Gabarito 05/04/2014

Turma 1

1. As raízes da equação de segundo grau x² - 5x + 4= 0 são o 1° e o 2° termo de uma Progressão Geométrica crescente. Determine o 6° termo da P.G.

Por se tratar de uma equação do segundo grau completa o modo mais fácil de resolvê-la é utilizando a fórmula de Bháskara. Dessa forma, devemos determinar os elementos a, b e c da equação e substituí-los nas fórmulas para chegar ao valor de x: a.x² + b.x + c= 0

1.x² - 5.x + 4= 0

a= 1

b= -5

c= 4

Lembrando que as fórmulas necessárias são: Δ= b² - 4.a.c x= (- b + ou - √Δ)/2.a

Assim, substituímos os valores encontrados: Δ= (-5)² -4. 1. 4= 25 - 16= 9

x= (5 + ou - √9)/2.1= (5 + ou - 3)/2

x1= (5 + 3)/2= 8/2= 4

x2= (5 - 3)/2= 2/2= 1

Segundo o enunciado, vemos que se trata de uma P.G. crescente, o que significa que: P.G.=(1,4,...). Tendo o primeiro e o segundo termo podemos determinar a razão dessa sequência, sendo que a razão dessa progressão geométrica é o número que multiplicado por 1 resulta em 4, ou seja, o 4. Sabendo a razão e o primeiro termo, podemos definir os termos seguintes, o que nos ajudará á encontrar o 6° termo requerido pelo enunciado: a1= 1

a2= 1.4= 4

a3= 4.4= 16

a4= 16.4= 64

a5= 64.4= 256

a6= 256.4= 1024

Concluímos que o sexto termo dessa P.G. é 1024.

2)Determine o valor de X, de modo que os númeors x+1,x+4,x+10 forme nessa ordem,uma PG (lembre-se que na PG

para encontrar a razão basta dividir o segundo pelo primeiro ou o terceiro pelo segundo).

x+4/x+1 = x+10/x+4

x² + 8x + 16 = x² + 11x + 10

8x + 16 = 11x + 10

11x - 8x = 10-16

3x = -6

x = -6/3

x = -2

Resposta : X vale -2

3)Após o nascimento do filho, um pai se comprometeu a depositar mensalmente em uma caderneta de

poupança, os valores de R$1,00,R$2,00,R$4,00 e assim sucessivamente até que o depósito atingisse R$2

048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário

do filho. Não tendo ocorrido falha do depósito ao longo do período, e sabendo-se que 2 elevado a 10=1024,

o montante total dos depósitos, em reais, foi de:

(a)42 947,50

(b)49 142,00

(c)57 330,00

(d)85 995,00

(e)114 660,00

Até atingir R$ 2048,00 temos uma PG em que a1 = 1,00, an = 2048,00 e q = 2.

an = a1 ⋅ q elevado a n – 1 ∴ 2048,00 = 1,00 ⋅ 2 elevado a n – 1 ∴ 2 elevado a n – 1 = 2 elevado a 11 ∴ n = 12

Assim, a cada ano (12 meses), a soma dos depósitos foi:

S12 = a1 ⋅ (q elevado a 12 – 1)/q – 1

S12 = 1,00 ⋅ (212 – 1)/2 – 1 = 4095,00

Nos 21 anos, a soma dos depósitos foi 12 ⋅ 4095,00 = 85995,00.

R:Alternativa D

4) Os números a1, a2 e a3 formam uma progressão aritmética de razão , de tal modo que a1 +3, a2-3 , a3-3

estejam em progressão geométrica . Dado ainda que a1>0 e a2<2 conclui-se que r é igual a

a)3+

b)3+ /2

c)3+ /4

d)3- /2

e) 3-

Resolução :

com os dados a1>0 e a2<2 sabe-se que a razão não pode ser maior que 1,999... , então de cara já se pode anular as

alternativas "a" , "b" e "c" , por que são maiores que três , ficando assim entre as alternativas "d" e "e" .

d)3- 1,732/2 (1,732 é uma aproximação da raiz de 3)

3-0,866

2,134

sendo assim já se pode eliminar a a alternativa "d"

e) é a única alternativa restante , então vamos conferir se está correta :

3-1,732

1,268

como é maior que 0 e menor que 2 pode se confirmar que é a alternativa correta .

5. "Para que o produto dos termos da sequência 1, √3, √3², √(3^3), √(3^4), ..., √(3^n - 1) seja 3^14, deverão ser considerados nessa sequência:"

Observa a pergunta e assinale a alternativa correspondente: ( X ) 8 termos

( ) 6 termos

( ) 10 termos

( ) 9 termos

( ) 7 termos.

