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1. MONÔMIOS
Assim, as expressões algébricas 3m, a2, 15xy, 6y, nx são monômios.
Geralmente, um monômio é formado por duas partes:
• um número, que é chamado coeficiente numérico do monômio;
• uma variável, ou uma multiplicação de variáveis (inclusive seus expoentes), que
é denominada parte literal. Exemplo 1: No monômio 5x2y3, o coeficiente numérico é 5 e a parte literal é x2y3. Exemplo 2: Os monômios 5x2y3 e 7x2y3 são semelhantes, pois têm a mesma parte literal.
Exemplo 3: 5x2y3 + 7x2y3 = (5 + 7) x2y3 = 12 x2y3.
MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS Considere a multiplicação do monômio x4 pelo monômio x3:
x4.x3 = (x.x.x.x).(x.x.x) = x7.
x4.x3 = x4+3 = x7. Essa propriedade é a base para qualquer multiplicação de monômios.
Exemplo 4: (6x2y3).(7x4y5) = (6.7).(x2.x4).(y3.y5) = 42 x6y8.
MONÔMIOS ou TERMOS ALGÉBRICOS são expressões algébricas que apresentam apenas um número, apenas uma variável, ou multiplicações entre números e variáveis.
Monômios que têm a mesma parte literal são chamados de MONÔMIOS SEMELHANTES.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS: Na adição e subtração de monômios semelhantes, basta somar os coeficientes numéricos e repetir a parte literal.
2
DIVISÃO DE MONÔMIOS Considere a divisão do monômio x5 pelo monômio x2:
x5.x2 = xx
xxxxx.
.... = x.x.x = x3.
x5.x2 = x5–2 = x3. Essa propriedade é a base para qualquer divisão de monômios.
Exemplo 5: (12x5y3z4):(3x3y2z) = z
zyy
xx
312 4
2
3
3
5... = 4 x2yz3.
POTENCIAÇÃO DE MONÔMIOS Considere a potência (2x3y4)3.
(2x3y4)3 = (2x3y4). (2x3y4). (2x3y4) = (2.2.2).(x3. x3. x3).( y4. y4. y4) = 8x9y12.
(2x3y4)3 = 23.(x3) 3 .(y4)3 = 8x9y12.
Exemplo 6: (–2x3y)4 = (–2)4.(x3)4.(y)4 = 16 x12y4. Exercícios. 1) Dados os monômios seguintes, identifique o coeficiente numérico e a parte literal em
cada um deles: a) 7x4 b) – 5a2bc3
c) ay6 d) –94 m3 e) – b3y6
f) 2,7a4c5
2) Escreva na forma mais simples:
a) 7a2 – 10a2 + 6a2 b) 29ax – 33ax + ax
c) ab + 54 ab
d) 2x2y2 – 74 x2y2
e) 6bc – 20bc – 2bc + 9bc f) – 1,7xy + xy – 0,3xy + xy
3) Dada a expressão 9x3y2 + 7x3y2 – 14x3y2 + 2x3y2, pede-se:
a)a forma mais simples de se escrever essa expressão b)o valor numérico da expressão, quando x = –2 e y = –5
4) Qual é a forma mais simples de escrever cada uma das seguintes expressões
literais? a) 2x2y2 + [– 5x2y2 + 2x2y2 – (x2y2
+ 4x2y2 – 2x2y2) – 8x2y2] b) 0,7y – [– 1,1y – (2,5y + 0,9y – 1,8y) + 3,3y]
3
5) Calcule os seguintes produtos: a) 7x6 . 2x4 b) 9a6 . a c) (–3y) . (–13y)
d) (–2b) .
2b51
e) (3,5x2) . (–0,5x7) f) (–4xy) . (–1,7xy)
g)
− 2ab
53 .
22ba
45
h)
−
3ab .
−
8a
i) (1,6ay4) . (–5a6)
j)
3rs
311 .
sr113 2
6) Calcule:
a) (–15a6) : (5a) b) (20x9) : (10x5) c) (32y4) : (-8y)
d)
− 3x
72 :
− 2x
74 e)
− 11b
53 : (3b9)
f) (0,5a8) : (0,05a2) 7) Calcule:
a) (–2ab)2 b) (5x2y) 2 c) (3a3b4)2
d)4
5x21
e)2
2010xa43
−
f)2
2510yx310
−
8) Procura-se um monômio assim: somando-o com 5x3y2 e multiplicando o resultado por –4x2y5, deve-se obter –12x5y7. Qual é o monômio procurado?
