- Decomposição de Reynolds -

Equações Básicas dos Termos Médios e Flutuações

Fluido com Propriedades Constantes

Média Temporal - apropriada para turbulência estacionária, isto é as propriedades médias não variam com o tempo (escoamento numa tubulação impulsionado por uma bomba de rotação constante)

Tt

tTT dttxf

TlxF ,lim1

• Média Espacial - pode ser utilizada para turbulência homogênea que possui propriedades médias uniformes para todas as direções.

VV

V dVtxfV

xF ,lim1

Processos de Média

• Média de Conjunto (ensemble) - aplica-se para escoamentos que variam com o tempo.

• Exemplo: N experimentos idênticos com condições de contorno que diferem por pertubações aleatórias. fn(x,t) é a medida de f do nth experimento, e sua média de conjunto é:

N

nn

NE txf

NxF

1

1,lim

Para um escoamento estacionário e homogêneo as três médias são coincidentes. Esta é conhecida como hipótese ergótica.

Processos de Média

U(x,t)

u(x,t)

t

Tu

T

Média temporal p/ turbulência estacionária

Decomposição de Reynolds

• A velocidade instantânea é dada pela soma da velocidade média e flutuações:

txuxUtxu iii ,, '

• A velocidade média é estimada considerando-se que o período da flutuação, Tu é muito menor que o tempo T de aquisição:

TTdttxuT

xU u

Tt

tii

,,

1

Tt

tiii xUdtxU

TxU

1

0

1

xUxU

dtxUtxuT

xu

ii

Tt

tiii

,'

Decomposição de Reynolds

• A média da média é a própria média; a barra superior indica média temporal

• A média da flutuação é nula:

O processo de média de Reynolds sobre operações envolvendo as variáveis instantâneas é decorrente das definições da média:

flutuante valor

medio valor

oinstantâner valo

fff '

dxfdxfffdx

x

f

x

ff

x

f

gfggffgf

gf

gfgffgf

f

ff

'

'

''

'

'

'

0

0

Propriedades da Média de Reynolds

A média do produto de duas variáveis, e tem a forma:

'''''''' 00

• A média do produto entre uma quantidade média e outra flutuante é zero porque a média da flutuante é nula!

• A média do produto de duas flutuações não é necessariamente nula. As quantidades e estão correlacionadas se . Elas não apresentam correlação se .

0 ''

0 ''

Correlações (I)

• Para produtos triplos encontra-se, de forma similar:

''''''''''''

• Os termos lineares em ’, ’ e ’ tem média zero.

Termos de flutuação quadráticos e cúbicos não

apresentam razões a priori para serem nulos.

Correlações (I)

Considere um escoamento 2D no plano (x,y):

se ’ = ’ = ui’ tem-se o valor médio quadrádico da flutuação,

se ’ = u’ e ’ = v’ tem-se a correlação de velocidades, ela expressa o grau de associação entre as variáveis.

0'v'v'u'u

Correlações (II)

Representação instantânea das ocorrências de u’ e v’ num gráfico (x,y)

u’

v’

u’

v’0''vu

u’

v’0''vu0''vu

(a) (b) (c)

(a) u’ e v’ não estão correlacionados(b) u’ e v’ correlacionados; se u’ aumenta, v’ diminui e vice versa;(c) u’ e v’ correlacionados; se u’ aumenta, v’ aumenta e vice versa;

Desigualdade de Schawrz: 22'''' vuvu

Coeficiente de correlação: 1122

uvuv Rvu

vuR ,

''

''

Correlações (II)

Instantânea Média Flutuante

Velocidade

Pressão

Temperatura

Energia Cinética

Deformação

Tensor Tensões

ui Ui u’i

p P p’

t T t’

q K k’

s S s’

t T t’

Definição das Variáveis Instantâneas, Médias e FlutuantesPara as Equações de Transporte

Equação da conservação da massa para um fluido incompressível :

pode-se concluir então que:

isto é, a vazão do campo médio assim como a do campo flutuante se conservam instante a instante. Em outras palavras, o divergente do campo médio assim como o das flutuações são nulos!

