000756073.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tobias Bezzi Cardoso

DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS FLETIDOS EM CONCRETO ARMADO COM ABERTURAS: MTODO

EMPRICO VERSUS MTODO DAS BIELAS E TIRANTES

Porto Alegre junho 2010

TOBIAS BEZZI CARDOSO



Trabalho de Diplomao apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obteno do

ttulo de Engenheiro Civil

Orientador: Alexandre Rodrigues Pacheco

Porto Alegre junho 2010

TOBIAS BEZZI CARDOSO



Este Trabalho de Diplomao foi julgado adequado como pr-requisito para a obteno do ttulo de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo Professor Orientador e

pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomao Engenharia Civil II (ENG01040) da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Porto Alegre, 15 de julho de 2010

Prof. Alexandre Rodrigues Pacheco Ph. D. pela The Pennsylvania State University, EUA

Orientador

Profa. Carin Maria Schmitt Coordenadora

BANCA EXAMINADORA

Prof. Alexandre Rodrigues Pacheco (UFRGS) Ph. D. pela The Pennsylvania State University, EUA

Prof. Amrico Campos Filho (UFRGS) Dr. pela Universidade de So Paulo (USP)

Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS) Dr. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)

Dedico este trabalho a meus pais, Odilon Renato Cardoso e Maria Helena Cardoso, que sempre me apoiaram,

especialmente durante o perodo do meu curso de graduao, quando estiveram constantemente ao meu lado

AGRADECIMENTOS

Agradeo ao Prof. Alexandre Rodrigues Pacheco, orientador deste trabalho, pela ateno, dedicao, ensinamento, disponibilidade e ajuda oferecida durante todo o perodo de realizao do trabalho.

Agradeo Profa. Carin Maria Schmitt, pela ateno, aprendizado e disponibilidade no acompanhamento de todas as etapas do trabalho.

Agradeo aos meus pais, Odilon Renato Cardoso e Maria Helena Cardoso, que sempre me apoiaram, especialmente durante o perodo do meu Curso de Graduao, quando no mediram esforos para me auxiliar no que fosse possvel.

Agradeo ao meu irmo, colega de trabalho e engenheiro civil, Toms Horcio Cardoso, pelo auxlio, ensinamento e companheirismo durante todo o perodo da faculdade, principalmente na realizao deste trabalho e no estgio.

Agradeo s minhas irms, Cristina Cardoso Haberler e Carolina Cardoso Manica, pela constante preocupao e interesse relacionados ao meu estudo e bem-estar especialmente quando iniciei na vida acadmica.

Agradeo a todos meus amigos da faculdade e de Gramado (RS) pela amizade, companheirismo e compreenso durante todo o curso.

H muitas maneiras de avanar, mas s uma maneira de ficar parado.

Franklin D. Roosevelt

RESUMO

CARDOSO, T. B. Dimensionamento de elementos fletidos em concreto armado com aberturas: mtodo emprico versus Mtodo das Bielas e Tirantes. 2010. 85 f. Trabalho de Diplomao (Graduao em Engenharia Civil) Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.

Este trabalho versa sobre a comparao do processo e resultados de dimensionamentos de elementos fletidos em concreto armado com aberturas, utilizando um mtodo emprico e o Mtodo das Bielas e Tirantes. Os elementos estruturais estudados apresentam aberturas que so entendidas como furos realizados na estrutura para passagem provisria de material de obra ou tubulaes como, por exemplo, de hidrulica, eltrica ou ar-condicionado. Os elementos estruturais a serem abordados so as vigas e as lajes. O mtodo emprico baseado no mtodo utilizado em uma empresa de clculo estrutural, que utiliza os mtodos encontrados na bibliografia, fazendo algumas consideraes e modificaes de acordo com cada caso em particular. O Mtodo das Bielas e Tirantes foi o escolhido como base de comparao, pois um mtodo sistemtico, que representa a regio de influncia da abertura muito prximo ao que acontece na realidade, sendo bem difundido no clculo de algumas estruturas especiais em concreto, como vigas-parede, blocos de coroamento, vigas com descontinuidades, entre outros. Este trabalho pretende avaliar se o dimensionamento obtido atravs de cada um dos mtodos apresenta resultados diferentes nos quantitativos de ao, na disposio da armadura, na considerao dos esforos, entre outros aspectos que possam vir a ser descritos. H tambm o intuito de esclarecer e apontar as diferenas no clculo das aberturas devidas aos diferentes posicionamentos nas lajes e nas vigas, analisando os esforos, quantitativos de ao e o posicionamento da armadura. Procurou-se, com este trabalho, entender ambos os mtodos e demonstrar as diferenas no dimensionamento de elementos fletidos com aberturas, a fim de avaliar e sintetizar a utilizao dos mtodos no projeto de estruturas de concreto armado. Embora os dois mtodos apresentarem resultados semelhantes, em alguns pontos mostram diferenas que devem ser analisadas caso a caso. Para se ter uma melhor idia qualitativa e quantitativa destas diferenas, seria necessria uma maior gama de avaliaes, modificando carregamentos, geometria, modelos e realizando as devidas comparaes.

Palavras-chave: estruturas; vigas; lajes; aberturas; Mtodo das Bielas e Tirantes; concreto armado.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: diagrama do delineamento da pesquisa ............................................................ 18 Figura 2: dimenses limites para aberturas de lajes com dispensa de verificao .......... 22 Figura 3: influncia das condies de ancoragem na rea da seo transversal da biela . 28 Figura 4: substituio da armadura em lajes apoiadas em uma direo com pequenas

aberturas retangulares ......................................................................................... 33 Figura 5: clculo aproximado da disposio da armadura em lajes apoiadas em uma

direo com grandes aberturas retangulares ......................................................

35 Figura 6: exemplo para o clculo aproximado de uma laje com abertura retangular ...... 36 Figura 7: detalhe da armadura nos bordos da abertura (grampo) ..................................... 36 Figura 8: laje armada em duas direes com abertura retangular .................................. 37 Figura 9: dimenses mximas de furos em vigas, at as quais a furao ser

considerada ......................................................................................................... 38 Figura 10: anlise da regio do furo ................................................................................. 39 Figura 11: esforos para dimensionamento das sees S1-S1 e S2-S2 ............................ 40 Figura 12: detalhamento da armadura de reforo do furo ................................................ 40 Figura 13: abertura no centro da laje ................................................................................ 42 Figura 14: posicionamento da abertura no centro do vo da viga .................................... 44 Figura 15: posicionamento da abertura prxima ao apoio da viga ................................... 45 Figura 16: fragmentao da laje devido abertura no centro da laje ............................... 47 Figura 17: laje L2 com carga uniforme ............................................................................ 48 Figura 18: laje L1 com carga uniforme mais carga no bordo livre .................................. 49 Figura 19: detalhamento do reforo da abertura no centro da laje ................................... 51 Figura 20: esforos atuantes no eixo da abertura no centro do vo ................................. 53 Figura 21: dimensionamento da seo S1-S1 no centro do vo ....................................... 54 Figura 22: dimensionamento da seo S2-S2 no centro do vo ....................................... 55 Figura 23: detalhamento do reforo da abertura no centro do vo ................................... 56 Figura 24: esforos atuantes no eixo da abertura prxima ao apoio A ............................ 57 Figura 25: dimensionamento da seo S1-S1 prxima ao apoio A .................................. 58 Figura 26: dimensionamento da seo S2-S2 prxima ao apoio A .................................. 59 Figura 27: modelo da zona tracionada na direo x para abertura no centro da laje ....... 64 Figura 28: modelo da zona comprimida na direo x para a abertura no centro da laje .. 65 Figura 29: detalhamento do reforo para a abertura no centro da laje ............................. 66 Figura 30: modelo para a abertura no centro da viga ....................................................... 69 Figura 31: modelo para a abertura prxima ao apoio A ................................................... 70

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: parmetros de resistncia das bielas: fcd1 para zonas no-fissuradas e fcd2 para zonas fissuradas .......................................................................................... 29

Quadro 2: valores de cd para dimensionamento das bielas ............................................. 30 Quadro 3: quantitativo do reforo da abertura no centro do vo pelo mtodo emprico . 56 Quadro 4: quantitativo do reforo da abertura prxima ao apoio pelo mtodo emprico. 60 Quadro 5: quantitativo do reforo da abertura no centro do vo pelo Mtodo das Bielas

e Tirantes ............................................................................................................ 69 Quadro 6: quantitativo do reforo da abertura prxima ao apoio pelo Mtodo das

Bielas e Tirantes ................................................................................................. 71

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................... 13 2 MTODO DE PESQUISA ......................................................................................... 15 2.1 QUESTO DE PESQUISA ....................................................................................... 15 2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO ................................................................................. 15 2.2.1 Objetivo principal ................................................................................................. 15 2.2.2 Objetivos secundrios ........................................................................................... 15 2.3 HIPTESE ................................................................................................................. 16 2.4 DELIMITAES ...................................................................................................... 16 2.5 LIMITAES ............................................................................................................ 16 2.5.1 Limitaes em lajes .............................................................................................. 16 2.5.2 Limitaes em vigas............................................................................................... 17 2.6 DELINEAMENTO .................................................................................................... 17 2.6.1 Pesquisa Bibliogrfica ........................................................................................... 18 2.6.2 Seleo em projetos reais dos casos a serem dimensionados ............................. 19 2.6.3 Determinao do modelo emprico ...................................................................... 19 2.6.4 Detalhamento do mtodo das Bielas e Tirantes ................................................. 19 2.6.5 Dimensionamento pelo mtodo emprico ............................................................ 19 2.6.6 Dimensionamento pelo mtodo das Bielas e Tirantes ........................................ 19 2.6.7 Comparao dos mtodos ..................................................................................... 20 2.6.8 Comparao dos resultados .................................................................................. 20 2.6.9 Consideraes finais e concluses ........................................................................ 20 3 DIRETRIZES PARA O DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS

FLETIDOS COM ABERTURAS .............................................................................