POLINÔMIOS
Exemplo 7: Efetue a multiplicação (x + 2).(x + 3).
(x + 2).(x + 3) = x.(x + 3) + 2.(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
Exercícios. 9) Calcule:
a) (x + 10).(x – 8) b) (5 – y).(7 + y) c) (5x + 7).(3x2 + 2x – 4) d) (2y + 1)(3y2 – 2y – 11)
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo (ou monômio) de um deles pelos termos (ou monômios) do outro e reduzindo-se os termos semelhantes (se houver).
4
2. PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS Exemplo 8:
a) (x + 3y)2= x2 + 2.x.(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2. b) (7x + 1)2= c) (a5+2bc)2=
d) 2
43m2
+ =
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Exemplo 9:
1) (7x – 4)2= (7x)2 – 2.(7x).4 + 42 = 49x2 – 56x + 16. 2) (6a – b)2= 3) (x3 – xy)2=
4) 2
h2p51
− =
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(x + y) . (x – y) = x2 – y2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Soma dos termos
Diferença dos termos
Quadrado do 1º termo
Quadrado do 2º termo
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Quadrado da soma de dois termos
Quadrado do 1º termo
Duas vezes o produto do 1º pelo
2º
Quadrado do 2º termo
( x – y)2 = x2 – 2xy + y2
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo.
Quadrado da diferença de dois termos
Quadrado do 1º termo
Duas vezes o produto do 1º
pelo 2º
Quadrado do 2º termo
5
Exemplo 10: 1) (3a + x) . (3a – x)= (3a)2 – (x)2 = 9a2 – x2. 2) (x2 + 5p) . (x2 – 5p)= 3) (10 – ab4) . (10 + ab4)=
4)
+ c
53b3 .
− c
53b3 =
Exercícios. 10) Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule:
a) (2x + 7)2 b) (9x + 1) . (9x – 1) c) (a2 - xy)2
d)2
y61x3
−
e) (2x2 + 3xy)2
f)
+1yx
41 2 .
−1yx
41 2
g) (x3y – xy3)2 h) (3y – 5)2 i) (5 + 8b)2 j) (ab + a2) . (ab – a2)
l)
− 23 a
21b .
+ 23 a
21b
m) (10x2 – ab)2 n) (2a3 + 3a)2 o) (a4x2 + a2x4) . (a4x2 – a2x4)
p) 2
61x6
+
q) 22
8
6yx3
−
r)
+
−
53x2.
53x2 22
6
3. FATORAÇÃO Diferença de Quadrados Considere o polinômio x2 – y2. Nos produtos notáveis, vimos que essa
diferença de quadrados é o resultado de (x + y).(x – y). Portanto,
x2 – y2 = (x + y).(x – y).
Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima.
Exemplo 11: Fatorar x2 – 25. Como 25 = 52, x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).
Trinômio Quadrado Perfeito O polinômio x2 +2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio
porque tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de
(x + y), ou seja, é o resultado de (x + y)2. Outro trinômio quadrado perfeito é
x2 – 2xy + y2, que é o resultado de (x – y)2. Assim, temos mais dois polinômios que
sabemos fatorar:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.
Exemplo 12: a) Fatorar x2 + 12x + 36. Neste caso x2 e 36 são quadrados e suas
bases são x e 6 e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim,
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.
b) 9x2 – 12x + 25 é um quadrado perfeito? Ora, 9x2 = (3x)2 e 25 = 52.
Mas, 2.(3x).5 = 30x. Logo, 9x2 – 12x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito.
c) Fatorar x6 – 2x3y + y2. Neste caso, x6 = (x3)2 e y2 = (y)2 e
2.x3.y = 2x3y. Logo, x6 – 2x3y + y2 = (x3 – y)2.
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números.
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do
fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
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Exercícios: 11) Fatorar as seguintes expressões:
a) x2 – 4 b) y2 – 36 c) 9x2 – 16 d) 81x2 – 64 e) y2 – 25x2 f) 4x2 – 25a2 g) x2 + 8x + 16 h) x2 – 8x + 16
i) 4x2 – 20x + 25 j) 9x2 – 12x + 4 k) x2 – 2x + 1 l) 121x2 + 22x + 1 m) 16y2 – x4 n) 25m2 + 20m + 4 o) 25x2 – 3
10 x + 91
12) Observe a fatoração seguinte:
a4 – 1 = (a2 + 1)(a2 – 1) = (a2 + 1)(a + 1)(a – 1) Agora, decomponha num produto de três fatores. a) x4 – 1 b) 81a4 – 1
c) x20 – 81 d) 625 – x4
13) Efetue as divisões seguintes, fatorando o dividendo.
a) 7x
49x14x2
−+−
b) 4x16x2
+−
c) 2
2
)1x5(1x10x25
−+−
d) 3x
9x6x2
+++
14) Simplifique e efetue 1234512345612345123456 22
+− .
