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2. Tratamento estatstico de sinais aleatrios

At aqui se considerou que os sinais, no domnio do tempo, eram peridicos. Vai-se tratar

agora de sinais no-peridicos, para descrever uma aplicao com sinais aleatrios.

Um problema tpico com variveis eltricas verificar se uma determinada grandeza viola

um limite pr-fixado por mais de alguma frao do tempo de observao.

Esse problema ocorre, por exemplo, com as flutuaes de tenso em redes de distribuio

que alimentam cargas variveis. Dependendo da faixa de freqncias dessas flutuaes e da

amplitude das variaes, podem ocorrer problemas que afetam outras cargas e consumidores.

Por exemplo, se as flutuaes ocorrerem na faixa 0-30Hz, poder ocorrer o fenmeno da

cintilao luminosa ("lamp flicker"), que o incmodo visual provocado pela variao da

luminosidade das lmpadas devido s variaes da tenso. O problema torna-se crtico em algumas

instalaes porque uma flutuao sustentada de apenas 0,2% da tenso em torno de 9Hz torna-se

perceptvel como efeito flicker no sistema de iluminao.

Uma maneira simples de se constatar esse efeito atravs da modulao da amplitude da

tenso.

Figura 2.1 Tenso modulada senoidalmente.

No caso de um sinal modulado senoidalmente, a expresso da tenso resultante dada por:v(t) = V sen p t[1+ m .sen mt]

onde p = freqncia da portadora (2 .fp)m = freqncia da modulante (2.fm)

V

Vm = = ndice de modulao 0 m 1;

Na prtica, o sinal modulante varia em amplitude e freqncia em decorrncia da variaoaleatria das diversas cargas do sistema. O tratamento da envoltria da tenso, chamada tenso de flutuao Vf nessas condies torna-se mais complexo.

Variaes mais elevadas na tenso podem afetar dispositivos sensveis como

microcomputadores, equipamentos hospitalares, instrumentos de medio, etc.

As normas prevem limites para essas variaes, tanto em termos de "flicker" como de sub- e

sobretenso, e da durao dos eventos.

Vamos supor que so dados os limites mximo (Vmax) e mnimo (Vmin) da tenso e a

durao relativa (1%) que esses limites podem ser violados.

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Figura 2.2 Flutuaes aleatrias dos valores eficazes da tenso.

T2

VmaxVref

Vmin

T5T4T3T1

0 t

To

Figura 2.3 Intervalo de observao

Para o limite mnimo queremos saber se a durao da violao menor que 1% do intervalo

de observao, ou seja:

T1 +T3 +T4 +T5 .100 < 1%To

Te, para o limite mximo, se: 2 .100TR + ADSUP + PRSUP ou

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O PRODIST estabelece que o conjunto de leituras para gerar os indicadores individuais deve

compreender o registro de 1008 leituras vlidas, obtidas em intervalos consecutivos (perodo de

integralizao) de 10 minutos cada, salvo as que eventualmente sejam expurgadas (por erros de

medio ou outras circunstncias estabelecidas no documento). No intuito de se obter 1008 leituras

vlidas, intervalos adicionais devem ser agregados, sempre consecutivamente.

Os valores eficazes devem ser calculados a partir das amostras coletadas em janelas

sucessivas. Cada janela compreender uma seqncia de doze ciclos (0,2 segundos) a quinze ciclos

(0,25 segundos).

Aps a obteno do conjunto de leituras vlidas, quando de medies oriundas por

reclamao ou amostrais, devem ser calculados os ndices de durao relativa da transgresso para

tenso precria (DRP) e o para tenso crtica (DRC) de acordo com as seguintes expresses:

Onde nlp e nlc representam o maior valor entre as fases do nmero de leituras situadas nas faixas

precria e crtica, respectivamente.

Etapa 3 - Classificar as amostras em funo dos nveis discretizados

Uma outra maneira de verificar, graficamente, as violaes feito a partir do "histograma de

ocorrncias". Isso corresponde a contar o nmero de vezes em que cada nvel observado,

eliminando-se a varivel temporal.

O histograma mostra qual a distribuio das observaes sobre os diferentes nveis de

discretizao. Notar que se perdeu o vnculo temporal das amostras, ou seja, no se sabe mais

quando cada amostra foi observada.

No.

Observaes

n1 2 30Nveis

Figura 2.7 Histograma de observaes por nvel.