21 3.1 DIRETRIZES SEGUNDO A NBR 6118/2007 .......................................................... 21 3.1.1 Lajes ........................................................................................................................ 21 3.1.2 Vigas ....................................................................................................................... 22 3.2 MTODO DAS BIELAS E TIRANTES ................................................................... 23 3.2.1 Definio ................................................................................................................. 23 3.2.2 Geometria dos modelos ......................................................................................... 23 3.2.3 Regies contnuas e descontnuas ......................................................................... 25 3.2.4 Determinao do caminho de carga .................................................................... 25 3.2.5 Bielas ....................................................................................................................... 26 3.2.5.1 Dimensionamento das bielas ................................................................................ 26

3.2.5.2 Parmetros de resistncia das bielas ..................................................................... 28 3.2.6 Tirantes .................................................................................................................. 30 3.2.7 Ns .......................................................................................................................... 31 3.2.7.1 Tipos de ns ......................................................................................................... 31 3.2.7.2 Configurao de ns ............................................................................................. 32 3.2.7.3 Parmetros de resistncia das regies nodais ....................................................... 32 3.3 MTODO EMPRICO ............................................................................................... 32 3.3.1 Lajes ........................................................................................................................ 32 3.3.1.1 Lajes apoiadas em uma direo com aberturas retangulares ................................ 33 3.3.1.1.1 Aberturas pequenas ........................................................................................... 33 3.3.1.1.2 Aberturas grandes ............................................................................................. 33 3.3.1.2 Lajes apoiadas em duas direes com aberturas retangulares .............................. 35 3.3.2 Vigas ....................................................................................................................... 37 3.3.2.1 Dimenses limites ................................................................................................ 37 3.3.2.2 Anlise da regio da abertura ............................................................................... 38 3.3.2.3 Dimensionamento ................................................................................................. 39 3.3.2.4 Detalhamento da armadura ................................................................................... 40 4 SELEO E CARACTERIZAO DOS ELEMENTOS PARA O

DIMENSIONAMENTO ............................................................................................

41 4.1 ABERTURAS EM LAJES ......................................................................................... 41 4.1.1 Caracterizao da laje .......................................................................................... 41 4.1.2 Carregamento da laje ............................................................................................ 41 4.1.3 Tamanho da abertura ........................................................................................... 42 4.1.4 Posicionamento da abertura ............................................................................... 42 4.2 ABERTURAS EM VIGAS ........................................................................................ 43 4.2.1 Caracterizao da viga .......................................................................................... 43 4.2.2 Carregamento da viga ........................................................................................... 43 4.2.3 Armadura da viga ................................................................................................. 43 4.2.4 Tamanho da abertura ........................................................................................... 44 4.2.5 Posicionamento da abertura ................................................................................. 44 4.2.5.1. Abertura no centro do vo ................................................................................... 44 4.2.5.2. Abertura prxima ao apoio A .............................................................................. 45 5 DIMENSIONAMENTO PELO MTODO EMPRICO ........................................ 46 5.1 LAJES ........................................................................................................................ 46 5.1.1 Abertura no centro ................................................................................................ 46

5.1.1.1 Dados para o dimensionamento ........................................................................... 46 5.1.1.2 Fragmentao da laje ............................................................................................ 47 5.1.1.3 Dimensionamento ................................................................................................. 47 5.1.1.3.1 Laje L2 ............................................................................................................... 47 5.1.1.3.2 Laje L1 ............................................................................................................... 49 5.1.1.4 Detalhamento ....................................................................................................... 50 5.2 VIGAS ........................................................................................................................ 51 5.2.1 Abertura no centro do vo .................................................................................... 51 5.2.1.1 Dados para o dimensionamento ........................................................................... 51 5.2.1.2 Verificao da regio da abertura ......................................................................... 52 5.2.1.3 Estudo da regio da abertura ................................................................................ 52 5.2.1.4 Determinao dos esforos ................................................................................... 52 5.2.1.5 Dimensionamento ................................................................................................. 53 5.2.1.5.1 Seo S1-S1........................................................................................................ 54 5.2.1.5.2 Seo S2-S2........................................................................................................ 55 5.2.1.6 Detalhamento ....................................................................................................... 55 5.2.2 Abertura prxima ao apoio .................................................................................. 56 5.2.2.1 Dados para o dimensionamento ........................................................................... 56 5.2.2.2 Verificao da regio da abertura ......................................................................... 57 5.2.2.3 Estudo da regio da abertura ................................................................................ 57 5.2.2.4 Determinao dos esforos ................................................................................... 57 5.2.2.5 Dimensionamento ................................................................................................. 58 5.2.2.5.1 Seo S1-S1........................................................................................................ 58 5.2.2.5.2 Seo S2-S2 ....................................................................................................... 59 5.2.2.6 Detalhamento ....................................................................................................... 60 6 DIMENSIONAMENTO PELO MTODO DAS BIELAS E TIRANTES ............ 61 6.1 LAJES ........................................................................................................................ 61 6.1.1 Escolha do modelo ................................................................................................. 61 6.1.2 Determinao da regio descontnua ................................................................... 61 6.1.3 Desenho do modelo atravs do caminho de carga .............................................. 62 6.1.4 Definio das cargas e vinculaes ...................................................................... 62 6.1.5 Resoluo do modelo ............................................................................................. 62 6.1.6 Dimensionamento................................................................................................... 63 6.2 VIGAS ........................................................................................................................ 66 6.2.1 Escolha do modelo ................................................................................................. 66

6.2.2 Determinao da regio descontnua ................................................................... 66 6.2.3 Desenho do modelo atravs do caminho de carga .............................................. 67 6.2.4 Definio das cargas e vinculaes ...................................................................... 67 6.2.5 Resoluo do modelo ............................................................................................. 67 6.2.6 Dimensionamento .................................................................................................. 67 6.2.6.1 Abertura no centro ................................................................................................ 68 6.2.6.2 Abertura prxima ao apoio ................................................................................... 70 7 COMPARAO DOS MTODOS E DOS RESULTADOS ................................. 72 7.1 LAJES ........................................................................................................................ 72 7.2 VIGAS ........................................................................................................................ 73 7.2.1 Abertura no centro ................................................................................................ 74 7.2.2 Abertura prxima ao apoio .................................................................................. 75 8 CONSIDERAES FINAIS E CONCLUSES ..................................................... 77 REFERNCIAS ............................................................................................................... 80 ANEXO A TABELAS DE LAJES ............................................................................... 79

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Dimensionamento de elementos fletidos em concreto armado com aberturas: mtodo emprico versus mtodo das bielas e tirantes

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1 INTRODUO

Com a crescente terceirizao de projetos no ramo da construo, imprescindvel a compatibilizao entre projetos, uma vez que cada empresa realiza seu projeto separadamente, para que, no produto final, seja alcanado o resultado desejado. Com isso, os calculistas estruturais necessitam de uma constante comunicao com os outros projetistas para conhecer previamente quais locais da estrutura possuiro aberturas para a passagem, por exemplo, de tubulaes hidrulicas, eltricas, ar-condicionado e caixas de inspeo. Com os dados informados pelos outros profissionais, o projetista estrutural pode prever a abertura e o reforo necessrio no seu projeto, evitando que se quebre a estrutura depois de pronta, garantindo a sua segurana, o acabamento, reduzindo custos e transtornos na obra aps as concretagens. Diversas vezes o responsvel pelo projeto estrutural verifica o posicionamento da abertura e, caso haja algo no local da furao que no seja o ideal para a estrutura, como uma regio com grande quantidade de ao ou uma regio crtica do ponto de vista estrutural, ambos os projetistas tentam chegar a um consenso para resolver a situao da melhor maneira possvel.

Nas empresas de clculo estrutural, para fazer o dimensionamento da armadura necessria para reforar a regio de influncia da abertura, muitas vezes so utilizados clculos aproximados baseados em formulaes empricas disponveis na bibliografia. Como os mtodos so empricos, muitas vezes surgem dvidas em casos especiais como aberturas muito prximas, ou de tamanhos e formas diferentes, sendo necessria uma anlise por parte do engenheiro, que, com sua experincia, prope uma soluo. Porm, nesta situao, no seria utilizado um embasamento terico para a tomada de deciso e, embora esta soluo pudesse funcionar nas condies usuais de servio, talvez no fosse a melhor.