Fator Comum
Vamos efetuar essa multiplicação: 3x(y + 3z + 2).
3x(y + 3z + 2) = 3xy + 9xz + 6x.
Agora, queremos fatorar 3xy + 9xz + 6x. Observe que em 3xy + 9xz + 6x, o termo
3x está presente em todos os monômios, isto é,
3xy + 9xz + 6x = (3x)y + (3x).3z + (3x).2,
ou seja,
3xy + 9xz + 6x = 3x.(y + 3z + 2).
Ao fazer isso, dizemos que 3x foi colocado em evidência.
Quando todos os termos de uma expressão algébrica têm um fator
comum, podemos colocá-lo em evidência.
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Exemplo 12: a) Fatorar 6x3 + 8x2. O fator comum é 2x2. Assim, colocando 2x2 em evidência, temos:
6x3 + 8x2= 2x2(3x + 4). b) 14xy – 21xz c) 33xy2 – 44x2y + 22x2y2 d) 4ax2 + 6a2x2 + 4a3x2 Fatorando por Agrupamento Vamos fatorar ax + ay + bx + by. Neste caso, não temos um fator comum a
todas as parcelas. No entanto, a é fator comum às duas primeiras parcelas e b é o
fator comum às duas últimas. Por isso, podemos separar a expressão em dois
grupos e, colocar em evidência o fator comum de cada grupo:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
Agora, cada parcela do 2° membro tem o fator comum (x + y). Colocando (x + y)
em evidência, obtemos:
ax + ay + bx + by =(x + y).(a + b)
Exemplo 13: a) Vamos fatorar x2 – ay + xy – ax.
x2 – ay + xy – ax = x2 + xy – ay – ax = x(x + y) – a(y + x) = (x + y)(x – a)
b) y3 – 5y2 + y – 5 c) 2x + ay + 2y + ax d) y3 – 3y2 + 4y – 12 e) ax2 – bx2 + 3a – 3b Colocando o fator comum em evidência, fatorar cada um dos seguintes
polinômios: a) 6x2 + 6y2 b) a3 + 3a2b c) 4x2 – x3 d) 15ab + 10bc e) y2 – xy + 2y f) x9 + x6 – x4
g) 35a4m3 + 14a3m4 h) 2a2 – 20a + 50 i) x2y + y3
j) 2
a2
a2a 32
++
Fatoração por Agrupamento Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento
• formamos grupos com os termos da expressão; • em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência; • colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).
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l) 22 ab21ba
41ab
81
−+
m) 22 xy45yx
43
+
n) 120ay3 + 200ay2 – 40ay o) 18mn + 30m2n + 54mn2
Exercícios: 15) Fatorar os seguintes polinômios:
a) cy – y + cx – x b) 15 + 5x + 6a + 2ax c) 2x2 – x + 4xy – 2y d) am + m + a +1 e) x3 + xy2 + ax2 + ay2 f) a3x + a3y – a2x – a2y g) y12 – y8 + y4 – 1 h) a3 + 10a2 + 2a + 20 i) a2b + b – 9a2 – 9 j) 6an + n + 12a + 2
k) 3x – 3 + 2a
2ax
− l) pn41p
41mn
52m
52
+++
16) Fatorar x3 – ax2 – 3bx + 3ab.
x3 – ax2 – 3bx + 3ab = x2(x – a) + 3b(a – x) Observe que a expressão (a – x) é a oposta de (x – a), isto é, a – x = – (x – a). Então:
x2(x – a) + 3b(a – x) = x2(x – a) – 3b(x – a) = (x – a)(x2 – 3b) 17) Fatorar:
a) ax + ay – bx – by b) ax – 4a + 6x - 24 c) x2 – bx – 2ax + 2ab d) a2y – a3 + 3ab – 3by
18) Simplificar as seguintes expressões:
a) 4x
4x4xx2
23
−−−+ b)
4x4x)2x(y3)2x(5
2
22
+++−+
19) Vamos ver outro caso de fatoração. Primeiro observe:
(x + 2)(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10
Então para fatorar x2 + 7x + 10 procuramos dois números de soma 7 e produto 10.