Dada multiplicação de raízes quadradas resulta em 3 elevado á 14 e o enunciado que saber quantos são os termos dessa multiplicação. Como os termos estão todos na forma de raízes quadradas, devemos passar o resultado para a também forma de raiz, o que nos facilitará na resolução do exercício: 3 elevado á 14= √(3 elevado á 28) Para que a multiplicação de raízes quadradas de base 3 resultem em √(3 elevado á 28) é necessário que os expoentes dos fatores da multiplicação somem 28 (esta é uma regra das operação de radiciação). Se escrevermos o 1 na forma de raiz quadrada de 3 elevado á zero, teremos uma sequência de expoentes que formam uma progressão aritmética e começam com: 0, 1, 2, 3... Perceba que agora o problema pode ser resolvido facilmente, pois temos os primeiros termos de uma P.A. finita cuja soma é 28 e desejamos saber o total de termos dessa sequência. A fórmula da soma é: Sn= (a1 + an).n/2, assim, substituímos os valores conhecidos para encontrar o valor de n, que é a representação do total de termos.

28= {0 + [a1 + (n - 1).r]}.n/2

28= [0 + (n - 1). 1]. n/2

28= (n - 1).n/2

28= n² - n/2

n² - n= 56

n² - n - 56=0

Resolvendo essa equação com a fórmula de Bháskara, chegamos que n=8 ou n= -8. Como o número de termo não pode ser negativo, concluímos que essa multiplicação possui 8 termos, alternativa a.

Turma 2

1)a)Resolva estas equações:

I) x² - 5 = 0

X² = 5

X = ±√𝟓

S = {±√𝟓}

II) x² - 7x + 20 = 0

= b² - 4ac

= 7² - 4.1.20

= 49 - 80

= -31

S = ∅

III) x² - 7x + 11 = 0

= b² - 4ac x''= (-b - raiz de )/2.a

= 7² - 4.1.11 x''= (-7 - raiz de 5)/2.1

= 49 - 44 x''= (-7 - 2,24)/2

= 5 x''= -9,24/2

x'= (-b + raiz de )/2.a x''= -4,62

x'= (-7 + raiz de 5)/2.1

x'= (-7 + 2,24)/2

x'= -4,76/2

x'= -2,38

OBS: É um valor aproximado.

IV) x² + 16 = 0

= b² - 4ac

= 0² - 4.1.16

= 0 - 64

= -64

S = ∅

b)Em quais delas as soluções são números irracionais?

Na solução I e III

c) Quais dessas equações não tem solução em R?

Nas equações II e IV

2)A soma de dois números é 2 e a soma de seus inversos é 2,25. Quais são os números?

x + y = 2

x = 2 – y

x = 2-4/3 = 6-4/3 = 2/3

ou x = 2 – 2/3=6-2/3 = 4/3

1

𝑥+

1

𝑦= 2,25, 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑥𝑦, 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑥𝑦.1

𝑥+ 𝑥𝑦.

1

𝑦= 2,25𝑥𝑦 →

𝑦 + 𝑥 = 2,25𝑥𝑦 →

2 = 2,25𝑦(2 − 𝑦) →

2 = 4,5𝑦 − 2,25𝑦2

→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒 𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

9𝑦2 − 18𝑦 + 8 = 0 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (3𝑦 − 4)(3𝑦 − 2) = 0

3𝑦 − 4 = 0 𝑜𝑢 3𝑦 − 2 = 0

3𝑦 = 4 3𝑦 = 2

𝑦 =4

3 𝑦 =

2

3

Os números são 4/3 e 2/3.

3-)Existe um número que somado com 4 ou multiplicado por 4 dá o mesmo resultado.

Encontramos esse número resolvendo a equação:

a) 4 (x + 4 ) = 0

b) 4 + x = 4.x

c) x + 4 . 4 = x

d) x elevado a 4 = 4.x

e) x elevado a 4 = x + 4

Resolução:

Um número qualquer = x

Um número qualquer somado a 4 = x + 4

Um número qualquer multiplicado por 4 = 4.x

Um número que somado a 4 ou multiplicado por 4 dará o mesmo resultado = 4 + x = 4.x

4-) Fatorando 4.x² - 24.x + 36 , obtém-se:

a) ( 4.x – 12 )²

b) 2.x ( 2.x – 24 ) + 36

c) 4 ( x + 3 )²

d) ( 4.x + 6 )²

e) 4 ( x – 3 )²

Resolução:

4 ( x – 3 )² =

4 ( x² - 2.x.3 + 3² ) =

4 ( x² - 6.x + 9 ) =

4.x² - 4.6.x + 4 . 9 =

4.x² - 24.x + 36

5) O salário de Renato é 3/7 do salário de Sérgio, mas, se Renato tivesse um aumento de R$2400,00, então, seu

salário se igualaria de Sérgio. Assinale a alternativa que corresponde ao salário de Renato, em reais:

Renato= 3

7𝑠

Sérgio

600,00 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00

Renato R$2400,00

2400:4= 600 reais

600x3= 1800 reais

Resposta: R$1800,00 (alternativa A)

Turma 3

1)Um vendedor de sucos misturou 1 parte de concentrado de maracujá e 2 partes de água. Experimentou, achou o suco forte e resolveu economizar. Retirou ¼ do líquido da mistura, substituiu por água e misturou bem. Nessa última mistura, o concentrado de maracujá corresponde a que fração do total?