O mtodo terico geralmente utilizado para a anlise de aberturas o Mtodo das Bielas e Tirantes. Este Mtodo discretiza a regio de influncia da abertura em um campo de tenses composto por barras comprimidas (bielas) e barras tracionadas (tirantes) ligadas por ns. O dimensionamento feito a partir das barras tracionadas, quando se determina a rea de ao necessria para suportar esses esforos. J nas bielas e nos ns, realizada apenas uma

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Tobias Bezzi Cardoso. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2010

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verificao, para garantir o no esmagamento da seo de concreto e o comprimento de ancoragem necessrio.

O presente trabalho apresenta a anlise e comparao do dimensionamento destas aberturas em elementos fletidos de concreto armado, neste caso vigas e lajes. A anlise entre o mtodo emprico aplicado em uma empresa de clculo estrutural (neste trabalho nomeada como empresa A) e o Mtodo das Bielas e Tirantes.

Inicialmente, a partir de uma pesquisa bibliogrfica, foi realizada uma busca dos mtodos empricos que serviriam como base para o dimensionamento das aberturas no escritrio de projeto estrutural da empresa A e se observou como estes mtodos so utilizados em casos reais. Sobre o Mtodo das Bielas e Tirantes foram buscadas somente informaes na bibliografia para o aprendizado, procurando-se entender a rotina de projeto e analisando-se modelos que serviriam para o projeto de vigas e lajes com aberturas.

No captulo de escolha dos elementos a serem dimensionados, foi realizada uma busca no escritrio da empresa A de aberturas j dimensionadas. Nesta etapa foram decididas todas as informaes sobre geometria, carregamento, vinculaes e demais dados necessrios relativos tanto ao elemento estrutural quanto abertura.

Na parte do dimensionamento, foram dimensionados todos os elementos selecionados tanto pelo mtodo emprico quanto pelo das Bielas e Tirantes. Pelo mtodo emprico foi aplicado o conhecimento adquirido no escritrio juntamente com as diretrizes buscadas na bibliografia. J pelo Mtodo das Bielas e Tirantes foram utilizados modelos existentes, tentando-se adapt-los para o elemento escolhido.

Realizado o dimensionamento, foi possvel avaliar ambos os mtodos, verificando suas diferenas: o que cada um considera relevante, o tratamento de cada parte do elemento e seus respectivos resultados. As principais abordagens, dificuldades, pontos positivos ou outros comentrios so apresentados a fim de se esclarecer os principais cuidados e anlises de cada um dos mtodos.

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2 MTODO DE PESQUISA

2.1 QUESTO DE PESQUISA

A questo de pesquisa deste trabalho : no dimensionamento de elementos fletidos em concreto armado com aberturas, quando se compara um mtodo emprico com o das Bielas e Tirantes, quais so as diferenas obtidas nos resultados?

2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO

Os objetivos do trabalho esto classificados em principal e secundrios e so apresentados nos prximos itens.

2.2.1 Objetivo principal

O objetivo principal deste trabalho a anlise comparativa entre os resultados do mtodo emprico e do das Bielas e Tirantes no dimensionamento de elementos fletidos em concreto armado com aberturas.

2.2.2 Objetivos secundrios

Os objetivos secundrios deste trabalho so:

a) descrio e anlise crtica do dimensionamento pelo mtodo emprico e pelo das Bielas e Tirantes;

b) comparao dos parmetros utilizados em cada mtodo para o dimensionamento;

c) comparao do quantitativo de ao por cada mtodo.

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2.3 HIPTESE

A hiptese do trabalho que o dimensionamento pelo mtodo das Bielas e Tirantes apresenta um menor quantitativo de ao, um clculo mais detalhado para cada regio do elemento e considera os esforos de forma mais adequada.

2.4 DELIMITAES

O trabalho se delimita a realizar o estudo somente em elementos fletidos vigas e lajes em concreto armado.

2.5 LIMITAES

As limitaes foram definidas em funo do elemento estrutural estudado, ou seja, vigas e lajes, e so detalhadas nos prximos itens.

2.5.1 Limitaes em lajes

So limitaes no estudo de lajes deste trabalho:

a) a laje ser no formato retangular de 5 m por 7 m; b) a abertura ser quadrangular com 1,5 m de aresta, sendo analisada somente

no centro da laje; c) apoiada nos quatro lados por vigas de 20 cm de largura; d) macia; e) o carregamento da laje ser pr-estabelecido; f) o fck utilizado ser de 30 MPa; g) no sero dimensionadas armaduras para evitar a fissurao nem grampos

nas bordas da laje para absorver tenses devido temperatura e retrao; h) na determinao dos esforos no Mtodo das Bielas e Tirantes ser

utilizado o software gratuito CAST (Computer Aided Strut and Tie), verso 0.9.11.

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2.5.2 Limitaes em vigas

So limitaes no estudo de vigas deste trabalho:

a) seo retangular de 20 cm de base por 50 cm de altura; b) a viga ser considerada simplesmente apoiada com vo terico de 5 m; b) a abertura ser retangular com 40 cm de largura por 20 cm de altura e estar

posicionada com sua face inferior a 13 cm do fundo da viga. Esta abertura ser analisada tanto no meio do vo quanto a 50 cm do apoio;

c) os carregamentos da viga sero pr-estabelecidos; d) o fck utilizado ser de 25 MPa; e) sero previstas armaduras longitudinais mnimas na parte superior e inferior

da viga, acima e abaixo da abertura, caso no haja esforo; f) sero previstas armaduras transversais mnimas na regio acima, abaixo e ao

lado da abertura, caso no haja esforo; g) na determinao dos esforos no Mtodo das Bielas e Tirantes ser

utilizado o software gratuito CAST (Computer Aided Strut and Tie), verso 0.9.11.

2.6 DELINEAMENTO

O trabalho foi desenvolvido atravs das seguintes etapas:

a) pesquisa bibliogrfica; b) seleo em projetos reais dos casos a serem dimensionados; c) determinao do modelo emprico; d) detalhamento do Mtodo das Bielas e Tirantes; e) dimensionamento pelo mtodo emprico; f) dimensionamento pelo Mtodo das Bielas e Tirantes; g) comparao dos mtodos; h) comparao dos resultados; i) consideraes finais e concluses.

O trabalho foi realizado segundo a sequncia de etapas apresentadas no diagrama da figura 1. Cada etapa detalhada nos itens a seguir.

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Pesquisa Bibliogrfica

Seleo em projetos reais dos casos a serem dimensionados

Determinao do modelo emprico

Detalhamento do mtodo das Bielas e Tirantes

Comparao dos resultados

Consideraes finais e concluses

Comparao dos mtodos

Dimensionamento mtodo emprico

Dimensionamento mtodo das Bielas e Tirantes

Figura 1: diagrama do delineamento da pesquisa

2.6.1 Pesquisa bibliogrfica

Foi realizada uma constante pesquisa bibliogrfica durante todo o desenvolvimento do

trabalho, possibilitando o acompanhamento das novidades e formas de aplicao do Mtodo

das Bielas e Tirantes nos diferentes problemas de dimensionamento de elementos de concreto

armado com aberturas. Foram utilizados livros e revistas da literatura estrangeira e nacional

para o Mtodo das Bielas e Tirantes e, para o mtodo emprico, livros clssicos com

resultados empricos e, principalmente, a experincia e consideraes normalmente adotadas

por uma empresa do ramo, identificada neste trabalho apenas como empresa A.

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2.6.2 Seleo em projetos reais dos casos a serem dimensionados

Nesta etapa, foram selecionados alguns casos tpicos representativos a serem estudados. Esta

seleo foi realizada com a colaborao da empresa A, que disponibilizou projetos de elementos estruturais com aberturas j dimensionadas para posterior estudo.

2.6.3 Determinao do modelo emprico

Com base nos casos selecionados, nesta etapa foi definido o procedimento para o clculo de

cada elemento de acordo com as prticas da empresa A. Para a definio do modelo, utilizou-

se, tambm, a bibliografia, que serviu como base para a realizao do procedimento emprico.

2.6.4 Detalhamento do Mtodo das Bielas e Tirantes

Neste item, foram detalhadas as principais etapas que configuram o Mtodo das Bielas e

Tirantes. Este Mtodo apresenta algumas variantes, dependendo da normatizao utilizada ou

do autor consultado. A verso originalmente proposta a que foi apresentada e utilizada neste

trabalho.

2.6.5 Dimensionamento pelo mtodo emprico

Nesta etapa foi realizado o dimensionamento dos elementos estruturais selecionados segundo

o mtodo emprico definido. O processo de dimensionamento foi baseado na bibliografia-base

(que disponibiliza resultados experimentais), juntamente com as consideraes e adaptaes utilizadas pela empresa A.

2.6.6 Dimensionamento pelo Mtodo das Bielas e Tirantes

Nesta etapa foi realizado o dimensionamento dos elementos estruturais selecionados segundo

o Mtodo das Bielas e Tirantes. O processo foi baseado principalmente na bibliografia,

procurando modelos que representariam a regio da abertura. Os modelos foram lanados no

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programa CAST, que, a partir da geometria, carregamento e vinculaes apresentadas,

determina as foras atuantes em cada barra.

2.6.7 Comparao dos mtodos

Depois de todo o dimensionamento, nesta etapa foi realizada uma comparao entre os

mtodos, elaborando-se uma avaliao crtica dos procedimentos empregados em cada um

deles. Foi analisada a maneira de cada mtodo considerar os aspectos relacionados

geometria, carregamentos, esforos e vinculaes de cada elemento.