Por tentativas, vemos que esses números são 2 e 5. Portanto,
x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
Agora, vamos fatorar:
a) x2 + 8x + 12 d) x2 + 11x + 30 b) x2 + 12x + 20 e) x2 + 13x + 12 c) x2 – 7x + 10 f) x2 – x – 6
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4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA As equações da forma ax = b, com a, b ε ℜ e a ≠ 0 são chamadas de forma reduzida das equações do 1° grau na incógnita x. Resolver uma equação significa determinar os valores de x que a tornam verdadeira. Exemplo 1: Resolver as seguintes equações do 1° grau.
a) 3x + 20 = 5x
b) 2(3x – 1) + 5x = 0
c) 2(2x – 1) – 3(1 – 5x) = 33
d) 4
3y32
5y3y2 −
=+
−
e) 2x41x
x23
x61 −
=+ (x ≠ 0)
f) 3t
23t
19t
52 −
++
=−
, (t ≠ 3) e (t ≠ -3)
g) Uma indústria produziu uma certa quantidade de determinado aparelho eletrônico. Vendeu 50% da produção par uma loja A, 30% para uma loja B e 1000 aparelhos para uma loja C. Tendo vendido toda a produção, quantos aparelhos essa fábrica produziu? Exercícios. 1) No conjunto R, determine o conjunto solução de cada uma das seguintes
equações:
a) 4x – 5 + 3x – 2x = 9 – 2x
b) 6 – (3x – 3) – [2 – (-4x – 1)] = -(-3x + 2)
c) 11(2x – 3) – 4(3x – 2) = 4(-2x +1) + 7
d) 6 – 2(3x – 3) = 2(2x + 5) – 4(3x –1)
e) 151x
31
301x
51x
151
−=−+
f) y31
412y
61
−=+−
g) 3
1x27
43x −
+=+
h) 4
x1512
101x2 +
−=−−
i)
+=−
−
41x
31x
21
31x
21
j)
+=−+−
−
31x
23)6x3(
31x
31x
23
k) 2t3
3tt2
+=−
, (t ≠ 3) e (t ≠ 0)
m)4x1x
2x3
2xx
2
2
−+
=+
+−
,(x ≠ 2) e (x ≠-2)
n) 2
2
x1x3
x1x1
−+
=−+ , (x ≠ 1) e (x ≠ -1)
11
2) a) Seis pessoas foram almoçar e todas pediram o prato do dia. Das seis, apenas quatro pediram sobremesa. Ao todo gastaram R$ 45,00. Sabendo que cada sobremesa custa R$ 2,50 a menos que o prato do dia, qual o preço do prato do dia? b) Num grupo de jovens, 25% têm estatura superior a 1,70m; 45% têm uma estatura entre 1,65m e 1,70m e 12 desses jovens têm estatura inferior a 1,65m. Quantos desses jovens têm uma altura que varia entre 1,65 e 1,70m?
c) Um automóvel, desenvolvendo uma certa velocidade, percorreu 240 km em x horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h a sua velocidade média, teria demorado uma hora a menos, ou seja, (x – 1) horas para percorrer a mesma distância. Qual foi o número x de horas que o automóvel gastou para percorrer os 240 km?
3) Veja este famoso quebra-cabeça hindu do século VII. “Um colar rompeu-se quando brincavam dois namorados. Uma fileira de pérolas escapou. A sexta parte ao solo caiu. A quinta parte na cama ficou. Um terço pela jovem se salvou. A décima parte o namorado recolheu. E com seis pérolas o colar ficou. Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados”.
12
5. INEQUAÇÃO DO 1° GRAU Observe a seguinte situação: os conteúdos dos pratos não têm o mesmo peso, pois a balança pende para a esquerda. Retirando, dos dois pratos 1 kg e dois cilindros, o prato da esquerda continuará suportando mais peso que o outro. Com isso pode-se concluir que as duas garrafas têm mais de 1 kg, ou seja, que cada garrafa tem mais de ½ kg. Exemplo 2: A situação apresentada, considerando que cada garrafa tenha x
quilogramas e o fato da balança pender para a esquerda, pode ser escrita assim:
5x + 1 > 3x + 2.
Essa sentença não é uma equação, pois tem o sinal >, em vez de =. Ela é uma
inequação ou desigualdade. Resolver uma inequação é encontrar todos os números
racionais que são suas soluções. Agora será resolvida a inequação:
5x + 1 > 3x + 2
5x + 1 – 3x > 3x + 2. – 3x
2x + 1 > 2
2x + 1 – 1 > 2 – 1
2x > 1
x > 21 .
