela restrição do problema, já que eles devem ficar nessa ordem.

06.São 6 pessoas, mas como A e B devem ficar juntos, imagina-se que AB ocupa apenas um lugar, ficando, então, uma permutação de 5 elementos (permutação externa). Observe ainda que se A e B trocarem entre si, muda-se a composição da fila (permutação interna)

07.Precisa-se escolher 1 médico, dentre 5; e 4 enfermeiros dentre 10

Letra B08.

Testando as alternativas, temos:___________________________________________________________________________________________________________________________Profs. Antônio Geraldo e José Carlos 9


a) b) c) (funcionou!)

Letra C

09.Nesse caso vale a pena montar aquele esquema, sempre lembrando de começar o preenchimento pela(s) restrição(ões):

Restrições vogal vogal

Total de opções 2 4 3 2 1 1 = 48

Letra B

10.A sigla é, então, formada pelas letras: , portanto o total de siglas diferentes é

igual ao total de possíveis trocas (permutação com elementos repetidos):

Letra C

11.a) Restrição: Começar por maiúscula.

Restrição A,B,C

Total de opções 3 5 4 3 2 1 = 360

b) Restrição: Começar e terminar por maiúscula.

Restrição A,B,C A,B,C

Total de opções

3 4 3 2 1 2 = 144

12. A B C D

Letra C

13.Formar números de 4 algarismos distintos, escolhidos do sistema decimal

e com a restrição de o algarismo das centenas ser ímpar:

Restrições 0 não Ímpar

Total de opções 8 5 8 7 = 2.240

Obs. O primeiro algarismo nunca pode ser 0.

Letra C

14.Formar números pares de 5 algarismos distintos, escolhidos do conjunto . Restrição: terminar com algarismo par (para o numero ser par)

Restrições par

Total de opções 6 5 4 3 4 = 1.440

Letra B

15.Formar números pares (observar as alternativas) de 5 algarismos distintos, escolhidos do conjunto

. Restrição: terminar com algarismo par (para o numero ser par)

Restrições par

Total de opções 6 5 4 3 3 = 1.080

Letra A

16.Das 10 dezenas, escolhem-se 6 para montar um cartão da mega-sena, então o total de diferentes cartões é dado por:

Como há 10 pessoas para dividirem os 210 cartões, então sobram-se 21 cartões para cada pessoa.

17.Dos 7 romances, escolhe-se um e das 5 revistas, escolhe-se uma e dos 10 jornais, escolhe-se uma:

18.Das 2 saladas, escolhe-se uma e dos 4 tipos de carne, escolhe-se um e das 5 bebidas, escolhe-se uma e das 3 sobremesas, escolhe-se uma:

Letra A

19.Tem-se 9 pessoas, 2 inseparáveis e 7 outras que não têm restrição. Como o referido casal é inseparável, então ou o casal é convidado (das 5



pessoas convidadas, sobram-se 3 vagas, disputadas entre as 7 pessoas), ou o casal não é convidado (as 5 vagas são disputadas entre as 7 pessoas).

20.Anagramas da palavra ALUNO com as vogais em ordem alfabética. Uma vez que essa ordem for estabelecida elas (as vogais) não podem trocar entre si. Entenda, não é que as vogais não possam permutar, mas é que elas não podem trocar entre si. É como se fosse pedido para calcular os anagramas da palavra ALANA, pois nesse caso, trata-se de uma permutação com repetição da letra A, uma vez que mesmo que esses A’s troquem entre si a palavra continua a mesma, ou seja, para calcular esse anagrama de 5 letras, calcula-se 5! e divide o resultado por 3!, originando a formula que já se conhece para permutação com repetição:

A divisão por 3! deve ser entendida como uma correção que se faz, pois àqueles A’s não podem trocar entre si (da mesma maneira que àquelas vogais não podiam trocar entre si), uma vez que essa troca não altera o anagrama.

Letra A21.Note que é um problema de arranjo, pois ao se

mudar a ordem das letras ou números, muda-se a placa do carro. Note também que se pode repetir os elementos. Observe o esquema:

P, Q, R 0, 1, 7, 8

Total de opções 3 3 4 4 4 4 = 2.304

Letra B

22.Tem-se 9 diretores, sendo 3 de uma família A e 6 outros. Quer-se montar comissões de 3 diretores com, no máximo, 2 diretores da família A, isto é, dos 3 escolhidos, pode-se 2 ser da família A ou 1 ser da família A ou não ter diretor da família A, observe:

23.Das 7 pessoas, 5 são homens e 2 são mulheres. Temos 3 turnos de trabalho (com 2 pessoas trabalhando no 1º turno; 2 no 2º e 3 no 3º) e no 3º as mulheres não podem trabalhar.Iniciemos o trabalho montando a equipe para o 3º turno (dos 5 homens, escolhem-se 3 para esse turno), pois é o único que tem restrição, e depois para o 2º (dos 4 funcionários, 2 mulheres e os 2 homens não escolhidos, escolhem-se 3 para esse turno) e para o 1º (dos 2 funcionários restantes, escolhem-se 2 para esse turno). Observe:

24.Cada aperto de mão é dado entre duas pessoas, ou seja, escolhe-se duas pessoas da festa e elas se cumprimentam. Como na festa há n pessoas e todos os apertos de mãos possíveis são dados totalizando 28, faz-se o seguinte:


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PORCENTAGEMigepp.com.br/.../igepp_-_raciocinio_logico_-_caderno_3.doc · Web viewObs.: problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos com o Princípio Fundamental da Contagem