2.6.8 Comparao dos resultados

Com o dimensionamento e avaliao de cada mtodo, foi possvel realizar a comparao entre

os resultados. A comparao contemplou principalmente o quantitativo de ao e a disposio

das armaduras. Ainda, foram discutidas as dificuldades encontradas, a existncia de

ambiguidades ou inconsistncias de algum procedimento.

2.6.9 Consideraes finais e concluses

Na ltima etapa, com as comparaes finalizadas, feito um fechamento do trabalho,

respondendo questo de pesquisa, sintetizando e analisando a utilizao de cada mtodo em

projetos estruturais, ressaltando pontos negativos, positivos, melhorias e consideraes em cada caso estudado.

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3 DIRETRIZES PARA O DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS FLETIDOS COM ABERTURAS

Este captulo apresenta as diretrizes para o dimensionamento de elementos fletidos em

concreto armado com aberturas, estando dividido nas seguintes partes: a primeira tratando

sobre as diretrizes gerais sobre aberturas, conforme a NBR 6118/2007 Projeto de Estruturas de Concreto , esclarecendo as situaes e os requisitos mnimos para o dimensionamento de

cada elemento. Na sequncia, abordado o Mtodo das Bielas e Tirantes e, na terceira e

ltima parte, o mtodo emprico adotado no trabalho.

3.1 DIRETRIZES SEGUNDO A NBR 6118/2007

A seguir, sero apresentados os critrios da NBR 6118/2007 para lajes e, posteriormente, para vigas.

3.1.1 Lajes

De acordo com a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 161), nas aberturas em lajes, as condies seguintes devem ser respeitadas em qualquer situao:

a) a seo do concreto remanescente da parte central ou sobre o apoio da laje deve ser capaz de equilibrar os esforos no estado limite ltimo, correspondentes a essa seo sem aberturas;

b) as sees das armaduras interrompidas devem ser substitudas por sees equivalentes de reforo, devidamente ancoradas.

No que diz respeito s dimenses limites, essa Norma salienta que a verificao de resistncia

e deformao pode ser dispensada, devendo ser armadas em duas direes e verificadas,

simultaneamente, as seguintes condies (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 68):

__________________________________________________________________________________________


22

a) as dimenses da abertura devem corresponder no mximo a 1/10 do vo menor (lx) conforme indica a figura 2;

b) a distncia entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual ou maior que 1/4 do vo, na direo considerada;

c) a distncia entre faces de abertura adjacentes deve ser maior que a metade do menor vo.

Figura 2: dimenses limites para aberturas de lajes com dispensa de verificao (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 68)

3.1.2 Vigas

Segundo a NBR 6118, a distncia mnima de um furo face mais prxima da viga deve ser, no mnimo, igual a 5 cm e duas vezes o cobrimento previsto para essa face. A seo remanescente nessa regio, tendo sido descontada a rea ocupada pelo furo, deve ser capaz de

resistir aos esforos previstos no clculo, alm de permitir uma boa concretagem

(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 68).

Essa mesma Norma afirma que, para dispensar a verificao de efeitos na resistncia

mecnica e na deformao, devem ser respeitadas, simultaneamente, as seguintes condies:

a) furos em zona de trao e a uma distncia da face do apoio de no mnimo 2h, onde h a altura da viga;

b) dimenses do furo de, no mximo, 12 cm e h/3; c) distncia entre faces de furos, num mesmo trecho, de, no mnimo, 2h; d) cobrimentos suficientes e no seccionamento das armaduras.

__________________________________________________________________________________________


23

3.2 MTODO DAS BIELAS E TIRANTES

A seguir, apresentado o Mtodo das Bielas e Tirantes, desde sua definio, at as etapas de

dimensionamento.

3.2.1 Definio

Os modelos de bielas e tirantes so representaes discretas dos campos de tenso nos

elementos estruturais de concreto armado. O mtodo consiste na considerao, dentro da pea,

de barras ideais retilneas comprimidas e tirantes tracionados, ligados por meio de ns. As

barras comprimidas so formadas por bielas de concreto e as barras tracionadas so

constitudas por armaduras de ao (FUSCO, 1995; SILVA; GIONGO, 2000).

Segundo Souza e Bittencourt (2005, p. 4), o mtodo das Bielas e Tirantes tem sua validade fundamentada no teorema do Limite Inferior da Teoria da Plasticidade. Esse Teorema

estabelece que, se existe uma carga para a qual se pode encontrar um estado de tenso estvel

e estaticamente admissvel, existe a garantia que essa carga ser inferior carga de runa da

estrutura. Assim, para se obter um limite inferior para a carga de runa, deve-se garantir que

os tirantes de ao escoem antes que as bielas e regies nodais entrem em ruptura.

3.2.2 Geometria dos modelos

Segundo Santos (2006, p. 35), os principais fatores que definem a geometria do problema so os seguintes:

a) consideraes sobre regies contnuas e descontnuas; b) ngulo entre bielas e tirantes; c) tipos de aes atuantes; d) esforos solicitantes no contorno; e) rea de aplicao das aes e reaes; f) nmero de camadas da abertura; g) cobrimento da armadura.

__________________________________________________________________________________________


24

As dimenses das bielas e das regies nodais dependem das reas de aplicao das aes e

reaes e tambm da armadura (quanto ao nmero de camadas e ao cobrimento).

Em relao ao ngulo entre bielas e tirantes, conforme Fusco (1995, p. 124), este determinado principalmente pela rea de aplicao das aes e reaes. Quando o espalhamento das tenses de compresso no ficar determinado por estas condies da face

regularizada e as tenses se distriburem ao longo de toda uma face, o ngulo de inclinao

das bielas comprimidas ficar sempre no seguinte intervalo:

arctg(1/2) arctg (2) (condio 1)

O mesmo autor ressalta que no caso contrrio, em que as condies de contorno determinam a

inclinao das bielas, embora as bielas diretas ainda possam se formar at inclinaes da

ordem de = arctg (3), isto no deve ser utilizado, pois estas inclinaes so obtidas custa de intensa fissurao da pea. A inclinao = arctg (2) deve ser considerada como um mximo absoluto, e a partir da, o problema deve ser tratado como um caso de flexo com

cisalhamento.

Santos (2006, p. 27-28) sugere que o valor mximo de inclinao seja de 45 e, a medida em que o ngulo se aproxime deste valor, maior seria a taxa de armadura transversal necessria e,

por outro lado, menor seria a tenso nas bielas. Contudo, adotando-se um valor prximo ao

valor inferior, min, diminui-se a rea da armadura transversal, resultando, porm, em

acrscimo nas tenses de compresso atuantes nas bielas. Assim, sugerida a adoo de

valores de inclinao das bielas () os mais prximos possveis de min, pois as tenses de compresso so verificadas diretamente, devendo-se apenas garantir que estejam dentro dos limites estabelecidos. O mesmo autor afirma que sugestes baseadas em investigaes

experimentais indicam valores para inclinao mnima das bielas comprimidas em torno de

min = 26,5. Assim, pode-se explicar que bielas com baixas inclinaes resultam em alta tenso na armadura transversal entre o incio da fissurao e o estado limite ltimo, alm de

requerer um maior comprimento de ancoragem da armadura longitudinal.

__________________________________________________________________________________________


25

3.2.3 Regies contnuas e descontnuas

Na definio geomtrica dos modelos, Schlaich et al. (1987, p. 77) afirmam que se pode subdividir a estrutura em regies contnuas e descontnuas. As regies denominadas contnuas

so aquelas em que as hipteses de Bernoulli, que apresentam distribuio linear de

deformaes ao longo da seo transversal, so vlidas. Em regies descontnuas, essas

hipteses no permanecem vlidas. Portanto, as regies contnuas so chamadas de regies B

(Bernoulli) e as descontnuas de regies D (descontinuidade).

Silva e Giongo (2000, p. 8) explicam que as regies D, onde a distribuio de tenses no-linear, podem ser produzidas por descontinuidades estticas e/ou geomtricas e o mtodo das

Bielas e Tirantes tem uma representao bem aproximada do fluxo interno de tenses nesta

regio. J as regies B fissuradas podem ser projetadas utilizando-se os modelos de trelia usuais. Estes mesmos autores ressaltam que A utilizao de modelos de bielas e tirantes

permite um tratamento unificado do projeto de regies B e D, pois o modelo de trelia nada mais do que um caso particular do Mtodo de Bielas e Tirantes..

A subdiviso da estrutura em regies B e D pode ser feita considerando as trajetrias de tenses nas proximidades das regies descontnuas. Com o auxlio do Princpio de Saint-

Venant, que admite que, exceo da vizinhana imediata dos pontos, a distribuio de

tenses independente do modo de aplicao das cargas, pode-se definir uma regio na qual

se processa a regularizao das tenses. Esta regio definida por dimenses da mesma

ordem de grandeza da seo transversal. Assim, pode-se delimitar as regies D considerando,

a partir das descontinuidades geomtricas ou estticas, distncias iguais altura das regies B

adjacentes. Porm, este procedimento aproximado, visto que, para cada tipo de descontinuidade, a distribuio de tenses pode ser um pouco diferente. Mesmo assim, como

no necessria uma exatido na definio da linha divisria dessas regies, o procedimento

proposto se torna satisfatrio (SILVA; GIONGO, 2000, p. 9).