A última sentença mostra que as soluções de 5x + 1 > 3x + 2 são todos os
números reais maiores que 21 , e a solução é S = {x ε ℜ| x >
21 }.
1 1
1
1
13
Exercícios.
1) x + 2 < 10
2) x – 2 < 10
3) x + 2 < –10
4) x – 2 < –10
5) 2x > 10
6) 2x > –10
7) –2x > 10
8) –2x > –10
9) 2x – 15 < 0
10) 3x – 7 ≥ x – 5
11) 13 – x > 4 – 2x
12) –1 + 5x ≥ 7x + 21
13) 4 – 3(2x + 1) ≤ –7x + 16
14) 5(x – 4) > –4 + (3x – 8)
15) 7(2x – 4) ≥ –5(1 – 2x) – 3
16) 16x5
42x3
>−+
17) x – 2 ≥ 3
3x −
18) Somando um número racional com 3, pode-se obter um resultado maior que o da
multiplicação do mesmo número racional por 3. Quando é que isso acontece? 19) Subtraindo 4 de um número racional pode-se obter um resultado maior que o da
multiplicação do mesmo número racional por 4. Quando é que isso acontece?
20) Um espião enviou ao comando de sua missão uma mensagem secreta, indicando o número de mísseis do inimigo. A mensagem era:
Descubra quantos mísseis tem o inimigo.
Inequações são sentenças que têm ao menos uma incógnita, representada por uma letra, e um destes sinais:
> (maior), < (menor), ≥ (maior ou igual) ou ≤ (menor ou igual).
5m + 24 > 5 500
5m8− + 700 > 42 – m
14
6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema
=−=+
35yx81yx
.
Resolução:
1° passo: Isolar uma incógnita. Vamos isolar a incógnita x na primeira equação. (você pode escolher qualquer
equação e isolar qualquer incógnita)
x + y = 81 ⇒ x = 81 – y
2° passo: Substituir a incógnita isolada. Na segunda equação substituímos a incógnita x por 81 – y.
x – y = 35 ⇒ (81 – y) – y = 35
3° passo: Resolver a equação numa só incógnita. Resolvemos a equação obtida:
(81 – y) – y = 35
81 – y – y = 35 ⇒ 81 – 2y = 35 ⇒ – 2y = 35 – 81 ⇒ y = 2
46−− = 23
4 passo: Encontrar o valor da incógnita isolada no início. Ao isolarmos x, vimos que x = 81 – y. Substituindo o valor de y = 3 em x = 81 – y,
obtemos o valor de x:
x = 81 – y ⇒ x = 81 – 23 ⇒ x = 58
A única solução do sistema é S = {(58,23)}.
Exemplo 2: Resolver o sistema
=−=+
6y2x42y3x5
.
Resolução:
Isolando uma incógnita: 3
x52y −= .
Substituindo a incógnita isolada em outra equação:
15
4x – 2y = 6 ⇒ 4x – 2. 3
x52 − = 6 ⇒ 4x – 3
x104 − = 6 ⇒ 12x – 4 + 10x = 18 ⇒
⇒ 22x = 22 ⇒ x = 1.
Calculando a incógnita isolada no início: 3
x52y −= ⇒ y =
31.52 − ⇒ y = –1.
A única solução do sistema é S = {(1, –1)}.
MÉTODO DA ADIÇÃO
Exemplo 3: Resolver o seguinte sistema
=−=+
35yx81yx
.
Resolução: Observe que a primeira equação tem o termo +y e a segunda equação tem o termo simétrico –y. Esse fato permite-nos obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro.
x + y = 81 x – y = 35 2x + 0 = 116
2x + 0 = 116 ⇒ x = 58.
Agora, é só substituir o valor de x numa das equações do sistema:
x + y = 81 ⇒ 58 + y = 81 ⇒ y = 81 – 58 ⇒ y = 23
A única solução do sistema é S = {(58,23)}
Exemplo 4: Resolver o sistema
=−=+
6y2x42y3x5
.
Neste caso, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não há termos
simétricos, nenhuma incógnita desaparece. Mas, podemos obter termos
simétricos. Para isso, basta multiplicar ambos os membros da primeira equação
por 2 e multiplicar ambos os membros da segunda equação por 3.
=−=+
6y2x42y3x5
⇒
=−=+
18y6x124y6x10
Agora temos os termos simétricos +6y e –6y. Por isso, vamos somar as duas equações, membro a membro.
10x + 6y = 4 12x – 6y = 18 22x + 0 = 22
16
22x + 0 = 22 ⇒ x = 1.