Etapa 4 - Normalizar o histograma

Como a soma do contedo de todas as classes deve ser igual ao nmero total de observaes,

ou seja:n

ni = Ni=1

A normalizao do histograma consiste em dividir todos os valores por N, resultando:

ni = 1

n

Ni1Dessa forma podemos interpretar o histograma normalizado como sendo a curva de

distribuio das freqncias (duraes) estatsticas dos nveis da tenso amostrada.

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Etapa 5 - Obter a curva das freqncias acumuladas

A soma acumulada das freqncias normalizadas produz a curva de probabilidade de "estari ni

i Nabaixo" de um dado nvel i: FA =1

FAi

1.0

10%

n1 2 30 Nveis ii

Figura 2.8 Funo Acumulativa de Probabilidades

A interpretao de "estar abaixo" decorre do fato de que qualquer valor de FAi expressa a

probabilidade de uma amostra estar abaixo do nvel i, e, portanto, uma curva de violao de

limites mnimos.

Etapa 6 - Obter a curva complementar

A funo cumulativa complementar dada por: FACi = 1 FAi

e, portanto, assume a forma complementar da curva anterior:Essa curva interpretada como probabilidade de "estar acima", e por isso uma curva de

violao de limites mximos. O valor de FACi expressa a probabilidade de uma amostra estar acima

do nvel i, ou de ultrapassar o limite i.

FACi

1.0

10%

n1 2 30 Nveis iiFigura 2.9 Funo acumulativa complementar

Etapa 7 - Determinao de pontos de teste

Como a discretizao produz curvas descontnuas (degraus), necessrio utilizar

interpolaes para se testar os limites fixados.

Uma outra possibilidade consiste em suavizar as curvas por linearizao ou aproximao por

polinmios para fazer o teste de limites:

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FACi

100%

50%

0 Max Nveis iMin Med

Figura 2.10 Funo complementar suavizada.

A determinao dos nveis Max e Min quase imediata (pontos extremos). O nvel mdio

(Med) tambm pode ser obtido com facilidade.

Uma vez que a amostragem foi feita com intervalos regulares de tempo t, pode-se relacionardiretamente o nmero de amostras com o tempo de observao. Assim a frao de amostras que

ultrapassam um certo nvel mede tambm a frao do tempo que durou essa violao:

x% =t viol .100% =

nviol . t .100% =nviol .100%

N .tTo N

2.2 Exemplo:

Uma classe de 100 alunos apresenta a seguinte distribuio de alturas:

1,50-1,60m 5%1,80-1,90m 8%

1,60-1,70m 49% 1,70-1,80m 37%1,90-2,00m 1%

a) Supondo representao central por classe, estimar a altura mdia da turma;

b) Estimar a altura ultrapassada por 10% dos alunos usando interpolao linear;

c) Qual a altura que no alcanada por 10% dos alunos?

Soluo

1) Histograma de distribuio dos alunos por altura:

49%

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 altura

a) Mdia ponderada

hi . pi % 1,55.5+1,65.49 +1,75.37 +1,85.8+1,95.1hmed = = = 1,701m

pi % 100

b) Funo acumulativa

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5%

37%

8%

1%

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100%99%

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 altura

Verificamos que os 10% de alunos mais altos tem altura entre 1,65 e 1,75m.

interpolao linear entre os pontos mdios dessas classes temos:91

Fazendo

90

1,65 1,75

x =

90 54=

36 x =

3,6= 0,0973

0,10 91 54 37 37+Portanto a altura ultrapassada pelos 10% mais altos vale: h10 = 1,65 + 0,0973 = 1,7473m

c) Os 10% alunos mais baixos:

54

5

1.55 1.65

Neste caso, tem-se:

y =

10 5=

5

0,1 54 5 49

y = 0,1. = 0,0055

49

= 1,55 + 0,005 = 1,555mh10

Notar que a hiptese de representar cada classe pelo valor mdio pode afetar bastante o

de classesresultado, principalmente quando so poucas as classes. Porm, quando o nmero

aumenta, esse erro diminui.

2.3 Exemplos de medies

As figuras a seguir mostram resultados de medies em uma subestao. No primeiro caso

tem-se a tenso de uma fase (valor eficaz) e a correspondente funo cumulativa complementar.

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10

y

54

x

91%

54%

5%

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Pode-se verificar, facilmente, a probabilidade de um nvel de tenso estar acima de um certo valor.

Figura 2.11 Valor eficaz de tenso e funo cumulativa complementar.

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Extrado do Anexo 1 PRODIST, Mdulo 8