0

ii

i

i

ix

u

x

U

x

u i'

0

ii

ix

u

x

U i'

Equações Médias de Reynolds - Massa

Tomando-se a média temporal da Equação da quantidade de movimento instantânea:

jj

i

ij

iji

xx

u

x

p

x

uu

t

u

2

jj

i

ijj

iji

xx

U

x

P

x

uu

x

UU

t

U ij

2

''

Equação de N.S. média

A equação do momento em termos das variáveis médias é

idêntica aquela com variáveis instantâneas a exceção do termo

de correlação . Ele representa a média temporal do

fluxo de momento devido as flutuações.

''iuu

j

Esta correlação constitui o problema fundamental em turbulência! Para calcular todas as propriedades médias do escoamento é necessário prover equações constitutivas (modelos) para o termo de correlação das flutuações. Aqui começa a ciência e a arte da modelagem.

Equação de N.S. média

• O fluxo de momento devido às flutuações é conhecido como o tensor de Reynolds;

• Ele é também reconhecido como a tensão exercida no fluido pelas flutuações turbulentas;

• Ele é simétrico e possui seis componentes independentes entre si;

''''''

''''''

''''''''

,

wwvwuw

vwvvvu

uwuvuu

uuT jiTji

Tensor de Reynolds (I)

kg

J 'w'v'u

2

1uu

2

1k 222'

i'i

• A soma dos elementos da diagonal principal é a energia cinética turbulenta específica, (energia por unidade massa), freqüentemente denominada por energia cinética somente;

• Por conveniência, a correlação de velocidades passará a ser expressa por:

Tj,i'

j'i

Tj,i

Tuu

Tensor de Reynolds (I)

Tensor de Reynolds (III)O tensor das tensões no fluido é decomposto na sua componente

média e outra devido à turbulência (flutuações das velocidades).

uaçõesCampo FlutTensões

ji

MédioCampoTensões

jijiji uuP

ST '',,, 2

A forma mais popular da equação média do momento é transportando o termo de fluxo de momento das flutuações para o lado direito da equação e reconhecendo-o como a contribuição do movimento turbulento ao campo das tensões:

''

, ijuu

xx

P

x

UU

t

Uji

jij

iji S2

Tensor de Reynolds (III)

O tensor de Reynolds introduz mais 6 variáveis além de

(U,V,W e P). Portanto existem mais incógnitas que equações

para o problema! Se for tentado obter eq. para as tensões

turbulentas aparecerão incógnitas do tipo que serão

geradas pelos termos não lineares da inércia. Tornando o

processo de fechamento recursivamente não solucionável.

'j

'j

'i uuu

Equação das Flutuações de Velocidade

Ela pode ser obtida a partir da equação do momento da flutuação que é obtida subtraindo-se a equação N.S da velocidade instantânea da eq. N.S em termos da média temporal:

jj

i

ij

ijijijjii

jj

i

ij

iji

jj

ii

ij

iijjii

xx

u

x

p

x

uuuuuUuU

t

u

xx

U

x

P

x

uuUU

t

U

xx

uU

x

pP

x

uUuU

t

uU

ij

'''''''

'

''

''''

'

'

2

2

2

O operador Navier-Stokes (N(*))

Definindo o operador Navier-Stokes das flutuações de velocidade, N(u’i):

02

jj

i

ij

ijijijjii

i xx

u

x

p

x

uuuuuUuU

t

uuN

'''''''

'' '

-

Equação das Tensões de Reynolds (I)Equação de transporte para o tensor de Reynolds, i,j , por meio da

média temporal do produto entre o operador Navier-Stokes e a com a flutuação de velocidade

0 ''''ik

uNuuNu ki

tt

uu

t

uu

t

uu

k,i'k

'i

'i'

k

'k'

i

A operação é detalhada termo a termo a seguir. Considerando o termo transiente:

O termo convectivo:

j

jki

j

kji

j

ikj

j

kij

j

jki

j

kji

j

ikj

j

kij

j

kjkjkjjk

ij

ijijijji

k

x

uuu

x

U

x

U

x

U

x

uuu

x

Uuu

x

Uuu

x

uuU

x

uuuuuUuUu

x

uuuuuUuUu

'''

,,,

'''''''

''

''''''

'

''''''

'

j

k

j

i

jj

ki

j

k

j

i

jj

ki

jj

ik

jj

ki x

u

x

u

xxx

u

x

u

xx

uu

xx

uu

xx

uu

''

,'''''

''

' 222222

',

''''''

''''

''''ki

i

k

k

i

i

k

k

i

i

k

k

i

ik

ki p'-

x

pu

x

pu

x

u-p'

x

u-p'

x

pu

x

pu

x

pu

x

pu s

O termo de pressão:

O termo viscoso:

Lembrando-se que Ti,jT representa o tensor turbulento. Para

expandir e simplificar os termos convectivos foi utilizado relações da eq. continuidade: (Ui/ xi= u’i/ xi = 0 )

Equação das Tensões de Reynolds (II)

Coletando-se os termos transiente, convectivo, pressão e difusivo e considerando conste, chega-se a:

DeformaçãoPressão

:Correlação

ki

sor Tenição) (destruação Dissip

i,k

o médio pelo CampnsorProduçãoTe

j

kik

j

ijk

TurbulentaDifusão

jkij

MolecularDifusão

j

ki

j

MédioCampopeloTensor

Transporte

j

kijki

x

U

x

UC

xxxx

U

t

,,,,,,,,

j

'k

j

'i

i,k x

u

x

uν2

'k,i

i

'k

k

'i

k,i sp' 2 x

u

x

up'

i,j

'ik,j

'k

'j

'k

'ij,k,i uu

'puuuC

'', kiki uu

onde as definições dos termos:

Equação das Tensões de Reynolds (III)

Equação das Tensões de Reynolds (IV)

A equação do tensor de Reynolds possui (6) componentes, uma para cada tensor;

Apesar de se ter criado 6 novas equações, foram também geradas 22 novas incógnitas:

incógnitasuuu jki

10'''

incógnitasx

u

x

u

j

k

j

ii,k

62

''

incógnitas

x

pu

x

pu

ik

ki

6

'' ''

Equação das Tensões de Reynods (V)

Devido a não-linearidade da Eq. N.S nota-se que a tentativa de se obter equações de ordem estatística superiores (correlação uiuk) são gerados novas incógnitas.

Se fosse produzido novas equações para os termos incógnitos novas variáveis desconhecidas seriam geradas!

Isto ocorre pq o processo de média é matemático e não físico.

A geração de incógnitas revela que o processo de média de Reynolds é uma brutal simplificação da eq. N.S. Se os termos incógnitos não são modelados adequadamente significa que a eq. N.S modelada está perdendo informação.

Equação da Energia Cinética Turbulenta (I)

A energia cinética turbulenta específica (J/kg) é obtida a partir da diagonal principal (traço) do tensor turbulento do fluido:

k2uu 'i,i

'i,ii,i

A equação da energia cinética turbulenta é constituída tomando-se o ‘traço’ da equação do tensor de Reynolds, isto é, fazendo-se os índices i=k

3,33,3j

3j,3

j

3j,3j,3,3

jj

3,3

jj

3,3j3,3

2,22,2j

2j,2

j

2j,2j,2,2

jj

2,2

jj

2,2j2,2

1,11,1j

1j,1

j

1j,1j,1,1

jj

1,1

jj

1,1j1,1

x

U

x

UC

xxx

x

U

t

x

U

x

UC

xxx

x

U

t

x

U

x

U C

xxx

x

U

t

Somando-se e contraindo-se as três equações chega ao

transporte da energia cinética turbulenta:

up

1uuu

2

1

x

k

xx

U

x

kU

t

k

ãoo da Press(3) Difusãlentoorte Turbu(2) Transp :Molecular1) Difusão(

'j

''j

'i

'i

jjDissipação

Produção

j

ij,i

ocampo médi KTransporte

j

j

Equação da Energia Cinética Turbulenta (II)

O tensor i,j é nulo quando i, j. Isto significa que a correlação entre a flutuação de pressão e o tensor das deformações flutuantes não produz energia mas redistribui!