Agora, é só substituir o valor de x numa das equações do sistema:
5x + 3y = 2 ⇒ 5.1 + 3y = 2 ⇒ 3y = 2 – 5 ⇒ y = –3/3 ⇒ y = –1.
A única solução do sistema é S = {(1, –1)}
Exercícios. 1) Usando o método algébrico da substituição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações:
a)
=−=+
5yx17yx
b)
−==+
y60x18y5x2
c)
−=−+=
8y3x2x35y
d)
=−
=+
23yx
21y
4x
e)
+=
−=+
)2y(2x10
yx22x
f)
+=
=−−+
2y52x3
0)yx(5)yx(3
2) Usando o método algébrico da adição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações:
a)
=−=+
3yx21yx
b)
=−=+
1y2x513y4x5
c)
=+=−37y2x33y3x2
d)
=+=+
5y2x312y7x5
e)
=−
=+
47
4y
6x
23y
2x
f)
−=−
−
=+−+
22
1y4x
x)2y(3)1x(2
17
7. EQUAÇÕES DO 2º GRAU Uma equação do 2° grau na variável x é toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a ≠ 0. Considere a resolução das seguintes equações do 2° grau:
1) x2 – 7x = 0. x(x – 7) = 0 ⇒ x = 0 ou x – 7 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 7. S = {x ε ℜ| x = 0 ou x = 7}. 2) x2 – 25 = 0.
x2 = 25 ⇒ x = ± 5. S = {x ε ℜ| x = 5 ou x = -5}.
3) x2 – 10x + 25 = 0. (x – 5)2 = 0 ⇒ x = 5. S = {x ε ℜ| x = 5}.
4) x2 – 6x + 5 = 0. x2 – 6x + 5 + 4 = 0 + 4 ⇒ x2 – 6x + 9 = 4 ⇒ (x – 3)2 = 4 ⇒ x – 3 = ± 2 ⇒ x = 5 ou x = 1
S = {x ε ℜ| x = 5 ou x = 1}. 5) 3x2 – 30x + 27 = 0.
x2 – 10x + 9 = 0 ⇒ x2 – 10x + 9 + 16 = 16 ⇒ x2 – 10x + 25 = 16 ⇒ (x – 5)2 = 16 ⇒ x – 5 = ± 4 ⇒ x = 9 ou x = 1. S = {x ε ℜ| x = 9 ou x = 1}.
Agora, considere a equação geral do 2° grau na forma normal
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Dividindo por a, tem-se:
a0
acbxax2=
++
ou:
a0
ac
abx
aax2
=++
ou, ainda:
0acx.
abx2 =++ .
O termo do meio, x.ab , pode ser escrito como 2.x.
a2b . Assim, a equação ficará:
0ac
a2b.x.2x2 =++
Para completar o quadrado, deve ser adicionado 2
a2b
em ambos os lados da
equação. Assim, ela fica:
18
222
a2b
ac
a2b
a2b.x.2x
=+
++
ou, ainda, pode ser escrita como:
ac
a2b
a2b
a2b.x.2x
222 −
=
++
ou,
ac
a2b
a2bx
22
−
=
+
ou,
2
2
2
22
a4ac4b
ac
a4b
a2bx −
=−=
+
ou,
a2ac4b
a2bx
2 −±=+
ou,
a2ac4b
a2bx
2 −±−=
ou,
x = a
c.a.bb2
42 −±−
Exercícios: 1) Resolva as seguintes equações do 2º grau:
a) 2x2 – 1 = 0
b) x2 + x= 0
c) 10x2 – 15x = 0
d) 2x2 – 50 = 0
e) (x – 10)2 = 36
f) (x + 5)2 = 4
g) (2x – 3)2 = 49
h) 3x2 – 27x + 60 = 0
h) (3x + 5)2 = 16
i) (x – 3)2 = –16
j) x2 – 2x – 15 = 0
A fórmula de Bhaskara Na equação do 2° grau, ax2 + bx + c = 0, indica-se b2 – 4ac por ∆. Quando ∆ < 0, a equação não tem soluções reais. Quando ∆ ≥ 0, as soluções são obtidas pela fórmula:
x = a
c.a.bb2
42 −±− .