3.2.4 Determinao do caminho de carga

Primeiramente, deve-se assegurar que o equilbrio externo da regio a ser modelada seja atendido pela determinao de todos os esforos atuantes no contorno. Para regies com ao

__________________________________________________________________________________________


26

uniformemente distribuda no contorno, esta deve ser substituda por foras concentradas

equivalentes, de modo que as aes no incio e no fim do caminho de carga estejam equilibradas. Estes caminhos devem ser alinhados e no podem se interceptar. Alm disso,

sempre se deve realizar o caminho da carga buscando sempre o caminho mais curto,

principalmente na ligao de duas aes opostas. Locais onde o traado apresentar curvaturas,

significa que haver uma concentrao de tenses no local. Aps a determinao de todos os

caminhos de carga, estes devem ser substitudos por linhas de um polgono. Os elementos

comprimidos sero as bielas, que devem ser representadas por linhas interrompidas e os

elementos tracionados sero os tirantes, representados por linhas contnuas (SILVA; GIONGO, 2000, p. 11).

Silva e Giongo (2000, p. 12) salientam que o posicionamento dos tirantes no to importante como o das bielas e devem ser dispostos paralelamente s extremidades dos elementos, onde o

arranjo das armaduras localizado na prtica. Em regies prximas a apoios e foras concentradas, onde se tem concentrao de tenses, as bielas principais e os tirantes nunca

podem se encontrar em ngulos inferiores a 45, tentando sempre alcanar ngulos prximos a 60.

3.2.5 BIELAS

A seguir so apresentados os critrios de dimensionamento das bielas e, posteriormente, os

parmetros de resistncia das mesmas.

3.2.5.1 Dimensionamento das bielas

A CSA-A23.3-94 (ASSOCIAO DAS NORMAS CANADENSES, 1994 apud SILVA; GIONGO, 2000, p. 18), indica que as dimenses das bielas devem assegurar que a fora de compresso no exceda o valor:

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27

(condio 2)

Onde:

Fc = fora de compresso (kN);

Acs = rea da seo transversal da biela (cm);

fcu = parmetro de resistncia da biela (kN/cm);

s = fator de segurana do concreto (igual a 0,6).

A rea da seo transversal da biela deve ser calculada considerando a rea de concreto

disponvel e as condies de ancoragem nas extremidades da biela, conforme mostra a figura

3.

No caso de biela ancorada por armadura, as dimenses da biela se estendero a uma distncia

de seis vezes o dimetro da barra do seu eixo. Assim, para se aumentar as dimenses de uma

biela, pode-se optar por aumentar o nmero de camadas de armadura de trao ou se aumentar

a largura da regio de aplicao da fora concentrada.

J em bielas armadas com barras paralelas ao seu eixo, a fora calculada na biela no pode

exceder o seguinte valor (SILVA; GIONGO, 2000, p. 19):

(condio 3)

__________________________________________________________________________________________


28

Figura 3: influncia das condies de ancoragem na rea da seo transversal da biela: (a) biela ancorada por armadura; (b) biela ancorada por apoio e armadura; (c)

biela ancorada por regio de aplicao de carga e outra biela (ASSOCIAO DAS NORMAS CANADENSES, 1994 apud

SILVA; GIONGO, 2000, p. 18)

Onde:

Fb = fora calculada na biela (kN);

Ass = rea de armadura da biela (cm);

fy = resistncia ao escoamento do ao (kN/cm);

s = fator de segurana da armadura (igual a 0,85).

3.2.5.2 Parmetros de resistncia das bielas

Schlaich et al. (1987) sugerem os seguintes valores para as resistncias das bielas:

__________________________________________________________________________________________


29

a) 1 x 0,85 = 0,85 fcd para um estado de tenso uniaxial e sem perturbao; b) 0,8 x 0,85 = 0,68 fcd para campos de compresso com fissuras paralelas s

tenses de compresso; c) 0,6 x 0,85 = 0,51 fcd para campos de compresso com fissuras inclinadas.

Deve-se considerar a frmula 1:

(frmula 1)

Onde:

fcd = resistncia de clculo do concreto (kN/cm);

fck = resistncia caracterstica do concreto (kN/cm);

c = coeficiente de segurana do concreto.

Segundo o Cdigo Modelo CEB-FIP (COMIT EURO-INTERNACIONAL DE CONCRETO, 1990 apud SILVA; GIONGO, 2000, p. 21), os parmetros de resistncia das bielas podem ser divididos em zonas no-fissuradas e fissuradas. O quadro 1 apresenta os

valores de acordo com o fck de projeto.

Concreto fcd1 fcd2

C20 0,782 fcd 0,552 fcd

C25 0,765 fcd 0,540 fcd

C30 0,748 fcd 0,528 fcd

C35 0,731 fcd 0,516 fcd

C40 0,714 fcd 0,504 fcd

C50 0,680 fcd 0,480 fcd

Quadro 1: parmetros de resistncia das bielas: fcd1 para zonas no-fissuradas e fcd2 para zonas fissuradas (COMIT EURO-INTERNACIONAL DE CONCRETO,

1990 apud SILVA; GIONGO, 2000, p. 21)

__________________________________________________________________________________________


30

Fusco (1995, p. 127) acrescenta que os ns das bielas podem ser considerados como submetidos a estado plano de tenso com confinamento ou a estados simples de compresso.

Em certos casos, preciso considerar estados simples de compresso, mas sujeitos fissurao por efeito de tenses tangenciais. No quadro 2, so apresentados os valores de cd

correspondentes a cada caso, de acordo com o fck utilizado.

Para

fck 40 MPa

Para

fck 40 MPa

concreto confinado em estado plano de tenses cd fcd cd 0,9 fcd

concreto no-confinado cd 0,85fcd cd 0,8 fcd

concreto no-confinado e fissurado cd 0,60 fcd cd 0,5 fcd

cisalhamento cd 0,30 fcd cd 0,25 fcd

Quadro 2: valores de cd para dimensionamento das bielas (FUSCO, 1995, p. 127)

O autor ainda justifica que as redues para concreto com fck > 40 MPa decorrem do menor crescimento de sua resistncia aps os 28 dias de idade.

3.2.6 Tirantes

Silva e Giongo (2000, p. 22-23) definem que as foras nos tirantes devem ser absorvidas geralmente pelas barras da armadura cujo eixo deve coincidir com o do tirante no modelo. A rea de armadura necessria obtida diretamente por meio da fora no tirante e da resistncia

de escoamento de clculo do ao considerando o Estado Limite ltimo:

(frmula 2)

Onde:

As= rea necessria do tirante de ao (cm);

f = coeficiente de majorao das aes;

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31

Rst = fora de trao atuante (kN);

fyd = resistncia ao escoamento de clculo do ao (kN/cm).

Os mesmos autores afirmam que mesmo existindo a rea de armadura necessria definida no

clculo, deve-se dar uma ateno especial ancoragem das barras nas extremidades das

regies nodais. Com uma ancoragem adequada e a utilizao de bitolas mais finas em maior

nmero de camadas se estar contribuindo com a resistncia das bielas e regies nodais.

3.2.7 Ns

Santos (2006, p. 37) define n ou regio nodal como sendo uma idealizao de uma regio de concreto na qual ocorrem mudanas bruscas nas direes das foras, provindas das bielas

comprimidas, dos tirantes tracionados, de foras de ancoragem e foras externas como aes

concentradas ou reaes de apoio. Contudo, essa mudana brusca de direo das foras, a qual

se idealiza acontecer pontualmente, na realidade ocorre num determinado comprimento e

numa determinada largura do elemento estrutural. A seguir, sero apresentados os tipos

existentes de ns, as suas configuraes geomtricas e seus parmetros de resistncia.

3.2.7.1 Tipos de ns

Segundo Schlaich et al. (1987), os ns podem ser divididos da seguinte maneira:

a) singulares ou concentrados: so ns onde foras concentradas so aplicadas e o desvio da fora feito localizadamente. Estes ns so crticos e devem ter suas tenses verificadas, a fim de equilibrar as foras e no causar deformaes excessivas e, consequentemente, provocar fissurao;

b) contnuos: nestes ns ocorre o desvio da fora em comprimentos, em que as armaduras podem ser ancoradas. Geralmente no so ns crticos, s devendo ser verificados os critrios de ancoragem.

__________________________________________________________________________________________


32

3.2.7.2 Configurao de ns

Os mesmos autores propuseram um mtodo simplificado para as configuraes tpicas de ns.

Segundo eles, o n tem sua geometria definida pela interseco das dimenses das bielas e

dos tirantes, cujos eixos devem coincidir. Assim, as tenses planas atuantes em todos os lados da regio nodal no precisam ser iguais, porm as tenses em cada lado do n devem ser

constantes e devem permanecer abaixo de um limite pr-estabelecido para a tenso nodal.