A produção de K, PK, representa a taxa com que a energia está sendo transferida do campo médio para turbulência. Como Sij é simétrico, PK pode ser re-escrito como: PK=:S;

Dissipação é a taxa com que a energia cinética turbulenta é convertida em energia intena; escoamentos em equilíbrio a taxa de produção é igual a de dissipação, PK = ;

dk/dxj é o transporte por difusão molecular da energia cinética turbulenta;

A correlação tripla é o transporte da energia turbulenta (uiui) no fluido pelas turbulência;

A difusão da pressão é o transporte turbulento resultante da correlação entre a flutuação de pressão e velocidade.

Equação da Energia Cinética Turbulenta (III)

A mesma equação também se chega a partir da média temporal no operador:

''''iiiiiiii uuuUUUuUq 2

2

k

2i

K

2 'uUqi

‘q’ é a energia cinética e sua decomposição;

o valor médio de q é o quadrado da velocidade média (K) mais a média do quadrado das flutuações, (k);

Define-se intensidade de turbulência como sendo a razão entre energias cinéticas das flutuações com o as do campo médio; tipicamente I < 5% porém pode atingir até 60%.

K

kI

0 ''ii uNu

onde N(u’i) é o operador Navier-Stokes para as flutuações de velocidade.

Equação da Energia Cinética Turbulenta (IV)

Expressões para o termo de Dissipação, I

A quantidade , expressa a taxa de dissipação de energia por unidade de massa por unidade de tempo. Ela é denominada por função dissipação deriva do traço do tensor dissipação,i,j

j

i

j

i

x

u

x

u

''

Ela difere da definição da função dissipação, (Hinze, Townsend), que é proporcional ao quadrado do tensor deformação das flutuações:

2

1 s ss d

i

j

j

ijijiji x

u

x

u''

',

',

', ,:2

Expressões para o termo de Dissipação, II

Reconhecendo-se que ambas expressões são sempre positivas a dissipação real, d e o termo viscoso acima estão relacionados por meio de:

ddij

ji

i

ji

j xx

uu

x

uu

x

'''

'2

Nota-se que não é a expressão completa para a função dissipação a menos que as 2a derivadas das tensões de Re são nulas ou desprezíveis em comparação com . Pode-se afirmar contudo que para escoamentos com Re elevados, d. Na prática, a diferença entre os termos é pequena (< 2%

Bradshaw) a exceção de regiões próximas às paredes.

A equação acima tem direta relação com Eq.

(101) na apostila ‘Forma Diferencial das

Equações de Transporte’

x

u

x

ud

''15

A funções d são coincidentes para turbulência isotrópica (G.I.Taylor). O

quadrado da média de todas derivadas parciais pode ser expresso em

função de apenas uma derivada.

Turbulência isotrópica: em qualquer região do espaço mas

podem variar com o tempo. Se as flutuações são aleatórias, não pode

haver correlação cruzada:0''vu

222 ''' wvu

dd

0

2

ij

ji

xx

uu ''

Veja Warsi

Expressões para o termo de Dissipação, III

'''

j'j

'i

iij

i''

ii pu

1uuu

2

1

x

k

x x

U uu

x

k U

t

k ijj

Em notação tensorial cartesiana a equação de transporte

da energia cinética turbulenta é dada por:

Sumário Equação da Energia Cinética Turbulenta (I)

'''

j'j

'i

iii

j

j

i''

ii pu

1uuu

2

1

x

k

x x

U

x

U

2

1uu

x

k U

t

k ijj

j

i

j

i

x

u

x

u

''

Dado que o tensor de Reynolds é simétrico, o termo de produção também pode ser expresso pelo produto dele com o tensor médio da deformação :

A função dissipação , coincide com a dissipação real do fluido somente para escoamentos isotrópicos; e portanto ela também é batizada por dissipação isotrópica,