19
k) 5x2 + 9x + 4 = 0
l) 3x2 + 4x + 1 = 0
m) 4x2 – 6x + 2 = 0
n) x2 – 7x + 12 = 0
o) 7x2 – 14x – 105 = 0
p) 9x2 + 45x + 54 = 0
2) Resolva mais equações do 2° grau:
a) (x + 4)(x – 1) + x2 = 5(x – 1)
b) (3x – 1)2 + (2x – 5)2 = 6(2x2 + 3)
c) (x – 3)(x + 4) – 10 = (1 – x)(x + 2)
d) (x – 2)(x + 3) + (x + 5)2 = 5
e) 9x
31
2x
9x2
+=−
f) 45
8x51
4x2
−=−
g) 85
8x
4x
2xx
22 =−+− h) 2
2x1
1x2
=−
+−
i) 3x
x3−
= x – 2 j) 1x
x31x
11x
x2
2
−
−=
−+
+
3) O número real x somado com o dobro de seu inverso é igual a 3. Escreva na forma normal a equação do 2° grau que se pode formar com os dados desse problema. 4)O número de diagonais de um polígono pode ser obtido pela fórmula d =
23nn )( − . Se d = 5, escreva, na forma normal, a equação do 2° grau na incógnita n
que se pode obter. 5)Dividindo o número 105 por um certo número positivo y, o quociente obtido é exato e supera o número y em 8 unidades. Escreva a equação na forma normal que se pode formar com os dados desse problema. 6)Em um retângulo de área 9 m2, a medida do comprimento é expressa por (x + 2)m enquanto a medida da largura é expressa por (x – 6)m. Nessas condições, escreva na forma normal a equação do 2° grau que se pode formar com esses dados. 7) Um quadrado cuja medida do lado é expressa por (2x – 1)cm tem a mesma área de um retângulo cujos lados medem (x + 2)cm e (x + 3)cm. Nessas condições, escreva, na forma normal, a equação do 2° grau que se pode obter com esses dados.
20
8. INEQUAÇÃO DO 2° GRAU
Chama-se Inequação do 2° grau toda inequação que pode se representada numa das seguintes formas:
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≤ 0
com a, b, c ∈ ℜ e a ≠ 0. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada no estudo da variação de sinal da função do 2° grau, conforme mostram os exemplos resolvidos a seguir. Exemplo 1: Estude a variação de sinal da função f(x) = x2 – 9x + 20.
Para estudar a variação de sinal de uma função é constituindo seu gráfico. Zeros da função f(x) = x2 – 9x + 20
x2 – 9x + 20 = 0
∆ = b2 – 4ac = (–9)2 – 4.1.(20) = 1; x = a
c.a.bb2
42 −±− = 12
19.)( ±−− =
219 ± ;
Logo, x1 = 5 e x2 = 4. Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos de abscissas x1 = 5 e x2 = 4. Gráfico de f
Como o coeficiente de x2 é positivo (a = 1 > 0), a parábola possui a concavidade voltada para cima, e conforme o gráfico.
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5x
y
Exemplo 2: Resolver, em ℜ, a inequação x2 – 2x – 3 > 0. Uma maneira de resolver uma inequação do 2° grau é construindo seu gráfico. Zeros da função f(x) = x2 – 2x – 3
x2 – 2x – 3 = 0
Observando o gráfico pode-se concluir que o sinal da função é: • y > 0 se x < 4 ou x > 5; • y = 0 se x = 4 ou x = 5; • y < 0 se 4 < x < 5.
21
∆ = b2 – 4ac = (–2)2 – 4.1.(–3) = 16; x = a
c.a.bb2
42 −±− = 1.2
16)2( ±−− =
242 ± ;
Logo, x1 = 3 e x2 = –1. Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos de abscissas x1 = 3 e x2 = –1. Gráfico de f
Como o coeficiente de x2 é positivo (a = 1 > 0), a parábola possui a concavidade voltada para cima, conforme o gráfico.
Exemplo 3: Resolver, em ℜ, a inequação x2 – 7x + 6 ≤ 0. Zeros da função f(x) = x2 – 7x + 6
x2 – 7x + 6 = 0
∆ = b2 – 4ac = (–7)2 – 4.1.6 = 25; x = a
c.a.bb2
42 −±− = 1.2
25)7( ±−− = 2
57 ± ;
Logo, x1 = 6 e x2 = 1. Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos de abscissas x1 = 6 e x2 = 1.
Gráfico de f Como o coeficiente de x2 é positivo (a = 1 > 0), a parábola possui a concavidade voltada para cima, conforme o gráfico.