1 parte de maracujá

2 partes de água

-1/4 do suco

+1/4 de água

¼ de 500 ml = 125 ml 500 – 125 = 375

½ parte do maracujá que ficou no suco

¼ parte do suco que foi tirada

1/2 - 1/4 = 2/4 – ¼ = ¼

Basta fazer ¼ de 500 ml (que é o total de suco), e pensar que ½ é parte de maracujá que ficou no suco depois de tirar ¼ da mistura e ¼ é a parte do suco que foi tirada. Depois fazemos ½ - ¼ que dá a resposta final ¼.

R: O concentrado de maracujá corresponde a 1/4 do total do suco.

2.Um comerciante compra três duzias de certo produto por 198 reais e começa a vender a unidade por 10 reais.

Tendo vendido apenas seis unidades em 6 dias, percebe que o preço é muito alto e decide reduzi-lo para 7 reais.Com

o preço menor, vende todas as unidades restantes.Quanto obteve de lucro? 30.7+6.10=270

270-198=72

Ele teve 72 reais de lucro .

3- Examine a tabela, que resultou de uma pesquisa de opinião. (sim 60)(não 45)(tanto faz 75). As pessoas com opinião

"não" representam quanto por cento do total?

a) 45%

b) 40%

c) 25%

d) 30%

e) 25%

.Primeiro somamos 60+45+75=180. Depois já que sabemos o total, fazemos a regra de três:

100%----180

x----------45

(logo após,multiplicamos em cruz) 100.45= 4500 e 180.x= 180x

180x= 4500

x= 4500/180

x=25

4)A solução da equação é:

4.𝑥 − 3

4− 4.

𝑥 + 5

2= 4. 𝑥 →

𝑥 − 3 − 2(𝑥 + 5) = 4𝑥 →

𝑥 − 3 − 2𝑥 − 10 = 4𝑥 →

−𝑥 − 4𝑥 = 13 →

−5𝑥 = 13(−1) →

5𝑥 = −13 →

𝑥 = −13

5

5)Considere um triângulo isósceles ABC em que B mede 40°. Nesse caso, Â mede:

d) 40° ou 70°

turma 4

1)Considere os números: 1600, 1808, 1822, 1900, 1960 e 1970. a) Quais deles são divisíveis por

4? 1600, 1808, 1900,1960

b) Quais deles correspondem a anos bissextos? *1600,1808,1960

2)Considere uma circunferência e um de seus diâmetros, cujas extremidades são os pontos A e B.

a) A reta AB é eixo de simetria da circunferência? Sim

b) Quantos eixos de simetria a circunferência tem? *infinitos

3)Calculando -27 + (-32) + 50, obtém-se: *

o a) -1

o b) -5

o c) -7

o d) -9

4)Considere as seguintes afirmações: I. um poliedro é uma forma espacial. II. um cone é uma

forma espacial III. Polígonos são formas planas. As afirmações verdadeiras são: *

o a) I e II

o b) II e III

o c) I e III

o d) I, II e III.

5)121 é quantos por cento de 550? *

o a) 19%

o b) 20%

o c) 21%

o d) 22%

Turma 5

1)Dividindo o número natural x por 11 obteve-se resto 7. Somando 4 ao número x obtém-

se um novo número. Se dividirmos esse número por 11, qual será o resto? *

R:O resto será 0,porque 11+7=18 e 18:11=1 e sobra 7.somando 4 em 18=22 e 22:11=2 e o

resto será 0.

2)Num ginásio de esportes, cabem 2750 espectadores nas cadeiras e 1850 nas arquibancadas. Na decisão do vôlei

feminino, havia 2588 espectadores. Quantos lugares ficaram vagos?

2750+1850=4600

4600-2588= 2012

Ficaram vagos 2012 lugares

3)Gabriela tem 3 saias e 4 blusas.De quantas maneiras diferentes ela pode combinar uma saia e uma blusa?

a)12 b)10 c)7 d)4

Multiplicando 3.4=12 combinações.

Resp. a)12.

4)Quantas caixas de 48 quilogramas cada uma podem ser transportadas de uma só vez num elevador cuja

capacidade é de 600 quilogramas?

600:48= 12

Podem ser transportadas 12 caixas

5)Colocando 5 fotos em cada página do álbum, completo certo número de páginas e fica

sobrando 1 foto. Colocando 7 fotos em cada página, completo um número menor de

páginas do álbum, é claro, e também fica sobrando 1 foto. Desse modo, a quantidade de

fotos pode ser:

Resolução:

Fazemos o mmc (mínimo múltiplo comum) = 35, os resultados não batem e vemos o

próximo número = 70 + 1= 71

70/5=14

70/7=10

o a) um número entre 70 e 75