Sumário Equação da Energia Cinética Turbulenta (II)

tx

u

x

u

tt

u

xx

utransiente

j

i

j

ii

jj

i

2

1

2

1 '''':

kk

j

i

j

i

kk

j

i

kk

j

i

xU

x

u

x

u

xU

x

u

xU

x

uconvectivo

2

1

2

1 '''':

j

'i

j

'

ii

'

jj

'i

x

u

x

p

xx

p

x

1

x

u :pressão

A equação para é obtida

tomando-se a média temporal

do operador:

02

''

ijj

i uNxx

u

onde N(u’i) é o operador Navier-Stokes para as flutuações de velocidade.

Existe uma considerável álgebra para se chegar a forma final da equação de e. As passagens algébricas para alguns termos são mostradas:

Equação da Dissipação,

(I) variação temporal; (II) convecção; (III) difusão da dissipação por efeitos molecular, pelas flutuações de pressão e pelas flutuações de velocidade; (IV) geração devido a deformação do campo médio; (V) geração de flutuação de vorticidade devido a ação de auto-alongamento da turbulência; (VI) decaimento (destruição) da taxa de dissipação devido a ação viscosa.

mk

'2

mk

'22

m

'

m

'

k

'

kj

i2

j

''

j

'

i

'

k

'

k

'

j

i

m

'

m

'

m

'

m

''

jjjj

x x

u

x x

u2

x

u

x

u

x

u2

x x

U

x

uu2

x

u

x

u

x

u

x

u

x

U2

x

u

x

pν2

x

u

x

uu

x

x x

U

t

iikii

i

k

kkji

jii

j

Equação da Dissipação, (II)

A equação da dissipação é muito mais complexa que a equação da energia cinética turbulenta;

Ela envolve diversas novas e desconhecidas correlações duplas e triplas das flutuações de velocidade, pressão e gradiente de velocidade!

As correlações duplas e triplas existentes são praticamente impossíveis de se medir experimentalmente;

Do ponto de vista experimental não se tem esperança de se conseguir relações para fechamento das correlações que envolvem a eq. ;

Recentes simulações com DNS vem ajudando a se ganhar um maior conhecimento sobre as correlações duplas e triplas mas a base de conhecimento ainda é muito esparsa.

Equação da Dissipação, (III)

A forma exata da equação da dissipação não é útil para ser o ponto inicial de desenvolvimento de um modelo.

Da teoria de Kolmogorov, é visto como o fluxo de energia na cascata dos turbilhões;

O fluxo de energia é determinado pelos grandes turbilhões num processo que não depende da viscosidade!

Porém, a energia é dissipada nas pequenas escalas;

A equação de deveria se ater as pequenas escalas, porém o processo de média introduz diversos produtos de correlações que, de forma indireta, expressam a taxa de dissipação

É praticamente impossível modelar fisicamente os termos da equação de uma vez que eles referem-se a produtos e correlações das grandes escalas.

Portanto, a forma modelada da eq. para é vista como empírica.

Equação da Dissipação, (IV)

Equação da Energia Média em termos da Temperatura

A equação da energia aplica-se para escoamentos sem dissipação, sem trabalho de compressão e propriedades constantes.

A difusividade térmica é definida por = k/Cp

jjj

'jj

x

'tT

x

x

'tTuU

t

'tT

jj

2

j

'

j

j

xx

T

x

'tu

x

TU

t

T j

Fluxo de Calor Turbulento, q’

A média temporal do produto entre a flutuação de velocidade e de temperatura pode ser interpretado como um fluxo de calor transportado pelo campo médio.

w't'ρC ;v't'ρC ;u't'ρCq pppT

De forma que ele pode ser transposto para os termos difusivos da equação da energia!