A inequação pede os valores de x para os quais f(x) > 0, ou seja, x2 – 2x – 3 > 0. Essa desigualdade ocorre se, e somente se, x < –1 ou x > 3. Logo, o conjunto solução é: S = {x ∈ ℜ| x < –1 ou x > 3}
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -1 1 3 5
x
y
A inequação pede os valores de x para os quais f(x) ≤ 0, ou seja, x2 – 7x + 6 ≤ 0. Essa desigualdade ocorre se, e somente se, 1 ≤ x ≤ 6. Logo, o conjunto solução é: S = {x ∈ ℜ| 1 ≤ x ≤ 6}
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
0 5 1 0x
y
22
Exemplo 4: Para que valores reais de m a função f(x) = –3x2 + 4x + m é negativa para qualquer x real?
O gráfico da função f é uma parábola com a concavidade voltada para baixo (a = –3 < 0). Para que essa função seja negativa para todo x real, a parábola não pode ter ponto em comum com o eixo Ox. Para que isso ocorra, devemos ter ∆ < 0. ∆ = b2 – 4ac = 42 – 4.( –3).m = 16 + 12m. Impondo que ∆ < 0 , temos:
16 + 12m < 0 ⇒ m < 34
− .
Assim, a função f será negativa para todo
x real se, e somente se: m < 34
− .
Exemplo 5: Resolver, em ℜ, a inequação (2x – 10)(x2 – 5x + 6) > 0. Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f(x) 2x – 10 e g(x) = x2 – 5x + 6, temos: I. f(x) = 2x – 10
Zero de f. 2x – 10 = 0 ⇒ x = 5.
Variação de sinal de f. II. g(x) = x2 – 5x + 6 Zeros de g
x2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 3. Variação de sinal de g
Representando no eixo
real a variação de sinal de f e g, temos:
f(x) = 2x – 10 – – – + g(x) = x2 – 5x + 6 + – + + f(x).g(x) = (2x – 10)(x2 – 5x + 6) – + – +
Obtivemos os sinais na última linha aplicando a regra de sinais para o produto f.g. Como nos interessa que esse produto seja positivo,
(2x – 10)(x2 – 5x + 6) > 0, o conjunto solução é: S = {x ∈ ℜ| 2 < x < 3 ou x > 5}, ou ainda, S = ]2, 3[ ∪ ]5, +∞[.
Exemplo 6: Resolver, em ℜ, a inequação .0x2
6xx2 2≥
++−
Condição de existência: x ≠ 0.
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
0- 2 0 2 4
xy
3
⊝⊕ ⊕ 2
⊕ ⊝
5
2 3 5 x
x
x
23
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções, f(x) = 6xx2 2 ++− e g(x) = 2x, temos:
f(x) = 6xx2 2 ++− – + + – g(x) = 2x – – + +
f(x).g(x) = x2
6xx2 2 ++− + – + –
Devemos ter x2
6xx2 2 ++− ≥ 0; logo o conjunto solução é:
S = {x ∈ ℜ| x ≤ –3/2 ou 0 < x ≤ 2}, ou ainda, S = ] – ∞, –3/2] ∪ ]0, 2[]. Exercícios. 1) Discuta a variação de sinal de cada uma das funções:
a) f(x) = x2 – x + 1/4 d) f(x) = 5x2 – x + 1 b) y = –x2 + 5x – 6 e) y = –x2/3 + x – 4/3 c) y = –3x2 + 2x – 1/3 f) f(x) = x2 – 7x + 10
2) Resolva, em ℜ, as inequações do 2° grau.
a) x2 – 3x – 4 > 0 b) 3x2 – 2x ≤ 0 c) –x2 + x + 12 > 0 d) x2 – 2x + 1 < 0 e) x2 – 6x + 9 ≤ 0 f) x2 – x + 6 > 0
g) 23
− x2 + x – 21 ≥ 0
3) Para que valores de m, com m ∈ ℜ, a função f(x) = 4x2 – 3x + m – 1 é positiva para qualquer x, com x ∈ ℜ? 4) Quantos números inteiros satisfazem a inequação x2 – 10x < –16? 5) Resolva, em ℜ, as inequações:
a) (x2 – 7x + 6)(2x + 4) < 0 f) (x2 – 6x + 8)( –x2 + 8x – 15) ≥ 0
b) 04x2
5x6x2<
−+− g) 0
25x6x5x
2
2≥
+−+−
c) (x2 – 5x)(2x – 4) < 0 h) (x2 – 8x + 7)( x2 – 9) ≥ 0
d) 04x2
6x7x2<
++− i) 0
15x8x8x6x
2
2≥
+−+−
e) x21x6
x5−≥
− j) x42
x2
+≥
6) Determine o domínio da função f(x) = 9xx6x
2
2
+− .
-3/2 0 2 x
