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bernoulli
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Conservação da Energia
Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:
Para deduzir a formulação para o volume de controle da conservação da quantidade de movimento, fazemos:
SCVC
Sistema dAun̂dVdt
d
Dt
DN
em
EEN
e
EN
Conservação da Energia
SC
2
u
VC
2
uSistemadAnVgz
2
Vedgz
2
Ve
tDE
Conservação da Energia em um volume de controle
Variação da Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.
Variação da Energia no
Sistema
Conservação da Energia
Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo o sistema:
dWdQdE
dQ = Calor agregado ou retirado ao sistemadW = Trabalho realizadodE = Variação da Energia
Conservação da Energia
dt
dW
dt
dQ
dt
dE
Sistema
A equação pode ser escrita em termos de taxas de energia, calor e trabalho:
Sistema
0dt
dW 0
dt
dQ
0dt
dW 0
dt
dQ
Conservação da Energia
dt
dQ
Examinando cada termo:
dt
dW
Condução, convecção e radiação(considerado como um termo único)
Realizado por um eixo, pressão e tensõesViscosas (o trabalho das forças gravitacionaisé incluido na energia potencial)
Conservação da Energia
Trabalho realizado:
dt
dWeixo Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquinaex.: bomba, turbina, pistão
dt
dWpressãoTrabalho devido às forças de pressão
VFdt
ldFlim
dt
dWldFdW 0t
pressãopressão
dt
dW .viscTrabalho devido às forças viscosas
dAVdt
dW
SC
gtan.visc
Conservação da Energia
SC
2
u
VC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Vedgz
2
Ve
tdt
dW
dt
dQ
Conservação da Energia em um volume de controle
Variação da Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.
Variação da Energia no
Sistema
SC
2
u
VC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Vedgz
2
Ve
tdt
dW
dt
dQ
Casos Especiais Escoamento permanente:
0
SC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Ve
dt
dW
dt
dQ
Casos Especiais Volume de controle não deformável:
EntradaSaída
Volume de controle não deformável
Taxa de Energiaque sai
Taxa de Energiaque entra
entra
2
u
sai
2
u
SC
2
u Qp
gz2
VeQ
pgz
2
VedAnV
pgz
2
Ve
Equação de Bernoulli
Caso particular da Equação da Conservação de Energia;
Aplicada à um tubo de corrente.
Tubo de Corrente (tubo de fluxo)
No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas
A superfície constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida
Equação de Bernoulli
Partindo da Equação da Conservação de Energia, considerando escoamento permanente:
SC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Ve
dt
dW
dt
dQ
Equação de Bernoulli
Em um tubo de corrente não deformável (escoamento laminar):
111
1
2
u222
2
2
ueixo AV
pgz
2
VeAV
pgz
2
Ve
dt
dW
dt
dQ
Equação de Bernoulli
Dividindo todos os termos por:
e considerando ρ constante:
1
2
u
2
2
ueixo p
gz2
Ve
pgz
2
Ve
dm
dW
dm
dQ
dt
dmAVm
111
1
2
u222
2
2
ueixo AV
pgz
2
VeAV
pgz
2
Ve
dt
dW
dt
dQ
Equação de Bernoulli Reorganizado a equação:
Dividindo por g:
dm
dW
dm
dQeegz
2
Vpgz
2
Vp eixo2u1u2
22
2
21
21
1
1
dm
dW
dm
dQee
g
1z
g2
Vpz
g2
Vp eixo2u1u2
22
2
21
21
1
1
Altura de pressão
Altura de velocidade
Cota
Decréscimo líquido na energia mecânica do
sistema (transformado em perdas)
Trabalho de um eixo por unidade de peso
Equação de Bernoulli A equação pode ser escrita em termos de
cotas:
eixoL21 HHHH
Energia em 1
Energia em 2
Energia Perdida por atrito e calor
Energia fornecida (+) ou retirada (-) por
um eixo
Equação de Bernoulli modificada
Equação de Bernoulli Considerando as seguintes suposições:
Escoamento permanente e laminar; Não há perdas por atrito; Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho; Não há transformação de calor; A energia interna é constante em dois pontos.
Equação de Bernoulli“A energia ao longo de um tubo de corrente é
constante”
constzg2
Vpz
g2
Vp2
22
2
21
21
1
1
Plano de referência
Plano de Energia
Linha das pressões
Sem escoamento
1
2 3
hh h
Energia Total da Água (H)(Sem escoamento)
Energia Total da Água (H)(Com escoamento)
Plano de referência
Plano de Energia
Linha das pressões
1
2 3
h1h2 h3
H1 = H2 = H3 = CONSTANTE
Energia Total da Água (H)(estrangulamento da seção)
1
2 3
p2 = h2. p3 = h3.
h1
V22/2gV32/2g
H1 = H2 = H3 = CONSTANTE
Efeito da perda de carga
A perda ao longo da canalização é uniforme em qualquer trecho de dimensões constantes, independente da posição da tubulação. A perda de carga é uma perda de energia do sistema devido a transformação de Energia Mecânica para Térmica causada pelo atrito (interno e contato com superfícies sólidas).
Plano de energia
Plano de referência
H HfL