'tuC

x

Tk

xC

1

x

TU

t

T 'p

jjpj

j

j

Equação das Flutuações de Temperatura

Ela pode ser obtida a partir da equação do momento da flutuação que é obtida subtraindo-se a equação N.S da velocidade instantânea da eq. N.S em termos da média temporal:

jj

'2

j

''j

''j

'j

'j

'

jj

2

j

''j

jj

2

j

'jj

xx

t

x

tutuTutU

t

t

xx

T

x

tuTU

t

T

xx

'tT

x

'tTuU

t

'tT

j

O operador da Equação da Energia E(*)

Relembrando o operador Navier-Stokes das flutuações de velocidade, N(u’i):

0

xx

u -

x

'p1

x

uuuuuUuU

t

uuN

jj

'i

2

ij

'i

'j

'i

'j

'ij

'ji

'i'

i

Definindo o operador da equação da energia para as flutuações de temperatura, E(t’):

0

xx

t

x

tutuTutU

t

t'tE

jj

'2

j

''j

''j

'j

'j

'

Equação de Transporte do Fluxo de Calor Turbulento

O fluxo de calor turbulento q, é transportado pelo campo médio. A equação de transporte para q é obtida tomando-se a média temporal dos operadores N e E com t’ e u’ :

0'tEuuN't 'i

'i

i

'

j

'

j

'i

j

'i

'j

j

j''j

j,i''''

j'i

j

'i'

j

'i

j

''ij

j

''i

x

t'p

1

x

t

x

u

x

Tuu

x

Utu

tp1

tuux

ut

x

'tu

x

tuUxt

tu

Equação de Transporte do Fluxo de Calor Turbulento (II)

A equação de transporte do fluxo de calor turbulento é vetorial!

Uma interpretação física dos termos segue:

os termos do lado esquerdo representam o transporte de q;

o primeiro termo do lado direito (L.D.) é a difusão molecular (e ) , a difusão turbulenta e a difusão de pressão;

o segundo e terceiro termos do L.D. representam a produção pelo gradiente do campo médio de velocidades e temperatura

O quarto termo do L.D. é a dissipação devido aos efeitos de difusividade hidrodinâmica e térmica

O último termo do L.D. é uma correlação entre as flutuações de pressão e o gradiente da flutuação de temperatura

Equações Reynolds & En. Cinética TurbulentaEscoamentos 2-D

UU

xV

U

y

P

x x

U

xuu

y

U

yuv

UV

xV

V

y

P

y x

V

xvu

y

V

yvv

xx yx

xy yy

1 1 1

1 1 1

• Considera-se o fluido incompressível de propriedades constantes.

• O campo de escoamento é bi-dimensional em regime permanente; sendo U e V as velocidades médias ao longo das direções x e y

Equações Reynolds & En. Cinética TurbulentaEscoamentos 2-D

dissipaçao

(P) media vel.grad. pelo produçao

a turbulentdifusao

''

''

y

V'v'v

x

V'u'v

y

U'v'u

x

U'u'u

pv'kv

2

1

y

k

y

pu'ku

x

k

xy

kV

x

kU

A energia cinética turbulenta, k

k de nstantâneoi valor

222

a turbulentcinética en. da medio valor

222 'w'v'u2

1'k ;'w'v'u

2

1k

u

x

u

x

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

i

j

i

j

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Onde a dissipação das flutuações é dada pela expressão:

Para campo 2-D, as flutuações w são isotrópicas, dw/dx=dw/dy=dw/dz

Equações para um Canal/Tubo

y

vv

y

P10

uvy

U

y

1

x

P10

0

2

d

dy

dk

dykv

pvuv

dU

dy

u

xi

j

difusao turbulenta produçao (P) dissipaçao ( )

x

y

• Nota-se que estas equações só podem ser resolvidas se for provido equações constitutivas para o tensor de Reynolds

• Este problema é referido como problema de ´fechamento´em turbulência. Só pode ser resolvido propondo modelos para os termos do tensor de Reynolds

• Equação da Energia Cinética Turbulenta

Energia Cinética próximo a uma parede

0

2

d

dy

dk

dykv

pvuv

dU

dy

u

xi

j

difusao turbulenta produçao (P) dissipaçao ( )

Equações da Camada Limite

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