3.2.7.3 Parmetros de resistncia das regies nodais

Schlaich et al. (1987)) sugerem os seguintes limites para as tenses mdias de compresso nos contornos dos ns:

a) 0,935 fcd para ns onde s se encontram bielas comprimidas, criando um estado de tenso biaxial ou triaxial;

b) 0,8 x 0,85 = 0,680 fcd para ns onde a armadura ancorada.

3.3 MTODO EMPRICO

O mtodo emprico ser subdividido em duas partes, para lajes e vigas, pois para cada um destes elementos estruturais ser utilizado um mtodo emprico diferente e proposto por

principalmente dois autores.

3.3.1 Lajes

Para o estudo das lajes, ser utilizado o mtodo de Fritz Leonhardt, que obteve uma srie de equaes empricas e aproximaes para o clculo destes elementos sujeitos a aberturas. As lajes so diferentemente tratadas se so armadas em uma ou em duas direes, e sero tratadas separadamente, como ser mostrado a seguir.

__________________________________________________________________________________________


33

3.3.1.1 Lajes apoiadas em uma direo com aberturas retangulares

Nas lajes apoiadas em uma direo, o dimensionamento deve ser dividido em aberturas pequenas e grandes.

3.3.1.1.1 Aberturas pequenas

No estudo de pequenas aberturas retangulares, com dimenses inferiores a um quinto do vo,

basta dispor as barras da armadura resistente, que teoricamente estariam na abertura, de

acordo com o fluxo de foras (figura 4a), como armadura adicional nos lados da abertura, concentrada nos bordos (figura 4b). Os picos de tenso que surgem nos cantos, devido ao efeito de entalhe, conduzem, geralmente, ao aparecimento de fissuras, que so mantidas com pequena abertura, por meio de uma armadura adicional na direo transversal ou, ainda, por

uma armadura inclinada (LEONHARDT; MNNIG, 1978, p. 106-107).

Figura 4: substituio da armadura em lajes apoiadas em uma direo com pequenas aberturas retangulares (LEONHARDT; MNNIG, 1978, p. 107)

3.3.1.1.2 Aberturas grandes

Segundo Leonhardt e Mnnig (1978, p. 107-108), em aberturas retangulares com dimenses maiores, no meio de lajes apoiadas em uma direo, com carga uniformemente distribuda (figura 5), dimensionam-se faixas resistentes com uma largura

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(frmula 3)

para um momento no meio do vo igual a:

(frmula 4)

A armadura de reforo disposta na largura bm, diminuindo-se o espaamento na direo do

bordo. O bordo da abertura na direo transversal, quando b/a 0,5, dimensionado para o momento do bordo:

(frmula 5)

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35

Figura 5: clculo aproximado e disposio da armadura em lajes apoiadas em uma direo com grandes aberturas retangulares (LEONHARDT; MNNIG, 1978, p. 107)

Leonhardt e Mnnig (1978, p. 108), sugerem que Quando b/a < 0,5, recomenda-se determinar o momento no bordo como para uma laje apoiada em trs lados, com apoios livres rotao..

3.3.1.2 Lajes apoiadas em duas direes com aberturas retangulares

Leonhardt e Mnnig (1978, p. 127), afirmam que, embora seja um clculo aproximado, uma laje apoiada em quatro lados, com aberturas, pode ser decomposta em lajes apoiadas em trs lados. Com uma escolha criteriosa das condies de contorno, pode-se estimar os esforos

solicitantes, que estaro a favor da segurana. A figura 6 mostra uma decomposio dos esforos vlida para 0,3 < a/lx < 0,6 e b1/a > 0,5, porm, outras dimenses exigiro outras hipteses. Essa maneira de tratar o problema prefervel diviso da laje em faixas resistentes e em faixas secundrias, embora tambm neste caso, em geral, chegue-se ao

comportamento resistente seguro.

__________________________________________________________________________________________


36

Figura 6: exemplo para o clculo aproximado de uma laje com abertura retangular (LEONHARDT; MNNIG, 1978, p. 127)

Estes autores indicam ainda que os bordos da abertura devem ser sempre armados

longitudinalmente em cima e embaixo e ser protegidos por grampos para absorver possveis

cargas no bordo e tenses devido temperatura e retrao, conforme mostra a figura 7. Uma

armadura superior serve para cobrir eventuais incompatibilidades entre as hipteses,

inevitveis quando se empregam processos de clculo aproximados. A armadura inferior na

direo principal deve ser detalhada sem escalonamento; a armadura perpendicular a ela no

pode ser muito curta (para cada lado da abertura, tomar cerca de metade largura da abertura, acrescida do comprimento de ancoragem).

Figura 7: detalhe da armadura nos bordos da abertura (grampo) (LEONHARDT; MNNIG, 1978, p. 100)

Arajo (2003, p. 147) refora esta idia, pois sugere o mesmo tratamento dado pelos outros autores, conforme mostra a figura 8.

__________________________________________________________________________________________


37

Figura 8: laje armada em duas direes com abertura retangular (ARAUJO, 2003, p. 147)

3.3.2 Vigas

Para o estudo das vigas, ser utilizado o mtodo do engenheiro Jos Carlos Sssekind que

props simplificaes e consideraes empricas para o clculo destes elementos sujeitos aberturas.

3.3.2.1 Dimenses limites

Sssekind (1985, p. 160) considera que:

[...] viga furada aquela em que a furao existente se situar dentro dos limites mximos fixados na figura [...] [9]. Enquanto eles forem respeitados, o dimensionamento geral da pea poder se fazer como se tivssemos uma viga macia (sem furos), admitindo-se, mesmo na regio furada, a validade da hiptese da seo plana [...].

__________________________________________________________________________________________


38

Figura 9: dimenses mximas de furos em vigas, at as quais a furao ser considerada (SSSEKIND, 1985, p. 160)

3.3.2.2 Anlise da regio da abertura

Para Sssekind (1985, p. 161) o tratamento local da abertura realizado conforme a figura 10. Interceptando-se a viga por um plano que atravesse o eixo do furo, o equilbrio se obtm se

aplicando, nesta seo, os efeitos dos esforos atuantes, que so o momento fletor e o esforo

cortante.

O momento fletor est transmitido pelas resultantes Dd e Zd no concreto e no ao,

respectivamente. J o esforo cortante total Qd se dividir em duas fraes Q1d e Q2d, proporcionais rigidez flexo das partes superior e inferior ao furo (hiptese de igual deformao vertical de ambas). Cabe, de imediato, notar que a rigidez da parte comprimida pela flexo a de uma seo comprimida (macia) de concreto, ao passo que a da parte tracionada (fissurada) , exclusivamente, da armadura existente. Em suma, a parcela do cortante transmitida na regio comprimida to maior, que se sugere tomar, pura e

simplesmente, Q1d = Qd, adotando-se, ainda, Q2d = 0,1Qd (apenas por precauo, este ltimo valor, adotado com o intuito de conduzir a uma armadura suplementar que assegure uma

limitao de fissurao para o tirante inferior).

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39

Figura 10: anlise da regio do furo; (a) esforos calculados como viga macia; (b) interseo da viga por um plano no eixo do furo; (c) fibras tracionadas por Q1d e Q2d

(supostos positivos) (SSSEKIND, 1985, p. 161)

3.3.2.3 Dimensionamento

Na determinao dos esforos para o dimensionamento, a seo S1-S1 ter o tratamento de

uma seo submetida flexo composta, tal conforme a figura 11. Nesta seo, atua um

esforo normal Dd (aplicado a 0,4x do bordo mais comprimido) e um momento fletor M1d.

__________________________________________________________________________________________


40

Analogamente, S2-S2 est submetida flexo composta com e Nd = Zd,

aplicado ao nvel da armadura tracionada de flexo (SSSEKIND, 1985, p. 162).

Figura 11: esforos para dimensionamento das sees S1 - S1 e S2 -S2 (SSSEKIND, 1985, p. 162)

3.3.2.4 Detalhamento da armadura

Ento, de acordo com Sssekind (1985, p. 162), O detalhamento da armadura na regio do furo , ento, o da figura [...] [12], preferindo-se (no intuito de evitar enganos) a adoo de armadura simtrica de reforo na regio do furo..

Figura 12: detalhamento da armadura de reforo do furo (SSSEKIND, 1985, p. 162)

__________________________________________________________________________________________


41

4 SELEO E CARACTERIZAO DOS ELEMENTOS PARA O DIMENSIONAMENTO

Este captulo foi destinado a definir, de projetos estruturais reais, aberturas com determinadas caractersticas para possibilitar a comparao com ambos os mtodos de clculo e posterior

anlise de cada caso. Cada abertura foi descrita, com seu posicionamento, tamanho, forma,

carregamento e demais caractersticas que foram necessrias na etapa de clculo. Os

elementos nos quais estas aberturas esto dispostas tambm tiveram a mesma descrio,

iniciando-se pelas lajes e depois para as vigas.

4.1 ABERTURAS EM LAJES

4.1.1 Caracterizao da laje

A laje estudada possui as seguintes caractersticas da laje.

a) laje convencional do tipo macia de concreto armado; b) laje de um pavimento composto por escritrios; c) espessura da laje igual a 12 cm; d) a laje retangular e possui largura de 5 m e comprimento de 7 m; e) a laje apoiada nos seus quatro lados por vigas de 20 cm de largura por

50 cm de altura.

4.1.2 Carregamento da laje

O carregamento da laje ser distribudo uniformemente em toda sua extenso. As parcelas contribuintes do carregamento final so compostas pelo peso prprio, pela sobrecarga e pelo

revestimento, conforme descrito a seguir.

a) peso prprio = 0,12 x 25 = 3 kN/m; b) sobrecarga = 2 kN/m;

__________________________________________________________________________________________


42

c) revestimento = 1 kN/m; d) carga total = 6 kN/m.

4.1.3 Tamanho da abertura

Neste trabalho, foi escolhida uma abertura quadrangular de 1,5 m de lado que servir como passagem provisria de material da obra. De acordo com as dimenses da laje e da abertura, ela se encaixa na definio de grande abertura, pois possui medidas maiores que um quinto do

vo, sendo assim tratada.

4.1.4 Posicionamento da abertura

Neste trabalho, somente ser estudada uma abertura posicionada no centro da laje que definida como sendo uma abertura em que exista uma faixa de concreto remanescente nos

seus quatro lados. Neste caso, a abertura foi posicionada com seus dois eixos coincidindo com

os dois eixos da laje, conforme a figura 13

Figura 13: abertura no centro da laje

__________________________________________________________________________________________


43

4.2 ABERTURAS EM VIGAS

4.2.1 Caracterizao da viga

A viga estudada foi considerada sempre a mesma, modificando-se somente o posicionamento

da abertura em cada caso. A seguir, as caractersticas da viga em questo.

a) viga de concreto armado; b) seo retangular de 20 x 50 cm; c) vo terico, entre eixos de apoio, de 5,0 m; d) simplesmente apoiada; e) fck = 25 MPa; f) cobrimento = 2 cm.

4.2.2 Carregamento da viga

O carregamento da viga distribudo uniformemente em toda sua extenso. As parcelas

contribuintes da carga total so o peso prprio, a parcela da carga da laje descarregada na viga e a carga da alvenaria de blocos cermicos, conforme detalhado a seguir.

a) peso prprio = 0,2 x 0,5 x 25 = 2,5 kN/m; b) carga resultante da laje (arbitrada) = 7 kN/m; c) carga da alvenaria de blocos cermicos de 19 cm, mais revestimentos,

resultando em parede de 25 cm com p-direito de 2,80 m = 0,25 x 2,80 x 13 = 9,1 kN/m;

d) carga total = 18,6 kN/m.

4.2.3 Armadura da viga

O procedimento de clculo da armadura no ser demonstrado neste trabalho e foi realizado

de acordo com o disposto na NBR 6118/2007. A partir do momento mximo encontrou-se a armadura longitudinal de quatro barras de 12,5 mm e com o cortante mximo se adotou estribos de 6,3 mm a cada 14 cm.

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4.2.4 Tamanho da abertura

A abertura na viga tem formato retangular, de 40 cm de largura por 20 cm de altura e uma

abertura para a passagem de tubulao hidrulica.

4.2.5 Posicionamento da abertura

A abertura foi posicionada em dois locais distintos, pois o tratamento para cada situao

diferente. Primeiramente, foi localizada no centro do vo e, depois, mais prxima ao apoio,

utilizando sempre o mesmo tamanho e posicionamento em relao horizontal, conforme

descrito a seguir.

4.2.5.1 Abertura no centro do vo

Neste caso, o eixo vertical da abertura foi posicionado exatamente no centro do vo (ponto C), a 2,5m do eixo do apoio A. A abertura foi posicionada com sua face inferior a 13 cm do fundo da viga, conforme a figura 14.

Figura 14: posicionamento da abertura no centro do vo

O valor do momento e do esforo cortante no centro do vo (eixo da abertura), que sero necessrios no dimensionamento, foram encontrados com as frmulas 6 e 7:

(frmula 6)

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(frmula 7)

Entrando com os valores de x = 2,5, q = 18,6 kN.m, L = 5m, encontra-se Vc = 0 kN e Mc = 58,1 kN.m.

4.2.5.2 Abertura prxima ao apoio

Neste caso, o eixo vertical da abertura foi posicionado a 0,50 m do eixo do apoio A. Em relao altura, foi posicionada com sua face inferior a 13 cm do fundo da viga, da mesma

forma que a abertura anterior, conforme a figura 15.

Figura 15: posicionamento da abertura prxima ao apoio da viga

No mtodo emprico, necessrio determinar o momento e o cortante no eixo da abertura.

Entrando nas frmulas 6 e 7 com x = 0,5m e os demais valores permanecendo os mesmos, encontra-se Va = 37,2 kN e Ma = 20,9 kN.m. J para o Mtodo das Bielas e Tirantes, necessrio determinar o momento e o cortante a 80 cm do eixo do apoio (borda da regio D), encontrando os valores de Vb = 31,6 e Mb = 31,3 kN.m.

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5 DIMENSIONAMENTO PELO MTODO EMPRICO

Neste captulo, foi realizado o dimensionamento pelo mtodo emprico de acordo com a

pesquisa bibliogrfica e com as consideraes da empresa A. Para cada um dos casos foi

somente citada qual abertura que estava sendo estudada com o resumo das informaes

necessrias para o dimensionamento, as quais foram detalhadas no captulo anterior. A seguir

ser descrito todo o procedimento de clculo e anlise para as lajes e, posteriormente, para as vigas.

5.1 LAJES

A anlise da abertura na laje foi realizada de acordo com as sugestes de Leonhardt e Monnig (1978) e para o clculo das lajes foram utilizadas as tabelas propostas por Jos Milton de Arajo (2003). Os valores dos coeficientes obtidos das tabelas de lajes (anexo A tabelas de lajes) devem ser multiplicados pelas frmulas que sero descritas durante o dimensionamento. O clculo ser baseado em faixas de 75 cm e no sero calculados os comprimentos dos ferros. A seguir ser apresentado o dimensionamento para a abertura localizada no centro da

laje.

5.1.1 Dados para o dimensionamento

A abertura possui formato quadrangular, de 1,5 m de lado e, neste caso, est localizada com ambos os eixos coincidindo com os eixos da laje. O carregamento da laje de 6 kN/m e ela apoiada nos quatro lados.

5.1.2 Fragmentao da laje

Para a resoluo do problema, a laje deve ser fragmentada em diversas outras lajes menores, isolando a abertura. Assim, se calcula cada laje separadamente para determinao dos esforos e posterior clculo do reforo. Para este caso, a diviso escolhida mostrada na

figura 16.

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Figura 16: fragmentao da laje devido abertura no centro da laje

Com esta nova disposio das lajes, tanto a laje L1 como a L2 sero consideradas apoiadas em trs lados com um bordo livre.

5.1.3 Dimensionamento

Primeiramente, o dimensionamento foi realizado para a laje L2, descobrindo-se o momento no seu bordo livre e a reao na laje L1, para posterior clculo da laje L1.

5.1.3.1 Laje L2

A laje L2 uma laje apoiada em trs lados com um bordo livre e carga uniformemente distribuda igual a 6 kN/m. Para determinar a rea de influncia devida abertura, considerou-se metade da rea definida a partir de um ngulo de 45 do vrtice da abertura para cada um dos lados, resultando em uma rea de influncia de 3,25 x 1,75 m, conforme a figura 17. A relao entre os lados da laje igual ao quociente entre o lado perpendicular ao bordo livre sobre o outro. Este valor resultou igual a 0,54 e foi utilizado para entrar na tabela e

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encontrar o coeficiente de 57 (tabela A-3), que deve ser multiplicado pela frmula 8 para encontrar o momento no bordo da laje.

Figura 17: laje L2 com carga uniforme

(frmula 8)

Entrando com os dados obtidos, onde p a carga e Lx o vo paralelo ao bordo livre,

encontra-se o momento de 3,61 kN.m/m.

Com este momento, calcula-se a rea de armadura necessria no bordo livre, que igual a

1,32 cm, considerando uma faixa de 75 cm. A armadura escolhida de 2 10 mm como

reforo no bordo da L2.

A reao da laje L2 sobre a laje L1, que ser utilizada no clculo da laje L1 encontrada atravs da frmula 9:

(frmula 9)

Entrando com o coeficiente de 390 (tabela A-1), o valor da reao Ry 3,51 kN/m.

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5.1.3.2 Laje L1

A laje L1 uma laje apoiada em trs lados composto por um lado sendo parte livre (regio da abertura) e de parte apoiado (em contato com a L2). A parte em contato com a laje L2 possui carga resultante da reao da laje aplicada na sua borda. Cabe salientar que todo restante da laje L1 est submetida tambm carga de 6 kN/m.

Como simplificao, tratou-se o lado em contato com a abertura e com a laje L2 como um bordo livre inteiro e com uma carga uniformemente distribuda na sua extremidade, conforme

a figura 18. A carga equivalente no bordo, a partir da reao da laje L2, foi encontrada com a frmula 10.

(frmula 10)

Figura 18: laje L1 com carga uniforme mais carga no bordo livre

O momento devido a esta carga distribuda no bordo livre encontrado pela frmula 11:

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(frmula 11)

Entrando com o coeficiente de 210 (tabela A-2) encontra-se o momento de 2,63 kN.m/m.

A outra parcela da carga atuante na laje uniformemente distribuda e igual a 6 kN/m. Utilizando a relao entre os lados de 0,55, coeficiente de 58,3 (tabela A-3) e utilizando a frmula 9, encontra-se o momento no bordo devido carga distribuda igual a 8,75 kN.m/m

Somando-se estes dois momentos, tem-se o momento total no bordo igual a 11,38 kN.m/m.

Com este momento e considerando uma faixa de 75 cm, encontra-se uma rea de armadura igual a 4,42 cm, adotando-se 4 12,5mm no bordo da L1.

Para o clculo da armadura superior na borda da abertura, no h um clculo exato e o reforo

analisado caso a caso, adotando-se geralmente um percentual da armadura inferior. Neste

caso, optou-se por utilizar metade da armadura da parte inferior, porm em casos mais

complexos seria aconselhvel a utilizao de algum programa computacional para auxlio na

determinao desta armadura. A armadura transversal prxima a abertura um grampo e no

foi dimensionada.

5.1.4 Detalhamento

No detalhamento no ser apresentado o clculo do comprimento dos ferros, apresentando-se

somente as bitolas de reforo, onde as posies A e B representam a armadura inferior e C e

D a armadura superior do bordo da abertura, conforme a figura 19.

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Figura 19: detalhamento do reforo da abertura no centro da laje

5.2 VIGAS

A anlise da abertura foi realizada de acordo com as observaes de Sussekind (2000). O dimensionamento ao cisalhamento e flexo composta foram realizados de acordo com a

NBR 6118/2007, sendo apresentados, portanto, somente os resultados.

A seguir, realizado o dimensionamento para a abertura no centro do vo e, depois, para a

abertura prxima ao apoio.

5.2.1 Abertura no centro do vo

5.2.1.1 Dados para o dimensionamento

A abertura possui formato retangular de 40 cm de largura por 20 cm de altura, sendo que seu

eixo vertical est localizado no centro da viga, a 2,5m do apoio A e seu eixo horizontal est a 23 cm do fundo da viga. O momento no eixo da abertura de 58,1 kN.m e o cortante nulo.

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5.2.1.2 Verificao da regio da abertura

Primeiramente, verificou-se se o furo estaria interceptando a regio comprimida da viga, o

que no seria desejvel j que a maior parte do esforo cortante deve se dissipar na zona comprimida. Para isto, calcula-se o posicionamento da linha neutra e se compara com a

posio em que a abertura se inicia. O valor da linha neutra calculado igual a 7,7 cm e

menor que os 17 cm que h disponvel na parte superior da viga. Portanto, a abertura no

intercepta a regio comprimida da viga e o clculo pode prosseguir.

5.2.1.3 Estudo da regio da abertura

Interceptando-se a viga por um plano no eixo vertical da abertura, obtm-se duas sees

submetidas a determinados tipos de esforos. A seo superior, S1-S1, tem 17 cm de altura e

foi tratada como uma seo submetida flexo-compresso. O valor da resultante da fora do

concreto est a 0,4 x da face superior da viga. J a seo inferior, S2-S2, tem 13 cm de altura

e tratada como uma seo submetida flexo-trao, com resultante do ao aplicada ao nvel

da armadura. Como o eixo da abertura est na metade do vo, o esforo cortante zero e a sua

parcela contribuinte nas duas sees ser nula.

5.2.1.4 Determinao dos esforos

Para ocorrer o equilbrio, permitindo o clculo das foras atuantes, a resultante na seo S1-

S1 referente ao concreto deve ser igual resultante na seo S2-S2 referente armadura. A

resultante do concreto est a 3,1 cm (04x) da face superior e a resultante do ao est a 46,7 cm (d) do mesmo ponto. O brao de alavanca entre estas foras a diferena entre estes dois valores, que igual a 43,6 cm. A figura 20 apresenta um desenho esquemtico com os esforos atuantes, sendo que o clculo das foras realizado atravs da frmula 12.

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Figura 20: esforos atuantes no eixo da abertura no centro do vo

(frmula 12)

Onde:

T = fora de trao, em kN;

Fc = fora de compresso, em kN;

M = momento no eixo da abertura, em kN.cm.

Entrando com os valores acima descritos e com o momento de 5810 kN.cm, encontrado anteriormente, o valor das foras de trao e de compresso so iguais a 133,2 kN.

5.2.1.5 Dimensionamento

O dimensionamento ao cisalhamento deve ser tratado como uma viga de seo 20/17 na seo

S1-S1 e 20/13 na seo S2-S2. Porm, neste caso, este clculo no precisa ser realizado pois o

cortante nulo no eixo da abertura. Portanto, a armadura transversal a ser adotada nas duas

sees ser a armadura mnima, que igual 5 a cada 8 cm. J nas bordas da abertura, adotou-se estribos com um dimetro nominal maior do que o dimetro do estribo da viga,

compensando a rea de ao que est sendo interrompida pela abertura, encontrando-se 2 8.

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O dimensionamento da armadura longitudinal realizado para a seo S1-S1 e para a S2-S2,

como descrito a seguir.

5.2.1.5.1 Seo S1-S1

Como o cortante no eixo da abertura igual a zero, somente haver a parcela da fora normal

juntamente com o momento devido ao deslocamento desta fora para o eixo da seo, conforme mostra a figura 21.

Figura 21: dimensionamento da seo S1-S1 no centro do vo

O dimensionamento realizado para uma seo de 20/17 cm submetida flexo-compresso

com momento de 7,2 kN.m e fora normal de 133,3 kN. A armadura encontrada foi

praticamente nula, porm, a armadura mnima para fck =25 MPa igual ao seguinte valor:

Asmin = (0,15/100)(20)(17) = 0,51 cm2.

Portanto, a armadura mnima igual a 2 6,3 mm em cada bordo da seo S1-S1.

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5.2.1.5.2 Seo S2-S2

Nesta seo, s haver a fora normal aplicada ao nvel do centro da armadura, juntamente com o momento devido ao deslocamento desta fora para o eixo da seo, conforme a figura

22.

Figura 22: dimensionamento da seo S2-S2 no centro do vo

O dimensionamento realizado para uma seo de 20/13 cm submetida flexo-trao com

momento de 4,3 kN.m e fora normal de 133,3 kN.

A armadura encontrada foi igual a 4,12 cm para a face inferior e 0,17 cm para a face

superior. Como a armadura longitudinal da viga igual a quatro barras de 12,5 mm (4,91 cm), na face inferior, a armadura existente j suficiente e no necessrio mais armadura. Para a parte superior, deve-se adotar a armadura mnima de 2 6.3 mm.

5.2.1.6 Detalhamento

Na parte do detalhamento, foi elaborado um desenho esquemtico com o posicionamento das

armaduras. No desenho, a posio D a prpria armadura da viga e no quadro as clulas em

branco representam que foi adotada a armadura mnima. A figura 23 mostra o detalhamento e,

o quadro 3, o quantitativo do reforo da abertura.

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Figura 23: detalhamento do reforo da abertura no centro do vo

A - 2 6.3 -

B - 2 6.3 -

C 0,17 2 6.3 -

D 4,12 4 12.5 -

E - 5 5 c/ 8

F - 5 5 c/ 8

G - 2X2 8 -

PosioNmero

barras

Bitola

(mm)

Espaamento

(cm)

rea ao

( cm)

Quadro 3: quantitativo do reforo da abertura no centro do vo pelo mtodo emprico

5.2.2 Abertura prxima ao apoio

5.2.2.1 Dados para o dimensionamento

A abertura possui o mesmo formato e posicionamento em relao ao eixo da viga, porm seu

eixo vertical est localizado a 0,5 m do apoio A. O momento no eixo da abertura de 20,93 kN.m e o cortante de 37,2 kN.

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5.2.2.2 Verificao da regio da abertura

A verificao realizada da mesma maneira, porm como o valor do momento diferente, o

clculo deve ser refeito. Neste caso, o valor de x encontrado de 2,64 cm e, portanto, o clculo tambm pode prosseguir.

5.2.2.3 Estudo da regio da abertura

O estudo da regio da abertura se desenvolve da mesma maneira do que para a abertura no

centro do vo, sendo que a nica diferena a existncia de esforo cortante. O esforo

cortante dividido em duas fraes proporcionais rigidez e, portanto, o cortante transmitido

na regio comprimida praticamente todo o cortante existente no eixo da abertura. Na parte

inferior, cabe adotar um valor mnimo do cortante como forma de precauo para evitar a

fissurao no tirante inferior. Assim, na seo S1-S1, o esforo cortante ser tomado com seu

valor inteiro do eixo da abertura, que igual a 37,2 kN. J na seo S2-S2, o valor do esforo

cortante ser 10% do cortante no eixo, encontrando-se o valor de 3,72 kN. Estas parcelas do

esforo cortante vo gerar momentos que devero ser somados aos momentos oriundos do

deslocamento das foras normais para o centro das sees.

5.2.2.4 Determinao dos esforos

Neste caso, a resultante do concreto est a 1,1 cm (04x) da face superior e a resultante do ao est a 46,7 cm (d) do mesmo ponto, conforme a figura 24. Aplicando-se a frmula 12, encontra-se T = Fc = 45,9 kN.

Figura 24: esforos atuantes no eixo da abertura prxima ao apoio A

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